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指数函数和对数函数 知识点总结


指数函数和对数函数 知识点总结
(一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1,且 n ∈ N .
n
*

负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。 当 n 是奇数时, n a n ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? 2.正数的分数指数幂,规定:
m

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)
1 (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

a

?

m n

?

1 a
m n

?

n

a

m

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (a ? 0, r , s ? R) (1) a · a ? a
r r r ?s

; (2) (a ) ? a ; (3) (ab) ? a a (二)指数函数及其性质
r s rs r r

s

1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自 变量,函数的定义域为 R. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
6 6 5 5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 定义域 R 值域 y>0 值域 y>0 在 R 上单调递增 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定 函数图象都过定 点(0,1) 点(0,1) (三)对数函数及其性质 x 1.对数的概念:一般地,如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 做以 a 为底 N 的对数, . .. 记作: x ? loga N ( a — 底数, N — 真数, loga N — 对数式) 说明:○ 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ;○ a x ? N ? loga N ? x ;③注意对数的书 1 2 写格式.

loga N

两个重要对数: 1 ○ 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; 2 ○ 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . 2、对数的运算性质:如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 loga (M · N ) ? loga M + loga N ; ○ 2 ○

log a

(n ? R) .

M ? loga M - loga N ; ③ loga M n ? n loga M N

注意:换底公式 loga b ?

c ? 1; b ? 0 ) . 利用换底公式推导下面的结论
(1) log a m b n ?

logc b ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 logc a

1 n (2) loga b ? . log a b ; m logb a

3、对数函数的概念:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量, 函数的定义域是(0,+∞) . 注意: 1 对数函数的定义与指数函数类似, 都是形式定义, 注意辨别。 如: y ? 2 log2 x , ○ x 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. y ? log 5 2 ○ 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . 4、对数函数的性质: a>1 0<a<1
3 3 2.5 2.5 2 2 1.5 1.5

5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过 定点(1,0)

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点 (1,0)

热身练习
5 2 5 1.64 的 6 次方根是 (a-b) + (a-b) 的值是 2. 函数 y=loga(x+2)+3(a>0 且 a≠1)的图象过定点________. 4 0 3.若 a-2+(a-4) 有意义,则实数 a 的取值范围是
2 3 4.若 xy≠0,那么等式 4 x y ? ?2 xy

y 成立的条件是

1 7 0 4 1 3 -0.75 5.(0.064)- -(- ) +[(-2) ]- +16 +|-0.01| =________. 3 8 3 2 1 1 0 3 1 a-1+b-1 6.(1)0.064- -(- ) +16 +0.25 = ; (2) -1 (a,b≠0)= 3 8 4 2 (ab) 7.函数 y=



ax-1的定义域是(-∞,0],则实数 a 的取值范围为

1 x+1 8.已知集合 M={-1,1},N={x| <2 <4,x∈Z},则 M∩N= 2 1 1-x 9.函数 y=( ) 的单调增区间为 2 x 10.当 x∈[-1,1]时,f(x)=3 -2 的值域为________. x x 11.方程 4 +2 -2=0 的解是________. x+1 2x 12.方程 4 -4=0 的解是 x=________.若 10 =25,则 x 等于 2 2 13.3log9(lg2-1) +5log25(lg0.5-2) 等于( ) log2716 14. = (log43+log83)(log32+log98)= log34

1 1 x y 15.已知 2 =5 =10,则 + =________.log63+log62=

x y

1 16. log612-2log6 2= log2 2= 2log510+log50.25=________. 2 17.在 b=log(a-2)(5-a)中,实数 a 的取值范围是 18.方程 log3(2x-1)=1 的解为 x=________. 1 19.函数 y= log2x-2的定义域是 函数 y= log (x-1)的定义域是________ 2 1 2 20 函数 y=log (-x +4x+12)的单调递减区间是________. 3


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