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函数的单调性与导数--公开课


1.3.1函数的单调性与导数(第1课时)

高二数学

一、新课导入------复旧知新
1.函数的单调性是怎样定义的?
一般地,设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,

当x1<x2时,都有f(x1)<f (x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数; 当x1<x2时,都有f(x1)>f (x2),那么就说f(x)在区间D上是减函数; 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有单调性。区间D叫做函数的单调区间。

2.怎样用定义判断函数的单调性?
(1)取值(2)作差(3)变形(4)定号(5)结论

二、讲授新课------导入新课
下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函 数h(t)= -4.9 t 2+6.5t+10 的图象, 图(2)表示高台跳水运动 员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t)= -9.8t+6.5 的图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时 间的运动状态有什么区别?
h (1) v (2) t O t O a b

a

b

通过观察图像,我们可以发现:
(1)

v

(2)

h
t t O a b ②从最高点到入水,运动员离 水面的高度h随时间t的增加 而减少,即h(t)是减函数.相应 地,v(t)=h'(t)<0.

O

a

b

①运动员从起跳到最高点,离 水面的高度h随时间t 的增加 而增加,即h(t)是增函数.相应 地,v(t)=h'(t)>0.

二、讲授新课-----问题探究
观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负 的关系. y y y=x y=x2

(1)

(2)

o
(3 )

x y=x3 x
(4 )

o y o

x
1 y? x

y o

x

二、讲授新课-----问题探究 y
一般地,函数的单调性与其导 (x1,f(x1)) 函数的正负有如下关系:

y=f(x)

在某个区间(a,b)内,

o

(x0,f(x0))

x

如果 f '(x) >0 , 那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;

如果 f '(x)<0 , 那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减;
特别地,如果 在某个区间内恒有f '(x)=0 , 那么函数 y=f(x)在这个区间内是常数函数.

二、讲授新课-----牛刀小试
例 1. 已知导函数 f '(x) 的下列信息: 当1 < x < 4 时, f '(x)>0;当 x > 4 , 或 x < 1时, f '(x) <0;
当 x = 4 , 或 x = 1时, f '(x) =0。 试画出函数 f (x) 的图象的大致形状.

解:
当1 < x < 4 时, f '(x) >0,可知 f (x) 在此区间内单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时, f '(x) <0 ,可知 f (x) 在此区间内单调递减; 当 x = 4 , 或 x = 1时, f '(x) =0 . (这两点比较特殊,我们称他们为 y

“临界点”) 综上, 函数 f (x) 图象的大 致形状如右图所示.

O

1

4

x

二、讲授新课-----牛刀小试
练习. 设导函数y=f '(x)的图象如图,则其原函数可能为 ( C ) (A)

y
o 1

y=f(x)

(B)

y
o

y=f(x)

2 x
(D) y=f(x)

1

2 x
y=f(x)

y y ? f '( x ) o 2x

(C)

y 2 x

y

o 1

o 12

x

二、讲授新课-----典例精讲
例 2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1) f(x)=x3+3x (2) f(x)=x2-2lnx

二、讲授新课-----典例精讲
例 2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1) f(x)=x3+3x (2) f(x)=x2-2lnx
(1)f '(x)=x3+3x= 3(x2+1)>0 解: 所以函数f(x)=x3+3x在R上单调递增。 所以函数f(x)=x3+3x的单调增区间为R。

二、讲授新课-----典例精讲
例 3. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1) f(x)=x2-2x-3, (2) f(x)=x2-2lnx

解 :

(2) 函数f(x)=x2-2lnx定义域为?0,???
'

2 2 x 2 ? 2 2( x 2 ? 1) 2( x ? 1)( x ? 1) f ( x) ? 2 x ? ? ? ? x x x x

当f '(x)>0,即x>1时,函数f(x)=x2-2lnx单调递增; 当f '(x)<0,即0<x<1时,函数f(x)=x2-2lnx单调递减; 所以函数f(x)=x2-2lnx的单调增区间为 (1,??),单调

减区间为(0,1)

三、问题总结
利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为:

(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求导数f '(x); (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f '(x)>0和 f '(x)<0; (4)根据(3)的结果确认f(x)的单调区间。

四、巩固练习
判断函数f(x)=3x-x3的单调性, 并求出单调区间:

解:
f '(x)=3x-x3=3-3x2=-3(x2-1)=-3(x-1)(x+1) 当f '(x)>0,即-1<x<1时,函数f(x)=3x-x3 单调递增; 当f '(x)<0,即x>1或x<-1时,函数f(x)=3x-x3 单调递减; 所以函数f(x)=3x-x3的单调增区间为 (-1,1),单调 减区间为? ??, ?1? 和 (1, ??)

五、课堂小结
1.函数的单调性与导函数的正负的关系:
在某个区间(a,b)内,
如果 f '(x) >0 ,那么函数在这个区间内单调递增; 如果 f '(x)<0 , 那么函数在这个区间内单调递减;

2.利用导函数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为:
(1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导数f '(x); (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f '(x)>0和f '(x)<0; (4)根据(3)的结果确认f(x)的单调区间。

六、布置作业

作业: 课本P26 页:练习 第1题 练习册: 课时作业(7)

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