当前位置:首页 >> 数学 >>

平面直角坐标系与一次函数、反比例数(基础) - 学生


中考总复习:平面直角坐标系与一次函数、反比例函数(基础)
考点一、平面直角坐标系 1.平面直角坐标系平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系, 坐标平面内一点对应的有序实 数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系,就可以把“形” (平面内的点)和“数” (有序实数对)紧密结 合起来. 2.各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点 点 P(x,y)在第一象限 ? x ? 0, y ? 0 ;点 P(x,y)在第二象限 ? x ? 0, y ? 0 ; 点 P(x,y)在第三象限 ? x ? 0, y ? 0 ;点 P(x,y)在第四象限 ? x ? 0, y ? 0 ; 点 P(x,y)在 x 轴上 ? y ? 0 ,x 为任意实数;点 P(x,y)在 y 轴上 ? x ? 0 ,y 为任意实数; 点 P(x,y)既在 x 轴上,又在 y 轴上 ? x,y 同时为零,即点 P 坐标为(0,0). 3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 ? x 与 y 相等; 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 ? x 与 y 互为相反数. 4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同; 位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同. 5.关于 x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征 点 P 与点 p′关于 x 轴对称 ? 横坐标相等,纵坐标互为相反数; 点 P 与点 p′关于 y 轴对称 ? 纵坐标相等,横坐标互为相反数; 点 P 与点 p′关于原点对称 ? 横、纵坐标均互为相反数. 6.点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离 (1)点 P(x,y)到 x 轴的距离等于 y ; (2)点 P(x,y)到 y 轴的距离等于 x ;
2 2 (3)点 P(x,y)到原点的距离等于 x ? y .

要点诠释: (1)注意:x 轴和 y 轴上的点,不属于任何象限; (2)平面内点的坐标是有序实数对,当 a ? b 时, (a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标. 考点二、函数 1.函数的概念设在某个变化过程中有两个变量 x、y,如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值,y 都有唯一确定 的值与它相对应,那么就说 y 是 x 的函数,x 叫做自变量. 2.自变量的取值范围对于实际问题,自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题,自变量取值应保证数学 式子有意义. 3.表示方法⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法. 4.画函数图象 (1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值; (2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点; (3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来. 要点诠释: (1)在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量; (2)确定自变量取值范围的原则:①使代数式有意义;②使实际问题有意义. 考点三、几种基本函数(定义→图象→性质) 1.正比例函数及其图象性质 (1)正比例函数:如果 y=kx(k 是常数,k≠0),那么 y 叫做 x 的正比例函数. (2)正比例函数 y=kx( k≠0)的 图象: 过(0,0) , (1,K)两点的一条直线.

(3)正比例函数 y=kx(k≠0)的性质

①当 k>0 时,图象经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大;
1

②当 k<0 时,图象经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小 . 2.一次函数及其图象性质 (1)一次函数:如果 y=kx+b(k,b 是常数,k≠0),那么 y 叫做 x 的一次函数.

(2)一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象

(3) 一次函数 y=kx+b (k≠0)的图象的性质

b 一次函数 y=kx+b 的图象是经过(0, b)点和 (? ,0) 点的一条直线. ① k

当 k>0 时,y 随 x 的增大而增大;②当 k<0 时,y 随 x 的增大而减小. 要点诠释: (1)当 b=0 时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例; (2)确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式 y ? kx (k ? 0)中的常数 k. 确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式 y ? kx ? b (k ? 0)中的常数 k 和 b. 解这类问题的一般方法是待定系数法. 3.反比例函数及其图象性质(1)定义:一般地,形如 y ? 三种形式: y ?

k ( k 为常数, k ? o )的函数称为反比例函数. x

k ?1 (k≠0)或 y ? kx (k≠0)或 xy=k(k≠0). x

(2)反比例函数解析式的特征:①等号左边是函数 y ,等号右边是一个分式.分子是不为零的常数 k (也叫做比 例系数 k ) ,分母中含有自变量 x ,且指数为 1;②比例系数 k ? 0 ;③自变量 x 的取值为一切非零实数; ④函数 y 的取值是一切非零实数.(3)反比例函数的图象 ①图象的画法:描点法列表(应以 O 为中心,沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数) ; 描点(由小到大的顺序) ;连线(从左到右光滑的曲线).②反比例函数的图象是双曲线, y ?

k ( k 为常 x

数, k ? 0 )中自变量 x ? 0 ,函数值 y ? 0 ,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分逐渐靠近坐标 轴, 但是永远不与坐标轴相交.③反比例函数的图象是轴对称图形 (对称轴是 y ? x 和 y ? ?x ) 和中心对称图形 (对 称中心是坐标原点).④反比例函数 y ?

k k ( k ? 0 )中比例系数 k 的几何意义是:过双曲线 y ? ( k ? 0 )上任 x x

意点引 x 轴、 y 轴的垂线,所得矩形面积为 k . (4)反比例函数性质: 反比例 函数

y?

k (k ? 0) x
2

k 的符号

k>0

k<0

图像

性质

①x 的取值范围是 x ? 0, y 的取值范围是 y ? 0; ②当 k>0 时,函数图像的两个分支分别 在第一、三象限.在每个象限内,y 随 x 的增大而减小.

①x 的取值范围是 x ? 0, y 的取值范围是 y ? 0; ②当 k<0 时,函数图像的两个分支分别 在第二、四象限.在每个象限内,y 随 x 的增大而增大.

(5)反比例函数解析式的确定:利用待定系数法(只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出 k ) (6) “反比例关系”与“反比例函数” :成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数 y ?

k 中的两个 x

变量必成反比例关系. 要点诠释: (1)用待定系数法求解析式(列方程[组]求解) ; (2)利用一次(正比例)函数、反比例函数的图象求 不等式的解集. 【典型例题】类型一、坐标平面有关的计算 例 1. 已知点 A(a,-5),B(8,b),根据下列要求确定 a,b 的值. (1)A,B 两点关于 y 轴对称; (2)A,B 两点关于原点对称; (4)A,B 两点都在一、三象限的角平分线上. (3)AB∥x 轴;

【变式】已知点 A 的坐标为(-2,-1).

(1)如果 B 为 x 轴上一点,且 AB ? 10 ,求 B 点的坐标; (3)如果 D 为函数 y=2x-1 图象

(2)如果 C 为 y 轴上的一点,并且 C 到原点的距离为 3,求线段 AC 的长; 上一点, AD ? 5 ,求 D 点的坐标.

例 2.已知某一函数图象如图所示. (1)求自变量 x 的取值范围和函数 y 的取值范围; (2)求当 x=0 时,y 的对应值; (3)求当 y=0 时,x 的对应值; (4)当 x 为何值时,函数值最大; (5)当 x 为何值时,函数值最小; (6)当 y 随 x 的增大而增大时,求 x 的取值范围; (7)当 y 随 x 的增大而减小时,求 x 的取值范围.

【变式 1】下图是韩老师早晨出门散步时,离家的距离 y 与时间 x 的函数图象.若用黑点表示韩老师家的位置,则 韩老师散步行走的路线可能是( )
3

【变式 2】图形中的曲线不表示 y 是 x 的函数的是(

).

类型二、一次函数
例 3.周末,小明骑自行车从家里出发到野外郊游.从家出发 0.5 小时后到达甲地,游玩一段时间后按原速前往乙 地.小明离家 1 小时 20 分钟后,妈妈驾车沿相同路线前往乙地,如图是他们离家的路程 y(km)与小明离家时间 x (h)的函数图象.已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的 3 倍. (1)求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间; (2)小明从家出发多少小时后被妈妈追上?此时离家多远? (3)若妈妈比小明早 10 分钟到达乙地,求从家到乙地的路程.

【变式 1】(1)直线 y=2x+1 向下平移 2 个单位,再向右平移 2 个单位后的直线的解析式是_____ ___. (2)直线 y=2x+1 关于 x 轴对称的直线的解析式是___ _____; 直线 y=2x+l 关于 y 轴对称的直线的解析式是___ ______; 直线 y=2x+1 关于原点对称的直线的解析式是____ _____. (3)如图所示,已知点 C 为直线 y=x 上在第一象限内一点,直线 y=2x+1 交 y 轴于点 A,交 x 轴于 B,将直线 AB 平移后经过(3,4)点,则平移后的直线的解析式是__ ______.

【变式 2】某地夏天旱情严重.该地 10 号、15 号的人日均用水量的变化情况如图所示.若该地 10 号、15 号的人 均用水量分别为 18 千克和 15 千克,并一直按此趋势直线下降.当人日均用水量低于 10 千克时,政府将向当地居 民送水.那么政府应开始送水的号数为( )A.23 B.24 C.25 D.26

4

类型三、反比例函数
例 4.已知函数 y ?

2 和 y=kx+1(k≠0). x

(1)若这两个函数的图象都经过点(1,a),求 a 和 k 的值;

(2)当 k 取何值时,这两个函数的图象总有公共点?

【变式】已知正比例函数 y ? kx ( k 为常数, k ? 0 )的图象与反比例函数 y ? 有一个交点的横坐标是 2. (1)求两个函数图象的交点坐标; (2)若点 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) 是反比例函数 y ?

5?k ( k 为常数, k ? 0 )的图象 x

5?k 图象上的两点,且 x1 ? x2 ,试比较 y1,y2 的大小. x

类型四、函数综合应用
例 5.如图,直线 y ? ? x ? b ( b >0)与双曲线 y ? 标轴交于 C、D 两点,P 是双曲线上一点,且 PO ? PD . (1)试用 k 、 b 表示 C、P 两点的坐标; (2)若△POD 的面积等于 1,试求双曲线在第一象限的一支的函数解 析式; (3)若△OAB 的面积等于 4 3 ,试求△COA 与△BOD 的面积之和.

k ( k >0)在第一象限的一支相交于 A、B 两点,与坐 x

【变式 1】如图所示是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 y2 ? ________. 【变式 2】已知函数 y ? (2m ? 1) x
3 m2 ? 2

m 的图象,观察图象写出 y1>y2 时 x 的取值范围 x

,m 为何值时,

(1)y 是 x 的正比例函数,且 y 随 x 的增大而增大?

(2)函数的图象是位于第二、四象限的双曲线?

n ?1 1 x ? (n 是不为零的自然数).当 n=1 时,直线 l1 : y ? ?2 x ? 1与 x 轴和 y 轴分别交 n n 3 1 于点 A1 和 B1,设△A1OB1(其中 O 是平面直角坐标系的原点)的面积为 S1;当 n=2 时,直线 l2 : y ? ? x ? 与 x 轴 2 2
例 6.已知直线 ln : y ? ? 和 y 轴分别交于点 A2 和 B2,设△A2OB2 的面积为 S2,?,依此类推,直线 ln 与 x 轴和 y 轴分别交于点 An 和 Bn,设△ AnOBn 的面积为 Sn.(1)求 △ A1OB1 的面积 S1;(2)求 S1+S2+S3+?+S6 的面积.

5

【巩固练习】 1. 下列图形中的曲线不表示 y 是 x 的函数的是( )

2.一次函数 y=kx+2 经过点(1,1) ,那么这个一次函数( A.y 随 x 的增大而增大 B.y 随 x 的增大而减小

) C.图像经过原点 D.图像不经过第二象限

3.若正比例函数 y=(1-2m)x 的图象经过点 A(x1,y1)和点 B(x2,y2) ,当 x1﹤x2 时,y1>y2,则 m 的取值范围是 ( )A.m<O B.m>0 C.m<

1 2

D.m>

1 2

4.已知正比例函数 y ? k1 x(k1 ? 0) 与反比例函数 y ? 交点的坐标是( )A. (2,1) B. (?2, ?1)

k2 (k2 ? 0) 的图象有一个交点的坐标为 (?2, ?1) ,则它的另一个 x

C. (?2,1)

D. (2, ?1) )象限.

5.若直线 y=kx+b 经过一、二、四象限,则直线 y=bx+k 不经过第( A.一 6.反比例函数 y ? 小关系是( B.二 C.三 D.四

6 图象上有三个点 ( x1,y1 ) , ( x 2,y 2 ) , ( x3,y 3 ) ,其中 x1 ? x2 ? 0 ? x3 ,则 y1 , y 2 , y 3 的大 x
) A. y1 ? y2 ? y3 B. y 2 ? y1 ? y 3 C. y 3 ? y1 ? y 2 D. y 3 ? y 2 ? y1

7.已知 y 与 x+1 成正比例,当 x=5 时,y=12,则 y 关于 x 的函数关系式是 . 8.从-2,-1,1,2 这四个数中,任取两个不同的数作为一次函数 y=kx+b 的系数 k,b,则一次函数 y=kx+b 的图象不经过第四象限的概率是________. 9.已知直线 y=-2x+m 不经过第三象限,则 m 的取值范围是_________. 10.过点 P(8,2)且与直线 y=x+1 平行的一次函数解析式为_________.

11.如图,点 A(x1,y1) 、B(x2,y2)都在双曲线

上,且



;分别过点 A、B

向 x 轴、y 轴作垂线段,垂足分别为 C、D、E、F,AC 与 BF 相交于 G 点,四边形 FOCG 的面积为 2,五边形 AEODB 的面积为 14,那么双曲线的解析式为 .

第 11 题图 12.如图,在反比例函数 的图象上,有点

第 12 题图 ,它们的横坐标依次为 1,2,3,4.分别

6

过这些点作

轴与

轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 .

,则

13.已知一次函数 y=(3-k)x-2k +18. (1)k 为何值时,它的图象经过原点?(2)k 为何值时,它的图象经过点(0,-2)? (3)k 为何值时,它的图象平行于直线 y=-x?(4)k 为何值时,y 随 x 的增大而减小?

2

14. 某企业信息部进行市场调研发现: 信息一:如果单独投资 A 种产品,则所获利润 yA(万元)与投资金额 x(万元)之间存在正比例函数关系:yA=kx, 并且当投资 5 万元时,可获得利润 2 万元; 2 信息二: 如果单独投资 B 种产品, 则所获利润 yB(万元)与投资金额 x(万元)之间存在二次函数关系: yB=ax +bx, 并且当投资 2 万元时,可获利润 2.4 万元;当投资 4 万元时,可获利润 3.2 万元. (1)请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数的表达式; (2)如果企业同时对 A、B 两种产品共投资 10 万元,请你设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方 案能获得的最大利润是多少.

15.小张骑车往返于甲、乙两地,距甲地的路程 y(km)与时间 x(h)的函数图象如图所示.

(1)小张在路上停留________h,他从乙地返回时骑车的速度为 km/h. (2)小李与小张同时从甲地出发, 按相同路线匀速前往乙地, 小李到乙地停止, 途中小李与小张共同相遇 3 次. 请 在图中画出小李距甲地的路程 y(km)与时间 x(h)的函数的大致图象. (3)小王与小张同时出发,按相同的路线前往乙地,距甲地的路程 y(km)与时间 x(h)的函数关系为 y=12x+10,小王与小张在途中共相遇几次?请你计算出第一次相遇的时间.

16. 如图,已知一次函数与反比例函数的图象交于点 A(﹣4,﹣2)和 B(a,4) . (1)求反比例函数的解析式和点 B 的坐标; (2)根据图象回答,当 x 在什么范围内时,一次函数的值大于反比例函数的值?

7


赞助商链接
相关文章:
平面直角坐标系与一次函数、反比例函数
平面直角坐标系与一次函数反比例函数_数学_高中教育...(平面内的点)和“数” (有序实数 对)紧密结合...(3)为基础,在肯定(3)的结论后, (4 ) 的解决...
(学生)平面直角坐标系与一次函数、反比例函数
(学生)平面直角坐标系与一次函数反比例函数 - 平面直角坐标系与一次函数反比例函数 【典型例题】 类型一、坐标平面有关的计算 1. 已知点 A(a,-5),B(8...
中考总复习:平面直角坐标系与一次函数、反比例函数--知...
中考总复习:平面直角坐标系与一次函数反比例函数--知识讲解(提高)_中考_初中教育_教育专区。平面直角坐标系与一次函数反比例函数【典型例题】 类型一、坐标平面...
反比例函数
函数 本章内容属于“数与代数”领域,是在已学过平面直坐标系和一次函数基础...学生曾在小六(下)学过“反比例” ,在七(下)学过“平面直角坐标系” ,在八...
中考总复习:平面直角坐标系与一次函数、反比例函数--知...
中考总复习:平面直角坐标系与一次函数反比例函数-...横、纵坐标均互为相反数. 6.点 P(x,y)到坐标...(3)为基础,在肯定(3)的结论后, (4 ) 的解决...
专题四平面直角坐标系、一次函数、反比例函数
中小学个性化辅导专家 巨人教育辅导讲义学员编号(卡号) : 学员姓名: 课题年级: 辅导科目: 第 次课 教师: 专题四平面直角坐标系一次函数反比例函数教学内容 ...
反比例函数及其图象说课稿
今天我说课的内容是八年级数学下册第十七章反比例函数及其图象。 一、教材分析: 本节课的内容是在学习了平面直角坐标系和一次函数基础上,再一次进 入函数范畴,...
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数及...
中考复习——平面直角坐标系一次函数反比例函数及其...例 8 在一次远足活动中,某班学生分成两组,第一组...y2 中,正确的个数是( 当 A.0 B.1 C.2 D....
数学中考总复习:平面直角坐标系与一次函数、反比例函数...
数学中考总复习:平面直角坐标系与一次函数反比例函数--知识讲解(提高) - 语文数学英语,全册上册下册,期中考试,期末考试,模拟考试,单元测试,练习说课稿,备课教案...
反比例函数的图像和性质
“数与代数”领域, 是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数基础上, 进一步...并能应用数形结合和 转化思想根据反比例函数的图象探究其性质. 3.培养学生的...
更多相关标签: