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高一数学必修1教师用书:第一部分 第2章 章末小结 阶段检测(苏教版)

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(时间 120 分钟,满分 160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.把答案填在题中的横线上) 1.(2012· 广东高考)函数 y= x+1 x 的定义域为________.

?x+1≥0, 解析:要使函数有意义,需使? 所以函数的定义域为{x|x≥-1 且 x≠0}. ?x≠0,
答案:{x|x≥-1 且 x≠0} 2.下列四个对应中,从 A 到 B 的映射是________.

解析:根据映射的概念知(4)是从 A 到 B 的映射. 答案:(4) 3.下列各组函数中,表示同一函数的是________. x2-4 ①f(x)=x+2,g(x)= x-2 ②f(x)=x2+x+1,g(t)=t2+t+1 ③f(x)=(x-1)2,g(x)=x-1 解析:对于①,定义域不同,所以不是同一函数; 对于②,虽然自变量分别用 x 和 t 表示,但两个函数的定义域和对应法则相同,所以 是同一函数. 对于③,定义域相同,但对应法则不同,故不是同一函数. 答案:② 4.已知 f(x)= 5x ,且 f(a)=2,则 a=________. x +1
2

5a 1 解析:f(a)= 2 =2.整理得 2a2-5a+2=0,解得 a=2或 a=2. a +1 1 答案:2或 2

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?x +2,x≤2, 5.函数 f(x)=? 若 f(x0)=8,则 x0=________. ?2x, x>2,
解析:当 x0≤2 时,则 x2 0+2=8, 解得 x0=- 6或 x0= 6(舍去) 当 x0>2 时,则 2x0=8,解得 x0=4. 综上可知 x0=- 6或 4. 答案:- 6或 4 6.若函数 y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则函数 y=f(2x-1)的定义域是________. 解析:∵函数 y=f(x+1)的定义域是[-2,3], ∴-1≤x+1≤4. 5 ∴-1≤2x-1≤4,解得 0≤x≤2. 5 答案:[0,2] 7. 定义在 R 上的函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称, 且在[0, +∞)上是增函数, 则 f(3), f(-4),f(-π)的大小关系为________. 解析:因为函数图象关于 y 轴对称, 所以有 f(-4)=f(4),f(-π)=f(π). 又因为在[0,+∞)上是增函数, 所以有 f(3)<f(π)<f(4), 即 f(3)<f(-π)<f(-4). 答案:f(3)<f(-π)<f(-4) 8.已知 f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且 f(x+1)<f(2x+3),则 x 的取值范围是 ________.

2

?-1≤x+1≤1, 解析:由题意得?-1≤2x+3≤1, ?x+1<2x+3,
答案:(-2,-1]

解得-2<x≤-1.

9.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,x≥0 时,f(x)=x2-2x,则在 R 上 f(x)的表达式 是________. 解析:设 x<0,则-x>0, 即有 f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x. 又因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以有 f(-x)=-f(x),即 f(x)=-x2-2x.
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?x -2x,x≥0, 所以 f(x)=? 2 ?-x -2x,x<0. ?x -2x,x≥0 答案:f(x)=? 2 ?-x -2x,x<0
10.已知 f(x)是定义在[-2,0)∪(0,2]上的奇函数,当 x>0 时,f(x)的 图象如图所示,那么 f(x)的值域是________. 解析:x>0 时,f(x)∈(2,3], ∵f(x)为奇函数, ∴x<0 时,f(x)∈[-3,-2), 那么函数 f(x)的值域是[-3,-2)∪(2,3]. 答案:[-3,-2)∪(2,3] 11. f(x)=x2, g(x)是一次函数, 且是增函数, 若 f(g(x))=4x2-20x+25, 则 g(x)=________. 解析:设 g(x)=ax+b(a>0), 则 f(g(x))=(ax+b)2=a2x2+2abx+b2,
2

2

?a =4, 所以有?2ab=-20, ?b =25,
2

2

解得 a=2,b=-5,

所以 g(x)=2x-5. 答案:2x-5 x 12.(2011· 辽宁高考改编)若函数 f(x)= 为奇函数,则 a=________. ?2x+1??x-a? 解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1). -1 1 1 ∴ =- ,即 1+a=3(1-a),解得 a=2. [2×?-1?+1]?-1-a? ?2×1+1??1-a? 1 答案:2 13.设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],当 x∈[0,5]时,函数 y=f(x)的图象如图所示, 则使函数值 y<0 的 x 的取值集合为________.

解析:因为 y=f(x)是奇函数,所以 y=f(x)在[-5,5] 上的图象关于坐标原点对称, 由 y=f(x)在[0,5]上的图象可
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得它在[-5,0]上的图象.如图所示.由图象知,使函数值 y<0 的 x 的取值集合为(-2,0)∪ (2,5). 答案:(-2,0)∪(2,5) 14.如果函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在(-∞,4]上是减函数,那么实数 a 的取值范围 是________. 解析:∵f(x)=x2+2(a-1)x+2 =(x+a-1)2+2-(a-1)2, 其对称轴为 x=1-a. ∵函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在(-∞,4]上是减函数,∴1-a≥4,∴a≤-3. 答案:(-∞,-3] 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演 算步骤) 1 15.(本小题满分 14 分)已知 f(x)= ,g(x)=x2+2. 1+x (1)求 f(2),g(2)的值; (2)求 f(g(2))的值; (3)求 f(g(x))的解析式. 解:(1)f(2)= 1 1 = ,g(2)=22+2=6. 1+2 3

1 1 1 (2)f(g(2))= = = . 1+g?2? 1+6 7 1 1 1 (3)f(g(x))= = = . 1+g?x? 1+x2+2 x2+3 16.(本小题满分 14 分)写出下列函数的单调区间: 2-x (1)y=|x2-3x+2|;(2)y= . x+3

?x -3x+2,x≤1或x≥2, 解:(1)y=|x -3x+2|=? ?-?x2-3x+2?,1<x<2.
2

2

根据图象(图①)可知, 3 单调递增区间是?1,2?和[2,+∞);

?

?

3 单调递减区间是(-∞,1]和?2,2?.

?

?

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2-x 5 (2)y= )=-1+ .图象如图②. x+3 x +3 函数的单调递减区间是(-∞,-3)和(-3,+∞). 17.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在[-5,5]上是单调函数. 解:(1)当 a=-1 时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1. 又 x∈[-5,5],故当 x=1 时,f(x)的最小值为 1. 当 x=-5 时,f(x)的最大值为 37. (2)函数 f(x)=(x+a)2+2-a2 图象的对称轴为直线 x=-a. 若 f(x)在[-5,5]上是单调的,则-a≤-5 或-a≥5. 故 a 的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞). 18.(本小题满分 16 分)某商品在近 30 天内,每件的销售价格 P(元)与时间 t(天)有如

?t+20,0<t≤24,t∈N, 下函数关系:P=? 该商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的 ?-t+100,25≤t≤30,t∈N,
函数关系是 Q=-t+40(0<t≤30,t∈N),求这种商品日销售金额的最大值,并指出日销 售金额最大的一天是 30 天中的哪一天? 解:设日销售额为 y 元,则

??t+20? ?-t+40?,0<t≤24,t∈N, y=PQ=? ??-t+100? ?-t+40?,25≤t≤30,t∈N, ?-?t-10? +900,0<t≤24,t∈N, =? ??t-70?2-900,25≤t≤30,t∈N,
2

若 0<t≤24,则 t=10 时,ymax=900. 若 25≤t≤30, 则 t=25 时,ymax=1 125, 答:第 25 天销售额最大,最大销售额为 1 125 元. 19.(本小题满分 16 分)已知函数 f(x),当 x,y∈R 时,恒有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证:f(x)是奇函数;
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1 (2)如果 x>0 时,f(x)<0,并且 f(1)=-2,试求 f(x)在区间[-2,6]上的最值. 解:(1)证明∵函数定义域为 R,其定义域关于原点对称. ∵f(x+y)=f(x)+f(y),令 y=-x, ∴f(0)=f(x)+f(-x). 令 x=y=0,∴f(0)=f(0)+f(0),得 f(0)=0. ∴f(x)+f(-x)=0,得 f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. (2)设 x1<x2,且 x1,x2∈R. 则 f(x2-x1)=f(x2+(-x1))=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1). ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0.即 f(x)在 R 上单调递减. ∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值. 1 ∵f(1)=- , 2 ∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1, f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3. ∴f(x)在区间[-2,6]上的最大值为 1,最小值为-3. 20.(本小题满分 16 分)二次函数 f(x)的图象顶点为 A(1,16),且图象在 x 轴上截得线段 长为 8. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)令 g(x)=(2-2a)x-f(x); ①若函数 g(x)在 x∈[0,2]上是单调增函数,求实数 a 的取值范围; ②求函数 g(x)在 x∈[0,2]的最小值. 解:(1)设 f(x)=a(x-1)2+16=ax2-2ax+a+16, f(x)=0 的两根为 x1,x2(x1<x2), a+16 所以 x1+x2=2,x1· x2= a ,x2-x1=8, 解得 x1=-3,x2=5,a=-1. 所以 f(x)=-(x-1)2+16. (2)由(1)得 g(x)=x2-2ax-15=(x-a)2-a2-15. ①因为 g(x)在 x∈[0,2]上单调递增,所以只需 a≤0. ②当 a<0 时,g(x)min=g(0)=-15; 当 0≤a≤2 时,g(x)min=g(a)=-a2-15; 当 a>2 时,g(x)min=g(2)=-4a-11.
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综上,g(x)min

?-15,a<0, =?-a -15,0≤a≤2, ?-4a-11,a>2.
2

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