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宁夏回族自治区银川一中高三数学第六次月考试题文

银川一中 2016 届高三年级第六次月考 数 学 试 卷(文)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.设集合 A ? x | 2x ? 4 ,集合 B ? ?x | y ? lg( x ? 1)? ,则 A A.(1,2) B.(1,2] C.[1,2)

?

?

B 等于

D.[1,2]

? ? ? ? 2.已知 a ? (1, x) 和 b ? ( x ? 2,?2) ,若 a ? b ,则 a ? b ?
A.5 B.8 C. 10 D.64

3. 设 a ∈R,则 a ? 1 是直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 l 2 ( : a ? 1) x ? ay ? 4 ? 0 垂直的 A.充分不必要条件 C.充 分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 8 9 B. 91、 D. 92、 5.5 5 7 0 8 1 2 3 3 4

4.若某市 8 所中学参加中学生比赛的得分用茎叶图表示(如 图)其中茎为十位数 ,叶为个位数,则这组数据的平均 数和方差分别是 A. 91、 C. 92、 5 5.5

5.已知 ? 是第二象限角,其终边上一点 P(x, 5 ) ,且 cos? ? A. ?

? 2 x ,则 sin(? ? ) = 2 4
10 4

10 4

B. ?

6 4

C.

6 4

D.

6.已知 P( x, y ) 为区域 ?

?y2 ? x2 ? 0 内的任意一点,当该区域的面积 0 ? x ? a ?
C. 6 D. 2 2

为 4 时, z ? 2 x ? y 的最大值是 A. 2 的条件应为 A. k ? 5 B. k ? 4 C. k ? 3 D. k ? 4
2

B. 0

7.某算法的程序框图如图所示,如果输出的结果为 26,则判断框内

8.已知某棱锥的三视图如图所示,俯视图为正方形,根据 图中所给的数据,那么该棱锥外接球的体积是 A.

4? 3

B.

8? 3

C.

8 2 ? 3

D.

16 2 ? 3

1

1

1

1

9.已知 AB ? (cos23?,cos67 ?) , BC ? (2cos68?,2cos22?) ,
2 1

则 ?ABC 的面积为 A. 2 2 B.

2

C.

2 2

D.

2 3

10.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的图象上相邻两个最高点的距离为 ? ,若将

? 个单位长度后,所得图象关于 y 轴对称.则 f ( x ) 的解析式为 6 ? ? A. f ( x) ? 2sin( x ? ) B. f ( x) ? 2sin( x ? ) 6 3 ? ? C. f ( x) ? 2sin(2 x ? ) D. f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 6 3
函数 f ( x ) 的图象向左平移 11.设椭圆

x2 y2 y2 ? x 2 ? 1 的公共焦点分别为 F1 , F2 , P 为这两个曲线的 ? ? 1 和双曲线 3 2 m
B. 2 3 C. 3 2 D. 2 6

一个交点,则 PF 1 ? PF 2 的值 为 A. 3 12.已知函数 f ( x) ?

? e x ? e? x , x ? R ,若对于任意的 ? ? (0, ] 都 f (m sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0 成立, 2 2
B. (0,2) C. (??,1) 第Ⅱ卷 D. (??,1]

则实数 m 的取值范围是 A. (0,1)

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 设 f ? x ? ? x ln x, 若f ? ? x0 ? ? 2, 则x0 ? _______.

5 , ? ? [0, ? ] ,则 tan ? ? __________. 5 15. 已知等比数列 ?an ? 中, a2 ? a5 ? 18 , a3 ? a4 ? 32. 若 an ? 128 ,则 n =
14. 若 sin ? ? cos? ? 线交 x 轴于点 D ,若 | AF | ? | BF |? 6 ,则点 D 的坐标为__________.

.

2 16.抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,过点 (0, 3) 的直线与抛物线交于 A, B 两点,线段 AB 的垂直平分

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?

?1? 1 ? 是等差数列,且 a3 ? , a2 ? 4a7 8 ? an ?

(1)求 ?an ? 的通项公式
? (2)若 bn ? an an ?1 n ? N ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn

?

?

18.(本小题满分 12 分)
2

某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下工人 200 名,为研究工人的日平 均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人,先统计了他们某月的 日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁) ”和“25 周岁以下”分为两组,再 将两组工人的日平均生产件数分成 5 组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加 以统计,得到如图所示的频率分布直方图.

(1)从样本中日平均 生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到一名“25 周岁以下 组”工人的 频率; (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能 手” ,请你根据已知条件完成 2 ? 2 列联表,并 判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”? 生产能手 25 周岁以上组 25 周岁以下组 合计 非生产能手 合计

(注: K 2 ?

n(ad ? bc) 2 ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
D1

19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 ABCD 和侧 面 BCC1B1 都是矩形, E 是 CD 的中点, D1E ? CD ,
AB ? 2 BC ? 2 .
A1

B1

C1

(1)求证: D1E ? 底面 ABCD ;

D

E B

C

A ? (2)若 D1B 与平面 ABCD 所成的角为 ,求四棱锥 D1 -ABED 体积. 3

20. (本小题满分 12 分)

1 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点是 F (1,0) ,且离心率为 . 2 2 a b (1)求椭圆 C 的方程. (2)设经过点 F 的直线交椭圆与 M , N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0, y0 ) ,求
已知椭圆 C :
3

y0 的取值范围.
21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (ax ? 2)e x 在 x ? 1 处取得极值. (1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x) 在 ?m, m ? 1? 上的最小值; (3)求证:对任意 x1 , x2 ? [0,2] ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e . 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, ?ABC 是⊙ O 的内接三角形, PA 是⊙ O 的切线,切点为 A ,

A

PB 交 AC 于点 E ,交⊙ O 于点 D , PA ? PE , ?ABC ? 45? , PD ? 1 , DB ? 8 . (1)求 ?ABP 的面积;(2)求弦 AC 的长.
23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

O

E

D

P

B

C

在直角坐标系 xoy 中,直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 ,以坐标原点为极点,

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求 C1 , C2 的极坐标方程; (2) C3 的极坐标方程为? ?

?
4

( ? ? R ) ,设 C 2 与 C3 的交点为 M , N ,求 ?C 2 MN 的面积.

24.(本小题满分 l0 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? log2 ( x ?1 ? x ? 2 ? m) . (1)当 m ? 7 时, 求函数 f ( x) 的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 的解集是 R ,求 m 的取值范围.

4

银川一中 2016 届高三年级第六次月考数学试卷(文)答案 一、选择题: 题号 1 答案 B 2 A 3 A 4 B 5 B 6 C 7 C 8 C 16. ( 4,0) . 9 C 10 C 11 A 12 D

二、填空题: 13. e ; 14. ? 2 ; 三、解答题: 17. (本小题满分 12 分) 解:(1)由于 {

15.8;

1 1 1 1 1 } 为等差数列,若设其公差为 d ,则 ? 8, ? ? , an a3 a2 4 a7 1 1 1 1 1 ………4 分 ? 2d ? 8 , ? d ? ( ? 6d ) ,解得 ? 2, d ? 3 , a1 4 a1 a1 a1 1 1 于是 ; ………6 分 ? 2 ? 3(n ? 1) ,整理得 an ? 3n ? 1 an 1 1 1 1 ? ( ? ), (2)由(1)得 bn ? an an ?1 ? ………8 分 (3n ? 1)(3n ? 2) 3 3n ? 1 3n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 n ? )? 所以 Sn ? ( ? ? ? ? ? . ………12 分 3 2 5 5 8 3n ? 1 3n ? 2 2(3n ? 2)
18. (本小题满分 12 分) 解: (1)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 60 名,25 周岁以下组工人 40 名. 所以样本中日平 均生产件数不足 60 件的工人中, 25 周岁以上组工人有 60 ? 0.05 ? 3 (人) , 记为 A1 , ,记为 B1 , B2 . A2 , A3 ;25 周岁以下组工人有 40 ? 0.05 ? 2 (人) 从中随机抽取 2 名工人, 所有的可能结果共有 10 种, 它们是: ( A1 , A2 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , A3 ) , ( A2 , A3 ) ,

( A1 , B2 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1 , B2 ) .
其中,至少 1 名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种,它们是 ( A1 , B1 ) ,( A1 , B2 ) ,( A2 , B1 ) ,

( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1 , B2 ) ,故所求的概率 P ?

7 . 10

(2)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 名工人中, “25 周岁以上组”中的生产能手有

60 ? 0.25 ? 15 (人) , “25 周岁以下组”中的生产能手有 40 ? 0.375 ? 15 (人) ,据此可得 2 ? 2 列联
表如下: 生产能手 25 周岁以上组 25 周岁以下组 合计 15 15 30 非生产能手 45 25 70 合计 60 40 100

5

n(ad ? bc) 2 100? (15? 25 ? 15? 45) 2 25 所以得 ? ? ? ? ? 1.79 . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 60? 40? 30? 70 14
2

因为 1.79<2.706,所以没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”. …………12 分 19. (本小题满分 12 分) 解:( Ⅰ) 底面 ABCD 和侧面 BCC1 B1 都是矩形 ∴ BC ? CD , BC ? CC1 又∵ CD ? CC1 ? C ∴ BC ? 平面 DCC1 D1 又∵ D1E ? EB , BC (Ⅱ) V ? ∴ BC ? D1E ,即 D1E ? BC

EB ? B
………12 分

∴ D1E ? 底面 ABCD

………6 分

6 2

.

20. (本小题满分 12 分)

x2 y2 ? ?1 解:(1) 4 3

………5 分

( 2 ) 设 经 过 点 F 的 直 线 l : y ? k ( x ? 1) 与 椭 圆 的 方 程 联 立 ?

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12 ? 0 消元得: ? y ? k ( x ? 1)

(4k 2 ? 3) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0
8k 2 4k 2 ? 12 x ? x ? , , ………7 分 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 x1 ? x2 y1 ? y 2 4k 2 ? 3k ? 2 ? 2 所 以 , , 则 MN 垂 直 平 分 2 2 4k ? 3 4k ? 3 3k 1? 4k 2 ? ? ? ………9 分 y? 2 ? ? ?x ? 2 k? 4k ? 3 4k ? 3 ? ? 1 k 令 x ? 0 ,则 y 0 ? 当 k ? 0 时, y0 ? 0 ,当 k ? 0 时, y 0 ? 2 3 4k ? 3 4k ? k 3 3 当 k ? 0 时, ? 4k ? ?4 3 ;当 k ? 0 时, ? 4k ? 4 3 k k ? 3 3? , 综上 y 0 ? ?? ………12 分 ? ? 12 12 ?
由韦达定理得, x1 ? x 2 ? 21. (本小题满分 12 分) 解: (1) a ? 1

线

………2 分

' x (2) f ( x) ? ( x ? 1)e ,所以 f ( x) 在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.

当 m≥1 时,f(x)在[m,m+1]上单调递增,[f(x)]min=f(m)=(m-2)e . 当 0<m<1 时,m<1<m+1,f(x)在[m,1]上单调递减,在[1,m+1]上单调递增,
6

m

[f(x)]min=f(1)=-e. 当 m≤0 时,m+1≤1,f(x)在[m,m+1]上单调递减,[f(x)]min=f(m +1)=(m-1)e . 综上,f(x)在[m,m+1]上的最小值[f(x)]min= ………6 分
m+1

(3)证明: f ' ( x) ? ( x ? 1)e x 令 f′(x)=0 得 x=1. 因为 f(0)=-2,f(1)=-e,f(2)=0, 所以当 x∈[0,2]时,[f(x)]max=0,[f(x)]min=-e, 所以,对任意 x1,x2∈[0,2],都有 |f(x1)-f(x2)|≤[f(x)]max-[f(x)]min=e. ………12 分

22. (本小题满分 10 分)选修 4 —1:几何证明选讲 解:(1) PA 是⊙ O 的切线,切点为 A ∴ ?PAE ? ?ABC ? 45? 又∵ PA ? PE ∴ ?PEA ? 45 ? , ?APE ? 90 ?

2 由于 PD ? 1 , DB ? 8 ,所以 由切割线定理可知 PA ? PD ? PB ? 9 ,既 EP ? PA ? 3

故 ?ABP 的面积为

1 27 BP ? PA ? . 2 2

……………5 分

(2)在 Rt ?APE 中,由勾股定理得 AE ? 3 2 由于 ED ? EP ? PD ? 2 , EB ? DB ? DE ? 6 ,所以由相交弦定理得

EC ? EA ? EB ? ED ? 12 ,所以 EC ?

12 3 2

? 2 2 ,故 AC ? 5 2

…………10 分

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 解: (1) C1 的极坐标方程为 ? cos? ? ?2 , ……………5 分 C 2 的 极坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 ? 2 (2)将 ? ? 代入 ? ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 ,得 ? 2 ? 3 2? ? 4 ? 0 4 解得 ?1 ? 2 2 , ? 2 ? 2 ,故 ?1 ? ? 2 ? 2 ,即 MN ? 2 1 由于 C 2 的半径为 1,所以 ?C 2 MN 的面积为 . ……………10 分 2 24.(本小题满分 l0 分)选修 4—5:不等式选讲 解:(1)当 m ? 7 时,函数 f ( x) 的定义域即为不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 7 ? 0 的解集. 由于 ?

? x ? ?1 ??1 ? x ? 2 ?x ? 2 ,或 ? ,或 ? . 所 ) ? ( x? 2) 7 ? 0 ? ??( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 7 ? 0 ?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 7 ? 0 ?( x ?1
(4, ??)
……………5 分
7

以 x ? ?3 ,无解,或 x ? 4 . 综上,函数 f ( x) 的定义域为 (??, ?3)

(2)若使 f ( x) ? 2 的解集是 R ,则只需 m ? ( x ? 1 ? x ? 2 ? 4)min 恒成立. 由于 x ?1 ? x ? 2 ? 4 ? ( x ?1) ? ( x ? 2) ? 4 ? ?1 ,所以 m 的取值范围是 (??, ?1] . ……………10 分

8


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