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人教A版高中数学必修1教案-2.2对数函数教案


课题:§2.2.1 对数 教学目的: (1)理解对数的概念; (2)能够说明对数与指数的关系; (3)掌握对数式与指数式的相互转化. 教学重点:对数的概念,对数式与指数式的相互转化 教学难点:对数概念的理解. 教学过程: 引入课题 (对数的起源)价绍对数产生的历史背景与概念的形成过程,体会引入对数的必要性; 设计意图:激发学生学习对数的兴趣,培养对数学习的科学研究精神. 尝试解决本小节开始提出的问题. 新课教学 1.对数的概念 一般地,如果,那么数叫做以为底的对数(Logarithm) ,记作: — 底数,— 真数,— 对数式 说明: 注意底数的限制,且; ; 注意对数的书写格式. 思考: 为什么对数的定义中要求底数,且; 是否是所有的实数都有对数呢? 设计意图:正确理解对数定义中底数的限制,为以后对数型函数定义域的确定作准备. 两个重要对数: 常用对数(common logarithm) :以 10 为底的对数; 自然对数(natural logarithm) :以无理数为底的对数的对数. 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 对数底数 ← → 幂底数 对数 ← → 指数 真数 ← → 幂 例 1. (教材 P73 例 1) 巩固练习: (教材 P74 练习 1、2) 设计意图:熟练对数式与指数式的相互转化,加深理解对数概念. 说明: 本例题和练习均让学生独立阅读思考完成, 并指出对数式与指数式的互化中应注意哪 些问题. 对数的性质 (学生活动) 阅读教材 P73 例 2,指出其中求的依据; 独立思考完成教材 P74 练习 3、4,指出其中蕴含的结论 对数的性质 (1)负数和零没有对数;

(2)1 的对数是零: ; (3)底数的对数是 1: ; (4)对数恒等式: ; (5) . 归纳小结,强化思想 引入对数的必要性; 指数与对数的关系; 对数的基本性质. 作业布置 教材 P86 习题 2.2(A 组) 第 1、2 题, (B 组) 第 1 题. 课题:§2.2.1 对数的运算性质 教学目的: (1)理解对数的运算性质; (2)知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数; (3)通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用. 教学重点:对数的运算性质,用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数 教学难点:对数的运算性质和换底公式的熟练运用. 教学过程: 引入课题 对数的定义: ; 对数恒等式: ; 新课教学 1.对数的运算性质 提出问题: 根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题: 设, ,求; 设, ,试利用、表示· . (学生独立思考完成解答, 教师组织学生讨论评析, 进行归纳总结概括得出对数的运算 性质1,并引导学生仿此推导其余运算性质) 运算性质: 如果,且, , ,那么: ·+; -; . (引导学生用自然语言叙述上面的三个运算性质) 学生活动: 阅读教材P75 例 3、4, ; 设计意图:在应用过程中进一步理解和掌握对数的运算性质. 完成教材P79 练习 1~3 设计意图:在练习中反馈学生对对数运算性质掌握的情况,巩固所学知识. 利用科学计算器求常用对数和自然对数的值 设计意图:学会利用计算器、计算机求常用对数值和自然对数值的方法. 思考:对于本小节开始的问题中,可否利用计算器求解的值?从而引入换底公式. 换底公式 (,且; ,且; ) .

学生活动 根据对数的定义推导对数的换底公式. 设计意图:了解换底公式的推导过程与思想方法,深刻理解指数与对数的关系. 思考完成教材 P76 问题(即本小节开始提出的问题) ; 利用换底公式推导下面的结论 (1) ; (2) . 设计意图:进一步体会并熟练掌握换底公式的应用. 说明:利用换底公式解题时常常换成常用对数,但有时还要根据具体题目确定底数. 课堂练习 教材P79 练习 4 已知 试求:的值。 (对换 5 与 2,再试一试) 设,,试用、表示 归纳小结,强化思想 本节主要学习了对数的运算性质和换底公式的推导与应用, 在教学中应用多给学生创造尝试、 思考、交流、讨论、表达的机会,更应注重渗透转化的思想方法. 作业布置 基础题:教材 P86 习题 2.2(A 组) 第 3 ~5、11 题; 提高题: 设,,试用、表示; 设,,试用、表示; 设、 、为正数,且,求证: . 课外思考题: 设正整数、 、 (≤≤)和实数、 、 、满足: , , 求、 、的值. 课题:§2.1.2 对数函数(一) 教学任务: (1)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函 数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型; (2)能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特 殊点; (3) 通过比较、 对照的方法, 引导学生结合图象类比指数函数, 探索研究对数函数的性质, 培养学生数形结合的思想方法,学会研究函数性质的方法. 教学重点:掌握对数函数的图象和性质. 教学难点:对数函数的定义,对数函数的图象和性质及应用. 教学过程: 引入课题 1. (知识方法准备) 学习指数函数时,对其性质研究了哪些内容,采取怎样的方法? 设计意图:结合指数函数,让学生熟知对于函数性质的研究内容,熟练研究函数性质的方法 ——借助图象研究性质. 对数的定义及其对底数的限制.

设计意图:为讲解对数函数时对底数的限制做准备. 2. (引例) 教材 P81 引例 处理建议:在教学时,可以让学生利用计算器填写下表: 碳 14 的含量 P 0.5 0.3 0.1 0.01 0.001 生物死亡年数 t

然后引导学生观察上表,体会“对每一个碳 14 的含量 P 的取值,通过对应关系, 生物死亡年数 t 都有唯一的值与之对应, 从而 t 是 P 的函数” . (进而引入对数函数的概念) 新课教学 (一)对数函数的概念 1.定义:函数,且叫做对数函数(logarithmic function) 其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞) . 注意: 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别.如: , 都不是对 数函数,而只能称其为对数型函数. 对数函数对底数的限制: ,且. 巩固练习: (教材 P68 例 2、3) (二)对数函数的图象和性质 问题:你能类比前面讨论指数函数性质的思路,提出研究对数函数性质的内容和方法吗? 研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 探索研究: 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象; (可用描点法,也可借助科学计算器或计算机) (1) (2) (3) (4) 类比指数函数图象和性质的研究,研究对数函数的性质并填写如下表格: 图象特征 函数性质

函数图象都在 y 轴右侧 函数的定义域为(0,+∞) 图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数 向 y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为 R 函数图象都过定点(1,1)

自左向右看, 图象逐渐上升 自左向右看, 图象逐渐下降 增函数 减函数 第一象限的图象纵坐标都大于 0 第一象限的图象纵坐标都大于 0

第二象限的图象纵坐标都小于 0 第二象限的图象纵坐标都小于 0

思考底数是如何影响函数的. (学生独立思考,师生共同总结) 规律:在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. (三)典型例题 例 1. (教材 P83 例 7) . 解: (略) 说明:本例主要考察学生对对数函数定义中底数和定义域的限制,加深对对数函数的理解. 巩固练习: (教材 P85 练习 2) . 例 2. (教材 P83 例 8) 解: (略) 说明:本例主要考察学生利用对数函数的单调性“比较两个数的大小”的方法,熟悉对数函 数的性质,渗透应用函数的观点解决问题的思想方法. 注意: 本例应着重强调利用对数函数的单调性比较两个对数值的大小的方法, 规范解题格式.

巩固练习: (教材 P85 练习 3) . 例 2. (教材 P83 例 9) 解: (略) 说明:本例主要考察学生对实际问题题意的理解,把具体的实际问题化归为数学问题. 注意:本例在教学中,还应特别启发学生用所获得的结果去解释实际现象. 巩固练习: (教材 P86 习题 2.2 A 组第 6 题) . 归纳小结,强化思想 本小节的目的要求是掌握对数函数的概念、图象和性质.在理解对数函数的定义的基础上, 掌握对数函数的图象和性质是本小节的重点. 作业布置 必做题:教材 P86 习题 2.2(A 组) 第 7、8、9、12 题. 选做题:教材 P86 习题 2.2(B 组) 第 5 题. 课题:§2.2.2 对数函数(二) 教学任务: (1)进一步理解对数函数的图象和性质; (2)熟练应用对数函数的图象和性质,解决一些综合问题; (3)通过例题和练习的讲解与演练,培养学生分析问题和解决问题的能力. 教学重点:对数函数的图象和性质. 教学难点:对对数函数的性质的综合运用. 教学过程: 回顾与总结 函数的图象如图所示,回答下列问题. (1)说明哪个函数对应于哪个图象,并解释为什么? (2)函数与 且有什么关系?图象之间 又有什么特殊的关系? (3)以的图象为基础,在同一坐标系中画出的图象. (4)已知函数的图象,则底数之间的关系: . 教

完成下表(对数函数且的图象和性质)

图 象

定义域

值域

性 质

根据对数函数的图象和性质填空. 已知函数,则当时, ;当时, 已知函数,则当时, ;当时, 当时, . 应用举例 比较大小: ,且; , . 解: (略) 例 2.已知恒为正数,求的取值范围. 解: (略)

;当时, ;当时,

;当时, ;当时,

. ;

[总结点评]: (由学生独立思考,师生共同归纳概括) . . 例 3.求函数的定义域及值域. 解: (略) 注意:函数值域的求法. 例 4. (1)函数在[2,4]上的最大值比最小值大 1,求的值;

(2)求函数的最小值. 解: (略) 注意:利用函数单调性求函数最值的方法,复合函数最值的求法. 例 5. (2003 年上海高考题)已知函数,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性. 解: (略) 注意:判断函数奇偶性和单调性的方法,规范判断函数奇偶性和单调性的步骤. 例 6.求函数的单调区间. 解: (略) 注意:复合函数单调性的求法及规律: “同增异减” . 练习:求函数的单调区间. 作业布置 考试卷一套 课题:§2.2.2 对数函数(三) 教学目标: 知识与技能 理解指数函数与对数函数的依赖关系, 了解反函数的概念, 加深对函数的 模型化思想的理解. 过程与方法 通过作图,体会两种函数的单调性的异同. 情感、态度、价值观 对体会指数函数与对数函数内在的对称统一. 教学重点: 重点 难两种函数的内在联系,反函数的概念. 难点 反函数的概念. 教学程序与环节设计:

教学过程与操作设计: 环节 呈现教学材料 师生互动设计 创





境 材料一: 当生物死亡后, 它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减, 大约每经过 5730 年衰减为原来 的一半,这个时间称为“半衰期” .根据些规律,人们获得了生物体碳 14 含量 P 与生物死亡 年数 t 之间的关系.回答下列问题: (1)求生物死亡 t 年后它机体内的碳 14 的含量 P,并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关 系,指出是我们所学过的何种函数? (2)已知一生物体内碳 14 的残留量为 P,试求该生物死亡的年数 t,并用函数的观点来解 释 P 和 t 之间的关系,指出是我们所学过的何种函数? (3)这两个函数有什么特殊的关系? (4)用映射的观点来解释 P 和 t 之间的对应关系是何种对应关系? (5)由此你能获得怎样的启示? 生:独立思考完成,讨论展示并分析自己的结果. 师:引导学生分析归纳,总结概括得出结论: (1)P 和 t 之间的对应关系是一一对应; (2)P 关于 t 是指数函数; t 关于 P 是对数函数,它们的底数相同,所描述的都是碳 14 的衰变过程中,碳 14 含量 P 与 死亡年数 t 之间的对应关系; (3)本问题中的同底数的指数函数和对数函数,是描述同一种关系(碳 14 含量 P 与死亡年 数 t 之间的对应关系)的不同数学模型.

材料二: 由对数函数的定义可知, 对数函数是把指数函数中的自变量与因变量对调位置而得出的, 在 列表画的图象时, 也是把指数函数的对应值表里的和的数值对换, 而得到对数函数的对应值 表,如下: 表一 .

环节 呈现教学材料 师生互动设计

? -3 -2 -1 0 1 2 3 ?

?

1 2 4 8 ?

表二 . ? -3 -2 -1 0 1 2 3 ?

?

1 2 4 8 ?

在同一坐标系中,用描点法画出图象. 生:仿照材料一分析:与的关系.

师:引导学生分析,讲评得出结论,进而引出反函数的概念. 组织探究 材料一:反函数的概念: 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量, 而把这个 函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数. 由反函数的概念可知,同底数的指数函数和对数函数互为反函数. 材料二:以与为例研究互为反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的联系? 师:说明: (1)互为反函数的两个函数是定义域、值域相互交换,对应法则互逆的两个函数; (2)由反函数的概念可知“单调函数一定有反函数” ; (3)互为反函数的两个函数是描述同一变化过程中两个变量关系的不同数学模型. 师:引导学生探索研究材料二. 生:分组讨论材料二,选出代表阐述各自的结论,师生共同评析归纳. 尝试练习 求下列函数的反函数: (1) ; (2) 生:独立完成. 巩固反思 从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数函数的定义、图象、性质作一小结.

作业反馈 求下列函数的反函数: 1 2 3 4

3 5 7 9

环节 呈现教学材料 师生互动设计

1 2 3 4

3 5 7 9 2. (1)试着举几个满足“对定义域内任意实数 a、b,都有 f (a·b) = f ( a ) + f ( b ) . ”的函 数实例,你能说出这些函数具有哪些共同性质吗? (2)试着举几个满足“对定义域内任意实数 a、b,都有 f (a + b) = f ( a )·f ( b ) . ”的函数 实例,你能说出这些函数具有哪些共同性质吗? 答案:

1.互换、的数值. 2.略. 课外活动 我们知道,指数函数,且与对数函数,且互为反函数,那么,它们的图象有什么关系呢?运 用所学的数学知识,探索下面几个问题,亲自发现其中的奥秘吧! 问题 1 在同一平面直角坐标系中,画出指数函数及其反函数的图象,你能发现这两个函数 的图象有什么特殊的对称性吗? 问题 2 取图象上的几个点,说出它们关于直线的对称点的坐标,并判断它们是否在的图象 上,为什么? 问题 3 如果 P0 (x0, y0) 在函数的图象上, 那么 P0 关于直线的对称点在函数的图象上吗, 为什么? 问题 4 由上述探究过程可以得到什么结论? 问题 5 上述结论对于指数函数 ,且及其反函数,且也成立吗?为什么? 结论: 互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.


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