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数学奥林匹克初中训练题及答案2

数学奥林匹克初中训练题 2
第 一 试 一. 选择题.(每小题 7 分,共 42 分) ( )1.若 a , b 均为质数,且 a ? b ? 2003 ,则 a ? b 的值为:
2

(A)1999 (

(B)2000

(C)2001

(D)2002

)2.设 a ? 0 ? b ? c, a ? b ? c ? 1, , M ? 之间的关系是:(A) M ? N ? P (C) P ? M ? N

b?c a?c a?b ,N ? ,P ? ,则 M , N , P a b c (B) N ? P ? M (D) M ? P ? N

( )3.设Δ ABC 的三边长为 a, b, c 满足 b ? c ? 8, bc ? a2 ?12a ? 52 ,则Δ ABC 的周 长是: (A)10 (B)14 (C)16 (D)不能确定

( )4.下面四个命题:①直角三角形的两边长为 3,4,则第三边长为 5;② x ?

1 ? ?x , x

③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形;④若四边形 ABCD 中,AD∥BC,且 AB+BC=AD+DC,则四边形 ABCD 是平行四边形. 其中正确的命题的个数为:(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 ( )5.一个四位数 aabb 为平方数,则 a ? b 的值为:(A)11

????? ?

(B)10

(C)9

(D)8

( )6.如果满足 ?ABC ? 60O , AC ? 12, BC ? k 的Δ ABC 恰有一个,那么 k 的取值范 围是:(A) k ? 8 3 (B) 0 ? k ? 12 (C) k ? 12 (D) 0 ? k ? 12 或 k ? 8 3

二. 填空题.(每小题 7 分,共 28 分) 1.已知 a, b, c 为实数,且多项式 x ? ax ? bx ? c 能被 x ? 3x ? 4 整除,则 2a ? 2b ? c
3 2 2

的值是

. .

2.设正整数 a, b, c 满足 ab ? bc ? 518, ab ? ac ? 360 ,则 abc 的最大值是 3,若 abc =1,

x x x ? ? ? 2003 ,则 x = 1 ? a ? ab 1 ? b ? bc 1 ? c ? ac

.

4.如图 1,AB 是半圆 O 的直径,四边形 CDMN 和 DEFG 都是正方形,其中 C,D,E 在 AB 上,F,N 在半 圆上.若 AB=10,则正方形 CDMN 的面积与正方形 DEFG 的面积之和是 .

第 二 试 一.(20 分)若 AD 是Δ ABC 角平分线,I 是线段 AD 上的点,且 ?BIC ? 90 ?
O

1 ?BAC . 2

求证:I 是Δ ABC 的内心. 二.(25 分)用汽船拖载重量相等满载货物的小船若干只,在两港之间来回送货物.已知 每次拖 4 只小船,一日能来回 16 次;每次拖 7 只小船,一日能来回 10 次.每日来回次 数是拖小船只数的一次函数(一天中每次拖小船只数不变).问每日来回多少次,每次 拖多少只小船,才能使运货问题达到最大? 三.(25 分)设 a, b, c 是从 1 到 9 的互不相同的整数,求

a?b?c 的最大的可能值. abc


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