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高等代数(北大版)第章习题参考答案

第六章 线性空间 1.设 M ? N,证明: M N ? M , M N ? N 。 证 任 取 ? ?M, 由 M ? N, 得 ? ? N, 所 以 ? ?M ? N, 即 证 M ? N M。 又 因 M ? N ? M , 故 M N ? M 。再证第二式,任取? ? M 或? ? N, 但 M ? N, 因此无论 哪 一种情形,都有? ? N, 此即。但 N ? M ? N, 所以 M N ? N 。 2.证明 M ? (N ? L) ? (M ? N) ? (M ? L) , M ? (N ? L) ? (M ? N) ? (M ? L) 。 证 ?x ? M ? (N ? L), 则 x ? M且x ? N ? L. 在后一情形,于是 x ? M ? N或x ? M ? L. 所以 x ? (M ? N) ? (M ? L) ,由此得 M ? (N ? L) ? (M ? N) ? (M ? L) 。反之,若 x ? (M ? N) ? (M ? L) ,则 x ? M ? N或x ? M ? L. 在前一情形, x ? M , x ? N, 因此 x ? N ? L. 故 得 x ? M ? (N ? L), 在 后 一 情 形 , 因 而 x ? M , x ? L, x ? N L , 得 x ? M ? (N ? L),故 (M ? N) ? (M ? L) ? M ? (N ? L), 于是 M ? (N ? L) ? (M ? N) ? (M ? L) 。 若 x ? M (N L),则x? M,x? N L 。 在前一情形 X x ? M N , 且X ? M L,因而x ?(M N)(M L)。 在后一情形,x ? N,x ? L,因而x ? M N,且X ? M L,即X ?(M N)(M L)所以 (M N)(M L)? M (N L) 故 M (N L)=(M N)(M L) 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间: 1) 次数等于 n(n ? 1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法; 2) 设 A 是一个 n×n 实数矩阵,A 的实系数多项式 f(A)的全体,对于矩阵的加法和数量 乘法; 3) 全体实对称(反对称,上三角)矩阵,对于矩阵的加法和数量乘法; 4) 平面上不平行于某一向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法; 5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算: (a1,b1)?(a ? b ?(a1 ? a ,b 2 1 ? b 2 ? aa) 12 k。(a 1,b1)=(ka1,kb1 + (k k ? 2 1)a12 6) 平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法: k a?0; 7) 集合与加法同 6),数量乘法定义为: k a?a; 8) 全体正实数 r,加法与数量乘法定义为: a ?b ? ab , k a ? ak ; 解 1)否。因两个 n 次多项式相加不一定是 n 次多项式,例如 (xn ? 5)?(? xn ? 2)? 3 。 2)令 V={f(A)|f(x)为实数多项式,A 是 n×n 实矩阵} 因为 f(x)+g(x)=h(x),kf(x)=d(x) 所以 f(A)+g(A)=h(A),kf(A)=d(A) 由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的 1~8 条,故 v 构成线性空间。 3)矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的 1~8 条性质,只需证明对称矩阵(上三 角矩阵,反对称矩阵)对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明: 当 A,B 为反对称矩阵,k 为任意一实数时,有 (A+B)? =A?+B?=-A-B=-(A+B),A+B 仍是反对称矩阵。 (KA)? ? KA? ? K(? A)? ?(KA),所以 kA 是反对称矩阵。 故反对称矩阵的全体构成线性空间。 4)否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。 5)不难验证,对于加法,交换律,结合律满足,(0,0)是零元,任意(a,b)的负元是 (-a, a 2 -b)。对于数乘: 1。(a,b)?(1。a,1。b ? 1(1?1) a2 ) ? (a, b), 2 k.(l.(a,b) ? k.(la,lb ? l(l ?1) a2 ) ? (kla, k[lb ? l(l ?1) a2] ? k(k ?1) (la)2) 2 2 2 ? (kla, k[lb ? l(l ?1) a2 ] ? k(k ?1) (la)2 ) ? (kla, kl(kl ?1) a2 ? k(k ?1) (la)2 ) 2 2 2 2 ? (kla, kl(kl ?1) a2 ? klb) ? (kl).(a,b), 2 (k ? l).(a,b) ? [(k ? l)a, (k ? l)(k ? l ?1) a2 ? (k ? l)b] 2 k.(a,b) ? l.(a,b) ? (ka, kb ? k(k ?1) a2 ) ? (la,lb ? l(l ?1) a2 2 2 ? (ka ? la, kb ? k(k ?1) a2 ? k(k ?1) a2 ? kla2 ) 2 2 ? [(k ? l)a, (k ?1)(k ? l ?1) a2 ? (k ? l)b]. 2 即 (k ? l) ? (a,b) ? k ? (a,b) ? l ? (a,b) 。 k ? [(a1, b1 ) ? (a2 , b2 )] ? k ? (a1 ? a2 , b1 ? b2 ? a1a2 ) = [k (a1 ? a2 ), k (b1 ? b2 ? a1a2 ? k(k ?1) 2 (a1 ? a2 )2 )], k ? (a1,b1 ) ? k ? (a2 ,