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二次函数实根分布


一.函数零点
一般地,对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0 的实数x就做函数y=f(x)的零点. 由此得出以下三个结论等价:
方程f(x)=0有实根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

实根分布问题
★一元二次方程

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)

1、当x为全体实数时的根
(1)当? ? b2 ? 4ac ? 0时, 方程有两个不相等的实数根

(2)当? ? b ? 4ac ? 0时,
2

方程有两个相等的实数根
(3)当? ? b2 ? 4ac ? 0时, 方程没有实数根

2、当x在某个范围内的实根分布
ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 在某个区间 ★一元二次方程 上有实根,求其中字母系数的问题称为实根分布问题。
实根分布问题一般考虑四个方面,即: (1)开口方向 (2)判别式 (3)对称轴 (4)端点值

? ? b ? 4ac
2

b x?? 2a f ( m) 的符号。

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(1) 两个根都小于1

?? ? (m ? 3) ? 4m ? 0 ? ? b 3? m ? ?1 ? ?? 2 ? 2a ? f (1) ? 2m ? 2 ? 0 ?
2

?m m ? 9?

设f ( x ) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 一元二次方程ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

的两根为x1 , x2 ( x1 ? x2 )

(1)方程两根都小于k (k为常数)

?? ? 0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? f (k ) ? 0 ?

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
1 (2) 两个根都大于 2 ? ?? ? ( m ? 3) 2 ? 4m ? 0 ? b 3? m 1 ? ? ? ? ??m ?? 2 2 ? 2a ? 1 6m ? 5 ? ?0 ? f ( 2) ? 4 ?

5 ? ? m ? 1? 6 ?

(2)方程两根都大于k (k为常数)

?? ? 0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? f (k ) ? 0 ?

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(3) 一个根大于1,一个根小于1

f(1)=2m-2 <0

?

?m m ? 1?

(3) x1 ? k ? x2 (k为常数)

f (k ) ? 0

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(4) 两个根都在(0 , 2)内

?? ? (m ? 3) ? 4m ? 0 ? ? 0 ? 3? m ? 2 ? ? 2 ? ? f (0) ? m ? 0 ? ? f (2) ? 3m ? 2 ? 0 ?
2

? 2 ? ?m ? m ? 1? ? 3 ?

(4)k1 ? x1 ? x2 ? k2 (k1 , k2为常数)

?? ? 0 ? b ? k1 ? ? ? k2 ? 2a ? ? f ( k1 ) ? 0 ? ? f ( k2 ) ? 0 ?

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(5)一个根小于2,一个根大于4

? f (2) ? 3m ? 2 ? 0 ?m m ? ? 4 ? ? ?? ? 5? f (4) ? 5m ? 4 ? 0 ? ?

(5) x1 ? k1 ? k2 ? x2 (k1 , k2为常数)

? f ( k1 ) ? 0 ? ? f ( k2 ) ? 0

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(6) 两个根有且仅有一个在(0 ,2)内

f(0)f(2)=m(3m-2) <0
? f ? 0? ? 0 ? ? 3? m ?1 ?0 ? ? 2

?

2? ? m 0 ?m? ? ? 3? ?

? f ? 2? ? 0 ? ? 3? m ?2 ?1 ? ? 2

(6) x1,x2有且只有一个根在(k1 , k2)内

k1

f (k1 ) f (k2 ) ? 0
k2

k1

k2

?? ? 0 ? 或? b ? k1 ? ? 2a ? k2 ?

k1

k2

? f ( k1 ) ? 0 ? 或? b k1 ? k2 ? k1 ? ? 2a ? 2 ?

k1

? f ( k2 ) ? 0 ? 或 ? k1 ? k2 b ? 2 ? ? 2a ? k2 ? k2

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(7) 一个根在(-2 ,0)内,另一个根在(1 , 3)内

? f (?2) ? ?m ? 10 ? 0 ? f (0) ? m ? 0 ? ? ? f (1) ? 2m ? 2 ? 0 ? ? f (3) ? 4m ? 0 ?

?

(7)m ? x1 ? n ? p ? x2 ? q ( m, n, p, q为常数)

? f (m ) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? f ( p) ? 0 ? ? f (q ) ? 0 ?

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(8) 两个正根
2

两根都大于0

? ? ? ( m ? 3) ? 4m ? 0 ? ? x1 ? x2 ? 3 ? m ? 0 ? ?m 0 ? m ? 1? ?x ? x ? m ? 0 ? 1 2

(8)方程有两个不相等的正根 ?? ? 0 可用韦达定理表达式来书写条件 ? x ? x ? 0 ? 1 2 ?x x ? 0 ? 1 2 ??0
也可

? ? b ? ?0 ?? ? 2a ? f (0) ? 0 ?

f ( x)

x1

x2

0

x

(9)方程有两个不相等的负根
可用韦达定理表达式来书写条件

也可

?? ? 0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? f (0) ? 0 ?

f ( x)

x1

x2

0

x

(10)方程有一正根一负根
可用韦达定理表达式来书写:ac<0

也可

f(0)<0

x2 ? mx ? (3 ? m) ? 0 例1.m为何实数值时,关于x的方程
(1)有实根 (2)有两正根 (3)一正一负

解: 寻求等价条件
(1) ? ? m ? 4(3 ? m) ? 0 , ? 4m ? 12 ? 0 m
2 2

得: ? 6或m ? ?2. m
?m ? 6或m ? ?2 ?? ? 0 ? ? (2) ? x1 ? x2 ? 0 得 ?m ? 0 得:m ? 6 ?x x ? 0 ?m ? 3 ? 0 ? 1 2 ?
? m ? 6或m ? ?2 ?? ? 0 (3) ? 得 ? 得:m ? ?3. ? x1 x2 ? 0 ?m ? 3 ? 0

变式题:m为何实数值时,关于x的方程 x ? mx ? (3 ? m) ? 0 有两个大于1的根. 转变为函数,借 2 法一:设 f ( x) ? x ? mx ? (3 ? m) 由已知得: 助于图像,解不
2

f(x)

x1

x2

0

1

x

? ? ? ? m 2 ? 4( m ? 3) ? 0 ? ?m?6 ? f (1) ? 0 ?m ? ?1 ?2
转化为韦达定理的 不等式组

等式组

法二:

?? ? m2 ? 4(m ? 3) ? 0 ?m ? 6或m ? -2 ? ? ? ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 ? m ? 6 ?( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 0 ?( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 0 ?x ? x ? 2 ? 0 2 ? 1 2 ? 1

x2 ? mx ? (3 ? m) ? 0 变式题:m为何实数值时,关于x的方程
有两个大于1的根.

? ?? =m2 ? 4(3 ? m) ? 0 ? 法三: ? m ? m 2 ? 4m ? 12 ?1 ? x1 ? 2 ? ? m ? m2 ? 4m ? 12 ?1 ? x2 ? ? 2

由求根公式,转化成含根式的 不等式组

?m ? 6或m ? ?2 ? ?m?6 解不等式组,得 ?m ? 2 ?m 2 ? 4m ? 12 ? m 2 ? 4m ? 4 ?

例2: (1)关于x的方程2kx 2 ? 2 x ? 3k ? 2 ? 0有两实根, 一个根小于1,另一个根大于1,求实数k的范围.

解:( ) f (x)= 2kx ? 2 x ? 3k ? 2, k ? 0 1 令
2

由题 kf (1) ? 0, k (2k ? 2 ? 3k ? 2) ? 0, (k ? 4)>0即 k ? 0或k ? ?4. k

(2) 已知二次方程 (m ? 2) x2 ? mx ? (2m ? 1) ? 0 的两根 分别属于(? 1, 0)和(, 1 2)求 m 的取值范围.

? f (-1)f (0)? 0 ?(2m ? 1)(2m ? 1)? 0 解:由题 ? ?? ? f (1)f (2)? 0 ?(4m ? 1)(8m ? 7) ? 0 1 ? 1 ?? 2 ? m ? 2 1 1 ? ?? ? ?m? 4 2 ?1 ? m ? 7 ?4 8 ?

例3.就实数k的取值,讨论下列关于x的方 x2 ? 2 x ? 3 ? k 程解的情况:
解: 将方程视为两曲线 y ? x ? 2 x ? 3与y ? k 相交,
2

其交点横坐标便是方程的解,由图知: k ? ?4时, 无解; k = ? 4或k ? ?3时,有两解; ? 4 ? k ? ?3时有四个解; k ? ?3时有三个解.
?3
?4

y

x

结论: 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 在区间上的
实根分布问题.

() 1 一元二次方程有且仅有一个实根属于(m, n)的 充要条件是: f (m) f (n) ? 0. ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ? a f ( m) ? 0 ? ? a f ( n) ? 0 ? ?m ? ? b ? n ? 2a ?

(2) 一元二次方程两个实根都属于(m, n)的充要条件是:

(3) 一元二次方程两个实根分别在(m, n)两侧的

? a f ( m) ? 0 充要条件是: ? ? a f ( n) ? 0 (4)一元二次方程两个实根分别在(m, n)同一侧的 充要条件是: 分两类: ? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? (?) 在(m, n)右侧 ? ?a f (n) ? 0 ? b ?n ? ? 注:前提 m,n 2a ? 不是方程(1) ? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? (?) 在(m, n)左侧 ? ?a f (m) ? 0 ? b ?m ? ? 2a ?
的根.

课时小结:

紧紧以函数图像为中心,将方程的根用 图像直观的画出来,或数形结合或等价转 化,将函数、方程、不等式视为一个统一 整体,另外,要重视参数的分类讨论对图 形的影响。

例2、已知

B ? ? x | x ? ax ? 4 ? 0? 且A ? B
2

A ? ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0?
2

求a的取值范围。

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
一个正根,一个负根且正根绝对值较大

? f (0) ? m ? 0 ? ? ? b 3? m ? ? ?0 ? 2a 2 ?

?m m ? 0?

作业:
A ? ?( x, y ) | y ? x 2 ? ax ? 1? , 1、已知集合

B ? ?( x, y) | x ? y ? 3,0 ? x ? 3?,若A ? B

是单元素集,求a的取值范围。
A ? ? x | x 2 ? 7 x ? 10 ? 0? , 2、设集合
2

B ? ? x | x ? (2 ? m) x ? 5 ? m ? 0? , 若A ? B ? B
求m的取值范围。


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