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北京市石景山区高三数学一模试题 理 新人教B

2012 年石景山区高三统一测试 数学(理科)
考生 须知 1. 本试卷为闭卷考试,满分为 150 分,考试时间为 120 分钟. 2. 本试卷共 6 页.各题答案均答在答题卡上. 三 15 16 17 18 19 20

题号 分数





总分

第Ⅰ卷

选择题

一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 M ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} , N ? {x | log1 x ? 0} ,则 M ? N 等于(
2



A. (?1,1) 2.在复平面内,复数 A.第一象限 3.圆 ?

B. (1,3)

C. (0,1) ) C.第三象限

D. (?1,0)

2?i 对应的点位于( 1? i
B. 第二象限

D.第四象限

? x ? 2cos ? , 的圆心坐标是( ? y ? 2sin ? ? 2
B. (2, 0)

) C. (0, ?2) D. (?2, 0) 4.设

A. (0, 2)

m, n 是
两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,下列命题正确的是( A. 若m // n, m // ? , 则n // ? C. 若m // ? , n // ? , 则m // n )

B. 若? ? ? , ? ? ? , 则? // ? D. 若m ? ? , n // ? , 则m ? n

用心

爱心

专心

-1-

5.执行右面的框图,若输入的 N 是 6 , 则输出 p 的值是( A. 120 C. 1440 ) B. 720 D. 5040

2 n 6.若 ( x ? ) 展开式中的所有二项式系数和

1 x

为 512,则该展开式中的常数项为 ( A. ? 84 C. ? 36 B. 84 D. 36



7.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( A. 8 ?



4 3 3 2 3 3

B. 8 ?

4 2 3

C. 8 ?

D.

32 3

8.如图,已知平面 ? ? ? ? l , A 、 B 是 l 上的两个 点, C 、 D 在平面 ? 内,且 DA ? ? , CB ? ? ,

?
P A B C

AD ? 4 , AB ? 6, BC ? 8 ,在平面 ? 上有一个
动点 P ,使得 ?APD ? ?BPC ,则 P ? ABCD 体积 的最大值是( A. 24 3 ) B. 16 C. 48

?

D

D. 144

用心

爱心

专心

-2-

第Ⅱ卷

非选择题

二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.设向量 a ? (cos? ,1),b ? (1,3cos? ) ,且 a // b ,则 cos 2? =

?

?

?

?



10.等差数列 ?an ?前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a4 ? ak ? 0 ,则 k =________. 11.如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F , CE 与圆 相切交 AB 延长线上于点 E ,若 DF ? CF ? 2 2 , A D B F C E

AF : FB : BE ? 4 : 2 :1 ,则线段 CE 的长为



1 ? ? x ? a, x ? , ? ? 2 12.设函数 f ( x) ? ? 的最小值为 ?1 ,则实数 a 的取值范围是 ? log x, x ? 1 2 ? ? 2
13.如图,圆 O : x2 ? y 2 ? ? 2 内的正弦曲线 y ? sin x 与 x 轴围成的区域记为 M (图中阴影部分),随机 往圆 O 内投一个点 A ,则点 A 落在区域 M 内的 概率是 .



14.集合 U ? ? ( x, y) | x ? R, y ? R?, M ? ( x, y) | x ? y ? a , P ? ?( x, y) | y ? f ( x)?,
x 现给出下列函数:① y ? a ,② y = loga x ,③ y ? sin( x ? a) ,④ y ? cos ax ,

?

?

若 0 ? a ? 1 时,恒有 P ? CU M ? P, 则所有满足条件的函数 f ( x ) 的编号是



三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分.应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对应的边分别为 a , b , c ,且 (2a ? c) cos B ? b cos C . (Ⅰ)求角 B 的大小;

用心

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-3-

(Ⅱ)若 cos A ?

2 , a ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 2

16.(本小题满分 13 分) 甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛,甲每次投中的概率为 为

1 ,乙每次投中的概率 3

1 ,每人分别进行三次投篮. 2
(Ⅰ)记甲投中的次数为ξ ,求ξ 的分布列及数学期望 Eξ ; (Ⅱ)求乙至多投中 2 次的概率; (Ⅲ)求乙恰好比甲多投进 2 次的概率.

17 . (本小题满分 14 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA 1 ⊥面 ABC , BC ? AC, BC ? AC ? 2 ,

AA1 ? 3 , D 为 AC 的中点.
(Ⅰ)求证: AB1 // 面BDC1 ; (Ⅱ)求二面角 C1 ? BD ? C 的余弦值; (Ⅲ)在侧棱 AA 1 上是否存在点 P ,使得

B1

B

C C1 D A1 A

CP ? 面BDC1 ?请证明你的结论.

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2a ln x .
2

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 的图象在 (2, f (2)) 处的切线斜率为 1 ,求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 g ( x ) ?

2 ? f ( x) 在 [1, 2] 上是减函数,求实数 a 的取值范围. x

用心

爱心

专心

-4-

19. (本小题满分 13 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )右顶点与右焦点的距离为 3 ?1 , a2 b2

短轴长为 2 2 . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过左焦点 F 的直线与椭圆分别交于 A 、 B 两点,若三角形 OAB 的

面积为

3 2 ,求直线 AB 的方程. 4

20. (本小题满分 13 分) 若数列 { An } 满足 An?1 ? An
2



则称数列 { An } 为“平方递推数列” .已知数列 {an } 中,

a1 ? 2 ,点( a n , a n?1 )在函数 f ( x) ? 2x 2 ? 2x 的图像上,其中 n 为正整数.
(Ⅰ)证明数列 {2a n ? 1} 是“平方递推数列” ,且数列 {lg(2an ? 1)} 为等比数列; (Ⅱ)设(Ⅰ)中“平方递推数列”的前 n 项之积为 T n ,即

T n? (2a1 ? 1)(2a2 ? 1)? (2an ? 1) ,求数列 {an } 的通项及 T n 关于 n 的表达式;
(Ⅲ)记 bn ? log2an ?1 Tn ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ,并求使 Sn ? 2012 的 n 的最小值.

用心

爱心

专心

-5-

2012 年石景山区高三统一测试 高三数学(理科)参考答案 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

B

D

A

D

B

B

A

C

二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分. 题号 答案 9 10 11 12 13 14 ①②④

?

1 3

10

7

a??

1 2

4 ?3

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分.应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 (2a ? c) cos B ? b cosC ,由正弦定理,得

(2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cosC .

????2 分

∴ 2 sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cosC ? sin(B ? C ) ? sin A .??4 分 ∵ 0? A?? , ∴ cos B ? ∴ sinA ? 0 , 又∵

1 . 2

0? B ?? ,

∴ B?

?
3



????6 分 ????8 分

(Ⅱ)由正弦定理

a b ? ,得 b ? 6 , sin A sin B

由 cos A ?

? ? 2 可得 A ? ,由 B ? ,可得 3 4 2

sin C ?

6? 2 , 4

????11 分 ????13 分

∴ s ? 1 ab sin C ? 1 ? 2 ? 6 ? 6 ? 2 ? 3 ? 3 .

2

2

4

2

16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) ? 的可能取值为:0,1,2,3. ????1 分

用心

爱心

专心

-6-

8 4 ? 2? 1 ? 1 ?? 2 ? P(? ? 0) ? C ? ? ? ; P(? ? 1) ? C3 ? ?? ? ? ; ? 3 ? 27 ? 3 ?? 3 ? 9
0 3

3

2

?1? P(? ? 2) ? C32 ? ? ? 3?

2

1 ? 2? 2 3? 1 ? ? ? ? ; P(? ? 3) ? C3 ? ? ? . ? 3 ? 27 ? 3? 9

3

? 的分布列如下表: ?
0 1 2 3

P

8 27

4 9

2 9

1 27
????4 分

E? ? 0 ?

8 4 2 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1. 27 9 9 27

????5 分

3 (Ⅱ)乙至多投中 2 次的概率为 1 ? C3 ? ? ?

?1? ?2?

3

7 . 8

????8 分

(Ⅲ)设乙比甲多投中 2 次为事件 A,乙恰投中 2 次且甲恰投中 0 次为事件 B1, 乙恰投中 3 次且甲恰投中 1 次为事件 B2, 则 A ? B1 ? B2 , B1 , B2 为互斥事件. ????10 分

P( A) ? P( B1 ) ? P( B2 ) ? 8 ? 3 ? 4 ? 1 ? 1 . 27 8 9 8 6 1 所以乙恰好比甲多投中 2 次的概率为 . 6
17. (本小题满分 14 分) (I)证明:连接 B1C,与 BC1 相交于 O,连接 OD. ∵BCC1B1 是矩形,∴O 是 B1C 的中点. 又 D 是 AC 的中点,∴OD//AB1. ∵AB1 ? 面 BDC1 , OD ? 面 BDC1 ,∴AB1// 面 BDC1. ????4 分
B1

????13 分

????1 分

z

B

(II)解:如图,建立空间直角坐标系, 则 C1(0,0,0) ,B(0,3,2) , C(0,3,0) ,A(2,3,0) , D(1,3,0) ,
A1 C1 D C

y
A

x
用心 爱心

专心

-7-

???? ???? ? C1B ? (0,3, 2) , C1D ? (1,3,0) ,
设 n ? ( x1 , y1 , z1 ) 是面 BDC1 的一个法向量,则

????5 分

?

? ???? ? C1 B ? 0, ?3 y1 ? 2 z1 ? 0, ?n ? 1 1 ? ? ? ? ???? 即? ,取 n ? (1, ? , ) . n ? C D ? 0 x ? 3 y ? 0 ? ? 1 ? 1 1 3 2 ???? ? 易知 C1C ? (0,3,0) 是面 ABC 的一个法向量. ? ? ???? ? n? C1C 2 ? ???? cos n, C1C ? ? ???? ? ?? . 7 n ? C1C
∴二面角 C1—BD—C 的余弦值为

????7 分 ????8 分

2 . 7

????9 分

(III)假设侧棱 AA1 上存在一点 P 使得 CP⊥面 BDC1. 设 P(2,y,0) (0≤y≤3) ,则 CP ? (2, y ? 3,0) ,

??? ?

????10 分

??? ? ???? ?CP? C1 B ? 0, ? ? 3( y ? 3) ? 0, ? ???? ? 则 ? ??? ,即 ? . C1 D ? 0 ? ? CP? ?2 ? 3( y ? 3) ? 0

????12 分

? y ? 3, ? 7 ? 解之 ? y ? ∴方程组无解. 3 ?
∴侧棱 AA1 上不存在点 P,使 CP⊥面 BDC1.

????13 分 ????14 分

18. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) f '( x) ? 2 x ?

2a 2 x 2 ? 2a ? x x

????1 分

由已知 f '(2) ? 1,解得 a ? ?3 . (II)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) .

????3 分

(1)当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) ; ??5 分

用心

爱心

专心

-8-

(2)当 a ? 0 时 f '( x) ?

2( x ? ?a )( x ? ?a ) . x

当 x 变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下:

x
f '( x)
f ( x)

(0, ?a )
-

?a
0
极小值

( ?a , ??)
+

由上表可知,函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, ?a ) ; 单调递增区间是 ( ?a , ??) . (II)由 g ( x) ? ????8 分

2 2 2a ? x 2 ? 2a ln x 得 g '( x) ? ? 2 ? 2 x ? ,????9 分 x x x

由已知函数 g ( x) 为 [1, 2] 上的单调减函数, 则 g '( x) ? 0 在 [1, 2] 上恒成立,

2 2a ? 2x ? ? 0 在 [1, 2] 上恒成立. 2 x x 1 2 即 a ? ? x 在 [1, 2] 上恒成立. ????11 分 x 1 1 1 2 令 h( x) ? ? x ,在 [1, 2] 上 h '( x) ? ? 2 ? 2 x ? ?( 2 ? 2 x) ? 0 , x x x 7 所以 h( x) 在 [1, 2] 为减函数. h( x) min ? h(2) ? ? , 2 7 所以 a ? ? . ????14 分 2
即? 19. (本小题满分 13 分)

?a ? c ? 3 ? 1 ? ? 解: (Ⅰ)由题意, ? b ? 2 ? a 2 ? b2 ? c2 ? ?
解得 a ? 3, c ? 1 . 即:椭圆方程为

-------1 分

------------2 分 ------------3 分

x2 y2 ? ? 1. 3 2
4 , 3

(Ⅱ)当直线 AB 与 x 轴垂直时, AB ?

用心

爱心

专心

-9-

此时 S?AOB ? 3 不符合题意故舍掉;

-----------4 分

当直线 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? 1) , 代入消去

y 得: (2 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? (3k 2 ? 6) ? 0 .

------------6 分

? ?6k 2 x ?x ? ? ? 1 2 2 ? 3k 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? , 2 ? x x ? 3k ? 6 ? 1 2 2 ? 3k 2 ?
4 3(k 2 ? 1) 所以 AB ? . 2 ? 3k 2
原点到直线的 AB 距离 d ?

-----------7 分

------------9 分

k 1? k 2



1 1 k 4 3(k 2 ? 1) 所以三角形的面积 S ? AB d ? . 2 2 1 ? k 2 2 ? 3k 2
由S ?

3 2 ? k2 ? 2 ? k ? ? 2 , 4

------------12 分 ---------13 分

所以直线 lAB : 2x ? y ? 2 ? 0 或 lAB : 2x ? y ? 2 ? 0 . 20. (本小题满分 13 分)

解: (I)因为 an?1 ? 2an ? 2an , 2an?1 ?1 ? 2(2an ? 2an ) ?1 ? (2an ? 1)
2 2

2

所以数列 {2a n ? 1} 是“平方递推数列” . 由以上结论 lg(2an?1 ? 1) ? lg(2an ? 1) ? 2lg(2an ? 1)
2

--------2 分

, --------3 分

所以数列 {lg(2an ? 1)} 为首项是 lg5 公比为 2 的等比数列. (II) lg(2an ? 1) ? [lg(2a1 ? 1)] ? 2n?1 ? 2n?1 lg5 ? lg52
n?1 1 n?1 2an ? 1 ? 52 , an ? (52 ? 1) . 2

n?1

, --------5 分

lg Tn ? lg(2a1 ?1) ??? lg(2an ?1) ? (2n ?1)lg5 ,

Tn ? 52
(III) bn ?

n

?1

.

--------7 分

lg Tn (2n ? 1) lg 5 1 ? n?1 ? 2 ? n?1 lg(2an ? 1) 2 lg 5 2

用心

爱心

专心

- 10 -

S n ? 2n ? 2 ? 2n ? 2 ?
n?

1 . 2n ?1

--------10 分

1 ? 2012 2n ?1

1 ? 1007 2n
--------13 分

nmin ? 1007 .
[注:若有其它解法,请酌情给分]

用心

爱心

专心

- 11 -


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