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中山市华侨中学2016届高三3月高考模拟考试(理数)


中山市华侨中学 2016 届高三 3 月高考模拟考试 数学(理科)
本试卷共 4 页,24 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自 己的姓名、准考证号填写在答题卷上. 2. 回答第Ⅰ卷时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑. 如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卷上,写在本试卷上无效. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合 A ? x x ? 1 ? 2 , B ? x log 2 x ? 2 ,则 A ? B =( A.

?

?

?

?

) D. ? ?1, 4?

??1,3?

B. ? ??,4?

C.

? 0,3?

2.命题“ ?x ? ?

?? ? , ? , sin x ? cos x ? 2 ”的否定是( ) ?2 ? ? ?? ? ?? ? A. ?x ? ? , ? ?, sin x ? cos x ? 2 B. ?x ? ? , ? ?, sin x ? cos x ? 2 ?2 ? ?2 ? ?? ? ?? ? C. ?x ? ? , ? ?, sin x ? cos x ? 2 D. ?x ? ? , ? ?, sin x ? cos x ? 2 ?2 ? ?2 ?
) D.4

3 3.直线 y ? 2 x 与曲线 y ? x 围成的封闭图形的面积是(

A.1

B. 2 2

C.2

4.已知等比数列{ a n }中, a2 ? a8 ? 4a5 , 等差数列 ?bn ? 中, b4 ? b6 ? a5 ,则数列 ?bn ? 的前 9 项和 s9 等于( A. 9 ) B. 18

5.已知函数 f ( x ) ? 2sin(? ? x )sin( x ? 函数 g ( x ) ? cos(2 x ? ? ) 的图象( A.关于点 (

?
3

C. 36

D. 72

? ? ) 的图象关于原点对称,其中 ? ? (0, ? ) ,则

) B.可由函数 f ( ? x ) 的图象向右平移

? 个单位得到; 6 ? D.可由函数 f ( x ) 的图象向右平移 个单位得到. 3
C.可由函数 f ( x ) 的图象向左平移

? , 0) 对称; 12

? 个单位得到; 12

6. 已知函数 f ? x ? ? ln x ? x2 ? 1 , 若实数 a , b 满足 f ? a ? ? f ?b ? 2? ? 0 , 则 a ? b ?(
1

?

?



A. 0

B. ?1

C. 2

D. ?2

7.右图给出的是计算

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 的 2 4 6 20

值的一个程序框图,其中判断框内应填入 的条件是( ) A. i ? 10 B. i ? 10 C. i ? 20 D. i ? 20 8.如下图,已知 | OA |? 1,| OB |? 3, OA ? OB ? 0 ,
0 点 C 在线段 AB 上, 且 ?AOC ? 30 , 设 OC ? mOA ? nOB ? m, n ? R ? ,则

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

m 等于 ( n



A.

1 3

B.

3 3

C.3

D. 3

9.设 F1,F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a , b ? 0) 的左、右焦点, a 2 b2

若双曲线右支上存在一点 P 满足 PF2 ? F1 F2 ,且 cos ?PF1 F2 ? 程为( ) B. 3 x ? 5 y ? 0 C. 3 x ? 4 y ? 0

4 ,则双曲线的渐近线方 5

A. 4 x ? 3 y ? 0

D. 5 x ? 4 y ? 0

10. 已知 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 ( ) A. 等腰直角三角形 B.锐角三角形

a b ? ? 2c ,则 ?ABC 是 sin B sin A

C. 等边三角形

D.钝角三角形

11.某四面体的三视图如图所示,正视图、俯视图都是腰长 为 2 的等腰直角三角形,左视图是边长为 2 的正方形,则此
正视图

四面体的四个面中面积最大的为( A. 2 2 C. 2 3
x

)

左视图

B. 4 D. 2 6
3 x

俯视图

12.设函数 f ( x) ? e ( x ? 3 x ? 3) ? ae ? x, ( x ? ?2) ,若不等式 f ( x) ≤0 有解. 则实数 a 的 最小值为( A. ) B. 2 ?

2 ?1 e

2 e
2

C. 1 ? 2e 2

D. 1 ?

1 e

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 13.设实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0, 则 x ? 2 y 的最大值为_________. ? y ? 0. ?

3? ? ?) 25? 2 2 ) 的值为 14. 已知 f (? ) ? ,则 f ( ? 3 cos( ?? ? ? ) tan(? ? ? ) cos( ? ? )sin(

?



? log3 x , 0 ? x ? 3 ? 15 . 已 知 f ? x ? ? ? 1 , a, b, c, d 是 互 不 相 同 的 正 数 , 且 10 2 ? x ? x ? 8, x ? 3 3 ?3 ; f ? a ? ? f ?b? ? f ? c? ? f ? d ? ,则 abcd 的取值范围是
16 . 已 知 等 差 数 列 {an } 中 ,

a1 ? 1 , 公 差 d ? 0 , 且 a1, a 2, a 5成 等 比 数 列 ,


bn ? ( ?1)n?1

n ,则数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ? an an?1

三、解答题(17—21 为必做题,每题满分 12 分) 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 b ? ac, 且a ? c ? ac ? bc
2 2 2

(1)求 ?A 的大小; ( 2 ) 设 f ( x) ? cos(? x ?

f ( x)在[0, ] 的最大值。 2
18.(本小题满分 12 分) 如图,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上异于 A、 B 的一个动点,DC 垂直于圆 O 所在的平面, DC ∥ EB , DC ? EB ? 1 , AB ? 4 . (1)求证: DE ? 平面 ACD ; (2)若 AC ? BC ,求平面 AED 与平面 ABE 所成的锐二面角的 余弦值.

?

A ) ? sin(? x )(? ? 0) 且 f ( x) 的 最 小 正 周 期 为 ? , 求 2

19. (本小题满分 12 分) 设一个口袋中装有 10 个球其中红球 2 个,绿球 3 个,白球 5 个,这三种球除颜色外完 全相同.从中一次任意选取 3 个,取后不放回. (1)求三种颜色球各取到 1 个的概率; (2)设 X 表示取到的红球的个数,求 X 的分布列与数学期望.

3

20. (本小题满分 12 分) 已知直线 x ? y ? 1 ? 0 经过椭圆 S:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点和一个顶点. a 2 b2

(1)求椭圆 S 的方程; (2)如图,M,N 分别是椭圆 S 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的 y 斜率为 k . ①若直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; P ②对任意 k ? 0 ,求证: PA ? PB . M A 21. ( 本小题满分 12 分)
x 2

O C N

B x

设函数 f ( x) ? ae ( x ? 1) (其中 e ? 2.718 28. . . ) , g ( x) ? x ? bx ? 2 ,已知它们在

x ? 0 处有相同的切线.
(Ⅰ) 求函数 f ( x) , g ( x) 的解析式; (Ⅱ) 求函数 f ( x) 在 ?t , t ? 1? (t ? ?3) 上的最小值; (Ⅲ) 若对 ?x ? ?2 , kf ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 k 的取值范围. 四、解答题(三选一,多选者以第一题的分数计入总分) 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 AB 为半圆 O 的直径,C 为圆弧上一点,过点 C 作半圆的切线 CF,过点 A 作 CF 的垂线, 垂足为 D, AD 交半圆于点 E, 连结 EC, BC, AC. (Ⅰ)证明:AC 平分 ? BAD ; (Ⅱ)若 AB=3,DE=

3 ,求 ?ABC 的面积. 4

23. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数) . ? y ? ?4 ? 2 sin ?

(Ⅰ)以原点为极点. x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)已知 A(?2, 0), B(0, 2) ,圆 C 上任意一点 M ( x, y ) ,求△ ABM 面积的最大值. 24. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2x ? 2 ? x ? 2 . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 2 的解集;
2 (Ⅱ)若 ?x ? R , f ( x ) ? t ?

7 t 恒成立,求实数 t 的取值范围. 2

4

数学(理科)参考答案
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 B 5 D 6 C 7 A 8 C
n ?1

9 A

10 A

11 C

12 B

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13. 4; 14.

1 ; 2

15. ? 21, 24? ;

16. [1 ? ( ?1)

1 4

1 ] 2n ? 1

三、解答题(17—21 为必做题,每题满分 12 分) 17. (本小题满分 12 分)
2 2 2 (1)∵ b ? ac, 且a ? c ? ac ? bc ∴ b ? c ? a ? bc
2 2 2

∴ cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 bc 1 ? ? 2bc 2bc 2

又∵0<x< ?

∴A=

? 3

……6 分

(2). f ( x ) = cos(? x ?

?
6

) ? sin ? x =

3 1 cos?x + sin ? x + sin ? x 2 2

= ∵

3 3 ? cos?x + sin ? x == sin( ? x+ ) 2 2 6
2?

?

=?

∴ ? =2

……………9 分

∴ f ( x) = ∵ x ? [0,

?
2

]

? ) 6 ? ? ? 7? ∴2x+ ? [ , ] ∴ x ? 时 f ( x)max ? 3 .………12 分 6 6 6 6
3 sin(2x+

18. (本小题满分 12 分) 【命题意图】 考查立体几何中线面关系的判定和性质; 空间向量 知识的运用及二面角的计算. 【解析】 (1)∵DC⊥面 ABC,∴DC⊥BC, 又∵AB 是 ? O 的直径,∴AC⊥BC AC∩DC=C, AC , DC ? 面 ACD,∴BC⊥平面 ACD 又∵DC//EB,DC=EB,∴四边形 BCDE 是平行四边形, ∴DE//BC ∴DE⊥平面 ACD. ……4 分 (2)如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系, 则 A 2 2, 0, 0 , D ? 0, 0,1? , B 0, 2 2, 0 , E 0.2 2,1

?? ? n1 ? 1, 0, 2 2 …8 分

???? ???? AD ? ?2 2, 0,1 , DE ? 0, 2 2, 0 ,…… 6 分 ?? ? ???? ? ?? ? ?n1 ? AD ? ?2 2 x ? z ? 0 设平面 ADE 的一个法向量 n1 ? ? x, y , z ? ,则 ? ?? ,令 x ? 1 得 ? ???? n ? DE ? 2 2 y ? 0 ? ? 1

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

5

?? ? ??? ? ?? ? ? ?n1 ? AB ? ?2 2 x ? 2 2 y ? 0 设平面 ABE 的一个法向量 n2 ? ? x, y, z ? , ? ?? , ? ??? ? ? ?n1 ? BE ? z ? 0 ?? ? 令 x ? 1 得 n2 ? ?1,1, 0 ? ,……10 分 ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? n1 ? n2 1 2 2 ,∴所求余弦值为 .……12 分 ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ? ?? ? ? 6 6 n1 ? n2 3 ? 2
19. (本小题满分 12 分) 解: (1)设 A 表示事件“三种颜色的球各取到一个” ……2 分 则 P( A) ?
1 1 1 C2 C3C5 1 ? 3 C10 4

……6 分 ……7 分
1 2 C2 C 7 P( X ? 1) ? 3 8 ? C10 15 2 1 C2 C 1 P( X ? 2) ? 3 8 ? C10 15

(2)X 的所有可能值为 0,1,2
3 C8 7 且 P( X ? 0) ? 3 ? C10 15

X 的分布列为 X P 0 1 2

7 15

7 15

1 15
……10 分

E( X ) ? 0 ?

7 7 1 3 ? 1? ? 2 ? ? (个) 15 15 15 5

……12 分

20. (本小题满分 12 分) 解: (1)在直线 x ? y ? 1 ? 0 中令 x ? 0 得 y ? 1 ;……1 分 令 y ? 0 得 x ? ?1 ……2 分 ……3 分 y P (2)① M (? 2,0) , N (0, ?1) ,M、N 的 中点坐标为( ? M ……6 分 A N O C B x

? c ? b ? 1,
则椭圆方程为

? a2 ? 2

x2 ? y 2 ? 1 ……4 分 2

1 2 2 , ? ),所以 k ? 2 2 2

x2 2 ? y 2 ? 1,解得 x ? ? ②法一:将直线 PA 方程 y ? kx 代入 ……7 分 2 2 2k ? 1

6



2 2k ? 1
2

? m ,则 P(m, mk ) , A(?m, ?mk ) ,于是 C (m,0) ,故直线 AB 方程为
……8 分

y?

0 ? mk k ( x ? m) ? ( x ? m) m?m 2

代入椭圆方程得 (k 2 ? 2) x2 ? 2k 2mx ? k 2m2 ? 4 ? 0 ,……9 分

2k 2 m m(3k 2 ? 2) mk 3 , 2 ) 由 xB ? x A ? 2 ,因此 B( k ?2 k2 ? 2 k ?2

……10 分

??? ? m(3k 2 ? 2) ??? ? mk 3 2mk 2 ?2mk ? m , ? mk ) ? ( , ) ……11 分 ? AP ? (2m, 2mk ) , PB ? ( k2 ? 2 k2 ? 2 k2 ? 2 k2 ? 2

??? ? ??? ? 2mk 2 ?2mk ? AP?PB ? 2 ? 2m ? 2 ? 2mk ? 0 k ?2 k ?2

? P A? P B

……12 分 ……7 分 ……8 分

法二:由题意设 P( x0 , y0 ), A(? x0 , ? y0 ), B( x1 , y1 ), 则C( x0 ,0) , ∵ A、C、B 三点共线,?

y y ?y y1 ? 0 ? 1 0, x1 ? x0 2 x0 x1 ? x0

又因为点 P、B 在椭圆上,?

x0 2 y0 2 x2 y2 ? ? 1, 1 ? 1 ? 1 , 2 1 2 1
……10 分

……9 分

两式相减得: k PB ? ?

x0 ? x1 2( y0 ? y1 )

? kPAkPB ?
? PA ? PB

y0 x ?x ( y ? y )( x ? x ) [? 0 1 ] ? ? 1 0 0 1 ? ?1 x0 2( y0 ? y1 ) ( x1 ? x0 )( y0 ? y1 )
……12 分

……11 分

21. ( 本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? ae ( x ? 2) , g ?( x) ? 2 x ? b .由题意两函数在 x ? 0 处有相同的切 线.
x

∴?

? f ?(0) ? g?(0) ? f (0) ? g(0)

∴?

? 2a ? b ?a ? 2

∴ a ? 2, b ? 4 .

……2 分

? f ( x) ? 2e x ( x ? 1) , g ( x) ? x 2 ? 4 x ? 2

……3 分

x (Ⅱ) f ?( x) ? 2e ( x ? 2) ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?2 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?2 ,

7

? f ( x) 在 (?2,??) 单调递增,在 (??,?2) 单调递减. ? t ? ?3 ? t ? 1 ? ?2
?当 ? 3 ? t ? ?2 时, f ( x) 在 ?t ,?2? 单调递减,在 ?? 2,t ? 1? 单调递增,

? f ( x)min ? f (?2) ? ?2e?2
?当 t ? ?2 时, f ( x) 在 ?t , t ? 1? 单调递增,

? f ( x) ? f (t ) ? 2et (t ? 1) ; min
x

?? 2e?2 (?3 ? t ? ?2) f ( x) min ? ? t ? 2e (t ? 1), t ? ?2
2

……7 分

(Ⅲ)解法一:∵ f ( x) ? 2e ( x ? 1) , g ( x) ? x ? 4 x ? 2

?x ? ?2, kf ( x) ? g ( x) 恒成立; ∴ 2k ( x ? 1)e x ? x 2 ? 4 x ? 2 (①) (1)当 x ? ?1 时, k ? R , (①)式恒成立;

……8 分 ……9 分

x2 ? 4 x ? 2 (2)当 x ? [?2, ?1) 时,由(①)得: 2k ? ( x ? 1)e x
令 H ( x) ?

x2 ? 4 x ? 2 , x ? [?2, ?1) ( x ? 1)e x ? x( x ? 2)2 ? 0 对 x ? [?2, ?1) 恒成立; ( x ? 1)2 e x

∴ H ?( x) ?

∴ H ( x ) 在区间 [?2, ?1) 上是增函数, H ( x)min ? H (?2) ? 2e2 ∴ 2k ? 2e , 即 k ? e ,
2 2

……10 分

(3)当 x ? (?1, ??) 时,由(①)得: 2k ?

x2 ? 4 x ? 2 ( x ? 1)e x

令 H ( x) ?

x2 ? 4 x ? 2 , x ? ( ?1, ??) ; ( x ? 1)e x ? x( x ? 2)2 ?0 , ( x ? 1)2 e x

∴当 x ? ( ?1,0) 时, H ?( x) ?

当 x ? (0, ??) 时, H ?( x ) ?

? x( x ? 2)2 ? 0; ( x ? 1)2 e x

∴ H ( x ) 在区间 ( ?1,0) 上是增函数,在 (0, ??) 上是减函数, H ( x)min ? H (0) ? 2 ∴ 2k ? 2, 即 k ? 1,
8

……11 分

综合(1)(2)(3)可得实数 k 的取值范围是 1 ? k ? e .
2

……12 分

解法二:令 F ( x) ? kf ( x) ? g ( x) ? 2kex ( x ? 1) ? x 2 ? 4 x ? 2 , 由题意,当 x ? ?2 , F ( x) min ? 0 .

? ?x ? ?2 , kf ( x) ? g ( x) 恒成立, ? F (0) ? 2k ? 2 ? 0 ,? k ? 1 .

F ?( x) ? 2kex ( x ? 1) ? 2kex ? 2x ? 4 ? 2( x ? 2)(kex ?1) ,
? x ? ?2 ,由 F ?( x) ? 0 得 e x ?
由 F ?( x) ? 0 得 x ? ln

1 1 ,? x ? ln . k k

1 k
……10 分

1? ? ? 1 ? ? F ( x) 在 ? ? ?, ln ? 单调递减,在 ?ln ,?? ? 单调递增. k? ? ? k ?
? 当 ln

1 ? ?2 ,即 k ? e 2 时, F ( x) 在 ?? 2,??? 单调递增, k 2 F ( x) min ? F (?2) ? ?2ke ? 2 ? 2 ? 2 (e 2 ? k ) ? 0 ,不满足 F ( x) min ? 0 . e 1 2 当 ln ? ?2 ,即 k ? e 时,由? k 2 F ( x) min ? F (?2) ? 2 (e 2 ? k ) ? 0 知 满足 F ( x) min ? 0 . e 1 1? ? ? 1 ? ? ?2 ,即 1 ? k ? e 2 时, F ( x) 在 ?? 2, ln ? 单调递减,在 ?ln ,?? ? 单调递增, k k? ? ? k ?

?当 ln

1 F ( x) min ? F (ln ) ? ln k (2 ? ln k ) ? 0 ,满足 F ( x) min ? 0 . k
∴ 实数 k 的取值范围是 1 ? k ? e .
2

四、解答题(三选一,多选者以前一题的分数计入总分) 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解答: (Ⅰ)证明:由 CD 为半圆 O 的切线,根据弦切角定理得 ?DCA ? ?CBA ,
0 又因为 ?CDA ? ?BCA ? 90 ,得 ?BAC ? ?CAD ,

所以 AC 平分 ? BAD ;…(5 分) (Ⅱ)解:由 CD 为半圆 O 的切线,根据弦切角定理得 ?DCE ? ?CDA , 又因为 ?CAD ? ?CAB ,所以 ?DCE ? ?CAB ,

DE CB ? CE AB 3 3 又因为 EC=BC,AB=3, DE ? ,所以 BC ? ,即 4 2
可得 ?DCE ? ?CAB ,则

9

S?ABC ?

9 3 …(10 分) 8

23. (本题满分 10 分) 【解】 (1)圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数) ? y ? ?4 ? 2 sin ?
……………2 分 ………5 分 ………6 分

所以普通方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4

? 圆 C 化为极坐标方程: ? 2 ? 6? cos? ? 8? sin ? ? 21 ? 0
(2)点 M ( x, y ) 到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离为

d?

| 2 cos? ? 2 sin ? ? 9 | 2

………7 分

△ ABM 的面积

S?

1 ? ? | AB | ?d ?| 2 cos ? ? 2 sin ? ? 9 |?| 2 2 sin( ? ? ) ? 9 | 2 4

…………9 分 ………10 分

所以△ ABM 面积的最大值为 9 ? 2 2 |3-(-4)+2| 9 【解 2】圆心 C(3,-4)到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d= = , 2 2 点 M ( x, y ) 到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离最大值为 1 9 △ ABM 的面积最大值 × 2 2× ( +2)= 9 ? 2 2 2 2 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 【解】 (1)不等式 f ( x) ? 2 等价于 9 +2, 2

? x ? ?1 ??1 ? x ? 2 ?x ? 1 或? 或? ……2 分 ? ??(2 x ? 2) ? ( x ? 2) ? 2 ?(2 x ? 2) ? ( x ? 2) ? 2 ?(2 x ? 2) ? ( x ? 2) ? 2
解得: x ? ?6 或 ∴x?

2 ? x ?2或x ? 2 3

2 或x ? ?6 3

∴不等式的解集为 ? x | x ?

? ?

2 ? 或x ? ?6 ? . 3 ?

………5 分

(2)∵

?? x ? 4 ,x ? ? 1 ? f ( x )? ? 3 x? , ? 1x ? 2 ? x ? 4 ,x ? 2 ?

10

∴ f ( x)min ? f (?1) ? ?3 ,
2 若 ?x ? R , f ( x ) ? t ?

…………8 分

则只需 f ( x) min 综上所述

11 t 恒成立, 2 7 3 ? ?3 ? t 2 ? t ? 2t 2 ? 7t ? 6 ? 0 ? ? t ? 2 , 2 2
…………10 分

3 ? t ? 2. 2

11


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