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高中数学知识网络图整合版【原创精品】

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函数的性质


定义: 函数的表示法: 解析式、列表法、图像法、 要素:定义域、对应法则、值域 原函数 f ? x ? 及其反函数 f ?1 ? x ?

f ? ? x? ? ? f ? x? , x ? D


f ? x ? 叫做奇函数,其图像
关于原点对称;

奇 偶 性

f ? x ? ? f ? ? x ? ,x ? D 则

函数

定义域

值域

对应法则
f :D?C

f ? x ? 叫做偶函数,其图像关
于 y 轴对称; 奇偶函数的定义域都关于原 点对称;

f ? x?

D

C

f ? a? ? b
f ?1 : C ? D

f ?1 ? x ?
在区间 ? a,b? 上,若

C

D

f ?1 ? b? ? a

a ? x1 ? x2 ? b

互反

互换

互逆



f ? x1 ? ? f ? x2 ? 则 f ? x ?

单 调 性



? a,b? 上递增; ? a,b? 是
f ? x ? 的递增区间

y ? f ? x ? 与 y ? f ?1 ? x ? 的图像关于直线 y ? x 对称



f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则

f ? x ? 在 ? a,b? 上递减,

? a,b? 是 f ? x? 的递减区间

求反函数的步骤: 1、 从方程 y ? f ? x ? 中解出 x ? f ?1 ? y ? , x ? D, y ? C 2、
以 x, y 互换得: x ? 即得到

f ?1 ? x ? , x ? C, y ? D

在函数 f ? x ? 的定义域上恒 周 期 性


f ? x ? 的反函数

f ? x ? T ? ? f ? x?

( T ? 0 的常数)则

f ? x? 叫

做周期函数,T 为其周期;T

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的最小值叫做

f ? x ? 的最小

正周期,简称周期

函数 y ? f ? x ? 的图像变换 向左平移 a 个单位: y1 ? y,x1 ? a ? x ? y ? f ? x ? a ? 向右平移 a 个单位: y1 ? y,x1 ? a ? x ? y ? f ? x ? a ? 平 移 向上平移 b 个单位: x1 ? x, y1 ? b ? y ? y ? b ? f ? x ? 向下平移 b 个单位: x1 ? x, y1 ? b ? y ? y ? b ? f ? x ?

? x ? x1 ? 2 x0 ? x ? 2 x0 ? x 关于点 ? x0 , y0 ? 对称 ? ?? 1 ? 2 y0 ? y ? f ? 2 x0 ? x ? ? y1 ? y ? y ? y1 ? 2 y0

? x ? x1 ? 2 x0 ? x ? 2 x0 ? x 关于直线 x ? x0 对称 ? ?? 1 ? y ? f ? 2 x0 ? x ? ? y1 ? y ? y1 ? y
对 称

? x1 ? x ? x1 ? x 关于直线 y ? y0 对称 ? ?? ? 2 y0 ? y ? f ? x ? y1 ? y ? 2 y0 y1 ? 2 y0 ? y ? ?

?x ? y ? x ? f ? y ? 即 y ? f ?1 ? x ? 关于直线 y ? x 对称 ? 1 y1 ? x ?

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把各点的横坐标 x1 缩短(当 ? ? 1 时)或伸长(当 0 ? ? ? 1 时)到原来的
即 x1

1

?

倍(纵坐标不变),

? ? x ? y ? f ?? x ?

伸 缩

把各点的纵坐标 y1 伸长( A ? 1 时)或缩短( 0 ? A ? 1 时)到原来的 A 倍,横坐标不变,即
Ay1 ? y, y1 ? y y ? ? f ? x ? 及 y ? Af ? x ? A A

幂函数 y ? xa ? a ? R ?

a

定义域

值域

性质 奇函数 增函数 偶函数

图像

a 为正奇数

? ??,???
正 整 数

? ??,???

a 为正偶数

? 0,???
a 为负奇数

? ??,0? 递减 ? 0,??? 递增
奇函数 减函数

a?n n? z
整数

? ??,0? ?
负 整 数

? ??,0? ? ? 0,???

? 0,???
a 为负偶数

? ??,0? 递增 ? 0,??? 递减
p,q 均为奇函数时,是
奇函数增函数

? 0,???
q 为奇数
p a? q
p,q
互质

p,q
互质

? ??,???

? ??,???

p,q ? z
正分数

p 为偶数时是偶函数,

p,q ? z
分数

q 为偶数

?0, ?? ? ?

?0, ?? ? ?

? 0, ? ? ? 上递增; ?

? ??,0? 递减
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p,q 均为奇数时是奇函
数,递减区间 ? 0, ? ? , ?

?

q 为奇数
p,q
互质

q 为奇数

? ??,0? ? ? 0,???

? ??,0? ? ? 0,???

? ??,0?
P 是偶数,q 为奇数,是 偶函数 递减区间: 递增区间:

p,q ? z
负分数

? ??,0? ? 0,?? ?

q 为偶数

q 为偶数

? 0,???

? 0,???

当 x ? 0 时, y ? x2 在 ? 0,?? ? 上递增;当 x ? 0 时, y ? x2 在 ? 0,?? ? 上递减,图像都过定点 ? 1,1?

指数函数 定义域 x ? R 值域 y ? ? 0, ?? ? 图 像

对数函数

x ? ? 0, ?? ?
y?R

性 质

过定点: ? 0,1? 即 x ? 0, y ? 1
a ? 1 ,y 递增, x ? ? ?? ,0 ? , y ? ? 0,1?

过定点: ? 1,0 ? 即 x ? 1, y ? 0
a ? 1 y 递增

x ? ? 0,1? , y ? ? ??,0? x ? ?1, ?? ? , y ? ? 0,?? ?

x ? ? 0, ?? ? , y ? ?1,?? ?
0 ? a ? 1 ,y 递减, x ? ? ?? ,0 ? , y ? ?1,?? ?

0 ? a ? 1 y 递减 x ? ? 0,1? , y ? ? 0,?? ?

x ? ? 0, ?? ? , y ? ? 0,1?

x ? ?1, ?? ? , y ? ? ??,0?

x1 ? x2 ? a x1 ? a x2
指数函数律
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0 ? x1 ? x2 ? loga x1 ? loga x2
对数函数律
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aloga y ? y ? a x

0 ? a ? 1,x ? R x ? loga y ? log a a x y ? ? 0, ?? ?

aloga x ? x ? a ? 0,a ? 1,x ? 0?

loga a x ? x ? a ? 0,a ? 1,x ? R ?
loga MN ? loga M ? loga N

a ?a ? a
m n

m? n

?a

m n

?

? a mn
n n

log a

M ? log a M ? log a N N
loga N loga b

loga M n ? nloga M
logb N ?
(换底公式)

? ab ?

n

?a b

a ? 0,b ? 0,m,n ? R

M ? 0,N ? 0,a ? 0,a ? 1,n ? R,b ? 0,b ? 1

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数列 1:等差数列: (1)定义: a n ?an?1 ? d ( n ? 2 ,d 为常数) (2)通项公式: an ? a1 ? ? n ?1? d ? am ? ? n ? m? d (3)等差中项:
A? a?b 2

(4)前 n 项和公式:

Sn ?

n ? n ? 1? n d ? a 1 ?an ? ? na1 ? 2 2

(5)常用性质: am ? an ? ap ? aq ? m ? n ? p ? q ? 2:等比数列:
an ?q an ?1 (1)定义: ( n ? 2 ,d 为常数)

(2)通项公式: an ? a1q

n?1

? amqn?m

(3)等比中项: G ? ? ab (4)前 n 项和公式: Sn ? na1 ? q ? 1? (5)常用性质:
am an ? ap aq m n ? ?
n a1 ? an q a ?1 ? q ? Sn ? ? 1? q 1 ? q ? q ? 1?

?p q

(6) Sn ? Sn?1 ? an ? n ? 2?

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三角函数
三角函数的图像和性质
角的概念的推广与弧度 制 任意角的三角函数定义

诱导公式(奇变偶不变, 符号看象限) 同脚三角函数的基本关系式子

三角函数的图像和性质 函数
y ? sin x
y ? cos x

y ? tan x

图像

?x x ? R 且
定义域 R R
x ? k? ?

??

??k ? Z ? 2?





? ?1,1?

? ?1,1?

R

周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 在 ? 2k? ? ? ,2k? ? 上都是增
函数 ? k ? Z ? 在 ? 2k? , 2k? ? ? ? 上都是减 函数 ? k ? Z ?

奇函数

? ? ? ? 在 ? ? ? 2k? , ? 2k? ? 2 ? 2 ?
上都是增函数 ? k ? Z ?

单调性

? ? ? ? 在 ? ? ? k? , ? k? ? 上 2 ? 2 ?
都是增函数 ? k ? Z ?

在?

3? ?? ? ? 2k? , ? 2k? ? 2 ?2 ?

上都是减函数 ? k ? Z ? 函数 y ? Asin ?? x ? ? ? ? A ? 0,? ? 0? , x ? R 的图像(略)和性质
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http://www.TopSage.com 振幅:A 角频率: ? 相位: ? x ? ? 初相: ?

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周期: T ?

2?

?

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两角和与差的公式:

sin ?? ? ? ? ? sin? cos ? ? cos ? sin ? sin ?? ? ? ? ? sin? cos ? ? cos ? sin ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin? sin ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin? sin ?
tan ?? ? ? ? ? tan ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

二倍角公式: sin 2? ? 2 sin ? cos ?
cos 2? ? cos 2 ? ? sin2 ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin2 ?
tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?
2 2

三角函数间的基本关系: 平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 商数关系: tan ? ?

sin ? cos ?

斜三角形的边角关系与面积:

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正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R (R 为 ? ABC 的 sin A sin B sin C
外接圆半径)

余弦定理 : a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

b2 ? a2 ? c2 ? 2bc cos B c2 ? a2 ? b2 ? 2bc cos C

1 1 1 S ? bc sin A ? ac sin B ? ab sin C ? pr 2 2 2 面积公式: ? p ? p ? a ?? p ? b ?? p ? c ?
为 ? ABC 的 内 切 圆 半 径 , 【 r

p?

1 ?a ? b ? c? 】 2

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向量
平面向量(既有大小又有方向的量) 自由向量 位置向量 共线向量 反向向量 (负向量) 单位向量 零向量

坐标表示 (1) a=? x1 , y1 ?

?

(1) 加法 a ? b=c

? ? ?

? b=? x2 , y2 ?
几何表示 有向线段 A (2) A=? x1, y1 ?

a B

B=? x2 , y2 ?

??? ??? ??? ? ? ? 则 AB ? BC=AC (三角形法则) ??? ???? ??? ? ? AB ? AD=AC (平行四边形法则)
(2) 减法

始点 A,终点 B

??? ? ??? ? AB :向量 AB
??? ?

??? ? AB=? x2 ? x1 , y2 ? y1 ?

的模(长度) 。自 A 到 B: AB 的 方向 定理

??? ??? ??? ? ? ? AC ? AB=BC

? ? a ? b x1x2 ? y1 y2 =
cos ?= x1 x2 ? y1 y2 x ? y12 ? x22 ? y22
2 1

(减法是加法的逆运算) (3) 数与向量的积

? ? xa = x a

平移公式 如果点 P ? x, y ? ,按向 平面向量的基本定理 (1)平面内有 e1 , e2 一 组非共线向量

? ? 当 x ? 0 时, xa 与 a 同向
当 x ? 0 时, xa 与 a 反向

?

?

? 量 a=? a, k ? 平 移 至
P' ? x' , y ' ?
, 则

??

?? ?

? ? 当 x=0 时, xa 0 =
(4) 数量积

x '=x ? h ,

? ? ? ?? ? a=?1 e1 ? ?2 e2
( 2 ) a

?

? ? ? ? a ? b= a b cos ?

平 行 于

? ? a ?b cos ?= ? ? a b
(5) 运算律

? ? ? b ? a=? b 或

x1 y2 ? x2 y1=0
a = = (3) ? b 0 ? a ? b 0
或 x1 x2 ? y1 y2=0

?

?

? ?

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空间向量
平面向量中概念、运算法则都可推广到相应的空间向量,建立空间直角坐标系后,空间向量的 坐标表示如下: 如图向量 OP , x 轴上的射影为 OA=x, y 轴上的射影为 OB=y, z 轴上的射影为 OC=z, 在 在 在

??? ?

?AOP ? ? , ?BOP ? ? , ?COP ? ? , 则

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? ( x, y, z ) ? ( OP cos ? , OP cos ? , OP cos ? )

??? ? OP ? x 2 ? y 2 ? z 2

??? ? cos ? , cos ? , cos ? 称为 OP 的方向余弦, cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1
以 P ( x1 , y1 , z1 ) 为始点, P ( x2 , y2 , z2 ) 为终点的向量 1 2

???? ? PP ? ( x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1 ) 1 2

???? ? PP2 ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 1

空间直线的方向向量与平面的法向量 与直线 l 平行的非零向量 a 叫做直线 l 的 方向向量,可以在直线 l 上任取不同两点 P , 1

?

???? ? ? P2 ,则 PP ? a 1 2
对于非零向量 n ,如果 n 所在直线与平面

?

?

? 垂直,则 n 叫做平面的 ? 的法向量,可以在
平面上任取两个不共线的向量 a, b 则 n ? a ? 0, n ? b ? 0 ,可以求出 n 的坐标表示

?

点到平面的距离 设 A 为平面 ? 上任意一点 , n1 为平面 ? 过点 A 的法 向量,向量 AM 与 n 的夹 角为 ? ,则点 M 到

? ?
?

??

? ?

? ?

???? ?

?

? ???? ? n ? AM 平面 ? 的距离为 d ? ? n
b 异面直线 a , 之间的距离可以划归为: 过 b 而与 a 平行的平面和 ? 上一点 M 之间 的距离 两平行平面之间的距离可以划归为:其 中一个平面上任意一点到另一平面的距离
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1、 异面直线所成的角 异面直线 a , b 的方向向量分别为

向量在证明中的应用 设直线 l 的方向向量为 l ,平面 ? 的法向量 为n ;

?

?? ? l1, l2 ,则 a , b 所成的角 ? 满足
l1l2 l1 l2

?

cos ? ?

1、 线面平行:当且仅当 n ? l ? 0 ,l 平行于平面

? ?

?
2、 直线 l 与平面 ? 所成的角 直线 l 的方向向量为 l ,平面 ? 2、 线面垂直:当且仅当 l 平行于 n 时, l ? ?

?

?

?

? 的法向量为 n ,则 l 与 ? 所成的角 ? 满 ? ? l ?n 足 sin ? ? ? ? l n
3、 二面角 设平面 ? , ? 的法向量分别为

设平面 ? , ? 的法向量分别为 n1 , n2

?? ?? ?

1、 面面平行:当且仅当 n1 平行于 n2 时, ? 平 行于 ?

??

?? ?

?? ?? ? n1 , n2 ,则二面角 ? ? l ? ? 的大小 ?? ?? ? n1 ? n2 满 足 cos ? ? ?? ?? ? 或 者 n1 n2 ?? ?? ? n1 ? n2 cos(? ? ? ) ? ?? ?? ? n1 n2

2、面面垂直:当且仅当 n1 ? n2 时, ? ? ?

??

?? ?

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直线和圆

基 本 公 式

两点间的距离 线段的定比 分点公式 线段的中点 坐标公式

AB ?
x?

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

x1 ? ? x2 1? ? x ?x x? 1 2 2

y?

y1 ? ? y2 1? ? y ? y2 y? 1 2

斜截式 点斜式

y ? kx ? b

y ? y1 ? k ? x ? x1 ?

直 线 方 程

两点式 截距式

? y ? y1 ?? x2 ? x1 ? ? ? x ? x1 ?? y2 ? y1 ?
x y ? ?1 a b

参数式

? x ? x0 ? t cos ? ? 为直线的倾角, t ? p0 p ? ? y ? y0 ? t sin ?

直线 Ax ? By ? C ? 0 A ? B ? 0 的方向向量为
2 2

?

?

? B, ? A? ;法向量为 ? A, B?

对称问题(均归结为点关于对称中心、对称轴的对称)
已知点 对称中心或对称轴 点 点 对称点

? 0, 0 ?

p ' ? ?a, ?b? p ' ? 2m ? a,2n ? b?
p ' ? 2m ? a, b?

? m, n?

直线 x ? m

p ? a, b?

x?0
直线 y ? n

p ' ? ?a, b? p ' ? a,2n ? b? p ' ? a, ?b? p ' ? b, a ? p ' ? ?b, ?a ?

y?0
直线 y ? x

y ? ?x
2 2 当对称轴为 Ax ? By ? C ? 0 A ? B ? 0 的点 ? a, b ? 的对称点

?

?

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? y0 ? b ? A ? ? x ? a ? ? B ? ? ?1 ? ? ? p ' ? x0 , y0 ? 满足 ? 0 ? A x0 ? a ? B y0 ? b ? C ? 0 ? ? 2 2



p0 ? x0 , y0 ? 到 Ax ? By ? C ? 0 ? A2 ? B 2 ? 0 ? 的距离:
d? Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2
k2 ? k1 1 ? k1k2

两直线的交角:

l1 到 l2 所成的角 ? ( l1 , l2 的斜率分别为 k1 , k2 ), tan ? ?

l1 到 l2 的夹角(不大于直角) ?0 , tan ?0 ?

k2 ? k1 1 ? k1k2

两直线的位置关系

直线系方程 过定点 x1, y1 的直线方程:

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
垂直的充要条件: A A2 ? B1B2 ? 0 1 当 A2 B2C2 ? 0 平行的充要条件: 重合的充要条件;

?

?

A? x ? x1 ? ? B ? y ? y1 ? ? 0 ( A2 ? B2 ? 0 )
平行于直线 Ax ? By ? C ? 0 的直线方程为:

Ax ? By ? ? ( ? 为任意常数)

A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2

垂直于直线 Ax ? By ? C ? 0 的直线方程为:

Bx ? Ay ? ? ( ? 为任意常数)
过 两 直 线

A1 ? ? A2 , B1 ? ? B2 , C ? ?C2 ( ? 为非
零常数)或者

A1 x ? B1 y ? C1 ? 0



A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2

A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 交点的直线系方程:

A1x ? B1 y ? C1 ? ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0
( ? 为任意常数)

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圆的标准方程: ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? r 2
2 2

圆心: ? x0 , y0 ?

半径: r

原点为圆心,半径为 r 的圆的方程: x2 ? y 2 ? r 2 圆的参数方程: ?

? x ? r cos ? ? y ? r sin ?

圆的一般方程: x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

D2 ? E 2 ? 4F ? 0

实圆 半径:

1 D2 ? E 2 ? 4F 2

圆心: ? ?

? D E? ,? ? 2? ? 2

D2 ? E 2 ? 4F ? 0

点圆 即 ? ?

? D E? ,? ? 2? ? 2

D2 ? E 2 ? 4F ? 0

虚圆 (无轨迹)
2 2

2 直线 lx ? my ? n ? 0 与 ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? r 的位置关系:

d?

lx0 ? my0 ? n l 2 ? m2 lx0 ? my0 ? n l 2 ? m2 lx0 ? my0 ? n l 2 ? m2

?r

相交

d?

? r 相切

d?

? r 相离

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圆锥曲线
椭圆 集合 双曲线 集合 抛物线
? MF ? ? e, e ? 1? ?M d ? ?
F 为焦点, 为点 M 到 d 准线 l 的距离

?

M MF1 ? MF2 ? 2a,

?

M MF1 ? MF2 ? 2a,

定义 1

2a ? F1F2

?

0 ? 2a ? F1F2

?

定点 F , F2 叫做椭圆的焦点 1

定点 F , F2 叫做双曲线的焦点 1

集合 定义 2
? MF2 ? ? e, 0 ? e ? 1? ?M d ? ?
F 为焦点, 为点 M 到相应准 d 线 l 的距离

集合
? MF ? ? e, e ? 1? ?M d ? ?
F 为焦点, 为点 M 到相应准线 l d 的距离

图形

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
实轴长 虚轴长

y2 ? 2 px ? P ? 0?
P 为焦点到准线 l 的距 离

标准方程

长轴长 短轴长

A1 A2 ? 2a B1B2 ? 2b

A1 A2 ? 2a B1B2 ? 2b

参数方程

? x ? a cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? b sin ?

? x ? a sec ? ( ? 为参数) ? ? y ? b tan ?

? x ? 2 pt 2 ? ? y ? 2 pt
( t ? cot ? 为参数)

? ?a,0? ? a, 0 ?
顶点

A1 ? ?a,0? , A2 ? a,0?

0 ? 0,0 ?

? 0, ?b ? ? 0,b ?
F1 ? ?c,0? , F2 ? c,0? F1 ? ?c,0? , F2 ? c,0?
焦距

焦点

焦距

F1F2 ? 2c

F1F2 ? 2c

?p ? F ? ,0 ? ?2 ?

c 2 ? a 2 ? b2

c 2 ? a 2 ? b2

椭圆
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双曲线 http://www.topsage.com

抛物线
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离心率

e?

c ? 0 ? e ? 1? a

e?

c ? e ? 1? a

e ?1

准线

a2 a2 l1 : x ? ? , l2 : x ? c c

a2 a2 l1 : x ? ? , l2 : x ? c c
渐近线为 y ? ?

x??

p 2

b x a

0 对称轴

x ? 0, y ? 0

x ? 0, y ? 0

y?0
PF ? x ? p 2

PF1 ? e PE ' ? a ? ex PF2 ? e PE ? a ? ex
焦半径

当 x ? a 时, PF1 ? ex ? a

PF2 ? ex ? a
当 x ? ?a ,

PF1 ? ? ? ex ? a ?

PF2 ? ? ? ex ? a ?
通径
HH ' ? 2b 2 a HH ' ? 2b 2 a

HH ' ? 2 p

x2 ? y 2 ? a2 (大)
辅助圆

x2 ? y 2 ? a2 x 2 ? y 2 ? b2

x2 ? y 2 ? b2 (小)

参数方程:定 义 参数法

平面直角坐标系

定义 直角坐标与极坐标的关系

? x ? p cos ? ? ? y ? p sin ?

? p2 ? x2 ? y 2 ? ? y ? tan ? ? x ?

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直线、平面和简单几何体

平面的基本性质 等角定理

A, B ? I ? 公理 1、 ??l ?? A, B ?? ?
公理 2、
1 A ?? ? ? ? ?l ? ? ? ? , A ? I A? ? ?
1

AB平行A?B? ? ? ? ?BAC=?B?A?C?(同向) AC平行A?C??

平行线的传递公理

l1平行l2 ? ? ? l1平行l3 l2平行l3 ?

公理 3、 A, B, C 不共线 ? ?? , A, B, C ? ? 推论 1、 A ? l ? ?? , A ? ? , l ? ? 推论 2、 l1 ? l2 ? A ? ?? , l1l2 ? ? 推论 3、 l1 平行 l2 ? ?? ,l1l2 ? ?
1 1
1

直线与直 线的位置 关系

直线与平 面的位置 关系

平 面 与平 面 的位置关系

空 间 两 直 线 的 位 置 关 系

共面 (在同一平面内的直线)

相交(有一个唯一的交点) 平行(无公共点) 判定 面
a ? ? , b ? ? ? A? ? ? a, b 异 面 A ?? ?

异面(不能在同一平面内的 直线)

夹角: a , b 异面, b 平行 a? ,

a ? a? ? P ,则 a 与 a? 所成的
不大于直角的角叫做异面直线 a 与 b 所成的角 距离:a , b 异面,a ? l , b ? l ,

a ? l =A , ? l ? B , AB b 则
叫做异面直线 a , b 间的距离

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直线在平面内 l ? ? : l 上有两点在平面 ? 上 ? l ? ? (公理 1) 直线与平面平行 判定: l ? ? , l平行? , a ? ? ? l平行? 性质:平行? , l ? ? , ? ? ? ? a ? l平行? l 直线 l 与平面 ? 所成的角: ? l ?? ? n , l 与 n 所夹的 锐角或直角 线 面 垂 直 判定: (1) l ? a, l ? b ? a ? b=A ? l ? a ?
a ? ?,b ? ? ?

直 线 与 平 面 的 位 置 关 系

直 线 与平 面 相交

l ?? ? A

l ??

(2) l1平行l2 , l1 ? ? ? l2 ? ? 性质: l1 ? ? , l2 ? ? ? l1平行l2

三垂线定理: (l )? ? a, b ? ? , a ? b ? l ? b 逆定理: (l )? ? a, b ? ? , l ? b ? a ? b 判定: (1)

a, b ? ? , a ? b ? ? ? ? ? ? 平行? a平行? , b平行? ?

(2) l ? ? , l ? ? ? ? 平行?

两 平 面 的 位 置 关 系

平行 ? 平行? (3) ? 平行? ,? 平行? ? ? 平行? 性质: ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ? ? a平行b
? 平行?
? ?

l ? ? , ? 平行? ? l ? ?

相交(二面角的平面角) : 垂直 ? ? ? ? ?
? ? ? 2?

? ? ? ? l, a ? ? , b ? ? ?
a ? l, b ? l

? ? a, b的交角? ?

判定: (1)

? ?? ? a ? ?? ? ? ? ? ? (2) ??? ?? a ?? ? ? 平行? ?

性质: 1) (

? ? ?,? ? ? =l ? ? ?? ? ( ? ? ? a ? ? , 2) ? ? ? l , ??l ?? a ? ?,a ? l ? ??? ?

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? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? ?a ? b ? ? ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ? ? ? a ? c ? ?b ? c ? ?? ? c ? ? http://www.TopSage.com

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凸多面体

棱 柱

平行六 面体

棱锥





直棱柱 直平行 六面体 正棱柱 长方体

正棱锥

正棱台

性质 平行于底面的截 面是与上下底面 全等的正多边形 过不相邻的两条 侧棱的截面是矩

正方体



性质 1、 平行于底面的 截面是与底面相 似的正多边形 2、 过不相邻的两 条侧棱的截面是 等腰三角形 3、 侧面全是相互 全等的等腰三角 形

性质 1、 平行于底面的 截面是与底面 相似的正多边 形 2、过不相邻的两 条侧棱的截面是 等腰梯形 3、侧面全是相互 全等的等腰梯形

棱柱的侧面积:

S ? cl V 棱柱体积: ? Sh

棱锥侧面积:

棱台侧面积:

1 S ? ch ' 2
棱锥体积:

S?

1 ? c1 ? c2 ? h ' 2

棱台体积:
V? 1 S1 ? S 2 ? S1S 2 h 3

1 V ? Sh 3

?

?

棱柱字母解释: c 为底周长 棱锥字母解释: c 为底周长

l 为侧棱长
h ' 为斜高 S

S

为底面积

h 为高 h 为高

为底面积

棱台字母解释: c1 、 c2 为上下底周长
S1 、 S2 为上下底面积
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h ' 为斜高

h 为高
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极限
数列极限的定义: 设 函数极限定义: 当自变量 x 取正值并且无限增大时,如果函数

?an ? 是一个无穷数列,a 是常数,对于任意小
?N

正数 ? ,总存在相应的正整数 N,使得当 n 时,就有

f ( x)
x ???

无 限 趋 近 一 个 常 数

a

, 则

an ? a ? ? ,则 lim an ? a
n ??

lim f ( x) ? a , 当自变量 x 取负值并且绝对

数列极限运算法则: 设 lim an
n ??

? a, lim bn ? b ,则
n ?? n ?? n ??

值无限增大时,如果 数 a ,则

f ( x) 无限趋近于一个常

lim(an ? bn ) ? a ? b ? lim an ? lim bn
n ??

x ???

lim f ( x) ? a ,如果
x ???

x ???

lim f ( x) ? lim f ( x) ? a
函数极限运算法则:
x ? x0 x ? x0





lim anbn ? ab ? lim an ? lim bn
n ?? n ?? n ??

lim f lim ? ( x当? a, lim时,x)(?)b? a , 如果 ( x ) f a ) x ? x0 g ( f x ,则
x ??

an a lim an ? ? n?? n ?? b b lim ? 无穷递缩等比数列 ?anbn( q ? 1) n n ?? lim

则 lim

x ? x00

x0 ? g a lim ? f ( x) ) ? ( x)? ? a ? b ? lim f ( x) ? lim g ( x) x? x f (
x ? x0 x ? x0

(b ? lim bn ? 0) a n ?? lim lim lim S ? lim(a1 ? a1q ? a1q 2 ? ? a1q n ?1 ? ?) ? x? x0 ? f ( x) ? g ( x)? ? ab ? x? x0 f ( x) ? x? x0 g ( x) n ?? 1? q

两个重要极限: (1) lim

sin x ?1 x ?0 x

lim ff((x))的连续性: x f ( x) x a x? 0 ? ? (lim g ( x) ? 0) x ? x0 g ( x) b lim g ( x) x?x0 ? x0 如 果 函 数 f ( x ) 在 xx ? x0 处 及 其 附 近 有 定 义 , 且
函数

lim

1 1 x (2) lim(1 ? ) ? e, lim(1 ? x) x ? e x ?? x ?? x

x ? x0

lim f ( x) ? f ( x0 ) ,则 f ( x) 在点 x0 连续

连续函数的性质: (1) 如果函数

f ( x) 在闭区间 ? a, b? 上连续, 则

f ( x) 在闭区间 ? a, b? 上有最大值和最小值
(2) 如果函数

f ( x) 、 g ( x) 在点 x ? x0 处连续,



f ( x) ? g ( x), f ( x) ? g ( x),

f ( x) ( g ( x) ? 0) 在 x ? x0 处连续 g ( x)

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导数与微分
导数概念: 导数: 微分概念与运算:

dy ? f ?( x)dx, ?y ? dy, ?y ? f ?( x)dx
dy ? y ?( x ) dx

x ? x0

lim

f ( x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? lim ?x ?0 x ? x0 ?x

? lim
导函数:

?x ?0

?y ? f ?( x0 ) ?x

d (u ? v) ? du ? dv d (uv) ? udv ? vdu
u udv 导数的应用: ? vdu v (1) d( ) ?
2

f ( x ? ?x) ? f ( x) dy lim ? f ?( x) ? y? ? ?x ?0 ?x dx f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 几何意义: 为割线的斜率 ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) lim 为切线的斜 求导法则: x ?0 ? ?x
率 第一步:求函数的增量 ?y ? 第二步:求平均变化率

v 函数的单调性:

(v ? 0)

f ?( x) ? 0 的解集为 f ( x) 的单调递增区


f ( x ? ?x) ? f ( x)

f ?( x) ? 0 的解集为 f ( x) 的单调递减区
间 (2) 函数的极值与最值 略??????

?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ? ?x ?x ?y ? f ?( x) 第三步:取极限 lim ?x ? 0 ?x
常用函数的导数:

C ? 0 (C 为函数)

(log a x)? ?

1 log a e x

( xa )? ? axa?1 (a ? R)
(sin x)? ? cos x (cos x)? ? ? sin x
(1) (u ? v)? ? u? ? v? (2) (uv)? ? u?v ? uv? (3) (

(e x )? ? e x
(a x )? ? a x ln a
(ln x )? ? 1 x

导数运算法则与复合函数的导数:

u u ?v ? uv? )? ? v v2

(4)复合函数的导数 设

y ? f (u), u ? ? ( x), 则

dy dy du yx? ? yu? ? u x? 或 ? ? dx du dx

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计数原理
一、排列与组合 1、 分类计数原理、分步计数原理 (1) 完成一件事有几类方法,各类方法相互独立,每类办法中又有许多不同的方法,则 完成这件事的不同方法数是各不同方法种数的和,这就是分类计数原理。 (2) 完成一件事,需要分成 n 个步骤,每一步的完成有多种不同的方法,则完成这件事 的不同方法种数事各种不同的方法数的乘积,这就是分步计数原理。 2、 排列 定义:从 m 个元素中取出 n 个元素,需要按照一定的顺序进行排列,用 Am 表示 排列数公式: 规定: 0!=1 3、 组合 定义:从 m 个元素中取出 n 个元素,不需要按照一定的顺序进行排列,用 Cm 表示
m 计算公式: Cn =

n

n Am=n ? n ?1?? n ? 2??? n ? m ?1?

n

n ? n ? 1?? n ? 2 ??? n ? m ? 1? n! = m ? m ? 1??1 m!? n ? m ?!
0

1 由于 0!=1 ,所以 Cn=
4、 组合数性质 (1) Cn =Cn
m n ?m m m m?1 (2) Cn?1=Cn ? Cn

二、二项式定理

?a ? b? 1、二项式定理:
2、几个基本概念:

n

0 1 r n =Cn a n ? Cn a n ?1b1 ? ? ? Cn a n ?r b r ? ? ? Cn b n ? n ? N * ?

(1) 、二项展开式:右边的多项式叫做 (2)项数:二项展开式中共有 n+1 项

?a ? b?

n

的二项展开式
r

(3)二项式系数:在二项展开式中各项的系数 Cn

? r=0,1,2,3?, n? 叫做二项式系数

r n?r r (4)通项:在二项展开式中的 Cn a b 叫做二项展开式的通项,用 Tr ?1 表示,即通项为展开

式的第 r+1 项:

r Tr ?1=Cn an?r br ? r=0,1, 2,3?, n?

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概率与统计
一、 1、 (1) (2) 随机事件的概率 随机事件及其概率 在一定的条件下必然要发生的事件,叫做必然事件 在一定的条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件;在一定的条件下可能发生也 可能不发生的事件,叫做随机事件 m (3) 在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率 总是接近某个常数,在它附近摆 n 动,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P ? A? 2、 等可能事件的概率 (1) 一次试验连同其中可能出现的每一个事件称为一个基本事件 (2) 如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,即此试验由 n 个基本事件组成,而且所有 1 结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是 ;如果事件 A 包含的 n m 结果有 m 个,那么事件 A 的概率 P ? A? = n 3、 相互独立事件及其同时发生的概率 (1) 事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫 做相互独立事件 (2) 事件 A、B 时相互独立事件,它们同时发生记作 A●B,两个相互独立事件同时发生 的概率,等于每个事件发生的概率的积,即 P ? A ? B ?=P ? A? ? P ? B ? 一般,如果事件 A1 , A2 ? An 相互独立,那么这 n 个事件同时发生的概率,等于每个事 件发生的概率的积,即

P ? A1, A2 ? An ?=P ? A1 ? P ? A2 ??P ? An ?
4、 独立重复试验 如果在 1 次试验中某事件发生的概率为 P, 那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发
n?k

生 k 次的概率为 Pn ? k ?=C k P k ?1 ? P ? n 5、

互斥事件 事件 A 与事件 B 不可能同时发生,这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。 如果事件 A1 , A2 ? An 中的任何两个都是互斥事件,那么就是事件 A1 , A2 ? An 彼此互斥

6、

独立事件:对于两个事件而言,这种其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。 事件 A 的对立事件通常记作 A

7、

如果事件 A、B 互斥,那么事件 A+B 发生(即 A、B 中有一个发生)的概率,等于 事件 A、B 分别发生的概率的和。 P ? A ? B?=P ? A? ? P ? B ?

8、 二、

1 对立事件的概率的和为 1,及 P ? A? +P A =1 ,它的变形为 P ? A?= ? P A

? ?

? ?

古典概型与几何概型 http://www.topsage.com
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1、 古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型 (1) 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 (2) 每个基本事件出现的可能性相等 (3) 古典概型的概率公式 对于古典概型,任何事件的概率为

P ? A?

═A 包含的基本事件个数/总的基本事件个数

2、 几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例。则称这样的 概率模型为几何模型,简称为几何模型 计算公式:

P ? A?

=构成事件 A 的区域长度(面积或体积)/试验的全部结果所构成的区域长度(面积

或体积) 三、 统计 1、系统抽样 (1) 概念:当总体元素个数很大时,可将总体分成均衡的若干个部分,然后按照预先制 定的规则,从每个部分中抽取所个体,组成所需要的样本,这种抽样方法叫做系统 抽样。由于系统抽样的间隔相等,因此系统抽样也被叫做等距抽样。 (2) 系统抽样的操作步骤: A、利用随机抽样的方式将总体中的个体编号
N B、将总体的号码分段,确定分段间隔 k,当 n (N 为总体中的个数,n 为样本的容量)是 N N 整数时,k= n ;当 n 不是整数时,通常从总体中剔除一些个体使剩下的个体 N ' 能被 N' n 整除,这是 k= n

C、第一阶段用简单随机抽样确定起始个体编号 l D、按照事先规定好的规则抽取样本 2、分层抽样 (1)概念:当总体由有明显差异的几部分组成时,为了使抽取的样本能更好的反映总体的 情况,常采用分层抽样。将总体中各个个体按照某种特征分成互不相干的若干部分,每一 部分叫做层,在各层中按层在总体中所占的比例进行简单随机抽样,这种抽样方法叫做分 层抽样。 (2)分层抽样的过程 A、确定样本容量与总体中个体数的比 B、计算出各层中需抽取的个体数 C、采用简单那随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体 D、将各层中抽取的个体合在一起,就是所需抽取的样本
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3、 频率分布直方图 (1) 、计算极差:极差=最大值—最小值(同一组数据中) (2) 、决定组距与组数:组数=极差/组距 (3) 、将数据分组 (4) 、列出频率分布表 分组 频数累计 频数 频率

合计 (5) 、列出频率分布直方图

1.00

4、茎叶图 茎叶图只便于表示两位有效数字的数据: 例如:某赛季甲、乙两名运动员每场比赛得分的原始记录如下: 甲运动员得分:13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39 乙运动员得分:49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39 甲 乙 8 4 3 3 6 6 8 3 8 9 0 1 2 3 4 5 注:中间的一列代表高位,旁边的代表低位 1 2 5 1 9 4 0 5 4 6 9 1 6 7

5、 用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 众数:在一组数据中出现次数最多的数字 中位数:将一组数据按照从小到大的顺序排列后,位于最中间的那个数 平均数: (2)标准差 标准差时样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 S 表示 所谓“平均距离”可作如下理解: 假设样本数据是 x1 , x2 ,? xn , x 表示这组数据的平均数, xi 到 x 的距离是
xi ? x ? i= 2,3?, n ? 1,

于是,样本数据 x1 , x2 ,? xn , 到 x 的“平均距离”是

S=

x1 ? x ? x2 ? x ? ? ? xn ? x n
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标准差为:
s= x1 ? x ? x2 ? x ? ? ? xn ? x n

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