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圆的标准方程说课稿


圆的标准方程

《圆的标准方程》说课稿
各位评委,大家好!今天我说课的课题是《圆的标准方程》 。下面我将从四 个方面来阐述我对这节课的教学认识, 分别是教材教学背景分析、 教法学法分析、 教学过程分析和板书设计。 首先,我对本节课的教材教学背景进行分析。在这里我分四点说明。

一、教材教学背景分析 (一)本节在教材中的出处、地位和作用。 《圆的标准方程》这一节课选自普通高中课程标准试验教科书数学必修 2 第四章第一节。 圆是常见的简单几何图形, 在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。圆的 方程属于解析几何学的基础知识,是研究二次曲线的开端。圆的标准方程是在学 生学习了圆的概念和基本性质的基础上, 进一步运用坐标法解决实际问题的一次 实践。 这节课为后续的直线与圆的位置关系,圆锥曲线等内容的学习提供了基本 模式和理论基础。 故本节课的内容在整个解析几何知识体系中起着承前启后的作 用。 (二)学情分析。 通过上一章对直线的方程的学习, 学生已初步掌握了坐标法和求曲线方程的 一般方法。 再加上学生在初中时已经学习了圆的定义及其基本性质。故学生具备 了自主探究的客观条件。 但是学生是由高中开始才学习解析几何的,接触的时间 不长,学习的程度不深,且对坐标法的运用仍不够熟悉。故学生在学习的过程中 难免会遇到困难。另外,学生的探究能力以及合作交流意识仍有待提高。 美国的教育心理学家布鲁姆的目标分类教学理论中提到, 教育目标应分为认 知,情感和动作技能三个领域。根据新课标理念、布鲁姆的目标分类教学理论以 及上述的教材教学背景与学情分析,考虑学生已有的心理特征和认知结构,我制 定如下教学目标、 (三)教学目标 1、知识与技能目标 ①掌握圆的标准方程,了解其推导过程。

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②能根据圆心, 半径熟练地写出圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练准确地 找出圆心,半径。 ③能利用圆的标准方程解决简单的实际问题。 2、过程与方法目标 ①培养学生用代数的方法解决几何问题的能力。 ②加深学生数形结合的思想和加强学生对待定系数法的运用能力。 ③培养学生自主探究,合作交流的能力。 3、情感态度价值观目标 ①培养学生积极思考,主动探究知识,合作交流的意识。 ②让学生感受数学的现实美,抽象美,体会圆的标准方程形成过程的严谨美,让 学生在体验数学美的过程中激发学习的兴趣。 根据上述对教材,学情,教学目的的分析,我确定如下的教学重点和难点。 (四)教学重点与难点 1、重点:圆的标准方程的求法及应用。 2、难点:会根据不同的已知条件求圆的标准方程。 为了使学生达到本节设定的教学目标,我再从教法和学法上进行分析。

二、教法学法分析 1、教法分析 构建主义教学理论认为: 学习过程不是一个被动接受信息的过程,而是学习 者积极主动地建构自己知识的过程。因此,为了达到预期的教学目标,本节课通 过老师与学生间的相互探究和交流进行教学,即以启发式教学法为主,以讲练结 合法、谈话法等展开教学。在探究的过程中,教师着眼于“导” ,采用问题驱动 的形式,激发学生的求知欲望。教师用环环相扣的问题将探究活动层层深入,使 教师总是站在学生思维的最近发展区上。学生着眼于“探” ,通过探究发现规律, 发展探索能力和创造力。 2、学法分析 根据新课程标准理念, 学生是学习的主体, 教师只是学习的帮助者, 引导者。 考虑到圆的标准方程的学习难度不大,本节课老师着重于引导学生学习,学生采

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用自主探究的方法进行学习。 学生通过推导圆的标准方程,加深对用坐标法求轨 迹方程的理解;通过应用圆的标准方程,熟悉用待定系数法求 a,b,r 的过程。 3、教学手段分析 为了提高课堂的效率, 我采用多媒体辅助教学。多媒体工具可以在课堂上真 实地再现实际问题,直观地指引学生建立数学模型,同时增加学生的学习兴趣, 一举多得。 下面我就对具体的教学过程和设计加以说明。

三、教学过程分析 整个教学过程包括以下五个环节: 复习引入 探求新知 应用举例,巩固练习 课堂小结 布置作业

(一)复习引入 在前面一章中, 学生已经学习了直线方程的相关知识。所以我会先跟学生复 习回顾关于确定直线方程的知识: 确定一条直线的要素是要知道直线上的两个点 或者知道直线的斜率和直线上的一个点。接着我就会提问:那如果我们要确定一 个圆,我们要知道哪些要素呢?从而达到激发学生思考的效果。 构建主义教学理论认为, 学习并不是知识的简单积累,它包含新旧知识的冲 突而引发的观念转变和结构重组,是新旧经验的双向的相互作用的过程。因此, 此环节中我着眼于新旧知识的联系,从前面的确定直线方程过渡到确定圆的方 程。这样让学生主动地去思考问题,获取知识,不但易于保持知识,而且易于迁 移知识。 (二)探求新知 1、待学生思考片刻后,我继续发问:大家回想一下我们当时是如何得出直线的 方程的?我们是根据直线的一些性质确定直线方程的。 那我们是不是也可以根据 圆的一些基本性质来确定圆的方程呢?具有什么样的性质的点的轨迹称为圆? 这里表面上是对学生提问,实际上是为学生自主探究指明方向。 2、平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆。定点即圆心,定长即半径。 我继续发问: 圆的这一定义能帮助我们得到圆的方程吗?此时我将让学生彼此合 作, 类比求直线方程的步骤来求圆的方程。 如果学生在求方程的过程中遇到困难,

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我再作适当提示:考虑运用两点间的距离公式。 3、有了上面的铺垫,我再在黑板上给出圆的标准方程的推导过程。 首先,如左图建立直角坐标系。在直角坐标系中作一个任 意圆,圆心 C 的位置用坐标(a,b)表示,圆上任意点 M (x,y)到圆心的距离用半径 r 表示。则圆心为 C,半径 为 r 的圆的集合就是

P ? M? MC ? r ? ? ?

?

?。

由两点间的距离公式,点 M 的坐标适合的条件可以表示为
( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r

将上式两边平方,容易得到

(x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2
2 2 2 ( 则 x ? a) ? ( y ? b) ? r 为圆的标准方程。 接着, 我会引导学生用同样的方式求出

圆心在原点,半径为 r 的圆的标准方程: x2 ? y 2 ? r 2 。 严谨的推导过程能让学生感受数学的严谨美。推导过程难度不到,相信部分 学生在老师讲解前已能自行完成, 其他的学生也容易在老师讲解后理解整个推导 过程,数形结合的思想利于学生记忆公式。
2 2 2 ( 4、 推出圆的标准方程后, 我将针对圆的标准方程 x ? a) ? ( y ? b) ? r 进行讲解。

对于确定的标准方程,圆心坐标及半径容易从标准方程中得出,分别为(a,b) 和 r。相同地,对于确定的圆心坐标以及半径,圆的标准方程能容易写出,主要 运用的是待定系数法。 为了进一步培养学生的严谨思维,我将引导学生从坐标是 方程的解的点必在圆上, 圆上的点的坐标必定是方程的解这两个方面来验证方程 的正确性。 求圆的标准方程是本节课的重点也是难点。上述的过程中,我先让学生动手 尝试推导圆的标准方程,继而熟悉圆心,半径与圆的标准方程之间的关系,逐步 理解三个参数的重要性,让学生自然形成待定系数法的解题思路。 本节课的重难点是求圆的标准方程,为了让学生更好地理解所学知识,我根 据学生的认知规律, 给出了以下关于圆的标准方程的三个层次的练习例题,突出 重点和突破难点,希望构建由浅入深的学习环境,让学生更深入地,更有效地联

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系巩固所学的知识。 (三)应用举例,巩固练习 1、层次一:直接应用,加深印象 ⑴写出下列各圆的标准方程,并判断 Q(0,1)是否在圆上。 ① 圆心在原点,半径为 1。 ② 经过点 P(5,3) ,圆心在点 C(8,-3) 。 ⑵写出圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? (?2)2 的圆心坐标和半径。 层次一的习题较为简单, 学生基本可以口头回答。第一题是直接或间接地给 出圆心坐标和半径等求圆的方程, 并探究点在圆上, 点在圆内, 点在圆外的条件, 第二题是给出圆的标准方程求圆的圆心坐标和半径。 选这部分题目的目的是让学 生熟悉掌握点,圆心坐标,半径和标准方程之间的关系,为后面对圆的标准方程 更深入的研究作准备。 2、层次二:灵活运用,能力提升 ⑴△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(5,1) ,B(7,-3) ,C(2,-8) 。求它的 外接圆方程。 ⑵已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1)和 B(2,-2) ,且圆心 C 在直线 x-y+1=0 上,求此圆的方程。 ⑶求过点 C(1,4) ,圆心在 3x-y=0 上且与 y 轴相切的圆的方程。
2 2 ⑷已知圆的方程为 x ? y ? 25,求过圆上一点 A(4,-3)的切线方程。

层次二的题目要求学生灵活地运用圆的标准方程以及待定系数法。 第一题直 接由三点唯一确定一个圆, 把点代入方程解方程组即可。第二题要求学生综合运 用直线方程所涉及的知识, 把直线方程作为手段来求圆的标准方程。第三题和第 四题都是关于圆的切线问题的。 第三题需运用待定系数法确定圆心坐标和半径再 求解,从而理解必须具备三个独立条件(a,b,r)才可以确定一个圆。第四题 则是可以用多种方式解题。 在第四题的多种方式解题探究中,我将带领学生自主 地得出多种解法,使探究气氛达到高潮。 3、层次三:实际应用,巩固练习 如右图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图, 该圆拱跨度 AB=20m,拱高 OP=4m,在建造
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时每隔 4m 需用一个支柱支撑,求支柱 A2 P2 的长度(精确到 0.01m) 。 层次三的这道题目贴近生活, 我会让两个学生上黑板做答, 其他人在草稿纸 上练习。 这道例题同样是运用待定系数法求出圆的三个参数, 使学生形成解决问 题的一般方法。 夸美纽斯认为所学知识需及时巩固, 在巩固的过程中也可以培养 学生独立解决问题的能力。在例题讲解后,通过抽个别同学上黑板演算,其余同 学在草稿本上完成练习的方式来掌握学生的学习情况, 从而对讲解内容作适当的 补充提醒从而达到巩固知识的效果。 (四)课堂小结 根据艾宾浩斯遗忘规律,越先学习的东西越容易忘记,因此,我认为对所 学知识进行及时的总结和回顾是很有必要的。以下是我的课堂小结:
2 2 2 ( 1、圆心为 C(a,b) ,半径为 r 的圆的标准方程为 x ? a) ? ( y ? b) ? r 。 2 2 2 圆心为原点,半径为 r 的圆的标准方程为 x ? y ? r 。

2、求圆的标准方程的一般方法:直接带入法,待定系数法。 (五)布置作业 我将作业分成三个层次, 根据循序渐进的原则,使学生能充分理解巩固新知 识同时给学有余力的学生自由发挥的空间。另外,我会设置一道思考题,为下节 课“圆的一般方程”做铺垫。 1、必做题:P127,1、2、3、4. 2、选做题:长为 2a 的线段 AB 的两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动, 求线段 AB 的中的的轨迹方程。
2 2 2 3、思 考 题 : 圆 的 标 准 方 程(x ? a) ? ( y ? b) ? r 展 开 后 是 什 么 形 式 ?

x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 表示什么图形?
最后,我对我本节课的板书设计进行说明。

四、板书设计 板书是学生认识所学知识最直接的途径, 板书的好坏很大程度上影响一节课 的质量。为了使板书清晰明了,重点突出,在运用多媒体辅助教学的基础上,我 将黑板分成两块,第一块写本节课的重难点,第二块写例题的解题过程(例题题
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目由屏幕显示) 。具体布局如下:

4.1 圆的标准方程 圆心 C 在(a,b) ,半 径为 r 的圆的标准方程 为 多媒体展示

(x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2
圆心在原点,半径为 r 的圆的标准方程为

例题解答

x2 ? y 2 ? r 2

以上就是我对这节课的教学认识, 但具体教学过程仍需要根据学生上课的具 体情况进行调整。最后,我以赫尔巴特的一句名言结束我的说课,发挥我们的创 造性,力争使教育过程成为一种艺术的事业。谢谢!

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