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#湖南省2013年高三六校联考数学理

湖南省 2013 年六校联考数学(理)测试试题卷

湘潭市一中、长沙市一中、师 大 附中、

岳阳市一中、株洲市二中、常德市一中

时量 120 分钟 满分 150 分
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.)

1、已知全集 U={0,1,2,3,4,5},集合 A={0,1,3},集合 B={0,3,4,5},则( )
A . A ? B ? ?0? B. A ? B ? U C. A?(CU B) ? ?1? D. (CU A) ? B ? B
2、下列说法中正确的是( ).

A.“ x ? 5 ”是“ x ? 3 ”必要不充分条件;

B.命题“对 ?x ? R ,恒有 x2 ?1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R ,使得 x2 ?1 ? 0 ”. C.? m∈R,使函数 f(x)=x2+mx (x∈R)是奇函数

D.设 p , q 是简单命题,若 p ? q 是真命题,则 p ? q 也是真命题;

3、两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型,计算出它们的相关指数 R2

如下,其中拟合效果最好的模型是 ( )

A.模型 1(相关指数 R2 为 0.97)

B.模型 2(相关指数 R2 为 0.89)

C.模型 3(相关指数 R2 为 0.56 )

D.模型 4(相关指数 R2 为 0.45)

4、在三角形 OAB 中,已知 OA=6,OB=4,点 P 是 AB 的中点,则 OP ? AB ? ( )

A 10 B -10

C 20

D -20

5、如图是某几何体的三视图,则该几何体体积是(

A3

B 53

C 23

D

3

3

3

6、已知 cos(? ? ? ) ? 4 (? 为锐角), 则 sin? ? ( 65

A. 3 3 ? 4 10

B. 3 3 ? 4 10

) 3 )

C. 3 ? 4 3 10

D. 3 ? 4 3 10

7、如图,抛物线的顶点在坐标原点,焦点为 F ,过抛物线上一点 A(3 , y) 向准线 l 作垂线,

垂足为 B ,若 ?ABF 为等边三角形,

则抛物线的标准方程是 ( ).

A. y2 ? 1 x 2
C. y2 ? 2x

B. y2 ? x D. y2 ? 4x

8、已知函数f (x)= x2 ? 2ln x 与 g(x)=sin (?x ? ?) 有两个公共点, 则在下列函数中满足条

件的周期最大的g(x)=(



A. sin(2?x ? ? ) 2

B. sin(? x ? ? ) 22

C. sin(?x ? ? ) 2

D. sin(?x ? ? ) 2

二、填空题(本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在

答题卡中对应题号的横线上.)

(一)选做题(请考生在第 9,10,11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分 )

9. 以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长

度单位,已知曲线

C

的参数方程是

?x ?? y

? ?

4 c ost (t为参数) 3sin t

,直线 l



极坐标方程是 ?(cos? ? sin? ) ?1 ? 0 ,则直线 l 与曲线 C 相交的交点

个数是______.

10. 如图, AB 是圆 O 的直径,点 P 在 BA 的延长线上,

且 AB ? 2PA ? 4 . PC 切圆 O 于 C , Q 是 PC 的中点,

直线 QA交圆 O 于 D 点.则 QA QD ?



11、设 x ? R ,则函数 y = | x | ? 2 ? x2 的最大值是



(二) 必做题(12~16 题) 12、设复数 z ? 1 ? i (其中 i 为虚数单位),则 z 2 等于
i
13、已知 ?1? x?n 的展开式中只有第 5 项的二项式系数最大,
则含 x2 项的系数= ______.

开 始
S=0,T=0, n=00
否 S=S +4 n=n+ 2 T=T


输出 T 结束

14、执行右边的程序框图,若输出的 T=20, 则循环体的判断框内应填入的的条件是(填相应编号)

。(①T≥S,②T>S,③T≤S,④T<S)

15. 设矩形区域 ? 由直线 x ? ? ? 和 y ? ?1 所围成的平面图形,区域 D 是由余弦函数 2

y ? cos x 、 x ? ? ? 及 y ? ?1所围成的平面图形.在区域 ? 内随机的抛掷一粒豆子, 2

则该豆子落在区域 D 的概率是



16. 用 e, f , g 三个不同字母组成一个含 n ?1 (n ? N*) 个字母的字符串,要求由字母 e

开始,相邻两个字母不能相同. 例如 n ? 1时,排出的字符串是 ef ,eg ;n ? 2 时排出

的字符串是 efe, efg, ege, egf ,…….记这种含 n ?1个字母的所有字符串中,排在最

e 后一个的字母仍是 的字符串的个数为 an . 故 a1 ? 0, a2 ? 2 . a4 ?

an ?



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17、(本题满分 12 分)驾驶证测试规定需依次按科目一(理论)、科目二(场内)、科目

三(场外)进行,只有当上一科目测试合格才可以参加下一科目的测试,每个科目

只允许有一次补考机会,三个科目测试均合格方可获得驾驶证。现张某已通过了科

目一的测试,假设他科目二测试合格的概率为 2 ,科目三测试合格的概率为 1 ,且

3

2

每次测试或补考合格与否互不影响。

(1)求张某不需要补考就可获得驾驶证的概率。

(2)若张某不放弃所有测试机会,记? 为参加测试的次数,求? 的分布列与数学期

望。

18.(本题满分 12 分)由五个直角边为 2 的等腰直角三角形拼成如图的平面凹五边形
ACDEF,沿 AD 折起,使平面 ADEF⊥平面 ACD. (1)求证:FB⊥AD (2)求二面角 C-EF-D 的正切值.

E

F

D

E F
D

A

B

图1

CA

B

C

图2

19、(本题满分

12

分)已知数列 ?an ?

是递增的等比数列,满足

a1

?

4

,且

5 4

a3是a2

、a4

的等差中项,数列?bn? 满足 bn?1

?

bn

?1,其前

n

项和为

sn

,且

s 2

?

s6

?

a4

(1)求数列?an? ,?bn? 的通项公式

(2)数列?an? 的前 n 项和为 Tn ,若不等式 nlog2 (Tn ? 4) ? ?bn ? 7 ? 3n 对一切 n ? N ? 恒

成立,求实数 ? 的取值范围。

20.(本题满分 13 分)某小型加工厂生产某种机器部件,每个月投产一批。 该部件由 5

个 A 零件和 2 个 B 零件构成,加工厂采购这两种零件的毛坯进行精加工, 再组装成部

件, 每加工成一个部件需要消耗 10 度电。 已知 A、B 两种零件毛坯采购价格均为 4

元/个, 但如果同一种零件毛坯一次性采购超过 1 千个时,超过的部分可按优惠价 3.6

元/个结算。电费按月交纳, 电价按阶梯电价计算:每月用电在 5000 度以内 1 元/度, 超

过 5000 度的部分每度电增加 c (c > 0)元. 设每月还需要其他成本(不含人工成本)

600 元. 在不考虑人工成本的条件下, 问:

(1) 每月若投入资金 1 万元, 可生产多少件部件?

(2) 每月若有 2 万元的资金可供使用, 但要平均每件的成本最低, 应投入多少资金?

21. (本题满分 13 分)已知 P(0,-1)与 Q(0,1)是直角坐标平面内两定点,过曲线

C

上一动点

M ( x,y) 作

Y

轴的垂线,垂足为

N,点

E

满足

ME

?

3 4

MN

,且

QM ? PE ? 0 。
1)求曲线 C 的方程。 2)设曲线 C 与 x 轴正半轴交于点 A ,任作一直线 l 与曲线 C 交于 M、N 两点( M、N 不
与 A 点重合)且 ?MAN ? 900 ,求证 l 过定点并求定点的坐标。

22、(本题满分 13 分)已知函数 f (x) ? a ln x ? 1 x2 ? (a ?1)x 2
(1)讨论 f (x) 的单调性与极值点。

(a ? 1 )

(2)若 g(x) ? 1 x2 ? x ?1(x ? 1) , 证明当 a ? 1时, g(x) 的图象恒在 f (x) 的图象上方. 2

(3)证明

ln 2 22

?

ln 3 32

?

?

ln n n2

?

2n2 ? n ?1 (n ?
4(n ?1)

N

? .n

?

2)

湖南省 2013 年六校联考数学测试试题答案

一、选择题:

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

答案 C

B

A

B

B

B

D

C

二、填空题:

9、2
10、 QC2 ? QA QD , PC2 ? PA PB ? 12 ,因 Q 是 PC 的中点,所以 QA?QD ? 1 PC2 ? 3 . 4

11、由柯西不等式,得 x ? 2 ? x2 ? x ?1? 2 ? x2 ? x2 ? 2 ? x2 ? 12 ?12 ? 2 .

或用基本不等式:| x | ? 2 ? x2 ? 2(x2 ? 2 ? x2 ) ? 2.

12、2i 13、28 14 ② 15、阴影面积为

?

?

? S ?

2 ??

(cos

x

?

1)dx

?

(sin

x

?

x)?2?

? 2?? ,

2

2

故所求的概率为 P ? 2 ? ? . 2?

2n ? 2(?1)n

16、答案: a4 ? 6 an ?

3

分析: a1 ? 0

a2 ? 2 ? 21 ? a1 a4 ? 6 ? 23 ? a3 所以, an ? 2 n?1 ? an?1 所以, an?1 ? 2n?2 ? an?2

a3 ? 2 ? 22 ? a2
a5 ? 10 ? 24 ? a4
两式相减得: an ? an?2 ? 2n?2

n 当

为偶数时,利用累加法得 an

? a2

?

22

?

24

?? ? 2n?2

=

2n ? 3

4

2n ? 2 所以, an ? 3 ;

n 当

为奇数时,利用累加法得

an

?

a1

?

21

?

23

???

2n?2 =

2n ? 3

2

所以, an

?

2n ? 2 3

.

综上所述:

an

?

2n

?

2(?1) n 3

三、解答题答案:

17、答案:

解:设“科目二第一次测试合格”为事件 A1; “科目二补考测试合格”为事件 A2;

“科目三第一次测试合格”为事件 B1; “科目三补考测试合格”为事件 B2;

则 A1、A2、B1、B2 相互独立。

(1)他不需要补考就可获得驾证的概率为:

P

?

P( A1

?

B1 )

?

P( A1)

?

P( B1 )

?

2 3

?

1 2

?

1 3

…………………………………………5 分

(2)? 的可能取值为 2,3,4



P(?

?

2)

?

p( A1B1

?

A1A2 )

?

2 3

?

1 2

?

1?1 33

?

4 9

P(?

?

3)

?

p( A1B1

?

A1 A2 B1 )

?

2 3

?

1 2

?

1? 3

2 3

?

1 2

?

4 9

P

?

(?

?

4)

?

p( A1A2B1)

?

1? 3

2? 3

1 2

?

1 9

…………………………………………9 分

∴ ? 的分布列为

?

2

3

4

4

4

1

P

9

9

9

E(? ) ? 2 ? 4 ? 3? 4 ? 4 ?1 ? 24 ? 8 …………………………………………………12 分

9

93

18、答案:

解:

法一:(1)作 FO⊥AD 于 O,连 OB.

.......................(1 分)

∵等腰直角三角形 AFD, ∴点 O 为 AD 的中点.

而等腰直角三角形 ABD,∴BO⊥AD, 而 FO∩BO=O,

∴AD⊥平面 FOB, ∴FB⊥AD

.....................(5 分)

(2) ∵等腰直角三角形 ADB 和等腰直角三角形 CDB,

∴∠ADC=90°, ∴CD⊥AD

.....................(7 分)

又 ∵平面 ADEF⊥平面 ACD,平面 ADEF∩平面 ACD=AD,

∴CD⊥平面 ADEF. 作 DM⊥FE,连接 MC,

∠DMC 即为二面角 C-EF-D 的平面角.

...................(10 分)

在直角三角形 MDC 中,∠MDC=90°,MD=1 , DC=2 ,

∴tan∠DMC=2 , ∴二面角 C-EF-D 的正切值为 2.

...................(12 分)

法二:(1)作 FO⊥AD 于 O,连 OB,∵平面 ADEF⊥平面 ACD,∴FO⊥平面 ADC.

∵等腰直角三角形 AFD, ∴点 O 为 AD 的中点.而等腰直角三角形 ABD,∴BO⊥AD

如图,建立空间直角坐标系,

∴F(0,0,1),A(1,0,0),D(-1,0,0),C(-1,2,0),B(0,1,0)E(-2,0,1 ) .................(2 分)

AD ? (?2,0,0),FB ? (0,1,?1) ∵ AD ? FB ? 0 ,∴FB⊥AD

.................(5 分)

(2)显然平面 DEF 的法向量 n1 ? (0,1,0) ,
平面 CEF 中, FE ? (?2,0,0) FC ? (?1,2,?1) ,

................(7 分)

∴平面 CEF 的法向量 n2 ? (0,1,2) ,

...............(10 分)

∴ cos(n1, n2 ) ?

5, 5

∴ tan(n1, n2 ) ? 2,

∴二面角 C-EF-D 的正切值为 2. 19、答案:

解(1)设等比数列?an? 的公比为 q, 则 q ? 1, an ? 4qn?1

5 4

a3



a2和

a4

的等差中项

?2?

5 4

a3

?

a2

?

a4即2q2

?

5q

?

2

?

0

q ? 1?q ? 2

.................(12 分)

?an ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1
依题意,数列?bn? 为等差数列,公差 d ? 1

................(3 分)

又 s2 ? s6

?

32?(2b1

?1)

?

6b1

?

6?5 2

?

32,?b1

?

2?bn

? n?1

.

(2)

an

?

2n?1 ?Tn

?

4(2n ?1) 2 ?1

?

2n?2

?4

.

...............(6 分) ...............(8 分)

不等式 nlog2 (Tn ? 4) ? ?bn ? 7 ? 3n 化为 n2 ? n ? 7 ? ?(n ?1) n ? N ? ..........(9 分)

? ? n2 ? n ? 7 对一切 n ? N ? 恒成立。 n ?1

而 n2 ? n ? 7 ? (n ?1)2 ? 3(n ?1) ? 9 ? (n ?1) ? ( 9 ) ? 3 ? 2 (n ?1) ? 9 ? 3 ? 3

n ?1

n ?1

n ?1

(n ?1)

当且仅当 n ?1 ? 9 即 n ? 2 时等式成立。?? ? 3 n ?1
20、答案:

................(12 分)

解:设产量为 x 件, 总成本 y 元, 生产 200 件需要 1000 个 A 零件, 生产 500 件需要 1000 个 B 零

件, 并需要 5000 度电。

…..(1 分)

当 0 ? x ? 200 时, y=(5x+2x) ? 4 +10x ?1 +600=38x+600 y? (600, 8200] …..(3 分)

当 200 ? x ? 500时, y=(5x+2x) ? 4 -(5x-1000) ? (4 ? 3.6) +10x ?1 +600=36x+1000

y?(8200, 19000] 当 x>500 时,

………..(5 分)

y=(5x+2x)? 4 -(7x-2000) ? (4 ? 3.6) + 10x ?1 +(10x-5000)? c +600=(35.2+10c)x+1400-5000c

y>19000

………..(7 分)

(1) 当 y=10000 时, 20 0 ? x ? 500, 故令 36x+1000=10000, 得 x=250

答:若投入资金 10000 元, 可生产 250 件.

……….(8 分)

??38 ?

?

600 x

(0 ? x ? 200)

(2)

平均每件的成本

y x

?

??36 ?

?

1000 x

(200 ? x ? 500)

???(35.2

? 10c)

?

1400

? 5000c x

(x ? 500)

……..(10 分)

在(0, 500]上递减, 在[500, ? ? )上:

若 1400-5000c>0, 即 c<0.28 时依然递减, 故可全部投入 20000 元资金使平均每件的成本最低;

若 1400-5000c<0, 即 c>0.28 时递增, x=500 时平均每件的成本最低, 可投入资金 19000 元.

若 1400-5000c=0, 即 c=0.28 时为定值 38, 可投入 19000 元至 20000 元任意数值的资金. ………..(13 分)
21、答案:

解:(1)依题意知

N(0,y),?

ME

?

3 4

MN

?

3 4

(?

x,0)

?

(?

3 4

x,0)?

E(

1 4

x,

y)

.

又QM ? (x, y ?1) PE ? (1 x, y ?1)
4

........(2 分)

? QM ? PM ? 0 ? x ? 1 x ? ( y ?1)(y ?1) ? 0
4

.........(3 分)

∴椭圆 C 的标准方程为 x2 ? y2 ? 1 4

……(5 分)

(2)设直线 l 的斜率存在,设为 k ,方程为 y ? kx ? m(k ? 0) M (x1, y1) N (x2 , y2 )

? y ? kx ? m



? ?

??

x2 4

?

y2

?1

得: (1? 4k 2)x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0

? (8km)2 ? 4(1? 4k 2 )(4m2 ? 4) ? 16(4k 2 ? m2 ?1) ? 0,即4k 2 ?1 ? m2 ① ……(6 分)

x1

?

x2

?

?8km 1? 4k 2



x1x2

?

4m2 ? 4 1? 4k 2

又 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1x2 ? mk (x1 ? x2 ) ? m2

?

4k 2m2 ? 4k 2 1? 4k 2

?

8k 1?

2m2 4k 2

?

m2

?

m2 ? 4k 2 1? 4k 2

又 ?MAN ? 900 ? AM AN ? 0 即 (x1 ? 2, y1) (x2 ? 2, y2 ) ? 0

?(x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y2 ? 0 即 x1x2 ? 2(x1 ? x2 ) ? y1 y2 ? 4 ? 0
将②③④代入⑤并整理得:
12k 2 ?16km ? 5m2 ? 0 ?(6k ? 5m)(2k ? m) ? 0 ?6k ? 5m ? 0 或 2k ? m ? 0 当 6k ? 5m ? 0 时,①式成立

③ ……(7 分) ④ ……(8 分) ⑤ ……(9 分)

此时直线 l 的方程为 y ? k (x ? 6) , 过定点( (6 , 0)

5

5

当 2k ? m ? 0 时,①式成立

此时直线 l 的方程为 y ? k(x ? 2) 过点 A(2, 0)

与直线 l 不过 A 点矛盾。 若直线 l 的斜率不存在,设 l 的方程为 x ? t

?x ? t



? ?

??

x2 4

?

y2

?1

得 M (t, 1 2

4 ? t 2 ), N(t,? 1 2

4 ?t2 )

由 AM ? AN ? 0 得 (t ? 2)2 ? 1 (4 ? t2 ) ? 0 即 5t2 ? 4t ? 3 ? 0 4

解之得 t ? 6 或t ? 2 5

当 t ? 6 时,直线 l 的方程为 x ? 6 过点 (6 , 0)

5

55

当 t ? 2 时,直线 l 的方程为 x ? 2 过 A 点(舍)

由上可知,直线 l 过定点 (6 , 0) 5

22、答案:(添加计分标准)

解:(1) f ?(x) ? a ? x ? (a ?1) ? x2 ? (a ?1)x ? a ? (x ?1)(x ? a) (x ? 0)

x

x

x

当 a ? 1时 f ?(x) ? (x ?1)2 ? 0 在(0, ?? )上恒成立 x

? f (x) 在(0,+∞)单调递增,此时 f (x) 无极值点

……(10 分) …… (11 分)
……(12 分) ……(13 分) ................(1 分) ...............(2 分)

当 a ? 1 f ?(x), f (x) 在定义域上的变化情况如下表:

x

(0,1)

(1, a)

( a, ??)

f ?(x)







f (x)







由此表可知 f (x) 在(0 , 1)和( a, ??) 上单调递增, f (x) 在(1 , a )上单调递减

x ? 1 为极大值点, x ? a 为极小值点 .

...............(4 分)

(2) a ? 1时 令 F(x) ? g(x) ? f (x) ? 1 x2 ? x ?1? ln x ? 1 x2 ? 2x ? x ?1? ln x .....(5 分)

2

2

F?(x) ? 1? 1 ? x ?1 当 x ? 1时 F?(x) ? 0, 0 ? x ? 1时, F?(x) ? 0 xx

? F (x) 在(0 1)递减,在(1, ??) 上递增.

?F( x) ? F( 1 )? 0?, x ?时,1F(x )? 0恒成立

......(7 分)

即 x ? 1时 g(x) ? f (x) 恒成立

?当 x ? 1 g (x) 的图象恒在 f (x) 的图象的上方

......(8 分)

(3)由(2)知 F (x) ? F (1) ? 0 即 ln x ? x ?1

x ? 0,? ln x ? 1? 1 .

x

x



x

?

n

2

(n

?

N

?

)则

ln n2 n2

?1?

1 n2

?

ln n n2

?

1 (1? 2

1 n2

)

....(9 分) .....(10 分)

? ln 2 ? ln 3 ? 22 32

?

ln n n2

?

1 2

???1?

1 22

?1?

1 32

?

?

1

?

1 n2

)

1

11 1

1

=

2

(n

?1)

?

2

( 22

?

32

?

? n2 ) .

? 1 (n ?1) ? 1 ( 1 ? 1 ?

1)

2

2 2?3 3? 4 n(n ?1)

= 1 (n ?1) ? 1 (1 ? 1 ? 1 ? 1 ?

2

22 3 3 4

= 1 (n ?1) ? 1 (1 ? 1 )

2

2 2 n ?1

2n2 ? n ?1
=
4(n ?1)

?1? 1 ) n n ?1

∴ 不等式成立.

.....(11 分) ....(13 分)