当前位置:首页 >> >>

算术平均数与几何平均数


6.2.3 算术平均数与几何平均数
●教学目标 (一)教学知识点 + 1.两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若 a,b∈R ,且 a+b=M,M 为定值, R 则 ab≤

M2 ,等号当且仅当 a=b 时成立. 4


2.两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若 a,b∈R ,且 ab=P,P 为定值, R 则 a+b≥2 P ,等号当且仅当 a=b 时成立. (二)能力训练要求 通过两个例题的研究,进一步掌握均值不等式定理,并会用此定理求某些函数的最大、 最小值. (三)德育渗透目标 掌握两个正数的算术平均数和几何平均数顺序定理及相应的一组不等式, 使学生认清定 理的结构特点和取“=”条件.要在分析具体问题的特点的过程中寻求运用公式的适当形式 和具体方式,自觉提高学生分析问题和解决问题的能力. ●教学重点 基本不等式 a +b ≥2ab 和
2 2

a+b ≥ ab (a>0,b>0)的应用,应注意: 2

(1)这两个数(或三个数)都必须是正数,例如:当 xy=4 时,如果没有 x、y 都为正数的 条件,就不能说 x+y 有最小值 4,因为若都是负数且满足 xy=4,x+y 也是负数,此时 x +y 可以取比 4 小的值. (2)这两个(或三个)数必须满足“和为定值”或“积为定值” ,如果找不出“定值”的条 件,就不能用这个定理.例如,求当 x>0 时,y=x +
2

1 1 2 的最小值,若写成 y=x + ≥ x x

2

x2

1 1 = 2 x ,就说“最小值为 2 x ”是错误的,因为 x2 不是定值,而 2 x 仍为 x x
2

随 x 变化而变化的值.正确的解法是:由于 x

1 1 1 1 1 2 2 = 为定值,故 x + =x + 2x 2x 4 x 2x



1 1 3 1 33 2 2 ≥3 3 x = 3 2 ,即 y 的最小值为 . 2x 2x 2 2x 2
(3)要保证等号确定能成立,如果等号不能成立,那么求出的值仍不是最值. ●教学难点 如何凑成两个(或三个)数的和或积是定值.例如“教学重点”(2)中 y=x +
2

1 凑成 y= x

x 2+

1 1 + . 2x 2x
●教学方法 启发式教学法 ●教具准备

投影片一张 记作§6.2.2 A 几个重要的不等式 2 2 R ,当且仅当 a=b 时取“=”号. 1.a +b ≥2ab(a,b∈R)

a+b ≥ ab (a>0,b>0) ,当且仅当 a=b 时取“=”号. 2 b a 3. + ≥2(ab>0) ,当且仅当 a=b 时取“=”号. a b a+b+c 3 ≥ abc (a>0,b>0,c>0) ,当且仅当 a=b=c 时取“=”号. 4. 3
2. 5.a +b +c ≥3abc(a>0,b>0,c>0) ,当且仅当 a=b=c 时取“=”号. ●教学过程 Ⅰ.课题导入 上一节课, 我们学习了一个重要定理: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 (以下简称均值不等式).这个定理有时可以直接运用, 有时用它的变形或推广形式, (打出投 影片§6.2.2 A,教师引导学生略作分析),使同学们掌握下面几个重要的不等式: 2 2 (1)a +b ≥2ab(a,b∈R) R ,当且仅当 a=b 时取“=”号;
3 3 3

a+b ≥ ab (a>0,b>0) ,当且仅当 a=b 时取“=”号; 2 b a (3) + ≥2(ab>0) ,当且仅当 a=b 时取“=”号; a b a+b+c 3 (4) ≥ abc (a>0,b>0,c>0) ,当且仅当 a=b=c 时取“=”号; 3
(2) (5)a +b +c ≥3abc(a>0,b>0,c>0) ,当且仅当 a=b=c 时取“=”号. 在此基础上,上述重要不等式有着广泛的应用,例如:证明不等式,求函数最值,判断 变量或数学式子的取值范围等等.它们涉及到的题目活, 变形多, 必须把握好凑形技巧.今天, 我们就来进一步学习均值不等式的应用. Ⅱ.讲授新课 [例 1]已知 x、y 都是正数,求证: (1)如果积 xy 是定值 P,那么当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 P ; (2)如果和 x+y 是定值 S,那么当 x=y 时,积 xy 有最大值
3 3 3

1 2 S. 4

[师]本题显然是均值不等式的应用,在运用均值不等式时应注意: “算术平均数”是 以“和”为其本质特征,而“几何平均数”是以“积”为其本质特征. [生]∵x,y 都是正数 ∴

x+ y ≥ 2

xy x+ y ≥ P, 2

(1)当积 xy=P 为定值时,有 即 x+y≥2 P .

上式中,当 x=y 时取“=”号,因此,当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 P .

(3)当和 x+y=S 为定值时,有 xy ≤ 即 xy≤

S , 2

1 2 S. 4 1 2 S. 4

上式中,当 x=y 时取“=”号,因此,当 x=y 时积 xy 有最大值

[师生共析]通过对本题的证明,运用均值不等式解决函数的最值问题时,有下面的方 法:若两个正数之和为定值,则当且仅当两数相等时,它们的积有最大值;若两个正数之积 为定值,则当且仅当两数相等时,它们的和有最小值. 在利用均值不等式求函数的最值问题时, 我们应把握好以下两点: (1)函数式中, 各项(必 要时,还要考虑常数项)必须都是正数.例如,对于函数式 x+

1 ,当 x<0 时,绝不能错误 x 1 1 1 地认为关系式 x+ ≥2 成立,并由此得出 x+ 的最小值是 2.事实上,当 x<0 时,x+ x x x 1 1 1 的最大值是-2,这是因为 x<0 -x>0,- >0 -(x+ )=(-x)+(- ) x x x

≥2 ( x ) ( ) =2 x+

1 x

1 ≤-2.可以看出,最大值是-2,它在 x=-1 时取得.(2)函 x

数式中,含变数的各项的和或积必须是常数,并且只有当各项相等时,才能利用均值不等式 求函数的最值. [例 2]已知 a,b,c,d 都是正数,求证(ab+cd) ac+bd)≥4abcd. ( [师]运用均值不等式,结合不等式的基本性质,是证明本题的关键. [生]∵a,b,c,d 都是正数, ∴ab>0,cd>0,ac>0,bd>0. ∴

ab + cd ≥ ab cd >0, 2 ac + bd ≥ ac bd >0. 2

由不等式的性质定理 4 的推论 1,得

( ab + cd )( ac + bd ) ≥abcd 4
即(ab+cd) ac+bd)≥4abcd. ( [师生共析]用均值不等式证明题时,要注意为达到目标可先宏观,而后微观;均值不 等式在运用时, 常需先凑形后运用; 均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的 行之有效的方法. 利用算术平均数与几何平均数的关系定理(均值不等式), 可以很容易地解决本章开始的 引言中提出的问题: 3 2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800 m ,深为 3 m,如果池底每 1 m 2 的造价为 150 元,池壁每 1 m 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总 造价是多少元? [师]应用题的最值问题,主要是选取适当的变量,再依据题设,建立数学模型(即函 数关系式),由变量和常量之间的关系,选取基本不等式求最值. (在教师的引导分析下,师生共同完成解答过程).

[生]设水池底面一边的长度为 x m,则另一边的长度为

4800 m,又设水池总造价为 3x

l元.根据题意,得 l=150×

4800 4800 +120(2×3x+2×3× ) 3 3x 1600 =240000+720(x+ ). x

≥240000+720×2 x

1600 x

=240000+720×2×40=297600. 当 x=

1600 ,即 x=40 时,l有最小值 297600. x

因此,当水池的底面是边长为 40 m 的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是 297600 元. [师生共析] 我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利 解决了本章引例中的问题.用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行: (1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数; (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题; (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)正确写出答案. Ⅲ.课堂练习 1.已知 x≠0,当 x 取什么值时,x +

81 的值最小?最小值是多少? x2 81 81 2 2 分析:注意到 x + 2 是和的形式,再看 x 2 =81 为定值,从而可求和的最小值. x x 81 2 解:x≠0 x >0, 2 >0. x
2

∴x +

2

81 2 81 ≥2 x 2 =18, 2 x x
2

81 ,即 x=±3 时取“=”号. x2 2 81 故 x=±3 时,x + 2 的值最小,其最小值是 18. x
当且仅当 x = 2.一段长为L m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少 时,菜园的面积最大,最大面积是多少? 分析:均值不等式在实际问题中的应用相当广泛,解题过程中要(1)先构造定值,(2) 建立函数关系式,(3)验证“=”号成立,(4)确定正确答案. 解法一:设矩形菜园的宽为 x m,则长为(L-2x)m,其中 0<x<

1 ,其面积 2

S=x(L-2x)


1 1 2 x + L 2 x 2 L2 2x(L-2x)≤ ( ) = 2 2 2 8

当且仅当 2x=L-2x,即 x=

L L L 时菜园面积最大,即菜园长 m,宽为 m 时菜园面 4 2 4

积最大为

L2 2 m. 8 Lx m,面积 2

解法二:设矩形的长为 x m,则宽为

S=

x( L x) ( x L x ) 2 = 2 2

x+Lx 2 ) L2 2 2 ≤ = (m ). 2 8 L L 当且仅当 x=L-x,即 x= (m)时,矩形的面积最大.也就是菜园的长为 m,宽为 2 2 ( L L2 2 m 时,菜园的面积最大,最大面积为 m. 4 8
3.设 0<x<2,求函数 f(x)= 3x (8 3x ) 的最大值,并求出相应的 x 值. 分析:根据均值不等式: ab ≤ 8-3x 是否为正数;二要考查式子 解:∵0<x<2 ∴3x>0,8-3x>0

a+b ,研究 3x (8 3x ) 的最值时,一要考虑 3x 与 2

1 [3x+(8-3x) ]是否为定值. 2

3 x + (8 3 x ) =4 2 4 当且仅当 3x=8-3x 时,即 x= 时取“=”号. 3 4 故函数 f(x)的最大值为 4,此时 x= . 3
∴f(x)= 3x (8 3x ) ≤ Ⅳ.课时小结 本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其推广的几个重要不 等式顺利解决了函数的一些最值问题.在解决问题时,我们重点从以下三个方面加以考虑: 一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值); 二是合理寻求各因式或项的积或和为定 值;三是确定等号能够成立.只有这样,我们才能在分析具体问题的特点的过程当中合理运 用公式的适当形式和具体方式,解决某些函数的最值问题. Ⅴ.课后作业 (一)课本 P11 习题 6.2 4、5、7. (二)1.预习内容:课本 P12 §6.3.1 不等式的证明. 2.预习提纲: (1)用比较法证明不等式. (2)用比较法证明不等式的一般步骤:

作差(或商)→变形→判断差的符号(或商与 1 的大小)→得证. ●板书设计 §6.2.2 算术平均数与几何平均数(二) 一、定理 [例 2] 课时小结

a+b ≥ ab 2
(a>0,b>0). 二、定理的应用 [例 1] 课堂练习 课后作业


相关文章:
6-算术平均数与几何平均数习题精选精讲
6-算术平均数与几何平均数习题精选精讲 - 例1 已知 a, b, c ? R ,求证 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca. c 2 ? a 2 ? 2ca , ...
不等式的性质--算术平均数与几何平均数(1)
不等式的性质--算术平均数与几何平均数(1)_初三语文_语文_初中教育_教育专区。高中数学(上册)教案 第二章 不等式(第 4 课时) 保康县职业高级中学:洪培福 ...
算术平均数与几何平均数(一)
算术平均数与几何平均数(一) - (1)掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一重要定理; (2)能运用定理证明不等式及求一些函数的最值; (3)...
算术平均数与几何平均数
算术平均数与几何平均数 - 《算术平均数与几何平均数》 【教学目标】 (1) 知识目标 使学生能准确表达两个重要不等式;理解它们成立的条件和意义;能正确运 用...
算术平均数与几何平均数
算术平均数与几何平均数 - 班级 姓名 学号 课题 算术平均数和几何平均数 一.方法点拨: 1.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 2.理解四个平均数的...
算术平均数与几何平均数(一)-教学教案
算术平均数与几何平均数(一)-教学教案 - (1)掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一重要定理; (2)能运用定理证明不等式及求一些函数的最值...
《算术平均数与几何平均数》教案及说明
算术平均数与几何平均数》教案及说明_数学_高中教育_教育专区。《算术平均数与几何平均数》 【教学目标】 (1) 知识目标 使学生能准确表达两个重要不等式;理解...
算术平均数与几何平均数
算术平均数与几何平均数 - 典型例题一 例 1 已知 a, b, c ? R ,求证 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca. 2 2 2 证明:∵ a 2 ? b 2 ? 2ab...
算术平均数与几何平均数训练题
算术平均数与几何平均数训练题 - 算术平均数与几何平均数训练题 一、选择题 + (1)若 x,y∈R ,且 x+y=S,xy=P,则下列命题中正确的是( A 当且仅当 x...
第5课时算术平均数与几何平均数的运用
第5课时算术平均数与几何平均数的运用 - 第九课时 基本不等式(二) 教学目标: 使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题。 教学重点、难点:...
更多相关标签: