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2016年10月05日2586的高中数学组卷

2016 年 10 月 05 日 2586 的高中数学组卷
一.选择题(共 11 小题) 1. (2016?陕西二模)若 f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数,? x1,x2∈[0,+∞) (x1 ≠x2) ,有 ,则( )

A.f(3)<f(1)<f(﹣2) B.f(1)<f(﹣1)<f(3) C. f (﹣2) <f (1) <f (3) D.f(3)<f(﹣2)<f(1) 2. (2016?惠州三模)已知函数 f(x)是偶函数,当 x>0 时, 上,下列函数中与 f(x)的单调性相同的是( 2 A.y=﹣x +1 B.y=|x+1| C.y=e
|x|

,则在(﹣2,0)



D.

3. (2016?湖北模拟)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上递减,若不等式 f(﹣ 3 3 ax+x +1)+f(ax﹣x ﹣1)≥2f(1)对 x∈(0, ]恒成立,则实数 a 的取值范围为( ) A.[2,4] B.[2,+∞) C.[3,4] D.[2,3] 4. (2016?江门模拟)已知 f(x) ,g(x)都是定义在 R 上的函数,且满足以下条件:①f x (x)=a ?g(x) (a>0,且 a≠1) ;②g(x)≠0;③f(x)?g′(x)>f′(x)?g(x) .若 ,则 a 等于( A. B.2 C. D.2 或 )

5. (2016?银川校级一模)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=﹣f(x) ,若 f(﹣ 1)>﹣2,f(﹣7)= A. ,则实数 a 的取值范围为( B. (﹣2,1) C. D. )

6. (2016?太原三模)函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且满足 f(x+2)=f(x) .当 x∈ [0,1]时,f(x)=2x.若在区间[﹣2,3]上方程 ax+2a﹣f(x)=0 恰有四个不相等的实数 根,则实数 a 的取值范围是( ) A. ( , ) B. ( , ) C. ( ,2) D. (1,2)

7. (2016?荆州模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=f(1﹣x)且在[1,+∞) 上是增函数,不等式 f(ax+2)≤f(x﹣1)对任意 x∈[ ,1]恒成立,则实数 a 的取值范围 是( ) A.[﹣3,﹣1] B.[﹣2,0] C.[﹣5,﹣1] D.[﹣2,1] 8. (2016?枣庄模拟)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2+x)=f(﹣x) ,且在[1,+∞)上 为减函数,若 f(1﹣m)<f(m) ,则实数 m 的取值范围是( )

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A. ( ,+∞)

B. (﹣∞, )

C. (﹣∞,﹣ ) D. (﹣∞,﹣ )∪( ,+∞)

9. (2016?泰安一模)奇函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)为偶函数,且 f(1)=2,则 f(4)+f(5)的值为( ) A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣2 10. (2016?河南模拟)已知定义在 R 上的偶函数 y=f(x)满足 f(x+4)=f(x) ,当 x∈[4, 5]时,f(x)=x+1,则 f(103)=( ) A.2 B.3 C.4 D.6 11. (2016?宜宾模拟)已知函数 f(x)是定义域为 R 的函数,且 f(x)=﹣f(x+ ) ,f(﹣ 2)=f(﹣1)=﹣1,f(0)=2,则 f(1)+f(2)+…+f(2016)=( A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.2 二.解答题(共 19 小题) 12. (2016 春?大丰市校级期中)已知函数 f(x)=a﹣ . )

(1)判断 f(x)的单调性并用定义法证明; (2)确定 a 的值,使 f(x)为奇函数; (3)当 f(x)为奇函数时,求 f(x)的值域. 13. (2016?江西模拟)已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,且对任意的正实数 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y) ,且当 x>1 时,f(x)>0,f(4)=1, (1)求证:f(1)=0; (2)求 f( ) ;

(3)解不等式 f(x)+f(x﹣3)≤1. 14. (2016?上海校级模拟)已知 f(x) ,x∈R 是有界函数,即存在 M>0 使得|f(x)|≤M 恒成立. (1)F(x)=f(x+1)﹣f(x)是有界函数,则 f(x) ,x∈R 是否是有界函数?说明理由; (2)判断 f1(x)= ,f2(x)=9 ﹣2?3 是否是有界函数?
x x

(3)有界函数 f(x) ,x∈R 满足 f(x+ )+f(x+ )=f(x)+f(x+ 否是周期函数,请说明理由.

) ,f(x) ,x∈R 是

15. (2016?镇江一模)已知函数 f(x)=a (a>0,a≠1)满足 f(x+y)=f(x)?f(y) , 且 f(3)=8. (1)求实数 a,b 的值; (2)若不等式|x﹣1|<m 的解集为(b,a) ,求实数 m 的值. 2 16. (2016?浙江二模)设函数 f(x)=ax +b,其中 a,b 是实数. (Ⅰ)若 ab>0,且函数 f[f(x)]的最小值为 2,求 b 的取值范围; (Ⅱ)求实数 a,b 满足的条件,使得对任意满足 xy=l 的实数 x,y,都有 f(x)+f(y)≥f (x)f(y)成立.

x+b

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17. (2016 春?承德校级期末)若 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切 x,y>0, 满足 f( )=f(x)﹣f(y) (1)求 f(1)的值, (2)若 f(6)=1,解不等式 f(x+3)﹣f( )<2. 18. (2016 春?定州市期末)已知函数 f(x)的定义域是{x|x≠0}的一切实数,对定义域内 的任意 x1,x2 都有 f(x1?x2)=f(x1)+f(x2) ,且当 x>1 时,f(x)<0,f(2)=﹣1. (1)求证:f(x)是偶函数; (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是减函数; 2 (3)解不等式 f(x ﹣1)<2. 19. (2016 春?抚顺期末)已知定义在(0,+∞)上的函数 f(x)对任意正实数 x、y 恒有①f (2)=1;②当 x>1 时,f(x)>0;③f( )=f(x)﹣f(y) . (1)试判断函数 f(x)的单调性; (2)若 f(t)+f(t﹣3)≤2,试求 t 的取值范围. 20. (2016 春?兴庆区校级期末)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对于任意实数 x,恒 有 f(x+2)=﹣f(x) .当 x∈[0,2]时,f(x)=2x﹣x . (1)求 f(x)的最小正周期; (2)x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2015)的值. 21. (2016 春?南宁校级期中)已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f( )=f
2

(x1)﹣f(x2) ,且当 x>1 时,f(x)<0. (1)求 f(1)的值; (2)判断并证明 f(x)的单调性; (3)若 f(3)=﹣1,求 f(x)在[2,9]上的最小值. 22. (2016 春?大庆校级期末)定义在 R 上的增函数 y=f(x)对任意 x,y∈R 都有 f(x+y) =f(x)+f(y) . (1)求 f(0) ; (2)求证:f(x)为奇函数; x x x (3)若 f(k?3 )+f(3 ﹣9 ﹣4)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围. 23. (2016 春?东台市校级月考)如果函数 f(x)的定义域为{x|x>0},且 f(x)为增函数, f(x?y)=f(x)+f(y) . (I)求 f(1)的值; (II)求证: ;

(Ⅲ)已知 f(3)=1,且 f(a)>f(a﹣1)+2,求 a 的取值范围. 24. (2016 春?永川区校级期中)已知函数 f(x)对任意实数 x,y 恒有 f(x)=f(y)+f(x ﹣y) ,当 x>0 时,f(x)<0,且 f(2)=﹣3. (Ⅰ)求 f(0) ,并判断函数 f(x)的奇偶性; (Ⅱ)证明:函数 f(x)在 R 上的单调递减;

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(Ⅲ)若不等式 f(2 ﹣3)﹣f(﹣2 )<f(k?2 )+6 在区间(﹣2,2)内恒成立,求实数 k 的取值范围. 25. (2016 春?德州校级期中)已知函数 f(x)的定义域是(0,+∞) ,当 x>1 时,f(x)> 0,且 f(x?y)=f(x)+f(y) (1)求 f(1) ; (2)证明:f(x)在定义域上是增函数; (3)如果 f( )=﹣1,求满足不等式 f(x)﹣f(x﹣2)≥2 的 x 的取值范围. 26. (2016 春?淮安校级期中)函数 f(x)的定义域为(0,+∞)且对一切 x>0,y>0,都 有 =f(x)﹣f(y) ,当 x>1 时,有 f(x)>0.

x

2x

x

(1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性并证明; (3)若 f(6)=1,解不等式 f(x+5)﹣f .

27. (2016 春?长春校级期中)定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x) ,总有 f(mn) =f(m)f(n) ,且 f(x)>0,当 x>1 时,f(x)>1. (1)求 f(1) ,f(﹣1)的值; (2)判断函数的奇偶性,并证明; (3)判断函数在(0,+∞)上的单调性,并证明. 28. (2016 春?长春校级期中)定义在 R 上函数 f(x) ,且 f(x)+f(﹣x)=0,当 x<0 时, f(x)=( ) ﹣8×( ) ﹣1 (1)求 f(x)的解析式; (2)当 x∈[1,3]时,求 f(x)的最大值和最小值. 29. (2016 春?鞍山校级期中)定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足条件:f(xy)=f(x) f(y)对所有正实数 x,y 成立,且 f(2)=4,当 x>1 时有 f(x)>1 成立. (Ⅰ)求 f(1)和 f(8)的值; (Ⅱ)证明:函数 f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数; (Ⅲ)解关于 x 的不等式:16f( )≥f(x﹣3)
x x

30. (2016 春?高安市校级期中)已知函数 f(x)为定义域在(0,+∞)上的增函数,且满 足 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y) (1)求 f(1) ,f(4)的值. (2)如果 f(x)﹣f(x﹣3)<2,求 x 的取值范围.

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2016 年 10 月 05 日 2586 的高中数学组卷
参考答案与试题解析

一.选择题(共 11 小题) 1. (2016?陕西二模)若 f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数,? x1,x2∈[0,+∞) (x1 ≠x2) ,有 ,则( )

A.f(3)<f(1)<f(﹣2) B.f(1)<f(﹣1)<f(3) C. f (﹣2) <f (1) <f (3) D.f(3)<f(﹣2)<f(1) 【解答】解:∵? x1,x2∈[0,+∞) (x1≠x2) ,有 ∴当 x≥0 时函数 f(x)为减函数, ∵f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数, ∴f(3)<f(2)<f(1) , 即 f(3)<f(﹣2)<f(1) , 故选:D ,

2. (2016?惠州三模)已知函数 f(x)是偶函数,当 x>0 时, 上,下列函数中与 f(x)的单调性相同的是( 2 A.y=﹣x +1 B.y=|x+1| C.y=e
|x|

,则在(﹣2,0)



D.

【解答】解:∵f(x)是偶函数,当 x>0 时,



∴当 x>0 时函数 f(x)为增函数, 则在(﹣2,0)上 f(x)为减函数, 2 A.在(﹣2,0)上 y=﹣x +1 为增函数,不满足条件. B.y=|x+1|在(﹣∞,﹣1)上是减函数,在(﹣2,0)上不单调,不满足条件. C.f(x)在(﹣2,0)上是单调递减函数,满足条件. 3 D.当 x<0 时,f(x)=x +1 是增函数,不满足条件. 故选:C 3. (2016?湖北模拟)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上递减,若不等式 f(﹣ 3 3 ax+x +1)+f(ax﹣x ﹣1)≥2f(1)对 x∈(0, ]恒成立,则实数 a 的取值范围为( ) A.[2,4] B.[2,+∞) C.[3,4] D.[2,3] 【解答】解:由题意可得定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上递减,f(x)在(﹣∞, 0]上递增, 且偶函数 f(x)的图象关于 y 轴对称.

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∵不等式 f(﹣ax+x +1)+f(ax﹣x ﹣1)≥2f(1)对 x∈(0, 3 =f(ax﹣x ﹣1) , 3 ∴f(﹣ax+x +1)≥f(1)对 x∈(0, ]恒成立, 3 ∴﹣1≤﹣ax+x +1≤1 对 x∈(0, ]恒成立, 即 x∈(0,
2

3

3

]恒成立,f(﹣ax+x +1)

3

]时,a≤x +

2

和 a≥x 同时恒成立.

2

令 h(x)=x + ,∵由 h′(x)=2x﹣ 在(0,1)上,h′(x)<0,在(1, ∴a≤3 ①.
2

=

=0,求得 x=1,

]上,h′(x)>0,故 h(x)的最小值为 h(1)=3,

再根据 x∈(0, ]时,a≥x 恒成立,∴a≥2 ②. 结合①②可得,2≤a≤3. 故选:D 4. (2016?江门模拟)已知 f(x) ,g(x)都是定义在 R 上的函数,且满足以下条件:①f (x)=a ?g(x) (a>0,且 a≠1) ;②g(x)≠0;③f(x)?g′(x)>f′(x)?g(x) .若 ,则 a 等于( A. B.2 C. D.2 或 得 . , )
x

【解答】解:由 所以

又由 f(x)?g'(x)>f'(x)?g(x) ,即 f(x)g'(x)﹣f'(x)g(x)>0,也就是 ,说明函数 是减函数,

即 故选 A.

,故



5. (2016?银川校级一模)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=﹣f(x) ,若 f(﹣ 1)>﹣2,f(﹣7)= A. ,则实数 a 的取值范围为( B. (﹣2,1) C. D. )

【解答】解:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+2)=﹣f(x) , ∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x) ,函数的周期为 4,则 f(﹣7)=f(8﹣7)=f(1)=﹣f(﹣1) , 又 f(﹣1)>﹣2,f(﹣7)= ∴﹣ >﹣2,即 =﹣f(﹣1) , ,即
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解得 a∈ 故选:D.



6. (2016?太原三模)函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且满足 f(x+2)=f(x) .当 x∈ [0,1]时,f(x)=2x.若在区间[﹣2,3]上方程 ax+2a﹣f(x)=0 恰有四个不相等的实数 根,则实数 a 的取值范围是( ) A. ( , ) B. ( , ) C. ( ,2) D. (1,2)

【解答】解:若在区间[﹣2,3]上方程 ax+2a﹣f(x)=0 恰有四个不相等的实数根,等价为 f(x)=a(x+2)有四个不相等的实数根, 即函数 y=f(x)和 g(x)=a(x+2) ,有四个不相同的交点, ∵f(x+2)=f(x) ,∴函数的周期是 2, 当﹣1≤x≤0 时,0≤﹣x≤1,此时 f(﹣x)=﹣2x, ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(﹣x)=﹣2x=f(x) , 即 f(x)=﹣2x,﹣1≤x≤0, 作出函数 f(x)和 g(x)的图象, 当 g(x)经过 A(1,2)时,两个图象有 3 个交点,此时 g(1)=3a=,解得 a= 当 g(x)经过 B(3,2)时,两个图象有 5 个交点,此时 g(3)=5a=2,解得 a= , 要使在区间[﹣2,3]上方程 ax+2a﹣f(x)=0 恰有四个不相等的实数根, 则 故选:A ,

7. (2016?荆州模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=f(1﹣x)且在[1,+∞) 上是增函数,不等式 f(ax+2)≤f(x﹣1)对任意 x∈[ ,1]恒成立,则实数 a 的取值范围 是( ) A.[﹣3,﹣1] B.[﹣2,0] C.[﹣5,﹣1] D.[﹣2,1] 【解答】解:定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=f(1﹣x)且在[1,+∞)上是增函数, 可得出函数图象关于 x=1 对称,且函数在(﹣∞,1)上减,由此得出自变量离 1 越近,函 数值越小,
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综合考虑四个选项,四个选项中的集合中都有﹣1,0 不存在于 A,C 两个选项的集合中,B 中集合是 D 中集合的子集,故可通过验证 a 的值取 0 与 1 时两种情况得出正确选项. 当 a=0 时,不等式 f(ax+2)≤f(x﹣1)变为 f(2)≤f(x﹣1) ,有函数 f(x)图象特征可 得出|2﹣1|≤|x﹣1﹣1|,解得 x≥3 或 x≤1,满足,不等式 f(ax+2)≤f(x﹣1)对任意 x ∈[ ,1]恒成立,由此排除 A,C 两个选项. 当 a=1 时,不等式 f(ax+2)≤f(x﹣1)变为 f(x+2)≤f(x﹣1) ,有函数 f(x)图象特征 可得出|x+2﹣1|≤|x﹣1﹣1|,解得 x≤ ,不满足不等式 f(ax+2)≤f(x﹣1)对任意 x∈ [ ,1]恒成立,由此排除 D 选项. 综上可知,B 选项是正确的. 故选 B. 8. (2016?枣庄模拟)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2+x)=f(﹣x) ,且在[1,+∞)上 为减函数,若 f(1﹣m)<f(m) ,则实数 m 的取值范围是( ) A. ( ,+∞) B. (﹣∞, ) C. (﹣∞,﹣ ) D. (﹣∞,﹣ )∪( ,+∞)

【解答】解:函数 f(x)满足 f(2+x)=f(﹣x) , ∴f(x)=f(﹣x+2) , ∴f(x+1)=f(1﹣x) , ∴函数 f(x)关于 x=1 对称, ∵在[1,+∞)上为减函数, ∴在(﹣∞,1)上为增函数, ∵f(1﹣m)<f(m) , ∴|m﹣1|<|1﹣m﹣1|, ∴m> . 故选 A. 9. (2016?泰安一模)奇函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)为偶函数,且 f(1)=2,则 f(4)+f(5)的值为( ) A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣2 【解答】解:∵f(x+1)为偶函数,f(x)是奇函数, ∴设 g(x)=f(x+1) , 则 g(﹣x)=g(x) , 即 f(﹣x+1)=f(x+1) , ∵f(x)是奇函数, ∴f(﹣x+1)=f(x+1)=﹣f(x﹣1) , 即 f(x+2)=﹣f(x) ,f(x+4)=f(x+2+2)=﹣f(x+2)=f(x) , 则 f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1)=2, ∴f(4)+f(4)=0+2=2, 故选:A.

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10. (2016?河南模拟)已知定义在 R 上的偶函数 y=f(x)满足 f(x+4)=f(x) ,当 x∈[4, 5]时,f(x)=x+1,则 f(103)=( ) A.2 B.3 C.4 D.6 【解答】解:∵定义在 R 上的偶函数 y=f(x)满足 f(x+4)=f(x) , ∴f(x)为周期为 4 的周期函数, ∴f(103)=f(26×4﹣1)=f(﹣1)=f(1)=f(1+4)=f(5) , ∵当 x∈[4,5]时,f(x)=x+1, ∴f(5)=5+1=6, 故选:D. 11. (2016?宜宾模拟)已知函数 f(x)是定义域为 R 的函数,且 f(x)=﹣f(x+ ) ,f(﹣ 2)=f(﹣1)=﹣1,f(0)=2,则 f(1)+f(2)+…+f(2016)=( A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.2 【解答】解:∵f(x)=﹣f(x+ ) , ∴f(x+ )=﹣f(x+3) ,f(x)=f(x+3) , ∴f(x)是以 3 为周期的函数; 又 f(1)=f(﹣2+3)=f(﹣2)=﹣1,f(2)=f(﹣1+3)=f(﹣1)=﹣1,f(3)=f(0+3) =f(0)=2, ∴f(1)+f(2)+f(3)=0,同理,f(4)+f(5)+f(6)=0,… ∴f(1)+f(2)+…+f(2015)+f(2016) =0 故选 C. 二.解答题(共 19 小题) 12. (2016 春?大丰市校级期中)已知函数 f(x)=a﹣ (1)判断 f(x)的单调性并用定义法证明; (2)确定 a 的值,使 f(x)为奇函数; (3)当 f(x)为奇函数时,求 f(x)的值域. 【解答】解: (1)f(x)的定义域为 R,设 x1<x2,则: = ∵x1<x2; ∴ ∴ ; ; ; . )

∴f(x1)<f(x2) ; ∴f(x)在 R 上单调递增; (2)∵f(x)定义域为 R;
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∴若 f(x)为奇函数,则:f(0)= ∴ ;



(3)f(x)为奇函数时,a= ; ∴ ∵2 +1>1; ∴ ∴ ∴ ∴f(x)的值域为 ; ; ; .
x



13. (2016?江西模拟)已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,且对任意的正实数 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y) ,且当 x>1 时,f(x)>0,f(4)=1, (1)求证:f(1)=0; (2)求 f( ) ;

(3)解不等式 f(x)+f(x﹣3)≤1. 【解答】解: (1)证明:令 x=4,y=1,则 f(4)=f(4×1)=f(4)+f(1) . ∴f(1)=0. (2)f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(1)=f( 故 f( )=﹣2. ×16)=f( )+f(16)=0,

(3)设 x1,x2>0 且 x1>x2,于是 f(

)>0,

∴f(x1)=f(

×x2)=f(

)+f(x2)>f(x2) .

∴f(x)为 x∈(0,+∞)上的增函数. 又∵f(x)+f(x﹣3)=f[x(x﹣3)]≤1=f(4) ,



? 3<x≤4.

∴原不等式的解集为{x|3<x≤4}.

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14. (2016?上海校级模拟)已知 f(x) ,x∈R 是有界函数,即存在 M>0 使得|f(x)|≤M 恒成立. (1)F(x)=f(x+1)﹣f(x)是有界函数,则 f(x) ,x∈R 是否是有界函数?说明理由; (2)判断 f1(x)= ,f2(x)=9 ﹣2?3 是否是有界函数?
x x

(3)有界函数 f(x) ,x∈R 满足 f(x+ )+f(x+ )=f(x)+f(x+

) ,f(x) ,x∈R 是

否是周期函数,请说明理由. 【解答】解: (1)否,反例:f(x)=x,F(x)=f(x+1)﹣f(x)=1 有界,但 f(x)=x 无 界. (2)当 x=0 时,f1(x)=0, 当 x≠0 时,f1(x)= ,

当 x>0 时,x+ ﹣2≥2 当 x<0 时, x+ ﹣2≤﹣2 综上 f1(x)∈[
x x x

﹣2=2

﹣2,此时 f1(x)∈(0, ﹣2=﹣2 ﹣2, 此时 f1 (x) ∈[

], , 0) ,


2

],有界,

f2(x)=9 ﹣2?3 =(3 ﹣1) ﹣1≥﹣1,则|f2(x)|≥0,则 f2(x)无界. (3) ∴ , , 综上 , ,

∴f(x+1)﹣f(x)=f(x+2)﹣f(x+1) ∴f(x+n)=f(x)+n(f(x+1)﹣f(x) ) ,∵f(x)有界,∴f(x)=f(x+1) ,是周期函数. 15. (2016?镇江一模)已知函数 f(x)=a (a>0,a≠1)满足 f(x+y)=f(x)?f(y) , 且 f(3)=8. (1)求实数 a,b 的值; (2)若不等式|x﹣1|<m 的解集为(b,a) ,求实数 m 的值. 【解答】解: (1)∵函数 f(x)=a (a>0,a≠1)满足 f(x+y)=f(x)?f(y) ,且 f(3) =8. ∴a =a ?a =a ,即 x+y+b=x+y+2b,则 b=0, x 即 f(x)=a , ∵f(3)=8, 3 ∴f(3)=a =8,得 a=2,
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x+y+b x+b y+b x+y+2b x+b x+b

即实数 a,b 的值为 a=2,b=0; (2)∵a=2,b=0,∴不等式|x﹣1|<m 的解集为(0,2) , 则 m>0, 由|x﹣1|<m 得 1﹣m<x<1+m, 由 ,得 m=1.
2

16. (2016?浙江二模)设函数 f(x)=ax +b,其中 a,b 是实数. (Ⅰ)若 ab>0,且函数 f[f(x)]的最小值为 2,求 b 的取值范围; (Ⅱ)求实数 a,b 满足的条件,使得对任意满足 xy=l 的实数 x,y,都有 f(x)+f(y)≥f (x)f(y)成立. 【解答】解: (Ⅰ)∵f(x)=ax +b, 3 4 2 2 2 ∴f[f(x)]=a x +2a bx +ab +b, 2 设 t=x , 当 ab>0,且二次函数 y=a t +2a bt+ab +b 的对称轴 t=﹣ <0, 当 a<0 时,不满足条件. ∴a>0,b>0, 2 当 t=0 时,函数 f[f(x)]取得最小值,即 ab +b=2, 从而 ab= 0,得 0<b<2,
32 2 2 2

即 b 的取值范围是(0,2) ; (Ⅱ)∵xy=l,∴y= , 则由 f(x)+f(y)≥f(x)f(y)得 f(x)+f( )≥f(x)f( ) , 即 a(x + 令 t=x +
2 2

)+2b≥ab(x + ,则 t≥2,
2 2

2

)+a +b ,

2

2

则 a(1﹣b)t≥a +b ﹣2b 恒成立, 需要 a(1﹣b)≥0, 此时 y=a(1﹣b)t 在[2,+∞)上为增函数, 2 2 ∴2a(1﹣b)≥a +b ﹣2b, 2 即(a+b) ﹣2(a+b)≤0,得 0≤a+b≤2, 则实数 a,b 满足的条件为 .

17. (2016 春?承德校级期末)若 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切 x,y>0, 满足 f( )=f(x)﹣f(y) (1)求 f(1)的值, (2)若 f(6)=1,解不等式 f(x+3)﹣f( )<2.
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【解答】解: (1)在 f( )=f(x)﹣f(y)中, 令 x=y=1,则有 f(1)=f(1)﹣f(1) , ∴f(1)=0; (2)∵f(6)=1,∴2=1+1=f(6)+f(6) , ∴不等式 f(x+3)﹣f( )<2 等价为不等式 f(x+3)﹣f( )<f(6)+f(6) , ∴f(3x+9)﹣f(6)<f(6) , 即 f( )<f(6) ,

∵f(x)是(0,+∞)上的增函数, ∴ ,解得﹣3<x<9,

即不等式的解集为(﹣3,9) . 18. (2016 春?定州市期末)已知函数 f(x)的定义域是{x|x≠0}的一切实数,对定义域内 的任意 x1,x2 都有 f(x1?x2)=f(x1)+f(x2) ,且当 x>1 时,f(x)<0,f(2)=﹣1. (1)求证:f(x)是偶函数; (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是减函数; (3)解不等式 f(x ﹣1)<2. 【解答】解: (1)由题意知,对定义域内的任意 x1,x2 都有 f(x1?x2)=f(x1)+f(x2) , 令 x1=1,x2=﹣1,代入上式得 f(﹣1)=f(﹣1)+f(1) ,解得 f(1)=0, 令 x1=﹣1,x2=﹣1,得,f(1)=f(﹣1)+f(﹣1)=0,解得 f(﹣1)=0, 令 x1=﹣1,x2=x 代入上式,∴f(﹣x)=f(﹣1?x)=f(﹣1)+f(x)=f(x) , ∴f(x)是偶函数. (2)y=f(x)在(0,+∞)上的单调递减. 证明:设 x1,x2 是(0,+∞)任意两个变量,且 x1<x2,设 x2=tx1, (t>1) , 则 f(x1)﹣f(x2)=f(x1)﹣f(tx1)=f(x1)﹣f(x1)﹣f(t)=﹣f(t) ∵当 x>1 时,f(x)<0; ∴f(t)<0,即 f(x1)﹣f(x2)=﹣f(t)>0, ∴f(x1)>f(x2) , 即 y=f(x)在(0,+∞)上的单调递减. (3)∵f(2)=﹣1,∴令 x1=2,x2= ,则 f(2× )=f(2)+f( )=f(1)=0, 则 f( )=﹣f(2)=﹣(﹣1)=1. f( )=f( × )=f( )+f( )=2f( )=2×1=2. 则不等式 f(x ﹣1)<2 等价为不等式 f(x ﹣1)<f( ) , ∵f(x)在(0,+∞)上是减函数且函数 f(x)是偶函数,
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2 2 2

∴x ﹣1<﹣ 或 x ﹣1> , 即x < 或x > , 即﹣ <x< 或 x> 或 x<﹣ <x< , 或 x> 或 x<﹣ }.
2 2

2

2

即不等式的解集为{x|﹣

19. (2016 春?抚顺期末)已知定义在(0,+∞)上的函数 f(x)对任意正实数 x、y 恒有①f (2)=1;②当 x>1 时,f(x)>0;③f( )=f(x)﹣f(y) . (1)试判断函数 f(x)的单调性; (2)若 f(t)+f(t﹣3)≤2,试求 t 的取值范围. 【解答】解: (1)任取 x1,x2∈(0,+∞) ,且 x1<x2 则 >1,故 f( )>0,即 f(x2)﹣f(x1)>0 (3 分)

∴f(x2)>f(x1) 所以 f(x)为(0,+∞)上的增函数. (2)∵f(2)=f( )=f(4)﹣f(2) ∴f(4)=2f(2)=2 从而 f(t)+f(t﹣3)≤f(4) 即 f(t)≤f( ) ,

(5 分)

∵f(x)为(0,+∞)上的增函数,



(8 分)

解得 3<t≤4 故 t 的取值范围是(3,4](12 分) 20. (2016 春?兴庆区校级期末)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对于任意实数 x,恒 2 有 f(x+2)=﹣f(x) .当 x∈[0,2]时,f(x)=2x﹣x . (1)求 f(x)的最小正周期; (2)x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2015)的值. 【解答】解: (1)∵f(x+2)=﹣f(x) , ∴f(x﹣2+2)=﹣f(x﹣2) ,即 f(x)=﹣f(x﹣2) , 又 f(x)=﹣f(x+2) , ∴f(x+2)=f(x﹣2) ,
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∴f(x)=f(x+4) . ∴f(x)的最小正周期是 4. (2)∵f(x)是奇函数,且 x=[0,2]时,f(x)=2x﹣x , ∴当 x∈[﹣2,0]时,﹣x∈[0,2]. 2 ∴f(x)=﹣f(﹣x)=x +2x(x∈[﹣2,0]) . ∴当 x∈[2,4]时,x﹣4∈[﹣2,0], ∴f(x﹣4)=(x﹣4) +2(x﹣4)=x ﹣6x+8, 又 T=4,∴f(x)=f(x﹣4) , 2 ∴f(x)=x ﹣6x+8(x∈[2,4]) . (3)∵T=4, ∴f(4k)=f(0)=0,f(4k+1)=f(1)=1,f(4k+2)=f(2)=0,f(4k+3)=f(3)=﹣1.k ∈N. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2015)=f(2013)+f(2014)+f(2015)=f(1)+f(2)+f(3) =0.
2 2 2

21. (2016 春?南宁校级期中)已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f( (x1)﹣f(x2) ,且当 x>1 时,f(x)<0. (1)求 f(1)的值; (2)判断并证明 f(x)的单调性; (3)若 f(3)=﹣1,求 f(x)在[2,9]上的最小值. 【解答】解: (1)∵定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f( ∴当 x1=x2 时,f(1)=0. (2)f(x)是减函数. 证明:设 x1>x2,则 f(x1)﹣f(x2)=f( ) ,

)=f

)=f(x1)﹣f(x2) ,

∵x1>x2,∴

>1,

∵当 x>1 时,f(x)<0, ∴f(x1)﹣f(x2)<0, ∴f(x)在区间(0,+∞)是减函数. (3)∵f(1)=0,f(3)=﹣1, ∴f( )=f(1)﹣f(3)=0﹣(﹣1)=1, ∴f(9)=f(3 )=f(3)﹣f( )=﹣1﹣1=﹣2,

∵f(x)在区间(0,+∞)是减函数, ∴f(x)在[2,9]上的最小值为 f(9)=﹣2.

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22. (2016 春?大庆校级期末)定义在 R 上的增函数 y=f(x)对任意 x,y∈R 都有 f(x+y) =f(x)+f(y) . (1)求 f(0) ; (2)求证:f(x)为奇函数; x x x (3)若 f(k?3 )+f(3 ﹣9 ﹣4)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围. 【解答】解: (1)令 x=y=0,得 f(0+0)=f(0)+f(0) ,即 f(0)=0. (2)证明:令 y=﹣x,则 f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x)=0, 即 f(﹣x)=﹣f(x) ,∴函数 f(x)是奇函数. (3)又函数 f(x)在 R 上的是单调递增函数, x x x 由 f(k?3 )+f(3 ﹣9 ﹣4)<0, x x x x x 得 f(k?3 )<﹣f(3 ﹣9 ﹣4)=f(﹣3 +9 +4) , x x x 即 k?3 <﹣3 +9 +4 恒成立, ∴k< =3 +
x

﹣1,

∵3 +

x

﹣1≥2
x

﹣1=4﹣1=3,

当且仅当 3 =

,即 x=log32 时取等号,

∴k<3, 即实数 k 的取值范围是(﹣∞,3) . 23. (2016 春?东台市校级月考)如果函数 f(x)的定义域为{x|x>0},且 f(x)为增函数, f(x?y)=f(x)+f(y) . (I)求 f(1)的值; (II)求证: ;

(Ⅲ)已知 f(3)=1,且 f(a)>f(a﹣1)+2,求 a 的取值范围. 【解答】解: (I)f(x?y)=f(x)+f(y)令 x=y=1 则 f(1)=f(1)+f(1) ,解得 f(1)=0 (II)∵对一切 x,y>0 满足 f(x)+f(y)=f(x?y) , ∴f( )+f(y)=f( ×y)=f(x) 因此,满足 f( )=f(x)﹣f(y) , (III)∵f(3)=1,∴2=f(3)+f(3)=f(9) ; ∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数, ∴f(a)>f(a﹣1)+2,则 f(a)>f(a﹣1)+f(9)=f[(a﹣1)?9]



解得:1<a< ,

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故 a 的取值范围(1, )

24. (2016 春?永川区校级期中)已知函数 f(x)对任意实数 x,y 恒有 f(x)=f(y)+f(x ﹣y) ,当 x>0 时,f(x)<0,且 f(2)=﹣3. (Ⅰ)求 f(0) ,并判断函数 f(x)的奇偶性; (Ⅱ)证明:函数 f(x)在 R 上的单调递减; (Ⅲ)若不等式 f(2 ﹣3)﹣f(﹣2 )<f(k?2 )+6 在区间(﹣2,2)内恒成立,求实数 k 的取值范围. 【解答】 (Ⅰ)解:令 x=y=0,可得 f(0)=f(0)+f(0) ,解得 f(0)=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣(2 分) 令 x=0,可得 f(0)=f(y)+f(﹣y) ,即 f(﹣y)=﹣f(y) 故 f(x)为奇函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) (Ⅱ)证明:任取 x1,x2∈R,且 x1<x2, 则 f(x2)﹣f(x1)=f(x2﹣x1) ∵x1<x2,∴x2﹣x1>0,∴f(x2﹣x1)<0 ∴f(x2)﹣f(x1)<0,f(x2)<f(x1) , 故函数 f(x)在 R 上为减函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) (Ⅲ)解:∵f(2)=﹣3, ∴f(4)=f(2)+f(2)=﹣6,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) ∵不等式 f(2 ﹣3)﹣f(﹣2 )<f(k?2 )+6 在区间(﹣2,2)内恒成立﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣(11 分) ∴f(2 ﹣3+2 )<f(k?2 ﹣4)在区间(﹣2,2)内恒成立. ∵函数 f(x)在 R 上为减函数, ∴2 ﹣3+2 >k?2 ﹣4 在区间(﹣2,2)内恒成立 x ﹣x ∴k<2 +2 +1 在区间(﹣2,2)内恒成立, ∵x∈(﹣2,2) ,∴2 +2 ∈[2,
x
﹣x

x

2x

x

x

2x

x

x

2x

x

x

2x

x

) ,

∴k<2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 25. (2016 春?德州校级期中)已知函数 f(x)的定义域是(0,+∞) ,当 x>1 时,f(x)> 0,且 f(x?y)=f(x)+f(y) (1)求 f(1) ; (2)证明:f(x)在定义域上是增函数; (3)如果 f( )=﹣1,求满足不等式 f(x)﹣f(x﹣2)≥2 的 x 的取值范围. 【解答】 (1)解:∵f(x?y)=f(x)+f(y) , ∴f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1)=2f(1) , ∴f(1)=0. (2)证明:设 x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2,则 >1,

∴f(

)>0,
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∴f(x1)﹣f(x2)=f(x1)﹣f( ∴f(x1)<f(x2) , ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.

?x1)=f(x1)﹣f(

)﹣f(x1)=﹣f(

)<0

(3)解:令 x= ,y=1 得,f( ×1)=f( )+f(1) ,∴f(1)=0. 令 x=3,y= 得,f(1)=f(3× )=f(3)+f( ) , ∵f( )=﹣1,∴f(3)=1. 令 x=y=3 得,f(9)=f(3)+f(3)=2, ∴f(x)﹣f(x﹣2)≥f(9) ,f(x)≥f(9x﹣18)





解得 2<x≤ .

26. (2016 春?淮安校级期中)函数 f(x)的定义域为(0,+∞)且对一切 x>0,y>0,都 有 =f(x)﹣f(y) ,当 x>1 时,有 f(x)>0.

(1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性并证明; (3)若 f(6)=1,解不等式 f(x+5)﹣f 【解答】解: (1)∵对一切 x>0,y>0,都有 ∴令 x=y=1.则 f(1)=f(1)﹣f(1)=0; (2)f(x)在定义域(0,+∞)上是增函数. 理由如下:令 0<x1<x2,则 >1,当 x>1 时,有 f(x)>0. . =f(x)﹣f(y) ,

∴f(

)>0,即 f(x2)﹣f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1) ,

则 f(x)在定义域(0,+∞)上递增; (3)若 f(6)=1,则 f(6)=f( ∴f(x+5)﹣f )=f(36)﹣f(6) ,f(36)=2f(6)=2,

即 f[x(x+5)]<f(36) ,

∵f(x)在定义域(0,+∞)上是增函数, ∴0<x(x+5)<36,
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∴x>0 且﹣9<x<4, ∴0<x<4. 故原不等式的解集为(0,4) . 27. (2016 春?长春校级期中)定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x) ,总有 f(mn) =f(m)f(n) ,且 f(x)>0,当 x>1 时,f(x)>1. (1)求 f(1) ,f(﹣1)的值; (2)判断函数的奇偶性,并证明; (3)判断函数在(0,+∞)上的单调性,并证明. 【解答】解: (1)令 m=n=1,则有 f(1)=f(1)f(1) , 又 f(x)>0,则 f(1)=1(2 分) 令 m=n=﹣1,则有 f(1)=f(﹣1)f(﹣1) , 又 f(1)=1,f(x)>0,则 f(﹣1)=1; (4 分) (2)证明:定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) , 令 m=x,n=﹣1,则有 f(﹣x)=f(x)f(﹣1)=f(x) , 所以 f(x)为偶函数; (7 分) (3)证明:? x1,x2∈(0,+∞) ,且 x1>x2(8 分) 令 mn=x1,m=x2,则 ,

所以



又 f(x)>0, 而当 x>1 时,f(x)>1, 所以 ,即

,由 x1>x2>0,则





又 f(x)>0,所以 f(x1)>f(x2) , 所以函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数. (12 分) 28. (2016 春?长春校级期中)定义在 R 上函数 f(x) ,且 f(x)+f(﹣x)=0,当 x<0 时, f(x)=( ) ﹣8×( ) ﹣1 (1)求 f(x)的解析式; (2)当 x∈[1,3]时,求 f(x)的最大值和最小值. 【解答】解: (1)f(x)+f(﹣x)=0,则函数 f(x)是奇函数,则 f(0)=0, (2 分) 当 x>0 时,﹣x<0,则 所以 , , (5 分)
x x

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所以

. (6 分)

(2)令 t=2 ,则 t∈[2,8],y=﹣t +8t+1t∈[2,8], (10 分) 对称轴为 t=4∈[2,8], 当 t=4,即 x=2,f(x)max=﹣16+32+1=17; (11 分) 当 t=8,即 x=3,f(x)min=﹣64+64+1=1. (12 分) 29. (2016 春?鞍山校级期中)定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足条件:f(xy)=f(x) f(y)对所有正实数 x,y 成立,且 f(2)=4,当 x>1 时有 f(x)>1 成立. (Ⅰ)求 f(1)和 f(8)的值; (Ⅱ)证明:函数 f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数; (Ⅲ)解关于 x 的不等式:16f( )≥f(x﹣3)

x

2

【解答】 (Ⅰ)解:∵f(xy)=f(x)f(y) ,∴f(1×2)=f(1)f(2) , ∵f(2)=4,∴f(1)=1, f(4)=f(2)f(2)=16,f(8)=f(2)f(4)=64; (Ⅱ)证明:设 x1>x2>0,则 ∵当 x>1 时有 f(x)>1 成立, ∴f( )>1, >1,

∴f(x1)=f(x2?

)=f(x2)f(

)>f(x2)

∴函数 f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数; (Ⅲ)解:16f( )≥f(x﹣3)可化为 f(4× )≥f(x﹣3) ,

∵函数 f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数, ∴4× ≥x﹣3>0,

∴﹣1≤x≤ , ∴不等式的解集为{x|﹣1≤x≤ }.

30. (2016 春?高安市校级期中)已知函数 f(x)为定义域在(0,+∞)上的增函数,且满 足 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y) (1)求 f(1) ,f(4)的值. (2)如果 f(x)﹣f(x﹣3)<2,求 x 的取值范围.
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【解答】解: (1)∵f(xy)=f(x)+f(y) ,∴令 x=y=1,则 f(1)=2f(1) ,即 f(1)=0, 令 x=y=2,则 f(4)=2f(2)=2. (2)f(x)﹣f(x﹣3)<2 即 f(x)<f(x﹣3)+2, 即 f(x)<f(x﹣3)+f(4) ,即 f(x)<f(4x﹣12) , ∵函数 f(x)为定义域在(0,+∞)上的增函数,





∴x>4, 故 x 的取值范围是(4,+∞) .

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