当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

8年级竞赛:梅涅劳斯定理塞瓦定理教师版.doc


张老师工作室
第1讲 梅涅劳斯定理 塞瓦定理
知识点一、梅涅劳斯定理
梅涅劳斯定理 如果一条直线与 ?ABC 的三边 AB 、 BC 、 CA 或其延长线交于 F 、 D 、 E 点,那


AF BD CE ? ? ? 1 .这条直线叫 ?ABC 的梅氏线, ?ABC 叫梅氏三角形. FB DC EA

证明

如图 1-1,若一直线与 ?ABC 的三边 AB 、 BC 、 CA 或其延长线交于 F 、 D 、 E 点. AF BD CE 求证: ? ? ?1 FB DC EA
A A G A

F E B
图 1-1

F G D B
图 1-2

F E E C D B
图 1-3

C

C

D

证法一:如图 1-2,过 C 作 CG ∥ DF ∵ ∴

DB FB EC FG , ? ? DC FG AE AF

AF BD CE AF FB FG ? ? ? ? ? ?1 FB DC EA FB FG AF 证法二:如图 1-3,过 A 作 AG / / BD 交 DF 的延长线于 G


AF AG BD BD CE DC , , ? ? ? FB BD DC DC EA AG AF BD CE AG BD DC ? ? ? ? ? ? 1. FB DC EA BD DC AG
若 F 、 D 、 E 分别是 ?ABC 的三边 AB 、 BC 、CA 或其延长线的三点,

三式相乘即得:

梅涅劳斯定理的逆定理
如果

AF BD CE ? ? ? 1 ,则 F 、 D 、 E 三点共线. FB DC EA

知识点二、塞瓦定理
塞瓦定理 如果 ?ABC 的三个顶点与一点 P 的连线 AP 、 BP 、
CP 交 对 边 或 其 延 长 线 于 D 、 E 、 F , 如 图 1-4 , 那 么
A F
P

BD CE AF ? ? ? 1 .通常称点 P 为 ?ABC 的塞瓦点. DC EA FB

E

证明
张老师微信公众号: zhangtian027 微信个人号:zhangtian9999

B

D
图 1-4

C

张老师工作室
∵直线 FPC 、 EPB 分别是 ?ABD 、 ?ACD 的梅氏线, BC DP AF DB CE AP ∴ ? ? ? 1, ? ? ?1 CD PA FB BC EA PD 两式相乘即可得:

BD CE AF ? ? ?1 DC EA FB

塞瓦定理的逆定理 如果点 D 、 E 、 F 分别在 ?ABC 的边 BC 、 CA 、 AB 上或其延长线上,并且
BD CE AF . ? ? ? 1 ,那么 AD 、 BE 、 CF 相交于一点(或平行) DC EA FB

证明
⑴ 若 AD 与 BE 相交于一点 P 时,如图 1-5,作直线 CP 交 AB 于 F ' . BD CE AF? 由塞瓦定理得: ? ? ? 1, F' DC EA F ?B F BD CE AF AF AF ? 又已知 , ? ? ? 1 ,∴ ? DC EA FB FB F ?B ∴
A

P

E

AB AB ,∴ FB ? F?B . ? FB F ?B
'

B

D
图 1-5

C

∴ F 与 F 重合 ∴ CF ' 与 CF 重合 ∴ AD 、 BE 、 CF 相交于一点. ⑵ 若 AD 与 BE 所在直线不相交,则 AD ∥ BE ,如图 1-6. BD EA BD CE AF ∴ ,又已知 ? ? ? ? 1, DC AC DC EA FB

E F A

EA CE AF CE FB . ? ? ? 1 ,即 ? AC EA FB AC AF ∴ BE / / FC ,∴ AD / / BE / / FC .


B

D
图 1-6

C

【例 1】 已知 ?ABC 中, AD 为中线,过 C 点任作一直线交 AB 于 F ,交 AD 于 E ,如图 1-7,求证: AE : ED ? 2 AF : FB .

【分析】
∵直线 FEC 是 ?ABD 的梅氏线, ∴ ∴

A F E B D 图 1-7 C

AE DC BF DC 1 ? ? ? 1. 而 ? , ED BC FA BC 2 AE 1 BF AE 2 AF . ? ? ? 1 ,即 ? ED 2 FA ED BF

【例 2】 (2003 年深圳市中考题)如图 1-8,直线 l1 ∥ l2 , AF : FB ? 2 : 3 , BC : CD ? 2 :1 ,则 AE : EC 是 ( ) A.5:2

B.4:1

C.2:1

D.3:2

张老师微信公众号: zhangtian027

微信个人号:zhangtian9999

张老师工作室
G F B C 图 1-8 A E D l2 l1

【分析】
∵ DG 截 ?ABC 的三边 AB 、 AC 、 BC 或其延长线于 F 、 E 、 D 三点, ∴ ∵ ∴ ∴

AF BD EC ? ? ?1. FB CD AE AF 2 BC 2 ? , ? FB 3 CD 1 BD 3 2 3 EC ? ,∴ ? ? ?1 CD 1 3 1 AE EC 1 AE 2 ? ,即 ? AE 2 EC 1

【例 3】 如图 1-9, ?ABC 中, D 为 AC 中点, BE ? EF ? FC ,求证: BM : MN : ND ? 5 : 3 : 2 .

【分析】
∵直线 AE 是 ?BCD 的梅氏线, ∴ ∴

A D M B E 图 1-9 N F C

BM DA CE ? ? ? 1. MD AC EB

BM 1 2 BM 1 ? ? ? 1 ,∴ ? MD 2 1 MD 1 ∵直线 AF 是 ?BCD 的梅氏线, BN DA CF ∴ ? ? ?1, ND AC FB BN 1 1 BN 4 ? ? ?1, ? ND 2 2 ND 1 ∴ BM : MN : ND ? 5 : 3 : 2 .


【例 4】 如图 1-10-1,?ABC 中,AB ? 5 ,BC ? 8 ,BD ? BE ,AF ? 2 FC ,BF 交 DE 于 P . 求 DP : PE .
A D P B E 图 1-10-1 F
P D O G F C A

C

B

E

图 1-10-2

【分析】
过 A 作 AG ∥ DE 交 BC 于 G ,交 BF 于 Q ,如图 1-10-2.
张老师微信公众号: zhangtian027 微信个人号:zhangtian9999

张老师工作室
可得: AB ? BG ? 5 ,且
DP AQ ? PE QG

∵直线 BF 是 ?ACG 的梅氏线, AQ GB CF AQ 5 1 ? ? ? ? ? ?1 ∴ QG BC FA QG 8 2 ∴
DP AQ 16 ? ? . PE QG 5

【例 5】 如图 1-11,平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O ,在 AB 的延长线上任取一点 E ,连接 OE 交 BC 于点 F . 若 AB ? a , AD ? c , BE ? b ,求 BF 的长.
D O F A 图 1-11 B E C

【分析】
∵ OE 截 ?ABC 的三边 AB 、 AC 、 BC 或其延长线于 E 、 O 、 F 三点. CO AE BF ∴ ? ? ?1. AO BE FC 在平行四边形 ABCD 中, ∵ OA ? OC ,∴

OA ?1 OC AE a ? b ? BE b

∵ AE ? AB ? BE ? a ? b ,∴ ∴ ∴

BF b FC a ? b ,即 ? ? FC a ? b BF b FC ? BF a ? 2b BC a ? 2b ,即 . ? ? BF b BF b c a ? 2b bc ,∴ BF ? . ? BF b a ? 2b

∵ BC ? AD ,∴

【例 6】 如图 1-12, E 、 F 分别为 ?ABC 的 AC 、 AB 边上的点,且 AE ? 3EC , BF ? 3 FA , BE 、 CF 交于 P , AP 的延长线交 BC 于 D .求 AP : PD 的值.

【分析】
∵ P 为 ?ABC 的塞瓦点. ∴ ∴

A F

AF BD CE 1 BD 1 ? ? ? ? ? ?1 FB DC EA 3 DC 3 BD 9 BD 9 ? ,∴ ? . DC 1 BC 10
微信个人号:zhangtian9999

P B 图1-12 D

E C

张老师微信公众号: zhangtian027

张老师工作室
∵ EPB 为 ?ACD 的梅氏线, ∴ ∴

AP DB CE AP 9 1 ? ? ? ? ? ?1 PD BC EA PD 10 3 AP 10 ? . PD 3

【例 7】 在梯形 ABCD 中,AB ∥ CD ,AC 、BD 交于 E ,AD 、BC 的延长线交于 H , 过 E 作 FG ∥ AB 交 AD 于 F ,交 BC 于 G ,求证: AG 、 BF 、 EH 三线共点.

【分析】
设直线 HE 交 AB 于 Q , HF HE BG EQ HF BG ? , ? 由已知可得 ,∴ ? ?1 FA EQ GH HE FA GH HD AQ BC ? ? ?1 由 E 为 ?HAB 的塞瓦点可得: DA QB CH 同理可得:
AQ HF AQ BG HD BC ? 1 ,∴ ? ? ?1 ? ? 1 ,∴ QB FA QB GH DA CH
D F E

H

C G

∴ AG 、 BF 、 EH 三线共点. 【例 8】 已知: AD 、 BE 、 CF 为 ?ABC 的高。 ⑴ 求证:直线 AD 、 BE 、 CF 三线共点. ⑵ 若上述一点叫 P , 当 P 点在线段 AD 内上下移动时, 过P点 BE 、 CF 也随之运动. 求证:上述运动过程中 ?FDA 与 ?EDA 总相等.
A Q 图1-13 B

的线段

【分析】
⑴ 由 ?ABE ∽ ?ACF ,得 三式相乘得

A F

AE AB CD AC BF BC ,同理 , . ? ? ? AF AC CE BC BD AB

P

E

AE CD BF ? ? ? 1, EC DB FH ∴ AD 、 BE 、 CF 三高所在直线共点.
⑵ 如图 1-14-2,过 A 作 MN ∥ BC 交 DF 、 DE 延长线于 M 、 N .

B

D 图1-14-1

C

AF AM CE DC . ? , ? FB BD EA AN ∵ P 是 ?ABC 的塞瓦点,


M

A F

N

AF BD CE AM BD DC ? ? ? ? ? ?1 FB DC EA BD DC AN ∴ AM ? AN . ∵ AD ? MN ,∴ DM ? DN ∴ ?FDA = ?EDA .

张老师微信公众号: zhangtian027 微信个人号:zhangtian9999

P

E

B

D 图1-14-2

C

张老师工作室
1. 如图,已知: BD ? EC ,求证: AC ? EF ? AB ? DF .

【分析】
∵ BCF 是 ?ADE 的梅氏线,又 BD ? EC .

AB DF EC ? ? ? 1. BD FE AC ∴ AC ? EF ? AB ? DF .
∴ 2. 如 图 , ?ABC 中 , D 为 BC 的 中 点 , AE : EF : FD ? 4 : 3 :1 . 求 AG : GH : AB .
A G E H B D 作业-2 F C

【分析】
∵ HFC 是 ?ABD 的梅氏线,

AH BC DF ∴ ? ? ?1. HB DC FA ∵ D 为 BC 的中点, AE : EF : FD ? 4 : 3 :1 ,
∴ ∴

BC 2 DF 1 ? , ? DC 1 FA 7

AH 2 1 AH 7 ? ? ? 1 ,∴ ? HB 1 7 HB 2 ∵ GEC 是 ?ABD 的梅氏线,
∴ ∴

AG BC DE ? ? ? 1, GB DC EA

AG 2 1 AG 1 ? ? ? 1 ,∴ ? . GB 1 1 GB 2 ∴ AG : GH : HB ? 3 : 4 : 2 . ∴ AG : GH : AB ? 3 : 4 : 9 .
3. 经过 ?ABC 的重心 G 的直线交 AB 、 AC 分别于 E 、 F ,交 CB 的延长线于 D . 求证:

BE CF ? ?1. EA FA
E D B 作业-3-1

A

【分析】
作直线 AG 交 BC 于 M , ∵ MG : GA ? 1: 2 , BM ? MC . ∴ ∴
G

F

AE BD MG AE BD 1 ? ? ? ? ? ?1 EB DM GA EB DM 2 EB BD . ? AE 2DM CF DC , ? FA 2DM

C

A

同理,

F E D B M G C

而 BD ? DC ? BD ? BD ? 2 BM ? 2( BD ? BM ) ? 2 DM ∴

BE CF BD DC 2DM ? ? ? ? ?1 EA FA 2DM 2DM 2DM

作业-3-2
张老师微信公众号: zhangtian027 微信个人号:zhangtian9999

张老师工作室
4. 如果梯形 ABCD 的两腰 AD 、 BC 的延长线交于 M ,两条对角线交于 N .求证:直线 MN 必平 分两底. ∵ AB ∥ CD ∴
M

【分析】
MD CM ? DA BC

D

P N

C

MD BC ∴ ? ?1 DA CM MD AQ BC ? ? ? 1 (由塞瓦定理得) ∵ DA QB CM
AQ ? 1 ,∴ AQ ? QB ∴ QB

A

Q 作业-4

B



DP PC ? ,∴ DP ? PC . AQ QB

扫一扫:关注奥利奥张老师数学

张老师微信公众号: zhangtian027

微信个人号:zhangtian9999


赞助商链接
相关文章:
第十讲:梅涅劳斯定理和塞瓦定理
第十讲:梅涅劳斯定理和塞瓦定理_理学_高等教育_教育专区。梅涅劳斯定理 塞瓦定理 平面几何重要定理 奥数 竞赛 第十讲 讲:梅涅劳斯定理和塞瓦定理一、 梅涅劳斯定理 ...
数学竞赛 梅涅劳斯定理
数学竞赛 梅涅劳斯定理_学科竞赛_高中教育_教育专区。...(sin∠BOD/sin∠ DOC)(sin∠COE /sin∠AOE)=1...梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理梅涅劳斯定理 16...
初中奥数系列:12.2.3梅涅劳斯定理和塞瓦定理.题库学生版
搜试试 3 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...梅涅劳斯定理塞瓦定理.题库学生版_学科竞赛_小学...张丕武 高级教师 84981 1058472 4.0 文档数 浏览总量...
点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定...
塞瓦定理梅涅劳斯定理及其应用 定理 1 (塞瓦(Ceva)定理): 设 P,Q,R 分别是△ABC 的 BC,CA,AB 边上的点。若 AP,BQ, A CR 相交于一点 M,则 Q BP...
...托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、...
各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松...托勒密定理 一些圆定 理.doc 定理图 定理的内容 ...8年级竞赛:梅涅劳斯定理... 7页 2下载券 ©...
高中数学竞赛辅导之——梅涅劳斯定理
高中数学竞赛辅导之——梅涅劳斯定理_学科竞赛_高中...,将上面五个式子相乘可得: ,点 L、M、 8. ABCD...(H) C B l 由塞瓦定理的逆定理知三条直线 AC,...
...年级尖子班春季讲义第4讲塞瓦定理、梅涅劳斯定理
相似——塞瓦定理、梅涅劳斯定理 模块一 梅涅劳斯定理...雯雯 高级教师 20388 233624 4.3 文档数 浏览总量...8年级竞赛:梅涅劳斯定理... 1230人阅读 7页 2下载...
平面几何中几个重要定理在中考中的应用
平面几何中几个重要定理在中考中的应用_中考_初中教育_教育专区。平面几何中的几个重要定理:托勒密定理、梅涅劳斯定理塞瓦定理斯及特瓦尔特定理在中考和初中竞赛中...
高中数学联赛常用定理
梅涅劳斯定理塞瓦定理 1、梅涅劳斯定理 2 梅涅劳斯...(sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠...3.排序不等式 排序不等式是高中数学竞赛大纲要求的...
...托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、...
各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理和四点共圆) 托勒密定理 一些圆定 理.doc 定理图 定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理...
更多相关标签: