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2014届高三惠州二调数学(理)答案


惠州市 2014 届高三第二次调研考试
数学 (理科)参考答案与评分标准
一.选择题:共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分 题号 答案 1 B 2 D 3 B 4 C 5 A 6 D 7 A 8 A

1.【解析】因为 z ? ?1 ? i 。故选 B 2.【解析】集合 A ? ? x | ?3 ? 2 x ? 1 ? 3? ? ? x | ?1 ? x ? 2? ,集合 B 为函数 y ? 1g ( x ? 1) 的定义域,所以

B ? ? x | x ? 1? ,所以 A ? B ? (1,2]。故选 D
3 【 解 析 】

a1 ? 2, a5 ? 3a3



a1 ? 4d ? 3(a1 ? 2d )





d ? ?a1 ? ?2







S9 ? 9a1 ?

9?8 d ? 9 ? 2 ? 9 ? 8 ? ?54 ,选 B 2

4.【解析】第一次循环: T ? 3i ? 1 ? 2, S ? S ? T ? 2, i ? i ? 1 ? 2 ,不满足条件,再次循环; 第二次循环: T ? 3i ? 1 ? 5, S ? S ? T ? 7, i ? i ? 1 ? 3 ,不满足条件,再次循环; 第三次循环: T ? 3i ? 1 ? 8, S ? S ? T ? 15, i ? i ? 1 ? 4 ,不满足条件,再次循环; 第四次循环: T ? 3i ? 1 ? 11, S ? S ? T ? 26, i ? i ? 1 ? 5 ,不满足条件,再次循环; 第五次循环: T ? 3i ? 1 ? 14, S ? S ? T ? 40, i ? i ? 1 ? 6 ,满足条件,输出 S 的值为 40.故选 C 5.【解析】由直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 与 l 2 : x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平行,得 ?

? a ? a ? 1? ? 2 ? 0 ? , 解得a ? ?2或1 , ? 4a ? 1 ? 0 ?

所以“ a ? 1 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 与 l 2 : x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平行”的充分不必要条件。故选 A 6.【解析】由题知该几何体是挖去

1 3 4 3 个球的几何体。所以 V ? ? ? ? 2 ? 8? .故选 D 4 4 3

7. 解析】 【 由系统抽样的原理知将 960 人分 30 组, 所以第一组抽 450/30=15 人, 第二组抽 (750-450) /30=10, 第三组抽 32-15-10=7 人。故选 A 8.【解析】∵f(x)=1+x﹣
2 3


2012

∴当 x<﹣1 或 x>﹣1 时,f'(x)=1﹣x+x ﹣x +?+x

=

>0.

而当 x=﹣1 时,f'(x)=2013>0 ∴f'(x)>0 对任意 x∈R 恒成立,得函数 f(x)是(﹣∞,+∞)上的增函数 ∵f(﹣1)=(1﹣1)+(﹣ ﹣ )+?+(﹣ ∴函数 f(x)在 R 上有唯一零点 x0∈(﹣1,0) ∴b﹣a 的最小值为 0-(-1)=1.
惠州市 2014 届高三第二次调研考试理科数学答案 第 1 页 共 6 页



)<0,f(0)=1>0

∵圆 x +y =b﹣a 的圆心为原点,半径 r= ∴圆 x +y =b﹣a 的面积为 π r =π (b﹣a)≤π ,可得面积的最小值为 π 。故选:A 二.填空题:共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9. (-2,-4) 10. ?
2 2 2

2

2

3), 7), 9.【解析】因为 BA ? (2, CA ? (4, 所以 BC ? BA ? AC ? ? ?2, ?4 ?
10.【解析】 tan(? ? ? ) ? 2 得 tan ? = ? 2 , sin ? ? ?2 cos? . ? sin ? ? cos ? ? 1
2 2

??? ?

4 5

11.1 12.4

13.-8

14.

??? ?

??? ?

??? ???? ?

5 2

15. 2 3

1 4 ? 4 cos2 ? ? cos2 ? ? 1? cos2 ? ? . 又 sin 2? ? 2 sin ? ? cos? ? ?4 cos2 ? ? ? 5 5
11.【解析】?由可行域知直线过点(1,0)时取得最大值 1 12. 【 解 析 】 Tr + ? 1
r

C

6? r 6

? a? r x ? 2 ? ? ? ?1? ? ? x ? ? ?

r

r 2 r ?6 6

C

3 0 a , rx由 6 ? r3? 得r ?

,2 所 以

? ?1?

2

2 C6 a ? 60, 解得a ? 4 。

13. 【 解 析 】 因 为 函 数 f ( x) 为 奇 函 数 , 所 以 f (0)=3 +a =0 , 即 a ? ?1 。 所 以
0

f (?2) ? g (?2) ? ? f (2) ? ?(32 ? 1) ? ?8 。
14. 【解析】 曲线 ? ? 2 cos? 即 ? x ? 1? ? y ? 1 , 表示圆心在 (1, , 0) 半径等于 1 的圆, 直线 ? sin(? ?
2 2

?
6

) =4,

即 x ? 3 y ? 8 ? 0 ,圆心(1,0)到直线的距离等于

1? 0 ? 8 2

?

7 ? ,所以点 A 到直线 ? sin(? ? ) =4 的距 2 6

离的最小值是

7 5 ?1 ? 。 2 2

15.【解析】连结 PO,因为 PD 是⊙O 的切线,P 是切点,∠D=30°,所以∠POC=60°, 并且 AO=2,∠POA=120°,PO=1 在△ POA 中,由余弦定理知, PA ? 2 3 三、解答题: 16. (本小题满分 12 分)

sin cos x x 2 解:(1)f(x) ? 3 2 ? 2 ?2sin(x? ) 6 ??3 分
x 当2 ?

?

?T ?

2? ?? 2 ????4 分

?

?2 ?? 即 x?k ? ( ? )时,f(x)取最小值-2????6 分 k ? k Z 6 2 6 3 ? ? k 2 k (2)由 2 ?? ? x? ?2 ? ? ?(k?z), ?????????8 分 2 6 2 ? ? x k 5( z ? k ) 得 k ? ? ? ? ? ? ?????????10 分 3 6 x 当2 ?
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?

?2 ?? 即 x?k ? ( ? )时,f(x)取最大值 2;????5 分 k ? k Z 6 2 3

?

?

?

?

∴单调递减区间为 [ ? , ? k ? k ? ](? . k z )

?

3

5 ? 6

?????????12 分

17(本小题满分 12 分) 解:解:设一次取次品记为事件 A,由古典概型概率公式得: P(A) ?

2 1 ? ??2 分 10 5
1 5 4 12 ?4 ? 5 125

2 2 有放回连续取 3 次,其中 2 次取得次品记为事件 B,由独立重复试验得: P(B) C( ). ? 3

分 (2)依据知 X 的可能取值为 1.2.3???5 分

2?8 8 8 4 且 P(x ? 1 ? ??7 ? 2 ? ) ? ??6 分 P(x ? 2) 45 A10 10 5
则 X 的分布列如下表: X p 1 2 3

2 A2 1 P(x ? 3) 2 ? ? ???8 分 A10 45

4 5

8 45

1 45
??10 分

EX ?

36 16 3 55 11 ? ? ? ? ???12 分 45 45 45 45 9 1 BC -----2 分 2
P F

18(本小题满分 14 分) 解: (1) 取PB的中点,连FG,由题设FG / / BC , FG ?

? AE / / BC , AE ?

1 BC ? FG / / AE 2

AEFG是平行四边形 ,所以 EF / / AG ---4 分

G
B C

AG ? 面PAB, EF ? 面PAB ? EF // 面PAB ---6 分
(2)取 PA 的中点 N , 连BN , DN ---8 分
A
P F

E

D

?PAB是等边三角形? BN ? PA
? Rt ?PBD ~Rt ?ABD ? PD ? AD

? AN ? PB ?ANB ? ? 是二面角 D ? PA ? B
的平面角 ----------------------------10 分
A

N

B

C

知 BD ? 面PAB, BD ? BN

E

D

在Rt?DBN中,BD ? 3 AB ? 2 BN --------------------12 分

tan ? ?

BD 5 5 ? 2, cos ? ? 即二面角 D ? PA ? B 的余弦值为 ---------------14 分 BN 5 5

解法二 (1)
惠州市 2014 届高三第二次调研考试理科数学答案 第 3 页 共 6 页

?ABD中,AD ? 2 AB, ?BAD ? 600 ,由余弦定理 BD 2 ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD ? cos 600 ? AD 2 ? AB 2 ??ABD ? 900
所以 BD ? AB

面PAB ? 面ABCD, BD ? AB ? DB ? 面PAB ………………………………2 分
建系 {BA, BD, z} 令 AB ? 2

??? ??? ? ?

A ? 2, 0, 0 ? , D 0, 2 3, 0 , P 1, 0, 3 , C ?2, 2 3, 0

?

? ?

? ?

?

??? 1 ??? ???? 1 ? ? 3 EF ? AP ? DC ? ?3, 0, 3 ? ? 3, 0,1 2 2 2 ?? ? 因为平面 PAB 的法向量 n2 ? ? 0,1, 0 ?

?

? ?

?

?

?

……………………..4 分

??? ?? ? ? EF ? n2 ? 0 ? EF / / 面PAB
??

z
P F B

…………..6 分

(2) 设平面 PAD 的法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ?

??? ? ???? AP ? ?1, 0, 3 , AD ? ?2, 2 3, 0 …………8 分

?

?

?

?

C

?? ??? ? ? n1 ? AP ? ? x ? 3z ? 0 ? …………10 分 ? ?? ???? ?n1 ? AD ? ?2 x ? 2 3 y ? 0 ? ?? 令 x ? 3 所以 n1 ? 3,1,1 …………12 分

A

x

E

D

y

?

?

平面 PAB 的法向量 n2 ? ? 0,1, 0 ? ……13 分

?? ?

?? ?? ? 5 1 ,即二面角 D ? PA ? B 的余弦值为 cos ? n1 , n2 ?? 5 5
说明:其他建系方法酌情给分 19(本小题满分 14 分) (1) 当 n ? 1 时, a1 ? s1 ,由 s1 ? 当 n ? 2 时,∵ sn ? 1 ? ∴ sn ? sn ?1 ? ∴ an ?

.................14 分

1 2 ????????1 分 a1 ? 1 ,得 a1 ? 2 3

1 1 an , sn ?1 ? 1 ? an ?1 , ???????2 分 2 2

1 1 ? an?1 ? an ? ,即 an ? ? an?1 ? an ? 2 2
????????????????5 分

1 a n ?1 (n ? 2) 3

∴ ?an ? 是以 故 an ?

2 1 为首项, 为公比的等比数列.?????????????6 分 3 3
????????????????7 分
第 4 页 共 6 页

2 1 n ?1 1 ? ( ) ? 2 ? ( ) n (n ? N ? ) 3 3 3

惠州市 2014 届高三第二次调研考试理科数学答案

(2) 1 ? sn ?

1 1 1 an ? ( ) n , bn ? log 3 (1 ? sn ?1 ) ? log 3 ( ) n ?1 ? ? n ? 1 ?????9 分 2 3 3

1 1 1 1 ? ? ? bnbn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 ????????????????11 分 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )? ? b1b2 b2b3 bnbn ?1 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n ? 2 ?13 分
解方程

1 1 25 ,得 n ? 100 ? ? 2 n ? 2 51

…………………………………………14 分

20(本小题满分 14 分) 解 (1)由题意知 c ? 1, 设右焦点 F (1,0)
'

? 2a ? EF ? EF ' ? (1 ? 1) 2 ? (
? a ? 3, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2

2 3 2 3 ? 0) 2 ? ? 2 3 ??????2 分 3 3

?椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 3 2

??????4 分

2 2 x12 y12 x2 y 2 (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 则 ? ?1 ① ? ? 1 ②??????6 分 3 2 3 2

②-①,可得 k1 ?

y 2 ? y1 2 x 2 ? x1 2 ?? ?? x 2 ? x1 3 y 2 ? y1 3

??????8 分

(3)由题意 k1 ? k 2 ,设 M ( x M , y M ) 直线 AB : y ? 1 ? k1 ( x ? 1) ,即 y ? k1 x ? k 2 代入椭圆方程并化简得
2 (2 ? 3k12 ) x 2 ? 6k1k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0

? xM ?

? 3k1 k 2 2k 2 , yM ? 2 2 ? 3k1 2 ? 3k12 ? 3k1 k 2 2 k1 , yN ? 2 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

??????10 分

同理? x N ?

??????11 分

当 k1 k 2 ? 0 时, 直线 MN 的斜率 k ?

y M ? y N 10 ? 6k1 k 2 ? xM ? x N ? 9 k1 k 2

直线 MN 的方程为 y ?

2k 2 10 ? 6k1 k 2 ? 3k1 k 2 ? (x ? ) 2 ? 9 k1 k 2 2 ? 3k1 2 ? 3k12 10 ? 6k1 k 2 2 2 x ? 此时直线过定点(0, ? )???13 分 ? 9 k1 k 2 3 3
第 5 页 共 6 页

又 k1 ? k2 ? 1 化简得 y ?

惠州市 2014 届高三第二次调研考试理科数学答案

当 k1 k 2 ? 0 时,直线 MN 即为 y 轴,也过点(0, ? 综上,直线过定点(0, ? 21(本小题满分 14 分) 解 (1)当 a ?

2 ) 3

2 ) 3

………………14 分

4 4 时,f ( x) ? x ? ln(1 ? x 2 ) 5 5
?????1 分

? f ' ( x) ?

4 2x 4 x 2 ? 10 x ? 4 ? ? 5 1? x2 5(1 ? x 2 )

x, f ' ( x), f ( x) 变化如下表

x
f ' ( x)

? 1? ? 0, ? ? 2?
+ ↗

1 2
0 极大值

?1 ? ? ,2 ? ?2 ?


2
0 极小值

?2,???
+ ↗

f (x)

1 2 5 ? f 极大值 ? f ( ) ? ? ln , 2 5 4
(2)令 g ( x) ? x ? ln(1 ? x )
2

f 极小值 ? f (2) ?

8 ? ln 5 ?????4 分 5

则 g ( x) ? 1 ?
'

2x ( x ? 1) 2 ? ?0 1? x2 1? x2

?????????6 分

? g (x)在?0, ? ?上为增函数。? g ( x) ? g (0) ? 0 ?
? ln(1 ? x 2 ) ? x
(3)由(2)知 ln(1 ? x ) ? x
2

??????8 分 ???????9 分 ???????10 分

令x ?

1 1 1 1 1 1 得, ln(1 ? 4 ) ? 2 ? ? ? 4 n(n ? 1) n ? 1 n n n n

????12 分

1 1 1 ) ? ln(1 ? 4 ) ? ?? ? ln(1 ? 4 ) 4 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 1 ? ? 1 ????13 分 2 2 3 3 4 n ?1 n n 1 1 1 ????14 分 ? (1 ? 4 )(1 ? 4 ) ? (1 ? 4 ) ? e 2 3 n ? ln(1 ?

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