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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1【配套备课资源】2.3.1双曲线的标准方程

§ 2.3
2.3.1
一、基础过关

双曲线

双曲线的标准方程

y2 x2 1.若方程 - =1 表示双曲线,则实数 m 的取值范围是 4 m+1 A.-1<m<3 C.m>3 B.m>-1 D.m<-1

(

)

2.双曲线 5x2+ky2=5 的一个焦点是( 6,0),那么实数 k 的值为 A.-25 B.25 C.-1 C.1 x2 y2 x2 y2 3.椭圆 + 2=1 和双曲线 2- =1 有相同的焦点,则实数 n 的值是 34 n n 16 A.± B.± C.5 D.9 5 3

(

)

(

)

x2 y2 4.若点 M 在双曲线 - =1 上,双曲线的焦点为 F1,F2,且|MF1|=3|MF2|,则|MF2| 16 4 等于 A.2 B.4 C.8 D.12 5. 已知双曲线的一个焦点坐标为( 6, 且经过点(-5,2), 0), 则双曲线的标准方程为( x2 A. -y2=1 5 x2 C. -y2=1 25 y2 B. -x2=1 5 x2 y2 D. - =1 4 2 ) ( )

6.若双曲线 x2-4y2=4 的左、右焦点分别是 F1、F2,过 F2 的直线交右支于 A、B 两点, 若|AB|=5,则△AF1B 的周长为________. x2 y2 7.在平面直角坐标系 xOy 中,方程 + =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,则 k k-1 k-3 的取值范围为________. 二、能力提升 8.已知动圆 M 过定点 B(-4,0),且和定圆(x-4)2+y2=16 相切,则动圆圆心 M 的轨迹 方程为 x2 y2 A. - =1 (x>0) 4 12 x2 y2 C. - =1 4 12 x2 y2 B. - =1 (x<0) 4 12 y2 x2 D. - =1 4 12 ( )

→ → 9.已知双曲线的两个焦点 F1(- 5,0),F2( 5,0),P 是双曲线上一点,且PF1· 2= PF

0,|PF1|· 2|=2,则双曲线的标准方程为____________. |PF 10.如图,已知定圆 F1:x2+y2+10x+24=0,定圆 F2:x2+y2- 10x+9=0,动圆 M 与定圆 F1、F2 都外切,求动圆圆心 M 的轨 迹方程. 11.已知双曲线过点(3, -2)且与椭圆 4x2+9y2=36 有相同的焦点. (1)求双曲线的标准方程; (2)若点 M 在双曲线上,F1、F2 为左、右焦点,且|MF1|+|MF2|=6 3,试判别△MF1F2 的形状. 三、探究与拓展 12.A、B、C 是我方三个炮兵阵地,A 在 B 正东 6 千米,C 在 B 北偏西 30° ,相距 4 千 米,P 为敌炮阵地,某时刻 A 处发现敌炮阵地的某种信号,由于 B、C 两地比 A 距 P 地远,因此 4 s 后,B、C 才同时发现这一信号,此信号的传播速度为 1 km/s,求 A 应沿什么方向炮击 P 地.

答案
1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.18 7.(1,3) 8.C x2 9. -y2=1 4 10.解 圆 F1:(x+5)2+y2=1, ∴圆心 F1(-5,0),半径 r1=1. 圆 F2:(x-5)2+y2=42, ∴圆心 F2(5,0),半径 r2=4. 设动圆 M 的半径为 R, 则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4, ∴|MF2|-|MF1|=3. ∴M 点轨迹是以 F1、F2 为焦点的双曲线(左支), 3 91 且 a= ,c=5.∴b2= . 2 4 4 4 3 ∴双曲线方程为 x2- y2=1 (x≤- ). 9 91 2 x2 y2 11.解 (1)椭圆方程可化为 + =1,焦点在 x 轴上,且 c= 9-4= 5,故设双曲线方程 9 4 x2 y2 为 2- 2=1, a b

? 92- 42=1, ? 则有?a b 解得 a2=3,b2=2, ?a2+b2=5, ?
x2 y2 所以双曲线的标准方程为 - =1. 3 2 (2)不妨设 M 点在右支上,则有|MF1|-|MF2|=2 3, 又|MF1|+|MF2|=6 3, 故解得|MF1|=4 3,|MF2|=2 3,又|F1F2|=2 5, 因此在△MF1F2 中,|MF1|边最长, |MF2|2+|F1F2|2-|MF1|2 而 cos∠MF2F1= <0, 2· 2|· 1F2| |MF |F 所以∠MF2F1 为钝角,故△MF1F2 为钝角三角形.

12.解 如图所示,以直线 BA 为 x 轴,线段 BA 的垂直平分线为 y 轴建立坐标系, 则 B(-3,0)、A(3,0)、 C(-5,2 3), ∵|PB|=|PC|,∴点 P 在线段 BC 的垂直平分线上.∵kBC=- 3, BC 的中点 D(-4, 3), ∴直线 PD:y- 3= 又|PB|-|PA|=4, 故 P 在以 A、B 为焦点的双曲线右支上. x2 y2 设 P(x,y),则双曲线方程为 - =1 (x≥2)② 4 5 联立①、②式,得 x=8,y=5 3, 所以 P(8,5 3).因此 kPA= 5 3 = 3, 8-3 1 (x+4)① 3

故 A 应沿北偏东 30° 方向炮击 P 地.


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