当前位置:首页 >> 数学 >>

2014高考数学专题——双曲线的定义及几何性质


内部资料

2017-12-7

高三数学一轮复习专讲专练——双曲线
一、要点精讲 1、双曲线的定义与几何性质:
1、到两个定点 F 1 与 F2 的距离之差的绝对值等于定长(小于 定 义 2、到定点 F 与到定直线 l 的距离之比等于常数 e

F1 F2

)的点的轨迹

?e ? 1? e(>1)的点的轨迹
y2 x2 ? =1 ?a ? 0, b ? 0? a2 b2

标准方程

x2 y 2 ? =1 ?a ? 0, b ? 0? a2 b 2





范围 对称性

x ? a 或 x ? ?a , y ? R
对称轴: 坐标轴 ;对称中心: 原点

x ? R , y ? a 或 y ? ?a

渐近线

y??

b x a

y??

a x b

顶点 性 质 坐标 焦点 轴 离心率

A1 ?? a,0? , A2 ?a,0? B1 ?0,?b? ,B2 ?0, b? F1 ?? c,0? , F2 ?c,0?
实轴 A1 A2 的长为 2 a

A1 ?0,?a ? , A2 ?0, a ? B1 ?? b,0? , B2 ?b,0? F1 ?0,?c ? , F2 ?0, c?
虚轴 B1B2 的长为 2b

e?

c ? 1 ,其中 c ? a2 ? b2 a

准线

a2 准线方程是 x ? ? c

a2 准线方程是 y ? ? c
b c2 ? a2 ? ? e 2 ? 1 ,所以 e 越大,则渐近线的 a a

2、双曲线的形状与 e 的关系:因为双曲线的斜率 k ?

斜率的绝对值就越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。故双曲线的离心率越大,它的开口就越 宽阔。 3、共渐近线的双曲线系方程:与 若 ? ? 0 ,则双曲线的焦点在
?

x2 y 2 x2 y 2 ? ? ? ? ?? ? 0? , =1 有相同渐近线的双曲线系方程可设为 a2 b 2 a2 b2
轴上;若 ? ? 0 ,则双曲线的焦点在 轴上。
1

内部资料

2017-12-7

二、高考链接 1、 (2010 安徽理)双曲线方程为 x2 ? 2 y 2 ? 1,则它的右焦点坐标为 A、 ?

? 2 ? ? 2 ,0? ? ? ?

B、 ?

? 5 ? ? 2 ,0? ? ? ?

C、 ?

? 6 ? ? 2 ,0? ? ? ?

D、

?

3, 0

?


2. (2013 年湖北)已知 0 ? ? ?

x2 y2 y2 x2 π ? ? 1 ? ?1的 ( C ,则双曲线 C1 : 与 : 2 4 sin 2 ? cos2 ? cos2 ? sin 2 ?
C.离心率相等 D.焦距相等

A.实轴长相等

B.虚轴长相等

x2 y 2 5 3. (2013 课标)已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 ( a b 2
A. y ? ?



1 x 4

B. y ? ?

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

4( .2013 湖南) 设 F1、 F2 是双曲线 C,

x2 y 2 ? ? 1 (a>0, b>0)的两个焦点。 若在 C 上存在一点 P, 使 PF1⊥PF2, a 2 b2

且∠PF1F2=30° ,则 C 的离心率为____ 3 ? 1 _______.

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 的焦点相同,那么双曲线 5.(2010 北京)已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 2,焦点与椭圆 25 9 a b
的焦点坐标为 ;渐近线方程为 。

?4, 0 3x ? y ? 0

x2 y2 6.(2012· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 - 2 =1 的离心率为 5,则 m 的值为______. m m +4 解:由题意,双曲线的焦点在 x 轴上且 m>0,所以 e= 三、典例精讲 考点一:双曲线的定义 x2 y2 1、 (2011 四川)双曲线 - =1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 4, 那么点 P 到左准线的距离是________. 64 36 解:双曲线中,a=8,b=6,所以 c=10,由于点 P 到右焦点的距离为 4,4<a+c=18,所以点 P 在双曲线 右支上.由定义知点 P 到左焦点的距离为 2×8+4=20,设点 P 到双曲线左准线的距离为 d,再根据双曲 20 c 10 线第二定义,有 = = ,故 d=16. d a 8 x2 y2 2、平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 - =1 上一点 M 的横坐标为 3,则点 M 到此双曲线的右焦点 4 12 的距离为________. 解:双曲线的右焦点(4,0),点 M (3, 15)或(3,- 15),则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为 4. m2+m+4 = 5,所以 m=2. m

?

2

内部资料

2017-12-7

y2 3.P 为双曲线 x2- = 1 右支上一点,M、N 分别是圆( x+4)2+y2=4 和(x-4)2+y2=1 上的点, 15 则|PM|-|PN|的最大值为__________. y2 解:已知两圆圆心(-4,0)和(4,0)(记为 F1 和 F2)恰为双曲线 x2- =1 的两焦点. 15 当|PM|最大,|PN|最小时,|PM|-|PN|最大,|PM|最大值为 P 到圆心 F1 的距离|PF1|与圆 F1 半径之和, 同样|PN|最小=|PF2|-1,从而|PM|-|PN|的最大值为|PF1|+2-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=2a+3=5. 4.(09 辽宁)以知 F 是双曲线 的最小值为

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点, A(1, 4), P 是双曲线右支上的动点,则 PF ? PA 4 12


解:注意到 P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为 F’(4,0),于是由双曲线性质|PF|-|PF’|=2a=4 而|PA|+|PF’|≥|AF’|=5 1 A. 4 3 B. 5 两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当 A、P、F’三点共线时等号成立. 3 C. 4 4 D. 5 ∵|PF1|=2|PF2|,设|PF2|=m,则|PF1|=2m.

5. (2012 大纲)已知 F1、 F2 为双曲线 C: x2-y2=2 的左、 右焦点, 点 P 在 C 上, |PF1|=2|PF2|, 则 cos∠F1PF2=

解:依题意得 a=b= 2,∴c=2. 又|PF1|-|PF2|=2 2=m.

∴|PF1|=4 2,|PF2|=2 2. ? 4 2?2+? 2 2?2-42 3 = .故选 C. 4 2× 4 2× 2 2

又|F1F2|=4,∴cos∠F1PF2=

6、 ?ABC 中,A、B、C 所对三边为 a, b, c , B?? 1,0?, C?1,0? ,求满足 sin C ? sin B ? 的轨迹,并画出图形。

1 sin A 时,顶点 A 2

考点二:求解双曲线方程 7、求适合下列条件的双曲线的标准方程 ⑴虚轴长为 12,离心率为 ⑶与双曲线

5 ; 4

⑵顶点间距离为 6,渐近线方程为 y ? ?

3 x 2

y2 x2 - =1 有共同的渐近线,且过点(-3,2 3 ) ; 9 16

?

3

内部资料

2017-12-7

⑷与双曲线

y2 x2 - =1 有公共焦点,且过点(3 2 ,2). 16 4

8.双曲线 S 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e= 4 3 点的距离的最小值等于 . 求双曲线 S 的方程; 3

6 ,直线 3x-3y+5=0 上的点与双曲线 S 的右焦 2

x2 y2 解析:(1)根据已知设双曲线 S 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b c 6 6 a2 2 2 2 ∵e= = ,∴c= a,b =c -a = . a 2 2 2 ∴双曲线 S 的方程可化为 x2-2y2=a2,

4 3 6 ∵直线 3x-3y+5=0 上的点与双曲线 S 的右焦点的距离的最小值等于 ,右焦点为? a,0?, 3 2 ? ?



? 3× 6a+5? 2 ? ? 4 3
2 3 = 3

,解方程得 a= 2.

∴双曲线 S 的方程为 x2-2y2=2.

考点二:双曲线的几何性质 5 9、设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的 13 差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( x y A. 2- 2=1 4 3
2 2

).
2

x y B. 2- 2=1 13 5

2

2

x y2 C. 2- 2=1 3 4

x2 y2 D. 2- 2=1 13 12

解: 由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为:F1(-5,0),F2(5,0).设曲线 C2 上的一点 P.则||PF1|-|PF2||=8. x2 y2 由双曲线的定义知:a=4,b=3. 故曲线 C2 的标准方程为 2- 2=1. 4 3 x2 y2 10、已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点与抛物线 y2=16x 的焦 a b 点相同.则双曲线的方程为________. b 解:∵双曲线的渐近线为 y= 3x,∴ = 3,① ∵双曲线的一个焦点与 y2=16x 的焦点相同.∴c=4. ② a ∴由①②可知 a2=4,b2=12. x2 y2 ∴双曲线的方程为 - =1. 4 12

x2 y2 11.(2012 福建)已知双曲线 - 2=1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近 4 b 线的距离等于( A. 5
2

) B.4 2 C.3
2 2

D.5

解:y =12x 的焦点为(3,0),由题意得,4+b =9,b =5, 双曲线的右焦点(3,0)到其渐近线 y= | 5× 3-0| 5 x 的距离 d= = 5. 2 5+ 4
4

?

内部资料

2017-12-7

12.(08 全国)设 a ? 1 ,则双曲线

x2 y2 ? ? 1的离心率 e 的取值范围是( B ) a 2 (a ? 1)2
C. (2, 5) D. (2,5)
)

A. ( 2, 2)

B. ( 2,5)

x2 y2 13.(2012 湖南)已知双曲线 C: 2- 2=1 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为( a b x2 y2 A. - =1 20 5 x2 y2 B. - =1 5 20 x2 y2 C. - =1 80 20 x2 y2 D. - =1 20 80

b 解:设焦距为 2c,则得 c=5.点 P(2,1)在双曲线的渐近线 y=± x 上,得 a=2b.结合 c=5,得 4b2+b2=25, a x2 y2 解得 b2=5,a2=20,所以双曲线方程为 - =1. 20 5 14.(2012 课标)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点, |AB|=4 3,则 C 的实轴长为( A. 2 B.2 2
2 2

) C.4
2

D.8

解:设等轴双曲线方程为 x -y =a ,根据题意,得抛物线的准线方程为 x=-4 ,代入双曲线的方程 得 16-y2=a2,因为|AB|=4 3,所以 16-(2 3)2=a2,即 a2=4,所以 2a=4,所以选 C. x2 y2 y2 15.(2011 浙江)已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 C2:x2- =1 有公共的焦点,C2 的一条渐近 a b 4 线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则( 13 A.a2= 2
2 2

)

B.a2=13

1 C.b2= 2

D.b2=2

y=2x, ? ?2 2 ab 解:依题意 a -b =5,根据对称性,不妨取一条渐近线 y=2x,由?x y 解得 x=± ,故 4a2+b2 ?a2+b2=1, ? 被椭圆截得的弦长为 2 5ab 2 5ab 2a 2 2 2 2,又 C1 把 AB 三等分,所以 2 2= 3 ,两边平方并整理得 a =11b ,代 4a +b 4a +b

1 入 a2-b2=5 得 b2= ,故选 C. 2 在双曲线的几何性质中,应充分利用双曲线的渐近线方程,简化解题过程.同时要掌握以下内容:(1)已知 双曲线方程,求它的渐近线; (2)求已知渐近线的双曲线的方程; (3)渐近线的斜率与离心率的关系, 16、 (2010 辽宁)设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线 垂直,那么此双曲线的离心率为( A. 2 B. 3 C. ). 3+1 2 D. 5+1 2

x2 y2 b b 解:设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),F(c,0),B(0,b),则 kBF=- ,渐近线方程为 y=± x, a b c a 5+1 bb 1± 5 ∴- · =-1,即 b2=ac,c2-a2=ac,∴e2-e-1=0,解得 e= .又 e>1,∴e= . ca 2 2

?

5

内部资料

2017-12-7
0

17. (2013 重庆)设双曲线 C 的中心为点 O ,若有且只有一对相较于点 O 、所成的角为 60 的直线 A 1B 1和

A2 B2 ,使 A1B1 ? A2 B2 ,其中 A1 、 B1 和 A2 、 B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点,则该双曲线的离心率
的取值范围是 zhangwlx A. ( ( B. [ )

2 3 , 2] 3

2 3 , 2) 3

C. (

2 3 , ??) 3

D. [

2 3 , ??) 3

b 3 b 1 b?2 解: 设双曲线的焦点在 x 轴上, 则由作图易知双曲线的渐近线的斜率 必须满足 < ≤ 3, 所以 <? ≤3, a 3 a 3 ?a? b?2 4 2 <1+? ?a? ≤4,即有3 3 3< b?2 c 1+? ?a? ≤2.又双曲线的离心率为 e=a= b?2 2 1+? ?a? ,所以3 3<e≤2.

18.(09 重庆)已知以原点 O 为中心的双曲线的一条准线方程为 x ? (Ⅰ)求该双曲线的方程;

5 ,离心率 e ? 5 . 5

(Ⅱ)如图,点 A 的坐标为 (? 5,0) , B 是圆 x2 ? ( y ? 5)2 ? 1 上的点, 点 M 在双曲线右支上,求 MA ? MB 的最小值,并求此时 M 点的坐标; 解: (Ⅰ)由题意可知,双曲线的焦点在 x 轴上, 故可设双曲线的方程为
w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) ,设 c ? a2 ? b2 , 2 a b


由准线方程为 x ?

5 a2 5 得 ,由 e ? 5 ? 5 c 5

c ? 5 a
2

解得 a ? 1, c ? 5

从而 b ? 2 , ? 该双曲线的方程为 x ?

y2 ? 1; 4

(Ⅱ)设点 D 的坐标为 ( 5, 0) ,则点 A、D 为双曲线的焦点, | MA | ? | MD |? 2a ? 2 所以 | MA | ? | MB |? 2? | MB | ? | MD |≥ 2? | BD |
? ?



B 是圆 x2 ? ( y ? 5)2 ? 1 上的点,其圆心为 C (0, 5) ,半径为 1,
故 | BD |≥ | CD | ?1 ? 10 ?1 从而 | MA | ? | MB |≥ 2? | BD |≥ 10 ?1

当 M , B 在线段 CD 上时取等号,此时 | MA | ? | MB | 的最小值为 10 ? 1

? 直线 CD 的方程为 y ? ? x ? 5 ,因点 M 在双曲线右支上,故 x ? 0
2 2 ? ?4 x ? y ? 4 由方程组 ? ? ? y ? ?x ? 5

得x?

? 5?4 2 4 5 ?4 2 ,y? 3 3

?M (

? 5 ?4 2 4 5 ?4 2 , ); 3 3
6

?

内部资料

2017-12-7

x2 y 2 19. (2013 年大纲)已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ?的左、右焦点分别为F1,F2, 离心率为 3, 直 a b
线 y ? 2与C的两个交点间的距离为 6. (Ⅰ)求 a, b; (Ⅱ) 设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且 AF 1 ? BF 1 ,

证明: AF2 、 AB 、 BF2 成等比数列

?

7


赞助商链接
相关文章:
双曲线的简单几何性质习题及详解
双曲线的简单几何性质习题及详解_高二数学_数学_高中...二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.(2014...结合双曲线的定义,可得出|PF1|=2a+2c,再由 cos...
2.3.2双曲线的简单几何性质教学设计
2.3.2双曲线的简单几何性质教学设计_数学_高中教育...(椭圆与对称轴的交点) 类比椭圆顶点的定义,我们把...4 B 1 登封市 2014—2015 学年课堂教 学达标...
双曲线简单几何性质导学案
双曲线简单几何性质导学案_数学_高中教育_教育专区。...2014.1.9 姓名:___ 问题 2:类比椭圆,从双曲线...练习: (1) 【知识链接】复习 1:双曲线的定义和...
双曲线简单几何性质知识点总结
双曲线简单几何性质知识点总结_数学_高中教育_教育专区。四、双曲线一、双曲线及其简单几何性质(一)双曲线的定义:平面内到两个定点 F1,F2 的距离差的绝对值等于...
双曲线的定义、标准方程及几何性质
双曲线的定义、标准方程及几何性质 - 高二数学学案 序号 112-113 高二年级 复习三十五 班 教师 毕环 学生 2) 、以 y ? ? 双曲线的定义、标准方程及几何...
2014年高考数学(理)二轮热点专题突破讲练:第十六讲 椭...
2014高考数学(理)二轮热点专题突破讲练:第十六讲 椭圆、双曲线与抛物线(含新题详解) 第十六讲 椭圆、双曲线与抛物线 曲线与方程 椭圆的几何性质 双曲线的几何...
双曲线的简单几何性质教学设计
高二数学双曲线的简单几何性质教学设计一、教学目标 知识与技能 1、知道双曲线的...了解双曲线的定义﹑标准方程,认 识椭圆和双曲线的内在联系,并掌握几何画板的...
双曲线的简单几何性质导学案
双曲线的简单几何性质导学案_数学_高中教育_教育专区...五、知识链接:复习 1:双曲线的定义和标准方程是...双曲线导学案12014 暂无评价 8页 免费 ©...
双曲线的几何性质
双曲线的几何性质_数学_高中教育_教育专区。课课题 ...实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长及离心率的定义...3. 思考题与 作业 双曲线的几何性质与椭圆的几何...
双曲线的标准方程及其几何性质
双曲线的标准方程及其几何性质_高二数学_数学_高中...1.双曲线的定义:平面内与两定点 F1、F2 的距离差...12 3 .解:(1)依题意,双曲线的实轴可能在 x ...
更多相关标签: