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2010年上海市中考数学试卷及答案(Word版)

2010 年上海市初中毕业统一学业考试 数学试卷
考生注意: 1.本试卷含三个大题,共 25 题; 2.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效; 3. 除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一、选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1.下列实数中,是无理数的为( ) 1 A. 3.14 B. C. 3 D. 9 3 2.在平面直角坐标系中,反比例函数 y = A.第一、三象限
2

k ( k<0 ) 图像的量支分别在( x B.第二、四象限 C.第一、二象限

) D.第三、四象限

3.已知一元二次方程 x ? x ? 1 ? 0 ,下列判断正确的是( ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 4.某市五月份连续五天的日最高气温分别为 23、20、20、21、26(单位:°C),这组数据的中位数和众数分 别是( ) A. 22°C,26°C B. 22°C,20°C C. 21°C,26°C D. 21°C,20°C 5.下列命题中,是真命题的为( ) A.锐角三角形都相似 B.直角三角形都相似

C.等腰三角形都相似

D.等边三角形都相似

6.已知圆 O1、圆 O2 的半径不相等,圆 O1 的半径长为 3,若圆 O2 上的点 A 满足 AO1 = 3,则圆 O1 与圆 O2 的位置关 系是( ) A.相交或相切 B.相切或相离 C.相交或内含 D.相切或内含 二、填空题:(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 3 2 7.计算: a ÷ a = __________. 8.计算:( x + 1 ) ( x ─ 1 ) = ____________. 9.分解因式:a ─ a b = ______________. 10.不等式 3 x ─ 2 > 0 的解集是____________. 11.方程 x + 6 = x 的根是____________.
2

1

12.已知函数 f ( x ) =

1 ,那么 f ( ─ 1 ) = ___________. x + 1
2

13.将直线 y = 2 x ─ 4 向上平移 5 个单位后,所得直线的表达式是______________. 14.若将分别写有“生活”、“城市”的 2 张卡片,随机放入“ 让 更美好”中的两个 个 只放 1 张卡片),则其中的文字恰好组成“城市让生活更美好”的概率是__________ 15.如图 1,平行四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 交于点 O 设向量 内(每

???? ? ??? ? ? AD ? a, AB ? b ,则向量
A D

???? AO ? __________.(结果用 a 、 b 表示)
D O C

A D

160

E
A
图1

B

B

图2

C

O

1
图3

2

B

图4

C

16.如图 2,△ABC 中,点 D 在边 AB 上,满足∠ACD =∠ABC,若 AC = 2,AD = 1,则 DB = __________. 17.一辆汽车在行驶过程中,路程 y(千米)与时间 x(小时)之间的函数关系如图 3 所示 当时 0≤x≤1,y 关于 x 的函数解析式为 y = 60 x,那么当 1≤x≤2 时,y 关于 x 的函数解析式为_____________. 18.已知正方形 ABCD 中,点 E 在边 DC 上,DE = 2,EC = 1(如图 4 所示) 把线段 AE 绕点 A 旋转,使点 E 落 在直线 BC 上的点 F 处,则 F、C 两点的距离为___________. 三、解答题:(本大题共 7 题,19 ~ 22 题每题 10 分,23、24 题每题 12 分,25 题 14 分,满分 78 分) 1 1 4 19.计算: 27 3 ? ( 3 ? 1)2 ? ( )?1 ? 2 3 ?1

x 2 x ─ 2 20.解方程: ─ ─ 1 = 0 x ─ 1 x

2

21.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”,如图 5 所示,“海宝”从圆心 O 出发,先沿北偏西 67.4°方向行走 13 米至点 A 处,再沿正南方向行走 14 米至点 B 处,最后沿正东方向行走至点 C 处,点 B、C 都在圆 O 上.(1)求弦 BC 的长;(2)求圆 O 的半径长. 北 12 5 12 (本题参考数据:sin 67.4° = ,cos 67.4° = ,tan 67.4° = ) N 13 13 5
A
67.4?

O B S 南
图5

C

22.某环保小组为了解世博园的游客在园区内购买瓶装饮料数量的情况,一天,他们分别在 A、B、C 三个出口 处, 对离开园区的游客进行调查,其中在 A 出口调查所得的数据整理后绘成图 6. (1)在 A 出口的被调查游客中,购买 2 瓶及 2 瓶以上饮料 的游客人数占 A 出口的被调查游客人数的__________%. 人数(万 (2)试问 A 出口的被调查游客在园区内人均购买了多少瓶饮 人) 料? 3 (3)已知 B、C 两个出口的被调查游客在园区内人均购买饮料 2.5 2 的数量如表一所示 若 C 出口的被调查人数比 B 出口的被 1.5 调查人数多 2 万,且 B、C 两个出口的被调查游客在园区 1 内共购买了 49 万瓶饮料,试问 B 出口的被调查游客人数 为多少万?
0 1 2
图6

3

4 饮料数量
(瓶)

出 口 人均购买饮料数量 (瓶)
表 一

B 3

C 2

3

23.已知梯形 ABCD 中,AD//BC,AB=AD(如图 7 所示),∠BAD 的平分线 AE 交 BC 于点 E,连结 DE. (1)在图 7 中,用尺规作∠BAD 的平分线 AE(保留作图痕迹,不写作法),并证明四边形 ABED 是菱形; (2)∠ABC=60°,EC=2BE,求证:ED⊥DC.

A

D

B

图7

C

24.已知平面直角坐标系 xOy,抛物线 y=-x +bx+c 过点 A(4,0)、B(1,3) . (1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标; (2)记该抛物线的对称轴为直线 l,设抛物线上的点 P(m,n)在第四象限,点 P 关于直线 l 的对称点为 E,点 E 关于 y 轴的对称点为 F,若四边形 OAPF 的面积为 20,求 m、n 的值.

2

4

25.如图 9,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°.半径为 1 的圆 A 与边 AB 相交于点 D,与边 AC 相交于点 E,连结 DE 并延长,与线段 BC 的延长线交于点 P. (1)当∠B=30°时,连结 AP,若△AEP 与△BDP 相似,求 CE 的长; (2)若 CE=2,BD=BC,求∠BPD 的正切值; (3)若 tan ?BPD ?

1 ,设 CE=x,△ABC 的周长为 y,求 y 关于 x 的函数关系式. 3

图9

图 10(备用)

图 11(备用)

5

2010 年上海市初中毕业统一学业考试 数学试卷参考答案
一、 1、C; 二、 7、a; 选择题 2、B; 填空题 8、x -1;
2

3、B;

4、D;

5、D;

6、A

9、a(a-b) ;

10、x>2/3;

11、x=3;

12、1/2 ; 13、y=2x+1;

???? 1 ? ? 14、1/2; 15、 AO= b ? a 2

?

?



16、3; 17、y=100x-40; 18、1 或 5.

三、

解答题

19. 解:原式 ? 3 27 ?

? 3?
2

2

? 2 3 ?1?

1 ? 1 2

4

?

?

3 ?1

3 ?1

??

?

3 ?1

?

? 3 ? 3 ? 2 3 ?1? 2 ? ?5?2 3 ?2 3 ?2 ?3

? 3?

4 3?4 ? 12

20.解: x ? x ? ? 2x ? 2 ?? x ? 1? ? 1 ? x ? ? x ? 1? ? 0

x2 ? 2 ? x2 ? 2x ? 1? ? x2 ? x ? 0

x2 ? 2 ? x ? 1? ? x ? x ? 1? ? 0
2

?2 x 2 ? 4 x ? 2 ? x ? 0 2 x2 ? 5x ? 2 ? 0 ? 2x ? 1?? x ? 2? ? 0

1 ∴ x ? 或x ? 2 2 代入检验得符合要求

21. (1)解:过点 O 作 OD⊥AB,则∠AOD+∠AON= 900 , 5 即:sin∠AOD=cos∠AON= 13 5 12 即:AD=AO× =5,OD=AO×sin 67.4° =AO× =12 13 13 又沿正南方向行走 14 米至点 B 处, 最后沿正东方向行走至点 C 处 ∴AB∥NS,AB⊥BC,所以 E 点位 BC 的中点,且 BE=DO= 12 ∴BC=24 (2)解:连接 OB,则 OE=BD=AB-AD=14-5=9 又在 RT△BOE 中,BE=12,

N

A D O E B S C

6

所以 BO ? OE 2 ? BE 2 ? 92 ? 122 ? 225 ? 15 即圆 O 的半径长为 15 22. 解:(1)由图 6 知,购买 2 瓶及 2 瓶以上饮料的游客人数为 2.5+2+1.5=6(万人) 而总人数为:1+3+2.5+2+1.5=10(万人) 6 所以购买 2 瓶及 2 瓶以 上饮料的游客人数占 A 出口的被调查游客人数的 ? 100% ? 60% 10 (2)购买饮料总数位:3×1+2.5×2+2×3+1.5×4=3+5+6+6=20(万瓶) 购买饮料总数 20万瓶 ? ? 2瓶 人均购买= 总人数 10万人 (3)设 B 出口人数为 x 万人,则 C 出口人数为(x+2)万人 则有 3x+2(x+2)=49 解之得 x=9 所以设 B 出口游客人数为 9 万人 23.(1)解:分别以点 B、D 为圆心,以大于 AB 的长度为半径,分别作弧,且两弧交于一点 P,则连接 AP, 即 AP 即为∠BAD 的平分线,且 AP 交 BC 于点 E, ∵AB=AD, ∴△ABO≌△AOD ∴BO=OD ∵AD//BC, ∴∠OBE=∠ODA, ∠OAD=OEB ∴△BOE≌△DOA ∴BE=AD(平行且相等) ∴四边形 ABDE 为平行四边形,另 AB=AD, ∴四边形 ADBE 为菱形 (2)设 DE=2a,则 CE=4a,过点 D 作 DF⊥BC ∵∠ABC=60°, ∴∠DEF=60°, ∴∠EDF=30°, 1 ∴EF= DE=a,则 DF= 3a ,CF=CE-EF=4a-a=3a, 2 ∴ CD ? DF 2 ? CF 2 ? 3a2 ? 9a2 ? 2 3a ∴DE=2a,EC=4a,CD= 2 3a ,构成一组勾股数, ∴△EDC 为直角三角形,则 ED⊥DC 24.(1)解:将 A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得: ??42 ? 4b ? c ? 0 ? ? 2 ? ??1 ? b ? c ? 3 解之得:b=4,c=0 所以抛物线的表达式为: y ? ? x2 ? 4x 将抛物线的表达式配方得: y ? ?x2 ? 4x ? ? ? x ? 2? ? 4
2

7

所以对称轴为 x=2,顶点坐标为(2,4) (2)点 p(m,n)关于直线 x=2 的对称点坐标为点 E(4-m,n), 则点 E 关于 y 轴对称点为点 F 坐标为(4-m,-n),[来源:学.科.网] 则四边形 OAPF 可以分为:三角形 OFA 与三角形 OAP,则

SOFAP ? S?OFA ? S?OPA = S?OFA ? ? OA ? n
代入抛物线方程得 m=5 25. (1)解:∵∠B=30°∠ACB=90° ∴∠BAC=60° ∵AD=AE ∴∠AED=60°=∠CEP ∴∠EPC=30° ∴三角形 BDP 为等腰三角形 ∵△AEP 与△BDP 相似 ∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30° ∴AE=EP=1 1 1 ∴在 RT△ECP 中,EC= EP= 2 2 (2)过点 D 作 DQ⊥AC 于点 Q,且设 AQ=a,BD=x ∵AE=1,EC=2 ∴QC=3-a ∵∠ACB=90° ∴△ADQ 与△ABC 相似 AD AQ ∴ ? AB AC 1 a 即 ? , x ?1 3 3 ∴a? x ?1

1 2

+ S?OPA ?

1 ? OA ? n = 4 n =20 2

所以 n =5,因为点 P 为第四象限的点,所以 n<0,所以 n= -5

? 3 ? ∵在 RT△ADQ 中 DQ ? AD2 ? AQ2 ? 1 ? ? ? ? ? x ?1? DQ AD ∵ ? BC AB

2

x2 ? 2 x ? 8 x ?1

x2 ? 2 x ? 8 1 x ?1 ∴ ? x x ?1 解之得 x=4,即 BC=4 过点 C 作 CF//DP ∴△ADE 与△AFC 相似, AE AD ∴ ,即 AF=AC,即 DF=EC=2, ? AC AF ∴BF=DF=2

A D F B E C P Q

8

∵△BFC 与△BDP 相似 BF BC 2 1 ∴ ? ? ? ,即:BC=CP=4 BD BP 4 2 EC 2 1 ∴tan∠BPD= ? ? CP 4 2 (3)过 D 点作 DQ⊥AC 于点 Q,则△DQE 与△PCE 相似,设 AQ=a,则 QE=1-a 1 QE DQ ∴ 且 tan ?BPD ? ? EC CP 3 ∴ DQ ? 3 ?1 ? a ? ∵在 Rt△ADQ 中,据勾股定理得: AD2 ? AQ2 ? DQ2 2 4 即: 12 ? a 2 ? ? ?3 ?1 ? a ?? ? ,解之得 a ? 1(舍去)a ? 5 ∵△ADQ 与△ABC 相似 4 AD DQ AQ 4 5 ? ? ? ? ∴ AB BC AC 1 ? x 5 ? 5 x 5 ? 5x 3 ? 3x ∴ AB ? , BC ? 4 4 5 ? 5 x 3 ? 3x ∴三角形 ABC 的周长 y ? AB ? BC ? AC ? ? ? 1 ? x ? 3 ? 3x 4 4 即: y ? 3 ? 3x ,其中 x>0

9


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