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2016


三 排序不等式

1.了解排序不等式的数学思想和背景. 2. 理解排序不等式的结构与基本原理, 会用排序不等式解决简单的不等式问题. (重点、 难点)

[基础·初探] 教材整理 1 顺序和、乱序和、反序和的概念 阅读教材 P41~P42“探究”以上部分,完成下列问题. 设 a1≤a2≤a3≤?≤an,b1≤b2≤b3≤?≤bn 为两组实数,c1,c2,?,cn 是 b1,b2,?,

bn 的任一排列, 则称 ai 与 bi(i=1,2, ?, n)的相同顺序相乘所得积的和 a1b1+a2b2+?+anbn
为顺序和, 和 a1c1+a2c2+?+ancn 为乱序和, 相反顺序相乘所得积的和 a1bn+a2bn-1+?+anb1 称为反序和. 教材整理 2 排序不等式 阅读教材 P42~P44,完成下列问题. 设 a1≤a2≤?≤an,b1≤b2≤?≤bn 为两组实数,c1,c2,?,cn 是 b1,b2,?,bn 的任一 排列,则 a1bn+a2bn-1+?+anb1≤a1c1+a2c2+?+ancn≤a1b2+a2b2+?+anbn,当且仅当 a1 =a2=?=an 或 b1=b2=?=bn 时,反序和等于顺序和,此不等式简记为反序和≤乱序和≤ 顺序和. [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:

[小组合作型]
1

用排序不等式证明不等式 (字母大小已定) 已知 a,b,c 为正数,a≥b≥c,求证: 1 1 1 (1) ≥ ≥ ;

bc ca ab

(2)

a2 b2 c2 1 1 1 2 2+ 2 2+ 2 2≥ 2+ 2+ 2. bc ca ab a b c

【精彩点拨】 由于题目条件中已明确 a≥b≥c,故可以直接构造两个数组. 1 1 【自主解答】 (1)∵a≥b>0,于是 ≤ .

a b

1 1 1 又 c>0,∴ >0,从而 ≥ ,

c

bc ca b c

1 1 同理,∵b≥c>0,于是 ≤ , 1 1 1 ∴a>0,∴ >0,于是得 ≥ ,

a

ca ab

1 1 1 从而 ≥ ≥ .

bc ca ab

1 1 1 (2)由(1)知 ≥ ≥ >0 且 a≥b≥c>0,

bc ca ab
≥ 1
2



1

b2c2 c2a2 a2b2



1

,a ≥b ≥c .

2

2

由排序不等式,顺序和≥乱序和得

a2 b2 c2 b2 c2 a2 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + = + + = + + , b2c2 c2a2 a2b2 b2c2 c2a2 a2b2 c2 a2 b2 a2 b2 c2


a2 b2 c2 1 1 1 2 2+ 2 2+ 2 2≥ 2+ 2+ 2. bc ca ab a b c

利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、 分析所要证明的式子的结构, 从而正 确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组.

[再练一题] 1.本例题中条件不变,求证: 【证明】 ∵a≥b≥c≥0, ∴a ≥b ≥c ,
5 5 5

a5 b5 c5 c2 a2 b2 3 3+ 3 3+ 3 3≥ 3+ 3+ 3. bc ca ab a b c

2

1

c b a
∴ ∴ 1

1 1 ≥ ≥ >0. 1 1 ≥ ≥ , ≥ 1 ≥ 1 ,由顺序和≥乱序和得

bc ac ba
1

b3c3 a3c3 b3a3

a5 b5 c5 b5 c5 a5 3 3+ 3 3+ 3 3≥ 3 3+ 3 3+ 3 3 bc ac ba bc ac ba
= 3+ 3+ 3, ∴

b2 c2 a2 c a b

a5 b5 c5 c2 a2 b2 3 3+ 3 3+ 3 3≥ 3+ 3+ 3. bc ac ba a b c
字母大小顺序不定的不等式 证明

a2+b2 b2+c2 c2+a2 a3 b3 c3 设 a,b,c 为正数,求证: + + ≤ + + . 2c 2a 2b bc ca ab
【精彩点拨】 (1)题目涉及到与排序有关的不等式; (2)题目中没有给出 a,b,c 的大小顺序.解答本题时不妨先设定 a≤b≤c,再利用排 序不等式加以证明. 【自主解答】 不妨设 0<a≤b≤c,则 a ≤b ≤c , 0< 1
3 3 3

bc ca ab

1 1 ≤ ≤ ,

由排序原理:乱序和≤顺序和,得

a3· +b3· +c3· ≤a3· +b3· +c3· , ca ab bc bc ca ab a3· +b3· +c3· ≤a3· +b3· +c3· . ab bc ca bc ca ab
将上面两式相加得
3 3 3 a2+b2 b2+c2 c2+a2 ? a b c ? + + + + ≤2? ?, c a b ?bc ca ab?

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

将不等式两边除以 2, 得

a2+b2 b2+c2 c2+a2 a3 b3 c3 + + ≤ + + . 2c 2a 2b bc ca ab

在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系, 对于没有给出大小关系的情况: (1) 要根据各字母在不等式中地位的对称性,限定一种大小关系.(2)若给出的字母不具有对称 性,一定不能直接限定字母的大小顺序,而要根据具体环境分类讨论.
3

[再练一题] 2.设 a1,a2,?,an 为正数,求证: 【导学号:32750056】

a2 a2 a2 a2 1 2 n-1 n + +?+ + ≥a1+a2+?+an. a2 a3 an a1
【证明】 不妨设 0<a1≤a2≤?≤an,则
2 2 a2 1≤a2≤?≤an, ≥ ≥?≥ . a 1 a2 an

1

1

1

由排序不等式知,乱序和不小于反序和,所以

a2 a2 a2 a2 1 1 1 1 2 n-1 n 2 2 2 + +?+ + ≥a1· +a2· +?+an· ,即 a2 a3 an a1 a1 a2 an a2 a2 a2 a2 1 2 n-1 n + +?+ + ≥a1+a2+?+an. a2 a3 an a1
利用排序不等式求最值 设 A,B,C 表示△ABC 的三个内角,a,b,c 表示其对边,求 小值(A,B,C 用弧度制表示). 【精彩点拨】 不妨设 a≥b≥c>0,设法构造数组,利用排序不等式求解. 【自主解答】 不妨设 a≥b≥c, 则 A≥B≥C. 由排序不等式,得

aA+bB+cC 的最 a+b+c

aA+bB+cC=aA+bB+cC, aA+bB+cC≥bA+cB+aC, aA+bB+cC≥cA+aB+bC,
将以上三式相加,得 3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)·(A+B+C)=π (a+b+c), π 当且仅当 A=B=C= 时,等号成立. 3 ∴ 即

aA+bB+cC π ≥ , a+b+c 3 aA+bB+cC π 的最小值为 . a+b+c 3

1.分析待求函数的结构特征,构造两个有序数组. 2.运用排序原理求最值时,一定要验证等号是否成立,若等号不成立,则取不到最值.
4

[再练一题] 3.已知 x,y,z 是正数,且 x+y+z=1,求 t= + + 的最小值. 1 1 1 2 2 2 【解】 不妨设 x≥y≥z>0,则 x ≥y ≥z , ≥ ≥ .

x2 y2 z2 y z x

z y x

由排序不等式,乱序和≥反序和.

x2 y2 z2 + + y z x
1 1 1 2 2 2 ≥x · +y · +z ·

x

y

z

=x+y+z.

x2 y2 z2 又 x+y+z=1, + + ≥1, y z x
1 当且仅当 x=y=z= 时,等号成立. 3 故 t= + + 的最小值为 1. 利用排序不等式求解简单 的实际问题 若某网吧的 3 台电脑同时出现了故障,对其维修分别需要 45 min,25 min 和 30 min,每台电脑耽误 1 min,网吧就会损失 0.05 元.在只能逐台维修的条件下,按怎样的顺 序维修,才能使经济损失降到最小? 【精彩点拨】 这是一个实际问题,需要转化为数学问题.要使经济损失降到最小,即 三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小,又知道若维修第一台用时间 t1 min 时,三 台电脑等候维修的总时间为 3t1 min,依此类推,等候的总时间为 3t1+2t2+t3 min,求其最 小值即可. 【自主解答】 设 t1,t2,t3 为 25,30,45 的任一排列, 由排序原理知 3t1+2t2+t3≥3×25+2×30+45=180(min), 所以按照维修时间由小到大的顺序维修,可使经济损失降到最小.

x2 y2 z2 y z x

1.首先理解题意,实际问题数学化,建立恰当模型. 2.三台电脑的维修时间 3t1+2t2+t3 就是问题的数学模型,从而转化为求最小值(运用 排序原理).

5

[再练一题] 4.有 5 个人各拿一只水桶到水龙头接水,如果水龙头注满这 5 个人的水桶需要时间分 别是 4 min,8 min,6 min,10 min,5 min,那么如何安排这 5 个人接水的顺序,才能使他们 等待的总时间最少? 【解】 根据排序不等式的反序和最小,可得最少时间为 4×5+5×4+6×3+8×2+ 10×1=84(min). 即按注满时间为 4 min,5 min,6 min,8 min,10 min 依次等水,等待的总时间最少. [构建·体系]

?— 反序和、乱序和、顺序和 排序不等式— — 排序原理 ? ?— 排序原理的应用

1.已知 x≥y,M=x +y ,N=x y+y x,则 M 与 N 的大小关系是( A.M>N C.M<N 【解析】 由排序不等式,知 M≥N. 【答案】 B B.M≥N D.M≤N

4

4

3

3

)

2.设 a,b,c 为正数,P=a +b +c ,Q=a b+b c+c a,则 P 与 Q 的大小关系是( A.P>Q C.P<Q
2 2

3

3

3

2

2

2

)

B.P≥Q D.P≤Q
2

【解析】 不妨设 a≥b≥c>0,则 a ≥b ≥c >0, 由排序不等式得:a a+b b+c c≥a b+b c+c a. ∴P≥Q. 【答案】 B 3.已知两组数 1,2,3 和 4,5,6,若 c1,c2,c3 是 4,5,6 的一个排列,则 c1+2c2+3c3 的 最大值是________,最小值是________. 【导学号:32750057】 【解析】 由排序不等式,顺序和最大,反序和最小, ∴最大值为 1×4+2×5+3×6=32,最小值为 1×6+2×5+3×4=28. 【答案】 32 28 4.某班学生要开联欢会,需要买价格不同的礼品 4 件,5 件和 2 件.现在选择商店中
2 2 2 2 2 2

6

单价分别为 3 元,2 元和 1 元的礼品,则至少要花________元,最多要花________元. 【解析】 取两组实数(2,4,5)和(1,2,3),则顺序和为 2×1+4×2+5×3=25,反序 和为 2×3+4×2+5×1=19. 所以最少花费为 19 元,最多花费为 25 元. 【答案】 19 25 1 1 1 a2 a3 5.设 a1,a2,?,an 是 n 个互不相同的正整数,求证:1+ + +?+ ≤a1+ 2+ 2+? 2 3 n 2 3 + 2. 【证明】 ∵1 <2 <3 <?<n , 1 1 1 ∴ 2> 2>?> 2. 1 2 n 设 c1,c2,?,cn 是 a1,a2,?,an 由小到大的一个排列,即 c1<c2<c3<?<cn, 根据排序原理中,反序和≤乱序和, 得 c1+ 2+ 2+?+ 2≤a1+ 2+ 2+?+ 2, 2 3 n 2 3 n 而 c1,c2,?,cn 分别大于或等于 1,2,?,n,
2 2 2 2

an n

c2 c3

cn

a2 a 3

an

c2 c3 cn 2 3 n ∴c1+ 2+ 2+?+ 2≥1+ 2+ 2+?+ 2 2 3 n 2 3 n
1 1 =1+ +?+ , 2 n 1 1 1 a2 an ∴1+ + +?+ ≤a1+ 2+?+ 2. 2 3 n 2 n

我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2)

学业分层测评(十一) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.设 a≥b>0,P=a +b ,Q=a b+ab ,则 P 与 Q 的大小关系是(
3 3 2 2

)
7

A.P>Q

B.P≥Q

C.P<Q
2 2

D.P≤Q

【解析】 ∵a≥b>0,∴a ≥b >0. 因此 a +b ≥a b+ab (排序不等式), 则 P≥Q. 【答案】 B 2.设 a1≤a2≤a3≤?≤an,b1≤b2≤b3≤?≤bn 为两组实数,在排序不等式中,顺序和, 反序和,乱序和的大小关系为( A.反序和≥乱序和≥顺序和 B.反序和=乱序和=顺序和 C.反序和≤乱序和≤顺序和 D.反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定 【答案】 C 3.设正实数 a1,a2,a3 的任一排列为 a′1,a′2,a′3,则 ( ) A.3 C.9 B.6 D.12 )
3 3 2 2

a1 a2 a3 + + 的最小值为 a′1 a′2 a′3

1 1 1 【解析】 设 a1≥a2≥a3>0,则 ≥ ≥ >0,由乱序和不小于反序和知,

a3 a2 a1

a1 a2 a3 a1 a2 a3 + + ≥ + + =3, a′1 a′2 a′3 a1 a2 a3


a1 a2 a3 + + 的最小值为 3,故选 A. a′1 a′2 a′3

【答案】 A 4.若 A=x1+x2+?+xn,B=x1x2+x2x3+?+xn-1xn+xnx1,其中 x1,x2,?,xn 都是正 数,则 A 与 B 的大小关系为( A.A>B C.A≥B ) B.A<B D.A≤B
2 2 2

【解析】 依序列{xn}的各项都是正数,不妨设 0<x1≤x2≤?≤xn,则 x2,x3,?,xn,

x1 为序列{xn}的一个排列.依排序原理,得 x1x1+x2x2+?+xnxn≥x1x2+x2x3+?+xnx1,即
2 2 x2 1+x2+?+xn≥x1x2+x2x3+?+xnx1.故选 C.

【答案】 C 5.已知 a,b,c 为正实数,则 a (a -bc)+b (b -ac)+c (c -ab)的正负情况是( A.大于零 C.小于零 B.大于等于零 D.小于等于零
2 2 2 2 2 2

)

8

【解析】 设 a≥b≥c>0,所以 a ≥b ≥c , 根据排序原理,得 a ×a+b ×b+c ×c≥a b+b c+c a. 又知 ab≥ac≥bc,a ≥b ≥c ,所以 a b+b c+c a≥a bc+b ca+c ab, ∴a +b +c ≥a bc+b ca+c ab, 即 a (a -bc)+b (b -ac)+c (c -ab)≥0. 【答案】 B 二、填空题 6.若 a,b,c∈R+,则 + +
2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3

3

3

3

bc ca ab ________a+b+c. a b c a b c

1 1 1 【解析】 不妨设 a≥b≥c>0,则 bc≤ca≤ab, ≤ ≤ , ∴

bc ca ab ac ab bc + + ≥ + + =a+b+c. a b c c a b

【答案】 ≥ 7.有 4 人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满每个人的水桶分别需要 5 s,4 s,3 s,7 s, 每个人接完水后就离开,则他们总的等候时间最短为________s. 【解析】 等候的最短时间为:3×4+4×3+5×2+7×1=41(s). 【答案】 41 8.设 a1,a2,a3 为正数,且 a1+a2+a3=1,则

a1a2 a2a3 a3a1 + + 的最小值为________. a3 a1 a2
【导学号:32750058】

1 1 1 【解析】 不妨设 a3>a1>a2>0,则 < < ,

a3 a1 a2

所以 a1a2<a2a3<a3a1. 设乱序和 S= 顺序和 S′=

a1a3 a1a2 a3a2 + + =a1+a2+a3=1, a3 a1 a2 a1a2 a2a3 a3a1 + + . a3 a1 a2 a1a2 a2a3 a3a1 + + ≥a1+a2+a3=1, a3 a1 a2

由排序不等式得 所以

a1a2 a2a3 a3a1 + + 的最小值为 1. a3 a1 a2

【答案】 1 三、解答题 9.设 a,b,c 大于 0,求证: (1)a +b ≥ab(a+b);
3 3

9

(2)

1 1 1 1 + 3 + 3 3 ≤ . 3 3 a +b +abc b +c +abc c +a +abc abc
3

【证明】 (1)不妨设 a≥b≥c>0, 则 a ≥b ≥c >0, ∴a +b =a ·a+b ·b≥a b+b a, ∴a +b ≥ab(a+b). (2)由(1)知,同理 b +c ≥bc(b+c),c +a ≥ac(c+a), 所以 ≤ + = = 1 1 1 + 3 + 3 3 3 a +b +abc b +c +abc c +a3+abc
3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2

1 1 + ab?a+b?+abc bc?b+c?+abc 1

ac?a+c?+abc

? ? a+b+c?ab bc ca?
1

1

?1+1+1?
·

a+b+c

c+a+b 1 = . abc abc

故原不等式得证. 10.已知 a,b,c 都是正数,求

a

b+c c+a a+b



b



c

的最小值. 1 1 ≤ a+b a+c

【解】 由对称性, 不妨设 0<c≤b≤a, 则有 a+b≥a+c≥b+c>0, 所以 0< ≤ 1 .

b+c

由排序不等式得

a b c + + b+c a+c a+b


a b c + + ,① a+c a+b b+c


a

b

b+c a+c a+b a+c a+b b+c
由①②知 2? ∴



c



c



a



b

.②

? a + b + c ?≥3, ? ?b+c a+c a+b?

a b c 3 + + ≥ . b+c a+c a+b 2 a b c 3 + + 取最小值 . b+c c+a a+b 2
[能力提升]

当且仅当 a=b=c 时,

10

1. 锐角三角形中, 设 P= A.P≥Q C.P≤Q

a+b+c
2

, Q=acos C+bcos B+ccos A, 则 P, Q 的关系为( B.P=Q D.不能确定

)

【解析】 不妨设 A≥B≥C,则 a≥b≥c, cos A≤cos B≤cos C,则由排序不等式有 Q=acos C+bcos B+ccos A≥acos B+bcos

C+ccos A
=R(2sin Acos B+2sin Bcos C+2sin Ccos A) ≥R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(A+C)] =R(sin C+sin A+sin B)= 【答案】 C 2.已知 a+b+c=1,a,b,c 为正数,则 【解析】 不妨设 a≥b≥c,∴ ∴ 1

a+b+c
2

=P.

b+c c+a a+b



1



1

的最小值是________.

1 1 1 ≥ ≥ , b+c c+a a+b

a

b+c c+a a+b b+c c+a a+b



b



c



b



c



a

,①

a b c c a b + + ≥ + + ,② b+c c+a a+b b+c c+a a+b
①+②得 ∴

a b c 3 + + ≥ , b+c c+a a+b 2

1 1 1 9 + + ≥ . b+c c+a a+b 2 9 2

【答案】

π 3.在 Rt△ABC 中,∠C 为直角,A,B 所对的边分别为 a,b,则 aA+bB 与 (a+b)的 4 大小关系为________. 【导学号:32750059】 【解析】 不妨设 a≥b>0, 则 A≥B>0,由排序不等式

aA+bB≥aB+bA? ?
? aA+bB=aA+bB? ?

? 2(aA+bB)≥a(A+B)+b(A+B) = π (a+b), 2

11

π ∴aA+bB≥ (a+b). 4 π 【答案】 aA+bB≥ (a+b) 4 π 1 4.已知 0<α <β <γ < ,求证:sin α cos β +sin β cos γ +sin γ cos α > (sin 2α 2 2 +sin 2β +sin 2γ ). π ? π? ? π? 【证明】 ∵0<α <β <γ < ,且 y=sin x 在?0, ?上为增函数,y=cos x 在?0, ? 2? 2? 2 ? ? 上为减函数, ∴0<sin α <sin β <sin γ ,cos α >cos β >cos γ >0. 根据排序不等式得:乱序和>反序和. ∴sin α cos β +sin β cos γ +sin γ cos α >sin α cos α +sin β cos β +sin γ cos γ 1 = (sin 2α +sin 2β +sin 2γ ). 2 故原不等式得证.

12


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