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行列式的习题_图文

二、计算(证明)行列式
1 用定义计算(证明) 例2 用行列式定义计算
0 a21 D5 ? a31 0 0 a12 a22 a32 a42 a52 a13 a23 a33 a43 a53 0 a24 a34 0 0 0 a25 a35 0 0

高等代数第1章

1

解 按定义计算。 D5 中第 1、2、3、4、5 行的元素分别为

a1 p1 , a2 p2 , a3 p3 , a4 p 4 , a5 p5
考虑到可能的非零元素,p1 到 p5 的可能选择为
p1 : 2,3 p2 : 1,2,3,4,5 p3 : 1,2,3,4,5 p4 : 2,3 p5 : 2,3

p1 , p2 , p3 , p4 , p5 在上述代码中无法组成 5 元全排列,所以

D5 ? 0

0 a12 a 21 a 22 D5 ? a 31 a 32 0 a 42 0 a 52
2

a13 0 0 a 23 a 24 a 25 a 33 a 34 a 35 a 43 0 0 a 53 0 0

高等代数第1章

评注 本例是从一般项入手,将行标按标准 顺序排列,讨论列标的所有可能取到的值,并注 意每一项的符号,这是用定义计算行列式的一般 方法. 注意 如果一个 n阶行列式中等于零的元 素比 2 n ? n还多,则此行列式必等 于零.

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3

例3 设

a11 a12 ? a1n a 21 a 22 ? a 2 n , D1 ? ? ? ? ? a n1 a n 2 ? a nn

a11 a 21 b D2 ? ? a n1 b
证明: D1 ? D 2 .
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n ?1

a12 b

?1

a 22 ? an2 b
n? 2

? a1n b1? n ? a 2 n b2 ? n , ? ? ? a nn

4

证明

由行列式的定义有
D1 ? ? ( ?1) a 1 p1 a 2 p2 ? a n pn ,
t

其中t是排列 p1 p 2 ? p n 的逆序数 .
D 2 ? ? ( ?1) (a 1 p1 b
t t 1 ? p1

)(a 2 p2 b 2 ? p2 )?(a n pn b n ? pn )

? ? ( ?1) a 1 p1 a 2 p2 ? a n pn b (1 ? 2 ? ?? n ) ? ( p1 ? p2 ? ?? pn ) , 其中t是排列 p1 p 2 ? p n 的逆序数 .
a a b
11 21

D

2

?

a b a
12 22

?1

? ? ? ?

a b a b
1n 2n

1? n 2? n

?

?
n ?1

?

a b
n1

a b
n2

n? 2

a

nn

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5



p1 ? p2 ? ? ? pn ? 1 ? 2 ? ? ? n,
t

所以   D2 ? ? ( ?1) a1 p1 a 2 p2 ?a n pn ? D1 .

评注 本题证明两个行列式相等,即证明两 点,一是两个行列式有完全相同的项,二是每一 项所带的符号相同.这也是用定义证明两个行列 式相等的常用方法.

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6

又证:
D
?

2

a a b
11 21

a b a
12 22

?1

? ? ? ?

a b a b
1n 2n

1? n 2? n

?

?
n ?1

?

a b ? b b ?b a b
11 n ?1 n? 2 21

1? n 2? n

a b a b
12 22

1? n 2? n

? ? ? ?

a b a b
1n 2n

1? n 2? n

?

?

?

a b
n1

a b
n2

n? 2

a

nn

a

n1

a
12 22

n2

a

nn

? (b

n ?1

b

n? 2

? b )(b

1? n

b

2? n

?b

?1

a )a a

11 21

a a a

? ? ? ?

a a a

1n 2n

?
n1

?
n2

?
nn

?

D

1

所以: D1 ? D 2.

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7

2 利用范德蒙行列式计算 利用范德蒙行列式计算行列式,应根据范德 蒙行列式的特点,将所给行列式化为范德蒙行列 式,然后根据范德蒙行列式计算出结果。 例4 计算
? 2 2 2 ? Dn ? 3 32 ? ? ? ? 2 n n ? 1 1
8

1 2 n 3 . ? n
n n

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解 D n 中各行元素分别是一个 数的不同方幂 , 方幂
次数自左至右按递升次 序排列,但不是从 0变到 n ? 1, 而是由1递升至 n.若提取各行的公因子, 则方 幂次数便从 0增至n ? 1,于是得到 1 1 Dn ? n! 1 ? 1 1 2 3 ? n 1 2 2 2 3 ? n
2

? ? ? ? ?

1 n ?1 2 n ?1 3 . ? n
n ?1

? 1 2 n 2 2 ? 2 Dn ? 3 32 ? 3n . ? ? ? ? 2 n n n ? n 1 1

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9

上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式,由 范德蒙行列式知
D n ? n!
n? i ? j?1

?

( x i ? x j)

? n ! ( 2 ? 1 )( 3 ? 1 ) ? ( n ? 1 ) ? ( 3 ? 2 )( 4 ? 2 ) ? ( n ? 2 ) ? [ n ? ( n ? 1 )] ? n ! ( n ? 1 )! ( n ? 2 )! ? 2!1!.
1 1 1
?

D

n

? n!

1 2 3
?

1 2 3 n

?
2 2

? ? ? ?

1 2 3 n

n ?1 n ?1

?
2

?
n ?1

1

n

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10

评注 本题所给行列式各行(列)都是某元 素的不同方幂,而其方幂次数或其排列与范德蒙 行列式不完全相同,需要利用行列式的性质(如 提取公因子、调换各行(列)的次序等)将此行 列式化成范德蒙行列式.

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11

3 用化三角形行列式计算 例5 计算
x a1 D n ? 1 ? a1 ? a1 a1 x a2 ? a2 a2 a2 x ? a3 a3 a3 a3 ? a4 ? ? ? ? ? an an an . ? x

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12

解 将第2,3,?, n ? 1列都加到第一列,得
x ? ? ai x ? ? ai
i ?1 n i ?1 n i ?1 n n

a1 a 2 ? a n x a2 ? an x ? ? an ? x

Dn?1 ? x ? ? ai a2 ? ?

x ? ? ai a2 a3 ?
i ?1

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13

提取第一列的公因子,得
a1 a 2 1 x a2 n D n ?1 ? ( x ? ? a i ) 1 a 2 x i ?1 ? ? ? 1 a2 a3 1 ? an ? an ? an . ? ? ? x

将第 1列的 ( ? a 1 )倍加到第 2列,将第 1列的 ( ? a2)倍加到第 3列, ? , 将第 1列的 ( ? a n )倍加到最 后一列,得
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14

1 0 0 1 x ? a1 0 n D n?1 ? ( x ? ? a i ) 1 a 2 ? a1 x ? a 2 i ?1 ? ? ? 1 a 2 ? a1 a 3 ? a 2 ? ( x ? ? a i ) ? ( x ? a i ).
i ?1 i ?1 n n

? ? ?

0 0 0 ? ? x ? an

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15

评注 本题利用行列式的性质,采用“化零” 的方法,逐步将所给行列式化为三角形行列式. 化零时一般尽量选含有1的行(列)及含零较多 的行(列);若没有1,则可适当选取便于化零 的数,或利用行列式性质将某行(列)中的某数 化为1;若所给行列式中元素间具有某些特点,则 应充分利用这些特点,应用行列式性质,以达到 化为三角形行列式之目的.

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16

4 用降阶法计算 例6 计算
a b c d b a d c . D4 ? c d a b d c b a

解 将 D 4的第2、 3、 4行都加到第1行,并从第1行中
提取公因子 a ? b ? c ? d,得

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17

1

1

1 1

b a d c , D4 ? ( a ? b ? c ? d ) c d a b d c b a 再将第 2、 3、 4列都减去第1列,得 1 0 0 0 b a?b d ?b c?b , D4 ? ( a ? b ? c ? d ) c d ?c a?c b?c d c?d b?d a?d
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18

按第1行展开,得

a?b d ?b c?b D4 ? ( a ? b ? c ? d ) d ? c a ? c b ? c . c?d b?d a?d

把上面右端行列式第 2行加到第 1行,再从第 1行 中提取公因子 a ? b ? c ? d,得

D4 ? (a ? b ? c ? d )(a ? b ? c ? d ) 1 1 ? d ?c a?c c?d b?d
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0 b?c, a?d
19

再将第2列减去第1列,得 D 4 ? (a ? b ? c ? d )(a ? b ? c ? d )

1 0 0 ? d ?c a?d b?c , c?d b?c a?d 按第1行展开,得 a?d b?c D4 ? (a ? b ? c ? d )(a ? b ? c ? d ) b?c a?d 2 2 ?(a?b?c ?d)(a?b?c ?d)?[(a?d) ?(b?c) ] ? (a ? b ? c ? d )(a ? b ? c ? d ) ? (a ? b ? c ? d )(a ? b ? c ? d )
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20

评注 本题是利用行列式的性质将所给行列 式的某行(列)化成只含有一个非零元素,然后 按此行(列)展开,每展开一次,行列式的阶数 可降低 1阶,如此继续进行,直到行列式能直接 计算出来为止(一般展开成二阶行列式).这种 方法对阶数不高的数字行列式比较适用.

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21

5 用拆成行列式之和(积)计算 例7 证明 sin 2? sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) sin( ? ? ? ) sin 2 ? sin( ? ? ? ) ? 0. sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) sin 2? 证
sin ? 左边 ? sin ? sin ? cos? cos ? cos ? 0 cos? 0 ? sin ? 0 0 cos ? sin ? 0 cos ? sin ? ? 0. 0

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22

6 用递推法计算 例8 计算

a ? x1 a Dn ? ? a

a ? a a ? x2 ? a ? ? ? ? a ? xn a

解 依第n列把 D n 拆成两个行列式之和

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23

a ? x1 a ? Dn ? a a a ? x1 a ? ? a a
高等代数第1章

a a ? x2 ? a a a a ? x2 ? a a

? ? ? ? ? ? ? ? ?

a a ? a ? x n?1 a a a ? a ? x n?1 a

a a ? a a 0 0 ?. 0 xn

24

右端的第一个行列式 , 将第n列的( ?1)倍分别 加到第1,2,? , n ? 1列, 右端的第二个行列式按 第n 列展开, 得 x1 0 ? 0 0 x2 ? 0 Dn ? ? ? ? ? 0 0 ? x n?1 0 0 ? 0
a a ? ? x n D n?1 , a a

从而 Dn ? x1 x 2? x n?1 a ? x n Dn?1 .

高等代数第1章

25

由此递推,得
D n ? 1 ? x 1 x 2 ? x n ? 2 a ? x n ? 1 D n ? 2 , 于是 D n ? x 1 x 2 ? x n ?1a ? x 1 x 2 ? x n ? 2 a x n ? x n x n?1 D n? 2 .

如此继续下去,可得
D n ? x 1 x 2 ? x n ?1a ? x 1 x 2 ? x n ? 2 a x n ? ? ? x 1 x 2 a x 4 ? x n ? x n x n ? 1? x 3 D 2

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26

? x1 x 2? x n?1a ? x1 x 2? x n? 2 a x n ? ? ? x1 x 2 a x 4 ? x n ? x n x n ?1 ? x 3 ( a x 1 ? a x 2 ? x 1 x 2 ) ? x 1 x 2 ? x n ? a ( x 1 x 2 ? x n ?1 ? ? ? x1 x 3? x n ? x 2 x 3? x n ).

当 x1 x 2? x n ? 0时,还可改写成
D n ? x 1 x 2 ? x n [1 ? a ( 1 x1 ? 1 x2 ??? 1 xn )].

高等代数第1章

27

例8.计算 D n

a ?x a ?x a a ?
1

?
2

?

?

a

a

? ? ?

? a ? xn

a a

解2: 如果某个 xi ? 0 , 则 Dn 的第 i 行全是 a , 把第 i 行 的-1 倍分别加到其余所有行上得到 x1 ?

D

n

? a ? a ? ?

a xn

高等代数第1章

28

再把第 i 列的-1 倍分别加到其余所有列上得到 x1 ?

D

n

?

a ? xn

? a? x j
j ?1 j ?i

n

如果 xi ? 0(i ? 1, 2, ?, n) ,把 Dn 的第 1 行的-1 倍分别加到其余所有行上得 到

a Dn ?

? x1 ? ? x1

? x1

a

?

x2 ? 0 ? ? ? ? 0 ? xn

a

a

? x1 ?

ax1 ax ?? ? 1 x2 xn 0 ? 0

a
x2

? ?

a
0

? ? ? 0 ? xn

? (a ? x1 ?

ax1 ax 1 1 1 ? ? ? 1 ) ? x1 x2 ? x2 [1 ? a( ? ? ? ? )] x2 xn x1 x2 xn
29

高等代数第1章

  评注 本题是利用行列式的性 质把所给的 n阶 行列式 D n 用同样形式的 n ? 1阶行列式表示出来 , 建立了 D n 与n ? 1阶行列式 D n ? 1 之间的递推关系 .有 时,还可以把给定的 n阶行列式 D n 用同样形式的 比 n ? 1阶更低阶的行列式表示 ,建立比 n ? 1阶行 列式更低阶行列式之间 的递推关系.

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30

7 用数学归纳法 例9 证明
cos? 1 0
?

Dn ?

1 2 cos? 1
?

0 0 ? cos n? .
高等代数第1章

0 0

0 0 ? 0 1 0 ? 0 2 cos? ? 0 0 ? ? ? ? ? ? 0 1 ? 1 2 cos? 0

31

证 对阶数n用数学归纳法
因为 D 1 ? cos ? , cos ? D2 ? 1 1 ? 2cos 2? ? 1 ? cos 2? , 2cos ?

所以,当n ? 1, n ? 2时, 结论成立. 假设对阶数小于 n的行列式结论成立 , 下证对
于阶数等于 n的行列式也成立 .现将 D n 按最后一行 展开 , 得

Dn ? 2 cos? Dn?1 ? Dn? 2 .
高等代数第1章
32

由归纳假设 ,

D n ? 1 ? cos( n ? 1)? , D ? cos( n ? 2)? ,
n? 2

Dn ? 2 cos? cos( n ? 1)? ? cos( n ? 2)? ? [cos n? ? cos( n ? 2)? ] ? cos( n ? 2)? ? cos n? ;

所以对一切自然数 n结论成立 .

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33

评注 为了将 D n 展开成能用其同型的 D n ? 1 ,
D n ? 2 表示 , 本例必须按第 n行(或第n列)展开, 不能 按第1行(或第1列)展开, 否则所得的低阶行列式 不 是与 D n同型的行列式 . 一般来讲 ,当行列式已告诉其结果 , 而要我们 证明是与自然数有关的 结论时 , 可考虑用数学归 纳法来证明.如果未告诉结果 , 也可先猜想其结果 , 然后用数学归纳法证明 其猜想结果成立 .
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34

8 用加边法

例 11

计算
a1 ? b1 a1 ? a1 a2 ? a2 ? b2 ?


Dn ?

an an

? a2

? ? an ? bn

高等代数第1章

36

解法 1

加边法
a2 a2 a 2 ? b2 ? a2 ? ? ? an an an

1 a1 0 a1 ? b1 a1 Dn ? 0 ? ? 0 a1 1 a1 ? 1 b1 ? ?1 0 ? ? ?1 0
高等代数第1章

? ? a n ? bn

a2 ? an 0 ? 0 . b2 ? 0 ? ? 0 ? bn

37

an a1 a2 1? ? ??? b1 b2 bn ? 0 0 ? 0

a1 b1 0 ? 0

a2 ? an 0 ? b2 ? ? 0 0 0 ? ? bn

?

? an ? a1 . a 2 b1b2 ? bn ? ?1 ? b ? b ? ? ? b ? ? 1 2 n ? ?

高等代数第1章

38

a1 ? b1
解法 2

Dn ?

ri ? r1

? b1 ? ? b1

a2 ? an b2 ? 0 ? 0 ? ? bn

b1 “ c 1 ? c j ( j ? 2, ? , n ) ” bj

t

a2 ? an 0 ? b1 b1 ? ? ? ? (a1 ? b1 ) ? a 2 ? ? ? a n ? b2 ? bn ? ? b2 bn ? ? ? bn ?


0 b2 ? ? ? 0 0

? an ? a1 a 2 ? ? ? b1 b2 ? bn ? 1 ? ? ??? ? b b b 1 2 n ? ?
Dn ? a1 ? b1 a1 ? a1
39

a2 ? a2 ? b2 ? ? a2

an an ?

高等代数第1章

? an ? bn

小结 计算行列式的方法比较灵活,同一行列式可 以有多种计算方法;有的行列式计算需要几种方 法综合应用.在计算时,首先要仔细考察行列式 在构造上的特点,利用行列式的性质对它进行变 换后,再考察它是否能用常用的几种方法.

高等代数第1章

40

三、克拉默法则
当线性方程组方程个数与未知数个数相等、 且系数行列式不等于零时,可用克莱姆法则.为 了避免在计算中出现分数,可对有的方程乘以适 当整数,把原方程组变成系数及常数项都是整数 的线性方程组后再求解.
例10 求一个二次多项式 f ( x ), 使

f (1) ? 0, f ( 2) ? 3, f ( ?3) ? 28.

高等代数第1章

41



设所求的二次多项式为
f ( x ) ? a x 2 ? bx ? c ,

由题意得
f (1) ? a ? b ? c ? 0, f ( 2 ) ? 4 a ? 2 b ? c ? 3, f ( ?3) ? 9a ? 3b ? c ? 28,
这是一个关于三个未知 数 a , b, c的线性方程组 .

高等代数第1章

42

D ? ?20 ? 0, D2 ? 60,

D1 ? ?40, D3 ? ?20.

由克莱姆法则,得 D D D a ? 1 ? 2, b ? 2 ? ?3, c ? 3 ? 1. D D D 于是,所求的多项式为
f ( x ) ? 2 x 2 ? 3 x ? 1.

高等代数第1章

43

例11

证明平面上三条不同的 直线

ax ? by ? c ? 0, bx ? cy ? a ? 0, cx ? ay ? b ? 0
相交于一点的充分必要 条件是 a ? b ? c ? 0.

证 必要性

设所给三条直线交于一 点M ( x 0 , y 0 ),

则x ? x 0 , y ? y 0 , z ? 1可视为齐次线性方程组

?ax ? by ? cz ? 0, ? ?bx ? cy ? az ? 0, ? cx ? ay ? bz ? 0 ?
的非零解 .从而有系数行列式 .
高等代数第1章
44

a b c

1 b c a ? ( ? )(a ? b ? c ) 2 c a b ? [( a ? b) ? (b ? c ) ? (c ? a ) ] ? 0. 因为三条直线互不相同 , 所以a , b, c也不全相
2 2 2

同, 故a ? b ? c ? 0. 充分性 如果a ? b ? c ? 0, 将方程组 ? ax ? by ? ? c , ? (1) ? bx ? cy ? ? a , ? cx ? ay ? ? b ?
高等代数第1章
45

的第一、二两个方程加 到第三个方程,得

? ax ? by ? ? c , ? ? bx ? cy ? ? a , ? 0 ? 0. ?

(2)

下证此方程组(2)有 唯一解 .

a b 如果 ? ac ? b 2 ? 0,则ac ? b 2 ? 0。由 b c b ? ? (a ? c )得ac ? [?(a ? c )] ? a 2 ? 2ac ? c 2,于是 ac ? ?(a 2 ? c 2 ) ? 0,从而有 ac ? 0.
高等代数第1章
46

2

不妨设 a ? 0,由 b 2 ? ac得b ? 0.再由 a ? b ? c ? 0 得c ? 0,与题设矛盾 .故

a b ? 0. b c
由克莱姆法则知,方程 组( 2)有唯一解 .从而知 方程组 (1)有唯一解,即三条不同 直线交于一点 .

高等代数第1章

47

例12 有甲、乙、丙三种化肥,甲种化肥每千 克含氮70克,磷8克,钾2克;乙种化肥每千克含 氮64克,磷10克,钾0.6克;丙种化肥每千克含氮 70克,磷5克,钾1.4克.若把此三种化肥混合,要 求总重量23千克且含磷149克,钾30克,问三种化 肥各需多少千克? 解 设甲、乙、丙三种化肥 各需 x 1、 x2、 x3千克, 依
题意得方程组 ? x 1 ? x 2 ? x 3 ? 23, ? ? 8 x 1 ? 10 x 2 ? 5 x 3 ? 149, ? 2 x ? 0.6 x ? 1.4 x ? 30. 2 3 ? 1
高等代数第1章
48

27 此方程组的系数行列式 D ? ? , 5 81 又 D 1 ? ? , D 2 ? ? 27, D 3 ? ? 81 5

由克莱姆法则,此方程 组有唯一解 x1 ? 3, x 2 ? 5, x 3 ? 15 .
即甲、乙、丙三种化肥 各需 3千克 ,5千克 , 15千克 .

高等代数第1章

49

例13

设水银密度 h与温度 t的关系为 h( t ) ? a 0 ? a 1 t ? a 2 t 2 ? a 3 t 3 .

由实验测得以下数据 : 0 10 20 30 h 13 .60 13 .57 13 .55 13 .52 求 t ? 150 , 400 时水银密度 ( 准确到小数两位 ). t
0 0 0 0

高等代数第1章

50



将测得的数据分别代入 h( t ), 得方程组 ? a 0 ? 13 .6 , ? ? a 0 ? 10 a 1 ? 100 a 2 ? 1000 a 3 ? 13 .57 , (1 ) ? ? a 0 ? 20 a 1 ? 400 a 2 ? 8000 a 3 ? 13 .55 , ? ? a 0 ? 30 a 1 ? 900 a 2 ? 27000 a 3 ? 13 .52 .

将 a 0 ? 13 .60 分别代入其余三个方程 , 得方程组
? a 1 ? 10 a 2 ? 100 a 3 ? ? 0.003 , ? ? 2 a 1 ? 40 a 2 ? 800 a 3 ? ? 0.005 , ? 3 a ? 90 a ? 2700 a ? ? 0.008 . 2 3 ? 1
高等代数第1章
51

( 2)

此方程组的系数行列式 D ? 12000 ,
又 D 1 ? ? 50 , D 2 ? 1 .8 , D 3 ? ? 0.04 ,

由克莱姆法则 , 得方程组 ( 2 )的唯一解
a 1 ? ? 0 .0042 , a 2 ? 0 .00015 , a 3 ? ? 0.0000033 .
又 a 0 ? 13 .60 , 将以上四个数代入 h( t ), 得

高等代数第1章

52

h( t ) ? 13 .60 ? 0.0042 t ? 0.00015 t 2 ? 0.0000033 t 3 .

由此得
h(15) ? 13.56, h(40) ? 13.46.

所以,当t ? 150 , 400 时, 水银密度分别为13.56,13.46.

高等代数第1章

53

第一章

测试题

一、填空题(每小题4分,共40分)
1. 若Dn ? a ij ? a , 则D ? ? a ij ?

2. 设x1 , x 2 , x 3是方程 x ? px ? q ? 0的三个根 , 则行
3

x1

x2 x1 x3

x3 x2 ? x1

列式 x3 x2
3. 行列式

高等代数第1章

54

0 0

0 0

? 0 1 0 ? 2 0 0 ? ? ? ? 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 b2 a3 0
55

? ? ? D? 0 1997 ? 1998 0 ? 0 0 ? a1 0 4. 四阶行列式 0 b4
高等代数第1章

0 a2 b3 0

b1 0 ? 0 a4

a b c c b d 5. 设四阶行列式 D4 ? d b c a b d

d a , a c

则A14 ? A24 ? A34 ? A44 ?
6. 在五阶行列式中 a12 a 53 a 41 a 24 a 35的符号为

2x

1

?1 x 中x 3的系数是 x

7. 在函数 f ? x ? ? ? x ? x 1 2
高等代数第1章
56

a ?b 8. 四阶行列式 ?c ?d

b

c

d c ? ?b a

a ?d d a ?c b

9. 若a , b为实数 , 则当a ?

且b ?

时,

a b 0 ?b a 0 ?0 ?1 0 ?1

高等代数第1章

57

10 . 排列 i1 i 2 ? i n ? 1 i n可经
i n i n ? 1 ? i 2 i1 .

次对换后变为排列

二、计算下列行列式(每小题9分,共18分).
1 1 2 3 3 ?1 ?1 2 1. D5 ? 2 3 ?1 ?1 1 2 3 0 ?2 2 1 1
高等代数第1章
58

1 2 0 1 0

x z 2. Dn ? z ? z

y x z ? z

y ? y x ? z

y

? y ? y ? ? ? x

三、解答题(9 分). 问? , ?取何值 , 齐次方程组
? ?x1 ? x2 ? x3 ? 0 ? ? x1 ? ?x2 ? x3 ? 0 ? x ? 2 ?x ? x ? 0 ? 1 2 3
高等代数第1章
59

有非零解?

四、证明(每小题8分,共24分).
a2 b2 1. 2 c d2 ? 0;

?a ? 1?2 2 ?b ? 1? ?c ? 1?2 2 ?d ? 1?

?a ? 2?2 2 ?b ? 2? ?c ? 2?2 2 ?d ? 2?

?a ? 3?2 2 ?b ? 3? ?c ? 3?2 2 ?d ? 3?

高等代数第1章

60

2 cos? 1 2. Dn ?

1 2 cos? 1

1
? ? 1 ? ? 1 2 cos?

1 sin?n ? 1?? ? ; sin ?

1 2 cos?

高等代数第1章

61

3 . 用数学归纳法证明

Dn ?

1 x1 2 x1
? n? 2 x1
n x1

1 x2 2 x2
? n? 2 x2
n x2

1 x3 2 x3

? ? n? 2 n? 2 x3 ? xn n n x3 ? xn
1? j ? i ? n

? ? ? ?

1 xn 2 xn

? ? x1 ? x 2 ? ? ? x n ? ?

?x

i

? x j ?, ?n ? 2 ?

高等代数第1章

62

五、(9分) 设 n 行列式
1 2 3 ? 1 2 0 ? Dn ? 1 0 3 ? ? ? ? ? 1 0 0 ? n 0 0
? n

求第一行各元素的代数余子式之和
A11 ? A12 ? ? ? A1n .
高等代数第1章
63

测试题答案
1. ?? 1? a; 2. 0; 3. ? 1998!; 一、 4. ?a 2 a3 ? b2 b3 ??a1a4 ? b1b4 ?; 5. 0;  
n

6. ?;   9. 0,0;  

7. ? 2;

8. ?a ? b ? c ? d n ? n ? 1? 10. . 2
2 2 2
n n ? ? ? ? y x?z ?z x? y

2 2

?;

二、 1. ? 170;

2.

三、 ? ? 0或? ? 0.
高等代数第1章

y?z n 1? ? 五、 n! ? 1 ? ? ? . j?2 j ? ?
64

.

例4

证明范德蒙德(Vandermonde)行列式

1 x1 Dn ? x12 ? x1n?1

1 x2 2 x2 ?

? ? ?

1 xn 2 xn ? ( xi ? x j ). n ? i ? j ?1 ?

?

(1)

n ?1 n ?1 ? xn x2

高等代数第1章

65

证明 用数学归纳法 1 (1)当n=2时, D2 ? x1

1 ? x 2 ? x1 ? ? ( xi ? x j ), x2 2 ? i ? j ?1 结论成立.

(2)设对n-1阶范德蒙德行列式结论成立,往证 n阶也成立.
1 1 ? ? ? 1 x1 Dn ? x12 ? x1n?1
高等代数第1章

x2
2 x2 ?

xn
2 xn ?

rn ? x1rn?1 rn?1 ? x1rn? 2 ? r2 ? x1r1

n ?1 n ?1 ? xn x2

66

1 0 ?0 ? 0

1 x2 ? x1 x2 ( x2 ? x1 ) ?
n? 2 x2 ( x2 ? x1 )

1 x3 ? x1 x3 ( x3 ? x1 ) ?

? ? ?

1 xn ? x1 xn ( xn ? x1 ) ?

n? 2 n? 2 x3 ( x3 ? x1 ) ? xn ( xn ? x1 )

按第 1列展开,并把每列的公 因子 ( x i ? x1 ) 提出 ,
? ( x2 ? x1 )( x3 ? x1 )?( xn ? x1 ) 1 x2 ?
n? 2 x2

1 x3 ?

? ?

1 xn ?

n? 2 n? 2 x3 ? xn

n-1阶范德蒙德行列式
高等代数第1章
67

? ( x2 ? x1 )( x3 ? x1 )?( xn ? x1 )

n? i ? j ? 2

?(x ? x )
i j

?

n ? i ? j ?1

? ( x ? x ).
i j

证毕.

学生练习:用降阶法 (按行按列展开) 计算行列式的值.

1 1 ?1 2 ?1 ?1 ?4 1 =57 2 4 ?6 1 1 2 4 2

高等代数第1章

68

计算方法:(1)化上(下)三角形法; (2)降阶法. 例5
1 2 4 3 4 ?1 4 1 4 3 2 3 11 0 9 2 r1 ? 4r2 r3 ? 2r2 ?7 2 0 3 0 ? 17 ? 8 1 4 3 0 ?5 5 0 9 2

? 7 ? 25 ? 8 ? 7 ? 17 ? 8 c2 ? c3 2? 2 0 0 5 按第二列展开 1 ? ( ?1) 0 ?5 5 3 11 2 3 9 2
按第二行展开

5 ? ( ?1)

2? 3

? 7 ? 25 ? 5(77 ? 75) ? 10 3 11
69

高等代数第1章

x?a a 例6 D ? a

a x?a a

? a

? a

a ? a ? x?a ? a ? ? ? a ? x?a a a

1 a c1 ?c2 ?? ?cn 1 x?a [ x ? ( n ? 2)a ] 1 a ? ? 1 a
高等代数第1章

a a x?a ? a

a ? a ? a ? ? ? ? x?a

70

r2 ? r1 r3 ? r1 ? rn ? r1

1 0 [ x ? ( n ? 2)a ] 0 ? 0

a x ? 2a 0 ? 0

a 0 x ? 2a ? 0

a ? 0 ? 0 ? ? ? ? x ? 2a

? [ x ? ( n ? 2)a ]( x ? 2a )n?1

高等代数第1章

71

1 1 例7 D ? 1 ? 1

1 2 0 ? 0

1 0 3 ? 0

? ? ? ? ?

1 a11 箭形行列式 0 0 0 目标:把第一列化为 ? ? 成上三角形行列式 0 n

c1 ?

1 1 1 c2 ? c3 ? ? ? cn 2 3 n

1 1? i?2 i 0 0 ? 0

?

n

1 1 ? 1 2 0 ? 0 ? n!(1 ? 0 3 ? 0 ? ? ? ? 0 0 ? n

?

1 ) i?2 i

n

高等代数第1章

72

例8

a1 ? b a2 a3 a1 a2 ? b a3 a2 a3 ? b D ? a1 ? ? ? a1 a2 a3 a1 ? b a2 b ?b b ? b 0 ? 0 a3 0 ? ?

an ? an ? an ? ? ? ? an ? b

r2 ? r1 r3 ? r1 ? rn ? r1

an 0 c1 ?c2 ?? ?cn ?b ? 0 ? ? ? 0 ? ?b
73

高等代数第1章

(a1 ? a2 ? ?an ) ? b a2 a3 ? ?b 0 ? 0 ? 0 0 ?b ? ? ? ? ? 0 0 0

an

0 0 ? ? ?b

? [(a1 ? a2 ? ?an ) ? b]( ? b )n?1

高等代数第1章

74

例9

x1 a D? a a

a x2 a a

a a x3 a

a a a x4

( xi ? a , i ? 1,2,3,4)

(可以化为箭形行列式)

r2 ? r1 r3 ? r1 r3 ? r1 r4 ? r1

x1 a ? x1 a ? x1 a ? x1

a a a x2 ? a 0 0 0 x3 ? a a 0 0 x4 ? a

高等代数第1章

75

x1 x1 ? a ? ( x1 ? a )( x 2 ? a )( x3 ? a )( x4 ? a ) ? 1 ?1 ?1

a x2 ? a 1 0 0

a x3 ? a 0 1 0

a x4 ? a 0 0 1

4 x1 a a a a ? x1 ? a i?2 xi ? a x2 ? a x3 ?a x4 ?a 4 c ? c ? c ? c 1 2 3 4 ( xi ? a ) 0 1 0 0 ? i ?1 0 0 1 0 0 0 0 1

?

x1 ?[ ? x1 ? a

?
i ?2

4

高等代数第1章

4 a ] ( xi ? a ) x i ? a i ?1

?

76

a b c d a a?b a?b?c a?b?c?d 例10 计算 D ? a 2a ? b 3a ? 2b ? c 4a ? 3b ? 2c ? d a 3a ? b 6a ? 3b ? c 10a ? 6b ? 3c ? d

解 (化上三角形法)
r4 ? r3 r3 ? r2 r2 ? r1

a b 0 a 0 0 a 0 0 0

c a?b

d a?b?c 3a ? 2 b ? c 6a ? 3b ? c d a?b?c 2a ? b 3a ? b

D

r4 ? r3 r3 ? r2

a 2a ? b a 3a ? b b c a a?b a 0 0 a
77

高等代数第1章

a b

c

d

0 a a?b a?b?c ? a 0 0 2a ? b 0 0 a 3a ? b

r4 ? r3

a 0 0 0

b c d a a?b a?b?c 0 a 2a ? b 0 0 a

? a4

高等代数第1章

78

例11 证明

a1 ? b1 a 2 ? b2 a 3 ? b3

b1 ? c1 b2 ? c2 b3 ? c3

c1 ? a1 a1 c2 ? a2 ? 2 a2 c3 ? a3 a3 c1 ? a1 c2 ? a2 c3 ? a3 c1 ? a1 c2 ? a2 c3 ? a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

证明1 左边

c1 ? c3 b1 ? c1 c2 ? c3 b2 ? c2
b3 ? c3 b1 2 b2 b3 b1 2 b2 b3

b1 ? a1 b2 ? a 2 b3 ? a 3 b1 ? a1 b2 ? a 2 b3 ? a 3 ? a1 ? a2 ? a3
79

c1 ? c2 ? c3

c2 ? c1

c1 ? a1 c2 ? a2 c3 ? a3

高等代数第1章

c2 ? c1

b1 2 b2 b3 b1 2 b2 b3

? a1 ? a2 ? a3 ? a1 ? a2 ? a3 b1 b2 b3

c1 ? a1 c2 ? a2 c3 ? a3 c1 c2 c3 c1 c2 =右边 c3
a 1 ? b1 a 2 ? b2 a 3 ? b3 b1 ? c 1 b2 ? c 2 b3 ? c 3 c1 ? a1 a1 c2 ? a2 ? 2 a2 c3 ? a3 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3

c3 ? c2
c1 ? c2

a1 c2 ? ( ?1) 2 a2 a3
证明

高等代数第1章

80

证明2 左边

c1 ? c2 ? c3

2(a1 ? b1 ? c1 ) b1 ? c1 2(a 2 ? b2 ? c2 ) b2 ? c2 2(a 3 ? b3 ? c3 ) b3 ? c3 b1 ? c1 b2 ? c2 b3 ? c3 ? a1 ? a2 ? a3 c1 ? a1 c2 ? a2 c3 ? a3

c1 ? a1 c2 ? a2 c3 ? a3

a1 ? b1 ? c1 c2 ? 2 2 a 2 ? b2 ? c2 a 3 ? b3 ? c3
c3 ? c1 c2 ? c1

a1 ? b1 ? c1 2 a 2 ? b2 ? c2 a 3 ? b3 ? c3 ? a1 ? a2 ? a3

c1 c1 ? c2 ? c3 2 c 2 c3
高等代数第1章

a1 ? b1 ? b2 c2 ? c1 2 a 2 a3 ? b3
81

? b1 ? b2 ? b3 c1 ? c3

b1 b2 b3

c1 c2 =右边 c3

证明3 (按列拆开) 左边 ?
a1 a2 a3 b1 ? b2 b3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 a1 a2 a3 b1 ? c1 b2 ? c2 b3 ? c3 c1 ? a1 c2 ? a2 c3 ? a3 c1 c2 c3 b1 ? b2 b3 c1 ? a1 c2 ? a2 c3 ? a3 b1 ? c1 b2 ? c2 b3 ? c3 b1 ? b2 b3 c1 ? a1 c2 ? a2 c3 ? a3 b1 b2 b3 c1 ? a1 c2 ? a2 c3 ? a3

?

c1 ? a1 a1 c2 ? a2 ? a2 c3 ? a3 a3 c1 ? a1 c2 ? a2 c3 ? a3

?

a1 2 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 =右边. c3

高等代数第1章

82

a a ? D2n ? a c ?

b

0
b d

b ?

例12 计算

0
c c

?

0
d d

0
0 b b 0
a 0 0 D6 ? 0 0 c

特点:“0”多
n?1
a b D2 ? c d

方法:降阶找递推公式.
n?2 a 0

n ? 3

0 a D4 ? 0 c d 0 c 0 0 d
83

0 a 0 0 c 0

0 0 a c 0 0

0 0 b d 0 0

0 b 0 0 d 0

b 0 0 0 0 d

高等代数第1章

解 按第1行展开,有
a ? a D2 n ? a ? c 0 ? c b d ? d ? 0 ? ? b 0

0 a ? ? ? ( ?1) 2 n?1 b ? 0 c c 0
a a b ? D2n ? ? a c c b d ? d d ?

b ? a c ? ? b d ? d ? 0
b

? 0 d

? adD2( n ?1) ? bcD2( n ?1)
? (ad ? bc ) D2( n ?1)
高等代数第1章
84

c

递推公式
D2 n ? ( ad ? bc ) D2( n ?1)
1

? (ad ? bc ) 2 D2( n ? 2 )

??
n ?1

? (ad ? bc )
? (ad ? bc )

n ?1

D2?1

? (ad ? bc ) n?1 D2 ? (ad ? bc )
n

a b c d

2018-5-4

高等代数第1章

85

a a ? a c ?

b

0
b d

b ?

例12 计算

D2n ?

0
c c

?

0
d d

0

又解

? c? 若 a ? 0, 则 把 第 一 行 的 ? ? ? 加 到 第 2n 行 ? a? ? c? 上,…,把第 n 行的 ? ? ? 加到第 n ? 1 行上,得到 ? a?

2018-5-4

高等代数第1章

86

a a ? a D2 n ? b bc d? a ? bc d? a ? b

b

bc ? n ? ? a n ? d ? ? ? ? ad ? bc ? a ? ?

n

bc d? a

2018-5-4

高等代数第1章

87

若 a ? 0 ,则
b b ? D2 n ? ? c c ? ( ?1)
n (2 n ?1)

b c d ? d d

? ( ?1)

2 n (2 n ?1) 2

? bc ?

n

? bc ?

n

?? ?( ?1)

2 n ?1

? ?

n

? bc ?

n

? ( ?1) ? bc ? ? ? ad ? bc ?
n n

n

即一般地有
2018-5-4

D2 n ? ? ad ? bc ?
88

n

高等代数第1章

???
1

?? ???
1

例13

Dn ?

?? ???
?

? ? 1

?? ???


Dn ? ?? ? ? ?Dn ?1 ? ??

1

?? 0 ???
1

?? ???
?

? ? 1

? (? ? ? ) Dn?1 ? ??Dn? 2
? ? n? 2 ( D2 ? ?D1 )
高等代数第1章
89

?? ???

n ?1

Dn ? ?Dn?1 ? ? ( Dn?1 ? ?Dn ? 2 ) ? ? 2 ( Dn ? 2 ? ?Dn ? 3 )

??

D2 ? (? ? ? ) ? ?? ,
2

D1 ? ? ? ?
(1) (2) (n-1)

Dn ? ? Dn ?1 ? ? n

Dn ?1 ? ?Dn ? 2 ? ? n ?1

?
D2 ? ?D1 ? ? 2

(1) ? ? ? ( 2) ? ? 2 ? ( 3) ? ? ? ? n ? 2 ? ( n ? 1)

Dn ? ? n ?1 D1 ? ? n ? ?? n ?1 ? ? 2 ? n ? 2 ? ? ? ? n ? 2 ? 2
Dn ? ? n ? ?? n ?1 ? ? 2 ? n ? 2 ? ? ? ? n ? 2 ? 2 ? ? n ?1 (? ? ? ).

高等代数第1章

90

关于代数余子式的重要性质
a i 1 A j 1 ? a i 2 A j 2 ? ? ? a in A jn ?
? D ,当 i ? j , aik A jk ? D? ij ? ? ? ? 0 ,当 i ? j; k ?1
n

a1i A1 j ? a 2 i A2 j ? ? ? a ni Anj ?
? D ,当 i ? j , aki Akj ? D? ij ? ? ? ? 0 , 当 i ? j; k ?1
n

?1 ,当 i ? j, 其中 ? ij ? ? ? 0 ,当 i ? j .
高等代数第1章
91

思考题

设n阶行列式
2 2 0 ? 0 3 0 3 ? 0 ? ? ? ? ?
n

1 1 Dn ? 1 ? 1

0 0 ? n

求第一行各元素的代数余子式之和
A11 ? A12 ? ? ? A1n .
高等代数第1章

92

思考题解答
解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
1 1 ?1 ? 1 1 2 0 ? 0 1 0 3 ? 0 ? ? ? ? ? 1 0 n ? 1? ?. 1 ? ? 0 ? n!? ? ? j j?2 ? ? ? n

A11 ? A12 ? ? ? A1n

高等代数第1章

93

参考内容:

例 3 行列式

1 a1 d ? a12 ? a1n ?1
证明

1 a2 2 a2 ?
n ?1 a2

1 a3 2 a3 ?

? ? ?

1 an 2 an ?

n ?1 n ?1 ? an a3

称为 n 级的范德蒙德 (Vandermonde) 行列式.

d ?

1? j ? i ? n
高等代数第1章

? (a
94

i

? a j ).

证明

对 n 作归纳法.

当 n = 2 时,

1 a1
结论成立.

1 ? a2 ? a1 , a2
在 n 级范德蒙德行

设对于 n - 1 级的范德蒙德行列式结论

成立,现在来看 n 级的情形.

列式中,第 n 行减去第 n - 1 行的 a1 倍,第 n - 1 行 减去第 n -2 行的 a1 倍. 也就是由下而上依次地从 每一行减去它上一行的 a1 倍,有
高等代数第1章
95

1 0

1 a2 ? a1

1 a3 ? a1

? ? ?

1 an ? a1

2 2 2 d ? 0 a2 ? a1a2 a3 ? a1a3 an ? a1an ? ? ? ? n ?1 n ?2 n ?1 n ?2 n ?1 n?2 0 a2 ? a1a2 a3 ? a1a3 ? an ? a1an

按第 1 列展开,并把列的公因子(ai - a1) 提出,得 1 1 ? 1 a2 a3 ? an 2 2 2 d ? (a2 ? a1 )(a3 ? a1 ) ?(an ? a1 ) a2 a3 ? an ? ? ? n?2 n?2 n?2 a2 a3 ? an
高等代数第1章
96

上式右端行列式是 n - 1 级范德蒙德行列式,按归 纳法假设,它等于所有 (ai - aj) 因子的乘积,其中 2?j<i?n. 故
2? j ?i ? n

d ? (a2 ? a1 )(a3 ? a1 ) ? (an ? a1 ) ?
1? j ?i ? n

? (a ? a )
i j

? (a ? a ) .
i j

证毕

高等代数第1章

97

例 4 证明
a11 ? a1k ? ? ak1 ? akk c11 ? c1k ? ? a11 ? a1k b11 ? b1r 0 ? 0 ? ? ? ? ?. b11 ? b1r ak1 ? akk br1 ? brr ? ? 0 ? 0 ? ?

cr1 ? crk br1 ? brr

证明

对 k 用数学归纳法.

当 k = 1 时,上式左边为
高等代数第1章
98

a11 0 ? 0 c11 b11 ? b1r ? ? ? cr 1 br1 ? brr

按第一行展开,就得到所要的结论. 假设当 k = m - 1 时结论成立,即左边行列式的 左上角是 m - 1 级时已经成立,现在再来证明 k=m 时,结论也成立. 当 k=m 时,按第一行展开,有

高等代数第1章

99

a11 ? a1m ? ?

0 ? 0 ? ?

am1 ? amm 0 ? 0 c11 ? c1m b11 ? b1r ? ? ? ? cr1 ? crm br1 ? brr

高等代数第1章

10

a22 ?

? a2 m ?

0 ?

?

0 ?

am 2 ? amm ? a11 c12 ? c1m ? ? cr 2 ? crm

0 ? 0 ?? b11 ? b1r ? ? br1 ? brr

高等代数第1章

10

a21 ? a2,i?1 ? ?
1?i

a2,i?1 ? a2m ? ?

0 ? 0 ? ?

am1 ? am,i?1 am,i?1 ? amm 0 ? 0 ? (?1) a1i c11 ? c1,i?1 c1,i?1 ? c1m b11 ? b1r ? ? cr1 ? cr ,i?1 ? cr ,i?1 ? crm ? ? br1 ? brr

高等代数第1章

10

a21 ? am1 1? m ? ? ? (?1) a1m c11 ? cr 1

? a2,m ?1 0 ? ? ? am ,m ?1 0 ? c1,m ?1 b11 ? ? ? cr ,m ?1 br1

?

0 ? 0

? ? b1r ? ? brr

高等代数第1章

10

? a 22 ? ? ? a11 ? ? ? am 2
1? i

? ?

a2m ? ?? a mm

a21 ? a2,i ?1 ? (?1) a1i ? ? am1 ? am ,i ?1

a2,i ?1 ? a2 m ? ? am ,i ?1 ? amm

a21 ? a2,m?1 ? b11 ? b1r ? 1? m ? ?? ? ? ? ? ? (?1) a1m ? am1 ? am,m?1 ? ? br1 ? brr
高等代数第1章
10

a11 ? a1k b11 ? b1r ? ? ? ? ? ? . ak1 ? akk br1 ? brr
这里第二个等号是用了归纳法假定,最后一步是 根据按一行展开的公式. 根据归纳法原理,结论普遍成立.

证毕
高等代数第1章
10


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