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2011年朝阳区高三一模数学(理)试题及答案

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习及答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.若集合 M ? { y | y ? x , x ? R}, N ? { y | y ? x ? 2, x ? R } ,则 M I N 等于
2

(A) ?0, ???

(B) (??, ??)

(C) ?

(D){ (2, 4) , (?1, 1) }

2.某校高三一班有学生 54 人,二班有学生 42 人,现在要用分层抽样的方法从两个班抽出 16 人参加军训表演,则一班和二班分别被抽取的人数是 (A)8,8 (B)10,6 (C)9,7 (D)12,4 3.极坐标方程 ? ? 4cos ? 化为直角坐标方程是 (A) ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 (C) x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 (B) x2 ? y 2 ? 4 (D) ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 4

4.已知 {an } 是由正数组成的等比数列, Sn 表示 {an } 的前 n 项的和.若 a1 ? 3 , a2 a4 ? 144 , 则 S10 的值是 (A)511 (B) 1023 (C)1533 (D)3069

5.函数 y ? cos ( x ?
2

?
2

) 的单调增区间是 π ? kπ, kπ ? π) k ? Z 2 (D) (2kπ ? π, 2kπ ? 2π) k ? Z
(B) (

π ? kπ ) k ? Z 2 (C) (2kπ, π ? 2kπ) k ? Z
(A) ( kπ,

6.已知某个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是等边三 角形,侧视图是直角三角形,俯视图是等腰直角三角形, 则此三棱锥的体积等于 (A)

6 12 6 (C) 4

3 3 2 3 (D) 3
(B)

正视图

1
侧视图

7.如图,双曲线的中心在坐标原点 O , A, C 分别是双曲线虚轴的上、 下顶点,B 是双曲 线的左顶点, F 为双曲线的左焦点,直线 AB 与 FC 相交于点 D .若双曲线的离心率 为 2,则 ? BDF 的余弦值是

y

俯视图

A

7 7 7 (C) 14
(A)

5 7 7 5 7 (D) 14
(B)

F D

B

O

x

8.定义区间 (a, b) ,[a, b) , (a, b] , [a, b] 的长度均为 d ? b ? a ,多个区间并集的长

C

度为各区间长度之和,例如, (1, 2) ? [3, 5) 的长度 d ? (2 ? 1) ? (5 ? 3) ? 3 . 用 [ x ] 表示不 超过 x 的最大整数,记 {x} ? x ? [ x] ,其中 x ? R . 设 f ( x) ? [ x] ?{x} , g ( x) ? x ? 1 ,若 用 d1 , d2 , d3 分别表示不等式 f ( x) ? g ( x) ,方程 f ( x) ? g ( x) ,不等式 f ( x) ? g ( x) 解集 区间的长度,则当 0 ≤ x ≤ 2011 时,有 (A) d1 ? 1, d2 ? 2, d3 ? 2008 (C) d1 ? 3, d2 ? 5, d3 ? 2003 (B) d1 ? 1, d2 ? 1, d3 ? 2009 (D) d1 ? 2, d2 ? 3, d3 ? 2006

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9.复数 z1 ? 3 ? i , z2 ? 1 ? i ,则
6

z1 等于 z2

. C

10. 在二项式 ( x ? 2) 的展开式中, 第四项的系数是 11.如右图,在三角形 ABC 中, D , E 分别为 BC , AC 的中

. E· · F 开 始 D

点, F 为 AB 上的点,且 AB ? 4 AF . 若 AD ? xAF ? yAE ,则实数 x ? ,实数 y ? .

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

A

B

12.执行右图所示的程序框图,若输入 x ? ?5.2 , 则输出 y 的值为 .

输 入 x 0, i ? 0 y?

y ?| x ? 2 |
13.如下图,在圆内接四边形 ABCD 中, 对角线 AC , BD 相交于 点 E .已知 BC ? CD ? 2 3 , AE ? 2 EC , ?CBD ? 30 , 则 ?CAB ? , AC 的长是 .
?

i ? i ?1
x? y

i ≥ 5?
是 输出



y
结 束 n 14.对于各数互不相等的整数数组 (i1 , i2 , i3 ,?, in ) ( 是不小于 3 的正整数),对于任意的

p, q ?{1, 2,3,?, n} ,当 p ? q 时有 i p ? iq ,则称 i p , i q 是该数组的一个“逆序” ,一
个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数” ,则数组(2,4,3,1)中的逆序 数等于 序数为 ;若数组 (i1, i2 , i3 , ?, in ) 中的逆序数为 n ,则数组 (in , in?1 ,?, i1 ) 中的逆 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 在锐角 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知 cos 2C ? ? (Ⅰ)求 sin C ; (Ⅱ)当 c ? 2a ,且 b ? 3 7 时,求 a .

3 . 4

16. (本小题满分 13 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 直 角 梯 形 , 且 AD // BC ,

?ABC ? ?PAD ? 90? ,侧面 PAD ? 底面 ABCD . 若 PA ? AB ? BC ?

(Ⅰ)求证: CD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)侧棱 PA 上是否存在点 E ,使得 BE // 平面 PCD ?若存在,指出点 E 若不存在,请说明理由; P (Ⅲ)求二面角 A ? PD ? C 的余弦值.

1 AD . 2
的位置并证明,

A B C

D

17. (本小题满分 13 分) 在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投 6 个球,至少投进 4 个球且最后 2 个球 都投进者获奖;否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是

2 . 3

(Ⅰ)记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X,求 X 的分布列及数学期望; (Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率; (Ⅲ)已知教师乙在某场比赛中,6 个球中恰好投进了 4 个球,求教师乙在这场比赛中获奖的 概率;教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗?

18. (本小题满分 13 分)

2 ? a ln x ? 2 (a ? 0) . x (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 P(1, f (1)) 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直,求函数 y ? f ( x) 的
已知函数 f ( x) ? 单调区间; (Ⅱ)若对于 ?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? 2(a ? 1) 成立,试求 a 的取值范围;
?1 (Ⅲ)记 g ( x) ? f ( x) ? x ? b (b ? R) .当 a ? 1 时,函数 g ( x) 在区间 [e , e] 上有两个零点,

求实数 b 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 已知 A(?2, 0) ,B(2, 0) 为椭圆 C 的左、 右顶点,F 为其右焦点,P 是椭圆 C 上异于 A ,

B 的动点,且 ?APB 面积的最大值为 2 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程及离心率; (Ⅱ)直线 AP 与椭圆在点 B 处的切线交于点 D ,当直线 AP 绕点 A 转动时,试判断以 BD 为直径的圆与直线 PF 的位置关系,并加以证明.

20. (本小题满分 14 分) 有 n 个 首 项 都 是

amk (m , k?

的 等 差 数 列 , 设 第 m 个 数 列 的 第 k 项 为 1,? 2 , 3 n ,≥n , ,公差为 , ) a1n , a2n , a3n ,?, ann 成等差数列. d3 m ,并且 1

(Ⅰ)证明 dm ? p1d1 ? p2d2 ( 3 ≤ m ≤ n , p1 , p2 是 m 的多项式) ,并求 p1 ? p2 的值; (Ⅱ)当 d1 ? 1, d2 ? 3 时,将数列 {dm } 分组如下:

(d1 ), (d2 , d3 , d4 ), (d5 , d6 , d7 , d8 , d9 ),? (每组数的个数构成等差数列).
设前 m 组中所有数之和为 (cm )4 (cm ? 0) ,求数列 {2 m dm} 的前 n 项和 Sn .
c

(Ⅲ)设 N 是不超过 20 的正整数,当 n ? N 时,对于(Ⅱ)中的 Sn ,求使得不等式

1 ( S n ? 6) ? d n 成立的所有 N 的值. 50

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学测试题答案(理工类)
2011.4 一、选择题: 题号 (1) A 答案 二、填空题: 题号 (9) 答案 (2) C (3) A (4) D (5) A (6) B (7) C (8) B

(10) 160

(11) 2 1

(12) 0.8

(13)

(14) 6 4

1+2i

30

?

n2 ? 3n 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由已知可得 1 ? 2sin C ? ?
2

因为在 ?ABC 中, sin C ? 0 , 所以 sin C ?

3 7 2 .所以 sin C ? . 4 8

14 . 4

??????????????6 分

(Ⅱ)因为 c ? 2a ,所以 sin A ?

1 14 . sin C ? 2 8 2 5 2 因为 ?ABC 是锐角三角形,所以 cos C ? , cos A ? . 4 8 所以 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C 14 2 5 2 14 3 7 . ? ? ? ? 8 4 8 4 8 3 7 a 由正弦定理可得: ,所以 a ? 14 . ? sin B sin A ?

??????????13 分

16. (本小题满分 13 分) 解法一: (Ⅰ)因为 ?PAD ? 90? ,所以 PA ? AD . 又因为侧面 PAD ? 底面 ABCD ,且侧面 PAD ? 底面 ABCD ? AD , 所以 PA ? 底面 ABCD . 而 CD ? 底面 ABCD , 所以 PA ? CD . 在底面 ABCD 中,因为 ?ABC ? ?BAD ? 90? , AB ? BC ? 所以 AC ? CD ?

1 AD , 2

2 AD , 所以 AC ? CD . 2 又因为 PA ? AC ? A , 所以 CD ? 平面 PAC . ???????????4 分 (Ⅱ)在 PA 上存在中点 E ,使得 BE / / 平面 PCD , 证明如下:设 PD 的中点是 F , P 连结 BE , EF , FC , 1 则 EF // AD ,且 EF ? AD . F E 2
A B D C

由已知 ?ABC ? ?BAD ? 90? ,

1 AD , 2 所以 BC // EF ,且 BC ? EF , 所以四边形 BEFC 为平行四边形,所以 BE // CF . 因为 BE ? 平面 PCD , CF ? 平面 PCD , 所以 BE // 平面 PCD . ?????8 分
所以 BC // AD . 又 BC ? (Ⅲ)设 G 为 AD 中点,连结 CG , 则 CG ? AD . 又因为平面 ABCD ? 平面 PAD , 所以 CG ? 平面 PAD . 过 G 作 GH ? PD 于 H , 连结 CH ,由三垂线定理可知 CH ? PD . 所以 ?GHC 是二面角 A ? PD ? C 的平面角. 在 ?PAD 中,

P

H A G D

B

C

设 AD ? 2 ,则 PA ? AB ? CG ? DG ? 1, DP ? 5 .

GH DG 1 ? ,所以 GH ? . PA DP 5

CG 6 ? 5 , cos ?GHC ? . GH 6 6 即二面角 A ? PD ? C 的余弦值为 . ????????????13 分 6
所以 tan ?GHC ? 解法二: 因为 ?PAD ? 90? , 所以 PA ? AD . 又因为侧面 PAD ? 底面 ABCD , 且侧面 PAD ? 底面 ABCD ? AD , 所以 PA ? 底面 ABCD . 又因为 ?BAD ? 90? , 所以 AB , AD , AP 两两垂直. 分别以 AB , AD , AP 为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,如图. z P

A B x C

D

y

设 AD ? 2 ,则 A(0, 0, 0) , B(1, 0, 0) , C (1, 1, 0) , D(0, 2, 0) , P(0, 0, 1) . (Ⅰ) AP ? (0, 0, 1) , AC ? (1, 1, 0) , CD ? (?1, 1, 0) , 所以 AP ? CD ? 0 , AC ? CD ? 0 ,所以 AP ? CD , AC ? CD . 又因为 AP ? AC ? A , 所以 CD ? 平面 PAC . ????????????4 分 (Ⅱ)设侧棱 PA 的中点是 E , 则 E (0, 0,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? 1 1 ) , BE ? (?1, 0, ) . 2 2 ??? ? ? ?n ? CD ? 0, 设平面 PCD 的一个法向量是 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ??? ? ? ? n ? PD ? 0. ??? ? ??? ? 因为 CD ? (?1, 1, 0) , PD ? (0, 2, ?1) , ?? x ? y ? 0, 所以 ? 取 x ? 1 ,则 n ? (1, 1, 2) . ? 2 y ? z ? 0.

??? ? 1 ) ? 0 , 所以 n ? BE . 2 因为 BE ? 平面 PCD ,所以 BE ? 平面 PCD . ????????????8 分 ??? ? (Ⅲ)由已知, AB ? 平面 PAD ,所以 AB ? (1, 0, 0) 为平面 PAD 的一个法向量. 由(Ⅱ)知, n ? (1, 1, 2) 为平面 PCD 的一个法向量. 设二面角 A ? PD ? C 的大小为 ? ,由图可知, ? 为锐角, ??? ? n ? AB (1, 1, 2) ? (1, 0, 0) 6 所以 cos ? ? . ? ??? ? ? 6 6 ?1 n AB
所以 n ? BE ? (1, 1, 2) ? (?1, 0,

??? ?

即二面角 A ? PD ? C 的余弦值为

6 . 6

????????????13 分

17. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,6. 依条件可知 X~B(6,
k 6

2 ). 3
k

?2? P( X ? k ) ? C ? ? ? ?3?
X 的分布列为: X 0

?1? ?? ? ? 3?

6?k

( k ? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 )

1

2

3

4

5

6

64 P 729 1 2916 (0 ?1 ? 1?12 ? 2 ? 60 ? 3 ?160 ? 4 ? 240 ? 5 ? 192 ? 6 ? 64) = ?4. 所以 EX ? 729 729 2 2 或因为 X~B(6, ),所以 EX ? 6 ? ? 4 . 即 X 的数学期望为 4. ?????5 分 3 3
(Ⅱ)设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A,

1 729

12 729

60 729

160 729

240 729

192 729

1 2 3 3 32 . 答:教师甲在一场比赛中获奖的概率为 81
2 2 4 1

则 P( A) ? C4 ? ( ) ? ( ) ? C4 ? ? ( ) ? ( ) ?
5 6

1 3

2 3

2 3

32 . 81

????????????10 分

(Ⅲ)设教师乙在这场比赛中获奖为事件 B, 则 P( B) ?
2 4 A4 A4 2 ? . 6 A6 5

即教师乙在这场比赛中获奖的概率为 显然

2 . 5

2 32 32 ? ? ,所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的 5 80 81
???????13 分

概率不相等. 18. (本小题满分 13 分) 解: (I) 直线 y ? x ? 2 的斜率为 1. 函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , 因为 f ?( x) ? ?

2 a 2 a ? ,所以 f ?(1) ? ? 2 ? ? ?1 ,所以 a ? 1 . 2 x x 1 1

2 x?2 ? ln x ? 2 . f ?( x) ? 2 . x x 由 f ?( x) ? 0 解得 x ? 2 ;由 f ?( x) ? 0 解得 0 ? x ? 2 . 所以 f ( x ) 的单调增区间是 (2, ??) ,单调减区间是 (0, 2) . ????????4 分 2 a ax ? 2 (II) f ?( x) ? ? 2 ? ? , x x x2 2 2 由 f ?( x) ? 0 解得 x ? ;由 f ?( x) ? 0 解得 0 ? x ? . a a 2 2 所以 f ( x ) 在区间 ( , ? ?) 上单调递增,在区间 (0, ) 上单调递减. a a 2 2 所以当 x ? 时,函数 f ( x ) 取得最小值, ymin ? f ( ) . a a 因为对于 ?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? 2(a ? 1) 成立, 2 所以 f ( ) ? 2( a ? 1) 即可. a 2 2 2 2 则 ? a ln ? 2 ? 2(a ? 1) . 由 a ln ? a 解得 0 ? a ? . 2 a e a a 2 所以 a 的取值范围是 (0, ) . ????????????8 分 e 2 x2 ? x ? 2 (III)依题得 g ( x) ? ? ln x ? x ? 2 ? b ,则 g ?( x) ? . x x2 由 g ?( x) ? 0 解得 x ? 1 ;由 g ?( x) ? 0 解得 0 ? x ? 1 . 所以函数 g ( x) 在区间 (0, 1) 为减函数,在区间 (1, ? ?) 为增函数.
所以 f ( x) ?

? g (e ?1 ) ≥ 0, ? ?1 又因为函数 g ( x) 在区间 [e , e] 上有两个零点,所以 ? g (e) ≥ 0, ? g (1) ? 0. ?
解得 1 ? b ≤

2 ? e ?1. e 2 ? e ? 1] . e
???????????????13 分

所以 b 的取值范围是 (1, 19. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 解: (Ⅰ)由题意可设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , F (c, 0) . a b 1 ? ? 2a ? b ? 2 3, ? 2 由题意知 ? 解得 b ? 3 , c ? 1 . a ? 2, ? 2 ? a ? b2 ? c2 .
1 x y ? ? 1 ,离心率为 .??6 分 2 4 3 (Ⅱ)以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 证 明 如 下 : 由 题 意 可 设 直 线 AP 的 方 程 为 y ? k ( x ? 2) (k ? 0) .
故椭圆 C 的方程为
2 2

y P

D E F B x

A

O

则点 D 坐标为 (2, 4k ) , BD 中点 E 的坐标为 (2, 2k ) .

? y ? k ( x ? 2), ? 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ?12 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4 16k 2 ? 12 设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 ?2 x0 ? . 3 ? 4k 2 12k 6 ? 8k 2 所以 x0 ? , y0 ? k ( x0 ? 2) ? . ???????????10 分 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 因为点 F 坐标为 (1, 0) , 1 3 当 k ? ? 时,点 P 的坐标为 (1, ? ) ,点 D 的坐标为 (2, ? 2) . 2 2 直线 PF ? x 轴,此时以 BD 为直径的圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 与直线 PF 相切. 1 y0 4k 当 k ? ? 时,则直线 PF 的斜率 k PF ? . ? 2 x0 ? 1 1 ? 4k 2 4k ( x ? 1) . 所以直线 PF 的方程为 y ? 1 ? 4k 2 2k ? 8k 3 8k 4k ? 2 k ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 点 E 到直线 PF 的距离 d ? ? ? 2 | k |. 1 ? 4k 2 16k 2 ?1 |1 ? 4k 2 | (1 ? 4k 2 ) 2
又因为 | BD |? 4 | k | ,所以 d ?

1 | BD | . 2

故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 综上得,当直线 AP 绕点 A 转动时,以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切.???14 分 20. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由题意知 amn ? 1 ? (n ? 1)dm .

a2n ? a1n ? [1 ? (n ?1)d2 ] ? [1 ? (n ?1)d1 ] ? (n ?1)(d2 ? d1 ) , 同理, a3n ? a2n ? (n ?1)(d3 ? d2 ) , a4n ? a3n ? (n ?1)(d4 ? d3 ) ,?, an n? a ? 1 ) (d? d n1. ) ( ? n1 ) ? n ( n n ?
又因为 a1n , a2n , a3n ,?, ann 成等差数列,所以 a2n ? a1n ? a3n ? a2n ? ? ? ann ? a( n?1) n . 故 d2 ? d1 ? d3 ? d2 ? ? ? dn ? dn?1 ,即 {dn } 是公差为 d2 ? d1 的等差数列. 所以, dm ? d1 ? (m ?1)(d2 ? d1 ) ? (2 ? m)d1 ? (m ?1)d2 . 令 p1 ? 2 ? m, p2 ? m ? 1 ,则 dm ? p1d1 ? p2d2 ,此时 p1 ? p2 ? 1. ????4 分 (Ⅱ)当 d1 ? 1, d2 ? 3 时, dm ? 2m ?1 (m ? N* ) . 数列 {dm } 分组如下: (d1 ), (d2 , d3 , d4 ), (d5 , d6 , d7 , d8 , d9 ),? . 按分组规律,第 m 组中有 2m ? 1 个奇数, 所以第 1 组到第 m 组共有 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2m ?1) ? m 个奇数.
2

注意到前 k 个奇数的和为 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2k ?1) ? k ,
2

所以前 m 个奇数的和为 (m ) ? m .
2

2 2
4

4

即前 m 组中所有数之和为 m ,所以 (cm )4 ? m4 .

因为 cm ? 0 ,所以 cm ? m ,从而 2 m dm ? (2m ?1) ? 2m (m ? N* ) .
c

所以 Sn ? 1? 2 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? 7 ? 24 ? ?? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n .

2Sn ? 1? 22 ? 3 ? 23 ? 5 ? 24 ? ?? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1 .
故 ?Sn ? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? 2 ? 24 ? ?? 2 ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1

? 2(2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? 2 ? (2n ?1) ? 2n?1
2(2n ? 1) ? 2 ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ? (3 ? 2n)2n?1 ? 6 . 2 ?1 所以 Sn ? (2n ? 3)2n?1 ? 6 . ?????????????9 分 ? 2?
(Ⅲ)由(Ⅱ)得 dn ? 2n ?1 (n ? N* ) , Sn ? (2n ? 3)2n?1 ? 6 (n ? N* ) .

1 ( S n ? 6) ? bn 就是 (2n ? 3)2n?1 ? 50(2n ?1) . 50 考虑函数 f (n) ? (2n ? 3)2n?1 ? 50(2n ?1) ? (2n ? 3)(2n?1 ? 50) ?100 .
故不等式 当 n ? 1, 2,3, 4,5 时,都有 f (n) ? 0 ,即 (2n ? 3)2n?1 ? 50(2n ?1) . 而 f (6) ? 9(128 ? 50) ? 100 ? 602 ? 0 , 注意到当 n ≥ 6 时, f ( n) 单调递增,故有 f (n) ? 0 . 因此当 n ≥ 6 时, (2n ? 3)2n?1 ? 50(2n ?1) 成立,即 所以,满足条件的所有正整数 N ? 5,6,7,?, 20 .

1 ( S n ? 6) ? d n 成立. 50
??????????14 分


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