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第八章 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程1


第 八 章

第一 节

抓 基 础

直线
的倾 斜角 与斜 率、 直线 方程

平 面 解 析 几 何

明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练

提 能 力

[备考方向要明了] 考 什 么 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜

率的计算公式.
2.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的三种形 式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数 的关系.

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怎 么 考 1.直线方程的求法是命题的热点.多与两直线的位置关系,

直线与圆的位置关系相结合交汇命题.
2.题型多为客观题,难度中等,着重考查学生的综合应用 能力.

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一、直线的倾斜角与斜率 1.直线的倾斜角 (1)定义:x轴 正向 与直线 向上 的方向所成的角叫做这条 直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时,规定它的

倾斜角为 0° .
(2)倾斜角的范围为 [0,π) .

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2.直线的斜率 (1)定义:一条直线的倾斜角α的 正切值 叫做这条直线的斜

率,斜率常用小写字母k表示,即k=tanα ,倾斜角是90° 的直线斜率不存在. (2)过两点的直线的斜率公式. 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 y2-y1 y1-y2 k= = . x2-x1 x1-x2

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二、直线方程的形式及适用条件 名称 几何条件 方 程 局限性

过点(x0,y0), y-y =k(x-x ) 不含 垂直于x轴 0 0 点斜式 斜率为k 的直线 斜截式 斜率为k,纵 y=kx+b 不含 垂直于x轴

截距为b
过两点(x1,

的直线

y-y1 x-x1 y1),(x2,y2), y2-y1=x2-x1 不包括 垂直于坐 两点式 标轴 的直线 (x ≠x ,
1 2

y1≠y2) 返回

名称

几何条件 在x轴、y轴上





局限性 不包括 垂直于

x y 截距式 的截距分别为a, a+b=1 b(a,b≠0)
一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0)

坐标轴 和 过
原点 的直线

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1.(教材习题改编)直线 3x-y+a=0(a为常数)的倾斜角 为 A.30° C.150° B.60° D.120° ( )

解析:∵k= 3=tanα而0° ≤α<180° ,∴α=60° .

答案:B

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2.(教材习题改编)过点(-1,2)且倾斜角为30° 的直线方程 为 A. 3x-3y+6+ 3=0 C. 3x+3y+6+ 3=0 ( B. 3x-3y-6+ 3=0 D. 3x+3y-6+ 3=0 )

3 3 解析:∵k=tan30° 3 ,∴直线方程为y-2= 3 (x+1). = 即 3x-3y+6+ 3=0.

答案:A

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3.直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,

则a的值是
A.1 C.-2或-1 B.-1 D.-2或1

(

)

a+2 解析:由a+2= a ,∴a=-2或1.

答案:D

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4.(教材习题改编)过点P(-2,m),Q(m,4)的直线的斜率 等于1.则m的值为________.
4-m 解析:由k=1,知 =1. m+2 ∴m=1.

答案: 1

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5.(教材习题改编)过点M(3,-4)且在两坐标轴上的截 距互为相反数的直线方程为________.
4 解析:(1)当过原点时,直线方程为y=-3x, x y (2)当不过原点时,设直线方程为a+ =1, -a 即x-y=a.代入点(3,-4), ∴a=7.即直线方程为x-y-7=0.

4 答案:y=-3x或x-y-7=0

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1.直线的倾斜角与斜率的关系

斜率k是一个实数,当倾斜角α≠90°时,k=tanα.直线
都有斜倾角,但并不是每条直线都存在斜率,倾斜角 为90°的直线无斜率.

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2.直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都

是直线方程的特殊形式,其中点斜式是最基本的,其
他形式的方程皆可由它推导.直线方程的特殊形式都 具有明显的几何意义,但又都有一些特定的限制条件, 如点斜式方程的使用要求直线存在斜率;截距式方程 的使用要求横纵截距都存在且均不为零;两点式方程

的使用要求直线不与坐标轴垂直.因此应用时要注意
它们各自适用的范围,以避免漏解.

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[精析考题] 1 1 [例1] (2011· 常州模拟)若ab<0,则过点P(0,-b)与Q(a,0)的 直线PQ的倾斜角的取值范围是 π A.(0,2) π C.(-π,-2) π B.(2,π) π D.(-2,0) ( )

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[解析]

1 -b-0 a kPQ= 1 =b<0,又倾斜角的取值范围为[0,π), 0-a

π 故直线PQ的倾斜角的取值范围为(2,π).

[答案] B

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本例的条件变为:若过点P(1-a,1+a)与Q(3,2a)的直线
的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是________.

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2a-1-a a-1 解析:因kPQ=tan θ= = <0, 3-1+a a+2 ∴-2<a<1.

答案:(-2,1)

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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题,分分必保!)
1.(2011· 山西四校第二次联考)直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值 范围是 A.[0,π) π C.[0,4] π 3π B.[0,4]∪[ 4 ,π) π π D.[0,4]∪(2,π) ( )

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解析:设倾斜角为θ,则有tanθ=-sinα,其中sinα∈[-1,1].又θ π 3π ∈[0,π),∴0≤θ≤4或 4 ≤θ<π.

答案:B

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[冲关锦囊]
1.求倾斜角的取值范围的一般步骤 (1)求出斜率k=tanα的取值范围. (2)利用三角函数的单调性,借助图像或单位圆数形结合, 确定倾斜角α的取值范围. 2.求倾斜角时要注意斜率是否存在.

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[精析考题] [例2] (2012· 龙岩期末)已知△ABC中,A(1,-4),B(6,6), C(-2,0).求:

(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方
程和截距式方程; (2)BC边的中线所在直线的一般式方程,并化为截距式 方程.

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[自主解答]

(1)平行于BC边的中位线就是AB、AC中点的连线.

7 1 因为线段AB、AC中点坐标为(2,1),(-2,-2), 1 y+2 x+2 所以这条直线的方程为 = . 1+2 7 1 2+ 2 整理得,6x-8y-13=0, x y 化为截距式方程为13-13=1. 6 8

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(2)因为BC边上的中点为(2,3),所以BC边上的中线所在直线的 y+4 x-1 方程为 = ,即7x-y-11=0. 3+4 2-1 x y 化为截距式方程为11-11=1. 7

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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题,分分必保!)
3 2.(2012· 石家庄月考)已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为-4, 则直线l的方程为 A.3x+4y-14=0 C.4x+3y-14=0 B.3x-4y+14=0 D.4x-3y+14=0 ( )

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3 解析:由点斜式知y-5=-4(x+2), ∴3x+4y-14=0.

答案:A

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3.(2012· 温州模拟)已知A(-1,1),B(3,1),C(1,3),则 △ABC的BC边上的高所在直线方程为 A.x+y=0 C.x+y+2=0 ( )

B.x-y+2=0 D.x-y=0

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3-1 解析:∵B(3,1),C(1,3),∴kBC= =-1, 1-3 故BC边上的高所在直线的斜率k=1,又高线经过点A,所以其直线 方程为x-y+2=0.

答案: B

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4.(2011· 广州二测)将直线y=3x绕原点逆时针旋转90° ,再向右平 移1个单位,所得到的直线为 1 1 A.y=-3x+3 1 B.y=-3x+1 C.y=3x-3 1 D.y=3x+1 ( )

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1 解析:将直线y=3x绕原点逆时针旋转90° 得到直线y=-3x,再向 1 1 1 右平移1个单位,所得到的直线为y=-3(x-1),即y=-3x+3.

答案:A

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[冲关锦囊] 求直线方程的方法主要有以下两种

(1)直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式,
直接写出直线方程; (2)待定系数法:先设出直线方程,再根据已知条件求出 待定系数,最后代入求出直线方程.

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[精析考题]
[例3] 已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线l过定点; (2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围; (3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为

坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直
线l的方程. 返回

[自主解答]
+2)+1,

(1)证明:法一:直线l的方程可化为y=k(x

故无论k取何值,直线l总过定点(-2,1). 法二:设直线过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对 任意k∈R恒成立,即(x0+2)k-y0+1=0恒成立,

所以x0+2=0,-y0+1=0,
解得x0=-2,y0=1,故直线l总过定点(-2,1).

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(2)直线l的方程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,
?k≥0, ? 要使直线l不经过第四象限,则? ?1+2k≥0, ?

解得k的取值范围是k≥0. (3)依题意,直线l在x轴上的截距为- 1+2k, 1+2k k ,在y轴上的截距为

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∴A(-

1+2k 1+2k ,0),B(0,1+2k),又- k <0且1+2k>0,∴k>0. k

1 1 1+2k 故S=2|OA||OB|=2× k (1+2k) 1 1 1 =2(4k+k+4)≥2(4+4)=4, 1 1 当且仅当4k=k,即k=2时,取等号. 故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.

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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题,分分必保!)
5.(2012· 东北三校联考)已知直线l过点M(2,1),且分别与x 轴、y轴的正半轴交于A、B两点,O为原点. (1)当△AOB面积最小时,直线l的方程是__________; (2)当|MA|· |MB|取得最小值时,直线l的方程是

________________.

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解析:(1)设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k<0), 1 A(2-k,0),B(0,1-2k), 1 1 1 1 1 △AOB的面积S=2(1-2k)(2-k)=2[4+(-4k)+(-k)]≥2(4+4)=4. 1 1 当且仅当-4k=-k,即k=-2时,等号成立. 1 故直线l的方程为y-1=-2(x-2), 即x+2y-4=0.

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(2)∵|MA|= ∴|MA|· |MB|=

1 2 2+1,|MB|= 4+4k , k 1 2 2+1· 4+4k =2 k 1 k2+k2+2≥2×2=4,

1 当且仅当k2=k2,即k=-1时取等号, 故直线方程为x+y-3=0.

答案:(1)x+2y-4=0 (2)x+y-3=0

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[冲关锦囊] 1.解决直线方程的综合问题时,除灵活选择方程的形式 外,还要注意题目中的隐含条件.

2.与直线方程有关的最值或范围问题可以数形结合也可
从函数角度考虑构建目标函数进而转化求最值.

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数学思想(十四)数形结合思想在直线 中的应用

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[考题范例] (2011· 温州第一次适应性测试)当直线y=kx与曲线y=|x| -|x-2|有3个公共点时,实数k的取值范围是 ( )

A.(0,1)
C.(1,+∞)

B.(0,1]
D.[1,+∞)

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[巧妙运用] 依题意得,当x<0时,y=-x+(x-2)

=-2;当0≤x≤2时,y=x+(x-2)=2x-2;
当x>2时,y=x-(x-2)=2.在直角坐标系 中画出该函数的图像(如图),将x轴绕着原点沿逆时针方向 旋转,当旋转到直线恰好经过点(2,2)的过程中,相应的直线 (不包括过点(2,2)的直线)与该函数的图像都有三个不同的交

点,再进一步旋转,相应的直线与该函数的图像都不再有
三个不同的交点,因此满足题意的k的取值范围是(0,1). 答案:A 返回

[题后悟道]
高手点拨:本题若直接入手去求k的范围,几乎没有 思路.但是若作出y=|x|-|x-2|的图像后,数形结合使问 题一目了然,作图时要注意分x<0,0≤x≤2,x>2三种情形, 动态分析时可让直线y=kx绕原点旋转去分析求解,但是 要注意边界情形的取舍.

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