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指数、对数、幂函数


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指数、对数、幂函数知识归纳
知识要点梳理 知识点一:指数及指数幂的运算
1.根式的概念 的 次方根的定义:一般地,如果 ,那么 叫做 的 次方根,其中 ;当 为偶数时,正数的 次方根

当 为奇数时,正数的 次方根为正数,负数的 次方根是负数,表示为 有两个,这两个数互为相反数可以表示为 式子

.负数没有偶次方根,0 的任何次方根都是 0.

叫做根式, 叫做根指数, 叫做被开方数.

2.n 次方根的性质:

(1)当 为奇数时, 3.分数指数幂的意义:

;当 为偶数时,

(2)

; 注意:0 的正分数指数幂等与 0,负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质: (1) (2) (3)

知识点二:指数函数及其性质
1.指数函数概念:一般地,函数 2.指数函数函数性质: 函数 名称 定义 函数 指数函数 叫做指数函数,其中 是自变量,函数的定义域为 .



叫做指数函数

图象

定义域
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值域 过定点 奇偶性 单调性 在 上是增函数 图象过定点 ,即当 非奇非偶 在 上是减函数 时, .

函数值的变化情况

变化对图象的影 在第一象限内,从逆时针方向看图象, 逐渐增大;在第二象限内,从逆时针方向 响 看图象, 逐渐减小.

知识点三:对数与对数运算
1.对数的定义 (1)若 (2)负数和零没有对数. 2.几个重要的对数恒等式: 3.常用对数与自然对数:常用对数: 4.对数的运算性质 如果 ,那么 ①加法: ,则 叫做以 为底 的对数,记作 , 叫做底数, 叫做真数. . . ;自然对数: ,即 (其中 …).

(3)对数式与指数式的互化: , ,即 ,

②减法:

③数乘:





⑥换底公式:

知识点四:对数函数及其性质
1.对数函数定义 一般地,函数 叫做对数函数,其中 是自变量,函数的定义域 .

2.对数函数性质: 函数 名称 对数函数

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定义

函数



叫做对数函数

图象

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 上是增函数 图象过定点 ,即当 非奇非偶 在 上是减函数 时, .

函数值的 变化情况

变化对图 象的影响

在第一象限内,从顺时针方向看图象, 逐渐增大;在第四象限内,从顺时针方向 看图象, 逐渐减小.

知识点五:反函数
1.反函数的概念 设函数 的定义域为 ,值域为 , 在 ,从式子 中解出 ,得式子 .如果对于 表示 是 . 在 中

的任何一个值,通过式子 函数 叫做函数

中都有唯一确定的值和它对应,那么式子 ,习惯上改写成

的函数,

的反函数,记作

2.反函数的性质 (1)原函数 (2)函数 (3)若 与反函数 的图象关于直线 对称. 的值域、定义域. 在反函数 的图象上.

的定义域、值域分别是其反函数 在原函数 的图象上,则

(4)一般地,函数

要有反函数则它必须为单调函数.
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3.反函数的求法 (1)确定反函数的定义域,即原函数的值域; (2)从原函数式 (3)将 改写成 中反解出 ; ,并注明反函数的定义域.

知识点六:幂函数
1.幂函数概念 形如 的函数,叫做幂函数,其中 为常数.

2.幂函数的性质 (1)图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函 数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于 轴对称);是奇函数

时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时, 图象只分布在第一象限. (2)过定点:所有的幂函数在 (3)单调性:如果 数.如果 都有定义,并且图象都通过点 . 上为增函

,则幂函数的图象过原点,并且在 ,则幂函数的图象在 轴.

上为减函数,在第一象限内,

图象无限接近 轴与

(4)奇偶性:当 ),若

为奇数时,幂函数为奇函数,当 为奇数 为奇数时,则

为偶数时,幂函数为偶函数.当 为奇数 为偶数时,则

(其中

互质,

和 为

是奇函数,若

是偶函数,若

偶数 为奇数时,则 (5)图象特征:幂函数 象在直线 方. 上方,当

是非奇非偶函数. ,当 时,若 时,若 ,其图象在直线 ,其图象在直线 上方,若 下方,若 ,其图象在直线 ,其图 下

综合训练
一、选择题 1.若函数 在区间 上的最大值是最小值的 倍,则 的值为( )

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A. 2.若函数 A. 3.已知

B.

C.

D. 的图象过两点 和 ,则( ) D.

B. ,那么 等于( )

C.

A. 4.函数

B.8 ( )

C.18

D.

A.是偶函数,在区间 C.是奇函数,在区间

上单调递增 上单调递增

B.是偶函数,在区间 D.是奇函数,在区间

上单调递减 上单调递减

5. (2011 辽宁理 9)设函数 f(x)= A. 6.函数 A.递增且无最大值 二、填空题 7.若 B. 在 C. 上递减,那么

则满足 D. 在

的 的取值范围是( )

上( ) D.递减且有最小值

B.递减且无最小值

C.递增且有最大值

是奇函数,则实数 =_________.

8.函数 9.已知 10.设 11.计算: ,

的值域是__________. 则用 表示 ,且 ____________. ,则 ____________. ____________; ____________.

12.函数

的值域是__________.

三、解答题 13.比较下列各组数值的大小:

(1)





(2)





(3)

.

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14.解方程:(1) 15.已知 16.已知函数

; (2) 当其值域为

. 时,求 的取值范围. ,求 的定义域和值域.

能力提升
一、选择题 1.函数 上的最大值和最小值之和为 ,则 的值为( )

A. 2.已知 A. 3.对于

B. 在 B.

C.2

D.4

上是 的减函数,则 的取值范围是( ) C. D.

,给出下列四个不等式

① 其中成立的是( ) A.①与③

② B.①与④ C.②与③

③ D.②与④



4.设函数

,则

的值为( )

A.1 5.定义在

B.-1 上的任意函数

C.10

D. 与一个偶函数 之和,如果

都可以表示成一个奇函数

,那么( )

A.



B.



C.



D.



6.若

,则( )
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A. 二、填空题 7.若函数 8.若函数

B.

C.

D.

的定义域为 的值域为

,则 的范围为__________. ,则 的范围为__________.

9.函数

的定义域是______;值域是______.

10.若函数

是奇函数,则

为__________.

11.求值: 三、解答题 12.解方程: (1)

__________.

(2)

13.求函数 14.已知 ,



上的值域. ,试比较 与 的大小.

15.已知

,⑴判断

的奇偶性; ⑵证明



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