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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1【配套备课资源】2.4.1抛物线的标准方程

§ 2.4
2.4.1
一、基础过关 1.抛物线 y2=-8x 的焦点坐标是 A.(2,0) C.(4,0) B.(-2,0) D.(-4,0)

抛物线

抛物线的标准方程

(

)

x2 y2 2.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在双曲线 - =1 上,则抛物线方 4 2 程为 A.y2=8x C.y2=2x B.y2=4x D.y2=± 8x ( ) ( )

3.已知抛物线 y2=2px (p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切,则 p 的值为 1 A. 2 B.1 C.2 D.4

4.与 y 轴相切并和圆 x2+y2-10x=0 外切的动圆的圆心的轨迹为 A.圆 C.椭圆 B.抛物线和一条射线 D.抛物线

(

)

x2 y2 5.以双曲线 - =1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________. 16 9 6.抛物线 x2+12y=0 的准线方程是__________. 7.求经过 A(-2,-4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标. 二、能力提升 8.定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2=2x 上移动,M 为 AB 的中点,则 M 点 到 y 轴的最短距离为 1 A. 2 3 B.1 C. 2 D.2 ( )

9.设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心,|FM| 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是 A.(0,2) C.(2,+∞)
2

(

)

B.[0,2] D.[2,+∞)

10.设抛物线 y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足,如 果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|=________.

11. 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax (a≠0)的焦点 F, 且与 y 轴交于点 A, 若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,求抛物线的方程. 13.喷灌的喷头装在直立管柱 OA 的顶点 A 处,喷出水流的最高点 B 高 5 m,且与 OA 所 在的直线相距 4 m,水流落在以 O 为圆心,半径为 9 m 的圆上,则管柱 OA 的长是多 少? 三、探究与拓展 13.已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴的正半轴上,设 A,B 是抛物线 C 上 的两个动点(AB 不垂直于 x 轴),且|AF|+|BF|=8,线段 AB 的垂直平分线恒经过点 Q(6,0),求抛物线的方程.

答案
1.B 2.D 3.C 4.B 5.y2=16x 6.y=3 7.解 由已知设抛物线的标准方程是 x2=-2py (p>0)或 y2=-2px (p>0).把 A(-2,-4), 1 代入 x2=-2py 或 y2=-2px 得 p= 或 p=4. 2 故所求的抛物线的标准方程是 x2=-y 或 y2=-8x. 1 1 当抛物线方程是 x2=-y 时,焦点坐标是 F?0,-4?,准线方程是 y= ;当抛物线方程 ? ? 4 是 y2=-8x 时,焦点坐标是 F(-2,0),准线方程是 x=2. 8.B 9.C 10.8 a a 11.解 抛物线 y2=ax (a≠0)的焦点 F 的坐标为?4,0?,则直线 l 的方程为 y=2?x-4?, ? ? ? ? a 它与 y 轴的交点为 A?0,-2?, ? ? 1 ?a ?a 所以△OAF 的面积为 ·4?· 2?=4, 2? ?? ? 解得 a=± 8.所以抛物线方程为 y2=± 8x. 13.解 如图所示,建立直角坐标系,设水流所形成的抛物线的方程为 x2=-2py(p>0), 因为点 C(5,-5)在抛物线上,所以 25=-2p· (-5),因此 2p=5, 所以抛物线的方程为 x2=-5y, 点 A(-4,y0)在抛物线上, 16 所以 16=-5y0,即 y0=- , 5 16 所以 OA 的长为 5- =1.8 (m). 5 所以管柱 OA 的长为 1.8 m. 13.解 设抛物线的方程为 y2=2px (p>0), p 则其准线为 x=- . 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2), p p ∵|AF|+|BF|=8,∴x1+ +x2+ =8, 2 2 即 x1+x2=8-p.

∵Q(6,0)在线段 AB 的中垂线上,∴|QA|=|QB|, 即 ?6-x1?2+?-y1?2= ?6-x2?2+?-y2?2,
2 又 y1=2px1,y2=2px2, 2

∴(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0. ∵AB 与 x 轴不垂直,∴x1≠x2. 故 x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0,即 p=4. 从而抛物线方程为 y2=8x.


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