当前位置:首页 >> 数学 >>

第三讲 柯西不等式与排序不等式


第一课时

3.1 二维形式的柯西不等式(一)

教学要求:认识二维柯西不等式的几种形式,理解它们的几何意义, 并会证明二维柯西不等式 及向量形式. 教学重点:会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点:理解几何意义. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问: 二元均值不等式有哪几种形式? 答案:

a?b ? ab (a ? 0, b ? 0) 及几种变式. 2

2. 练习:已知 a、b、c、d 为实数,求证 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 证法: (比较法) (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 =….= (ad ? bc)2 ? 0 二、讲授新课: 1. 教学柯西不等式: ① 提出定理 1:若 a、b、c、d 为实数,则 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 . → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号?

② 讨论:二维形式的柯西不等式的其它证明方法? 证法二: (综合法) (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? a2c2 ? a2 d 2 ? b2c2 ? b2 d 2

? (ac ? bd )2 ? (ad ? bc)2 ? (ac ? bd )2 .
证法三: (向量法)设向量

(要点:展开→配方)

?? (a, b) ,?

? (c, d ) ,? 与 ? 之间的夹角为 ? , 0 ? ? ? ? 。

根据向量内积的定义,我们有: ? ? ? ? 所以 ? ? ? ?

? ? cos?,

因为 cos ? ? 1 ,所以 ? ? ? ? ? ? , ? ? cos?,

所以 a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ?| ac | ? | bd | 证法四: (函数法)设 f ( x) ? (a2 ? b2 ) x2 ? 2(ac ? bd ) x ? c2 ? d 2 ,则

f ( x) ? (ax ? c)2 ? (bx ? d )2 ≥0 恒成立.
∴ ? ? [?2(ac ? bd )]2 ? 4(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ≤0,即 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2

③ 讨论:二维形式的柯西不等式的一些变式? 变式: a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ?| ac ? bd | 或 或 a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? ac ? bd . ④ 提出定理 2:设 ? , ? 是两个向量,则 | ? ?? |?| ? || ? | . 即柯西不等式的向量形式(由向量法提出 ) → 讨论:什么时候等号成立?( ? 是零向量,或者 ? , ? 共线) ⑤ 练习:已知 a、b、c、d 为实数,求证 a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ? (a ? c)2 ? (b ? d )2 . 证法: (分析法)平方 → 应用柯西不等式 2. 教学三角不等式: ① 出示定理 3:设 x1 , y1 , x2 , y2 ? R ,则 x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 . 分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式:若 x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 ? R ,则结合以上几何意义,可得到怎样的三角不等式? 3. 小结:二维柯西不等式的代数形式、向量形式;三角不等式的两种形式(两点、三点) 三、巩固练习: 1. 练习:试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式 → 讨论:其几何意义?(构造三角形)

a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ?| ac | ? | bd |

? ? ??

? ?? ?

? ? ? ?

??

? ? ??

第二课时

3.1 二维形式的柯西不等式(二)

教学要求:会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题,体会运用经典不等式的一般方法— —发现具体问题与经典不等式之间的关系,经过适当变形,依据经典不等式得到不等关系. 教学重点:利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点:如何变形,套用已知不等式的形式. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:二维形式的柯西不等式、三角不等式? 几何意义? 答案: (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 ; x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 2. 讨论:如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式,拓广到三维、四维? 3. 如何利用二维柯西不等式求函数 y ? x ? 1 ? 2 ? x 的最大值? 要点:利用变式 | ac ? bd |? a2 ? b2 ? c2 ? d 2 .

二、讲授新课: 1. 教学最大(小)值: ① 出示例 1:求函数 y ? 3 x ? 1 ? 10 ? 2 x 的最大值? 分析:如何变形? → 构造柯西不等式的形式 → 变式: y ? 3x ? 1 ? 10 ? 2 x → 板演

→ 推广: y ? a bx ? c ? d e ? fx ,(a, b, c, d , e, f ? R? )

② 练习:已知 3x ? 2 y ? 1 ,求 x 2 ? y 2 的最小值. 解答要点: (凑配法) x2 ? y 2 ?

1 2 1 1 ( x ? y 2 )(32 ? 22 ) ? (3x ? 2 y)2 ? . 13 13 13

讨论:其它方法 (数形结合法) 2. 教学不等式的证明: ① 出示例 2:若 x, y ? R? , x ? y ? 2 ,求证:

1 1 ? ? 2. x y

分析:如何变形后利用柯西不等式? (注意对比 → 构造) 要点:

1 1 1 1 1 1 1 1 2 ? ? ( x ? y)( ? ) ? [( x )2 ? ( y ) 2 ][( ) 2 ? ( ) ]? … x y 2 x y 2 x y

讨论:其它证法(利用基本不等式) ② 练习:已知 a 、 b ? R? ,求证: (a ? b)( ? ) ? 4 . 3. 练习: ① 已知 x, y, a, b ? R ? ,且

1 a

1 b

a b ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值. x y
→ 其它证法

a b 要点: x ? y ? ( ? )( x ? y ) ? …. x y

② 若 x, y, z ? R? ,且 x ? y ? z ? 1 ,求 x2 ? y 2 ? z 2 的最小值. (要点:利用三维柯西不等式) 变式:若 x, y, z ? R? ,且 x ? y ? z ? 1 ,求 x ? y ? z 的最大值. 4. 小结:比较柯西不等式的形式,将目标式进行变形,注意凑配、构造等技巧.

第三课时

3.2 一般形式的柯西不等式

教学要求:认识一般形式的柯西不等式,会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式,并应 用其解决一些不等式的问题. 教学重点:会证明一般形式的柯西不等式,并能应用. 教学难点:理解证明中的函数思想. 教学过程: 一、复习准备: 1. 练习: 2. 提问:二维形式的柯西不等式?如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维? 答案: (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 ; (a2 ? b2 ? c2 )(d 2 ? e2 ? f 2 ) ? (ad ? be ? cf )2 二、讲授新课: 1. 教学一般形式的柯西不等式: ① 提问:由平面向量的柯西不等式 | ? ?? |?| ? || ? | ,如果得到空间向量的柯西不等式及代数形 式? ② 猜想:n 维向量的坐标?n 维向量的柯西不等式及代数形式? 结论:设 a1 , a2 ,?, an , b1 , b2 ,?, bn ? R ,则

? ?? ?

? ? ? ?

(a12 ? a22 ? ?an 2 )(b12 ? b22 ? ? ? bn2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ?anbn )2
讨论:什么时候取等号?(当且仅当

a a1 a2 ? ? ? ? n 时取等号,假设 bi ? 0 ) b1 b2 bn

C ? b12 ? b22 ? ? ? bn2 , 联想: 设 B ? a1b1 ? a2b2 ? ?anbn ,A ? a12 ? a22 ? ?an 2 , 则有 B 2 ? AC ? 0 ,
可联想到一些什么? ③ 讨论:如何构造二次函数证明 n 维形式的柯西不等式? (注意分类)
2 2 2 2 要点:令 ( f x)( ? a12 ? a2 ? ??? ? an ) x2 ? 2(a1b1 ? a2b2 ? ??? ? anbn ) x ?(b12 ? b2 ? ??? ? bn ) ,则

f ( x) ? (a1 x ? b1 )2 ? (a2 x ? b2 )2 ? ???+(an x ? bn )2 ? 0 .
又 a12 ? a22 ? ??? ? an 2 ? 0 ,从而结合二次函数的图像可知,

? ? ?2(a1b1 ? a2b2 ? ?anbn )? ? 4(a12 ? a22 ? ?an2 )? (b12 ? b22 ? ? ? bn2 ) ≤0
2

即有要证明的结论成立. (注意:分析什么时候等号成立.) ④ 变式: a12 ? a22 ? ?an2 ? (a1 ? a2 ? ??? ? an )2 .

1 n

(讨论如何证明)

2. 教学柯西不等式的应用: ① 出示例 1:已知 3x ? 2 y ? z ? 1 ,求 x2 ? y 2 ? z 2 的最小值. 分析:如何变形后构造柯西不等式? ② 练习:若 x, y, z ? R? ,且 → 板演 → 变式:

1 1 1 y z ? ? ? 1 ,求 x ? ? 的最小值. x y z 2 3

③ 出示例 2:若 a > b > c ,求证: 要点: (a ? c)(

1 1 4 ? ? . a?b b?c a?c

1 1 1 1 ? ) ? [(a ? b) ? (b ? c)]( ? ) ? (1 ? 1)2 ? 4 a ?b b ?c a ?b b ?c

3. 小结:柯西不等式的一般形式及应用;等号成立的条件;根据结构特点构造证明.

第四课时

3.3 排序不等式

教学要求:了解排序不等式的基本形式,会运用排序不等式分析解决一些简单问题,体会运用 经典不等式的一般方法. 教学重点:应用排序不等式证明不等式. 教学难点:排序不等式的证明思路. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问: 前面所学习的一些经典不等式? (柯西不等式、三角不等式) 2. 举例:说说两类经典不等式的应用实例. 二、讲授新课: 1. 教学排序不等式: (1) 引入: 若某网吧的 3 台电脑同时出现了故障, 对其维修分别需要 45min, 25 min 和 30 min, 每台电脑耽误 1 min,网吧就会损失 0.05 元。在只能逐台维修的条件下,按怎么样的顺序维修, 才能使经济损失降到最小? ①基本概念: 一般地,设有两组数: a1 ≤ a2 ≤ a3 , b1 ≤ b2 ≤ b3 ,我们考察这两组数两两对应之积的 和,利用排列组合的知识,我们知道共有 6 个不同的和数,它们是:

对 应 关 系 ( a1 , a2 , a3 ) ( b1 , b2 , b3 ) ( a1 , a2 , a3 ) ( b1 , b3 , b2 ) ( a1 , a2 , a3 ) ( b2 , b1 , b3 ) ( a1 , a2 , a3 ) ( b2 , b3 , b1 ) ( a1 , a2 , a3 ) ( b3 , b1 , b2 ) ( a1 , a2 , a3 ) ( b3 , b2 , b1 )







S1 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3

同序和

S 2 ? a1b1 ? a2 b3 ? a3b2

乱序和

S3 ? a1b2 ? a2 b1 ? a3b3

乱序和

S 4 ? a1b2 ? a2 b3 ? a3b1

乱序和

S5 ? a1b3 ? a2 b1 ? a3b2

乱序和

S 6 ? a1b3 ? a2 b2 ? a3b1

反序和

根据上面的猜想,在这 6 个不同的和数中,应有结论: 同序和 a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 最大,反序和 a1b3 ? a2 b2 ? a3b1 最小。 ②对引例的验证:

对 应 关 系 (1,2,3) (25,30,45) (1,2,3) (25,45,30) (1,2,3) (30,25,45)







S1 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 220 S 2 ? a1b1 ? a2b3 ? a3b2 ? 205 S3 ? a1b2 ? a2b1 ? a3b3 ? 215

同序和 乱序和 乱序和

(1,2,3) (30,45,25) (1,2,3) (45,25,30) (1,2,3) (45,30,25)

S 4 ? a1b2 ? a2b3 ? a3b1 ? 195 S5 ? a1b3 ? a2b1 ? a3b2 ? 185 S 6 ? a1b3 ? a2b2 ? a3b1 ? 180

乱序和 乱序和 反序和

(2)类似的问题: 5 个人各拿一只水桶到水龙头接水,如果水龙头注满这 5 个人的水桶需要的时间分别是 4 分钟,8 分钟,6 分钟,10 分钟,5 分钟。那么如何安排这 5 个人接水的顺序,才能使他们等 待的总时间最少? 分析: (3)提出排序不等式(即排序原理) : 设有两个有序实数组: a1 ? a2 ? · · · ? an ; b1 ? b2 ? · · · ? bn . c1 , c2 , · · · c n 是 b1 , b2 , · · · , bn 的 任一排列,则有

a1b1 ? a2b2 ? · · ·+ an bn (顺序和) ? a1c1 ? a2c2 +· · ·+ an cn (乱序和) ? a1bn ? a2bn ?1 +· · ·+ an b1 (反序和)
当且仅当 a1 ? a2 ? · · ·= an 或 b1 ? b2 ? · · ·= bn 时,反序和等于顺序和. (要点:理解其思想,记住其形式) 2. 教学排序不等式的应用: ① 出示例 1:设 a1 , a2 , ???, an 是 n 个互不相同的正整数,求证:

a a a3 1 1 1 . 1 ? ? ? ??? ? ? a1 ? 2 ? 2 ? ??? ? n 2 2 3 n 2 3 n2
分析:如何构造有序排列? 如何运用套用排序不等式? 证明过程: 设 b1 , b2 , ???, bn 是 a1 , a2 , ???, an 的一个排列,且 b1 ? b2 ? ??? ? bn ,则 b1 ? 1, b2 ? 2, ???, bn ? n . 又1 ?

1 1 1 ? 2 ? ??? ? 2 ,由排序不等式,得 2 2 3 n

a1 ?

a b a2 a3 b b3 ? 2 ? ??? ? n ? b1 ? 2 ? 2 ? ??? ? n ?… 2 2 2 2 3 n 2 3 n2

小结:分析目标,构造有序排列. ② 练习:

已知 a , b, c 为正数,求证: 2(a3 ? b3 ? c3 ) ? a2 (b ? c) ? b2 (a ? c) ? c2 (a ? b) . 解答要点:由对称性,假设 a ? b ? c ,则 a 2 ? b 2 ? c 2 , 于是 a 2 a ? b2b ? c 2 c ? a 2c ? b 2 a ? c 2b , a 2 a ? b2b ? c 2 c ? a 2b ? b 2c ? c 2 a , 两式相加即得. 3. 小结:排序不等式的基本形式.


赞助商链接
相关文章:
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯...
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式课后训练新人教A版选修4_5-含答案 - 3.2 一般形式的柯西不等式 课后训练 1.已知 x +y +z ...
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式课...
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式课后训练新人教A版选修4_520171115148-含答案 - 3.3 排序不等式 课后训练 1.已知 a,b,c∈R+,则 a (a...
第三讲 柯西不等式与排序不等式
第三讲 柯西不等式与排序不等式_数学_高中教育_教育专区。第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式(一) 教学要求:认识二维柯西不等式的几种形式,理解它们的几何意义, ...
2017年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.2一般形...
2017年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式课时提升作业含解析新人教A版选修4_高中教育_教育专区。一般形式的柯西不等式 课时提升作业 一...
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯...
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式课后训练新人教A版选修4_5-含答案 - 3.1 二维形式的柯西不等式 课后训练 1.如果实数 m,n,x,y ...
...5第三讲 柯西不等式与排序不等式 单元质量评估 (7)
高中数学新人教A版选修4-5第三讲 柯西不等式与排序不等式 单元质量评估 (7) - 单元质量评估(三) (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小...
柯西不等式与排序不等式练习题
? ? a?b?c b c a 排序不等式练习题 1.设 x1 , x2 ,...xn ? 0,...第三讲---柯西不等式与排... 暂无评价 12页 ¥10.00 选修4-5柯西不...
高考数学各地模拟汇编---数学柯西不等式与排序不等式
高考数学各地模拟汇编---数学柯西不等式与排序不等式_数学_高中教育_教育专区。高考数学各地模拟汇编---数学柯西不等式与排序不等式2014...
经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式...
经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式_理学_高等教育_教育专区。高中数学教学整理得一点资料 Mathwang 几个经典不等式的关系 几个经典...
高中数学-柯西不等式与排序不等式
高中数学-柯西不等式与排序不等式_数学_高中教育_教育专区。3.1 3.2 柯西不...2017年高中数学第三讲柯... 暂无评价 4页 1下载券 2017年高中数学第三讲柯...
更多相关标签: