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高考数学(理科)二轮复习【专题1】不等式与线性规划(含答案)


第2讲
考情解读

不等式与线性规划

(1)在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的

解法、基本不等式及线性规划问题.基本不等式主要考查求最值问题,线性规划主要考查直 接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.(2)多与集合、函数等知识交汇命题, 以填空题的形式呈现,属中档题.

1.四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式 ax2+bx+c>0(a≠0),再求相应一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后 根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集. (2)简单分式不等式的解法 f?x? ①变形? >0(<0)?f(x)g(x)>0(<0); g?x? f?x? ②变形? ≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0. g?x? (3)简单指数不等式的解法 ①当 a>1 时,af(x)>ag(x)?f(x)>g(x); ②当 0<a<1 时,af(x)>ag(x)?f(x)<g(x). (4)简单对数不等式的解法 ①当 a>1 时,logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)且 f(x)>0,g(x)>0; ②当 0<a<1 时,logaf(x)>logag(x)?f(x)<g(x)且 f(x)>0,g(x)>0. 2.五个重要不等式 (1)|a|≥0,a2≥0(a∈R). (2)a2+b2≥2ab(a、b∈R). a+b (3) ≥ ab(a>0,b>0). 2 a+b 2 (4)ab≤( ) (a,b∈R). 2 (5) a2+b2 a+b 2ab ≥ ≥ ab≥ (a>0,b>0). 2 2 a+b

3.二元一次不等式(组)和简单的线性规划 (1)线性规划问题的有关概念:线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等.

(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤:①画出可行域;②根据线性目标函数的几何 意义确定最优解;③求出目标函数的最大值或者最小值. 4.两个常用结论
?a>0, ? (1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件是? ?Δ<0. ? ? ?a<0, (2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的条件是? ?Δ<0. ?

热点一 一元二次不等式的解法 例1 1? ? (1)(2013· 安徽)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为?x|x<-1或x>2?,则 f(10x)>0 的解集
? ?

为________. (2)已知函数 f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在(0,+∞)单调递增,则 f(2-x)>0 的解集为 ________. 思维启迪 (1)利用换元思想,设 10x=t,先解 f(t)>0.(2)利用 f(x)是偶函数求 b,再解 f(2-x)>0. 答案 (1){x|x<-lg 2} (2){x|x<0 或 x>4} 1 解析 (1)由已知条件 0<10x< , 2 1 解得 x<lg 2 =-lg 2. (2)由题意可知 f(-x)=f(x). 即(-x-2)(-ax+b)=(x-2)(ax+b), 化简得(2a-b)x=0 恒成立, 故 2a-b=0,即 b=2a,则 f(x)=a(x-2)(x+2). 又函数在(0,+∞)单调递增,所以 a>0. f(2-x)>0 即 ax(x-4)>0,解得 x<0 或 x>4. 思维升华 二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识,也是高考的热点, “三个二次”的 相互转化体现了转化与化归的数学思想方法. x-1 (1)不等式 ≤0 的解集为________. 2x+1
2 (2)已知 p:?x0∈R,mx2 0+1≤0,q:?x∈R,x +mx+1>0.若 p∧q 为真命题,则实数 m 的

取值范围是______________________________________________________________.

1 答案 (1)(- ,1] (2)(-2,0) 2 1 解析 (1)原不等式等价于(x-1)(2x+1)<0 或 x-1=0, 即- <x<1 或 x=1, 所以不等式的解集 2 1 为(- ,1]. 2 (2)p∧q 为真命题,等价于 p,q 均为真命题.命题 p 为真时,m<0;命题 q 为真时,Δ=m2- 4<0,解得-2<m<2.故 p∧q 为真时,-2<m<0. 热点二 基本不等式的应用 例2 (1)(2014· 湖北)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量 F(单位时间内

经过测量点的车辆数,单位:辆/时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶,单位:米/秒)、 76 000v 平均车长 l(单位:米)的值有关,其公式为 F= 2 . v +18v+20l ①如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为________辆/时; ②如果限定车型,l=5,则最大车流量比①中的最大车流量增加________辆/时. xy 2 1 2 (2)(2013· 山东改编)设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0,则当 取得最大值时, + - z x y z 的最大值为________. 思维启迪 (1)把所给 l 值代入,分子分母同除以 v,构造基本不等式的形式求最值;(2)关键是 xy 寻找 取得最大值时的条件. z 答案 (1)①1 900 ②100 (2)1 76 000v 解析 (1)①当 l=6.05 时,F= 2 v +18v+121 = 76 000 ≤ 121 v+ v +18 2 76 000 76 000 = =1 900. 22+18 121 v·v +18

当且仅当 v=11 米/秒时等号成立,此时车流量最大为 1 900 辆/时. 76 000v ②当 l=5 时,F= 2 = v +18v+100 76 000 ≤ 100 v+ v +18 2 76 000 76 000 = =2 000. 20 +18 100 v·v +18

当且仅当 v=10 米/秒时等号成立,此时车流量最大为 2 000 辆/时,比①中的最大车流量增加 100 辆/时. (2)由已知得 z=x2-3xy+4y2,(*) xy xy 1 则 = 2 = ≤1,当且仅当 x=2y 时取等号,把 x=2y 代入(*)式,得 z=2y2, z x -3xy+4y2 x 4y + -3 y x 1 ?2 2 1 2 1 1 1 所以 + - = + - 2=-? ?y-1? +1≤1, x y z y y y

2 1 2 所以当且仅当 y=1 时, + - 的最大值为 1. x y z 思维升华 在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本

不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号 取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误. x y (1)若点 A(m,n)在第一象限,且在直线 + =1 上,则 mn 的最大值为________. 3 4 (2)已知关于 x 的不等式 2x+ 3 答案 (1)3 (2) 2 x y m n 解析 (1)因为点 A(m,n)在第一象限,且在直线 + =1 上,所以 m,n>0,且 + =1. 3 4 3 4 m n + mn 3 4 2 m n 1 3 mn 1 所以 ·≤( ) (当且仅当 = = ,即 m= ,n=2 时,取等号).所以 ·≤ ,即 mn≤3, 34 2 3 4 2 2 34 4 所以 mn 的最大值为 3. 2 2 (2)2x+ =2(x-a)+ +2a x-a x-a 2 ≥2· 2?x-a?· +2a=4+2a, x-a 3 由题意可知 4+2a≥7,得 a≥ , 2 3 即实数 a 的最小值为 . 2 热点三 简单的线性规划问题 例3 (2013· 湖北)某旅行社租用 A、B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行,A、B 两种车辆 2 ≥7 在 x∈(a, +∞)上恒成立, 则实数 a 的最小值为________. x-a

的载客量分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆,旅行社要求租车总数 不超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆,则租金最少为________元. 思维启迪 通过设变量将实际问题转化为线性规划问题. 答案 36 800 解析 设租 A 型车 x 辆,B 型车 y 辆时,租金为 z 元, x+y≤21 ? ?y-x≤7 则 z=1 600x+2 400y,且 x,y 满足? 36x+60y≥900, ? ?x,y≥0,x,y∈N 画出可行域如图,

2 z 直线 y=- x+ 过点 3 2 400 A(5,12)时纵截距最小, 所以 zmin=5×1 600+2 400×12=36 800, 故租金最少为 36 800 元. 思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型:一是求最值;二是求区域面积;三是确定目标

函数中的字母系数的取值范围.(2)解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目标函数所 表示的几何意义,利用数形结合找到目标函数的最优解.(3)对于应用问题,要准确地设出变 量,确定可行域和目标函数. x>0, ? ? (1)已知实数 x,y 满足约束条件?4x+3y≤4 ? ?y≥0 2x-y+1>0, ? ? (2)(2013· 北京)设关于 x,y 的不等式组?x+m<0, ? ?y-m>0 满足 x0-2y0=2,求得 m 的取值范围是________. 2? 答案 (1)1 (2)? ?-∞,-3? 解析 (1)画出可行域,如图所示. y+1 ,则 w= 的最小值是________. x

表示的平面区域内存在点 P(x0,y0),

y+1 w= 表示可行域内的点(x,y)与定点 P(0,-1)连线的斜率,观察图形可知 PA 的斜率最小 x 为 -1-0 =1. 0-1

(2)当 m≥0 时,若平面区域存在,则平面区域内的点在第二象限,平面区域内不可能存在点 P(x0,y0)满足 x0-2y0=2,因此 m<0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域.

1 要使可行域内包含 y= x-1 上的点,只需可行域边界点 2 1 1 2 (-m,m)在直线 y= x-1 的下方即可,即 m<- m-1,解得 m<- . 2 2 3

1.几类不等式的解法 一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根, 也是相应的二次函数图象与 x 轴交点 的横坐标,即二次函数的零点;分式不等式可转化为整式不等式(组)来解;以函数为背景的不 等式可利用函数的单调性进行转化. 2.基本不等式的作用 二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能, 常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题.解决问题 的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点,选择好利用基本不等式的切入 点,并创造基本不等式的应用背景,如通过“代换” 、 “拆项” 、 “凑项”等技巧,改变原式的 结构使其具备基本不等式的应用条件.利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相 等”的条件,三个条件缺一不可. 3.线性规划问题的基本步骤 (1)定域——画出不等式(组)所表示的平面区域, 注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对 应; (2)平移——画出目标函数等于 0 时所表示的直线 l, 平行移动直线, 让其与平面区域有公共点, 根据目标函数的几何意义确定最优解,注意要熟练把握最常见的几类目标函数的几何意义; (3) 求 值 —— 利 用 直 线 方 程 构 成 的 方 程 组 求 解 最 优 解 的 坐 标 , 代 入 目 标 函 数 , 求 出 最 值 .

真题感悟 1.(2014· 山东改编)已知实数 x,y 满足 ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是________. ① 1 1 > ; ②ln(x2+1)>ln(y2+1); x2+1 y2+1

③sin x>sin y; ④x3>y3.

答案 ④ 1 解析 因为 0<a<1,ax<ay,所以 x>y.采用赋值法判断,①中,当 x=1,y=0 时, <1,①不成 2 立.②中,当 x=0,y=-1 时,ln 1<ln 2,②不成立.③中,当 x=0,y=-π 时,sin x=sin y =0,③不成立.④中,因为函数 y=x3 在 R 上是增函数,故④恒成立. x+2y-4≤0, ? ? 2.(2014· 浙江)当实数 x,y 满足?x-y-1≤0, ? ?x≥1 范围是________. 3 答案 [1, ] 2 解析 画可行域如图所示,设目标函数 z=ax+y,即 y=-ax+z,要使 1≤z≤4 恒成立,则
? ?1≤2a+1≤4, 3 3 a>0,数形结合知,满足? 即可,解得 1≤a≤ .所以 a 的取值范围是 1≤a≤ . 2 2 ?1≤a≤4 ?

时,1≤ax+y≤4 恒成立,则实数 a 的取值

押题精练 1.为了迎接 2015 年 3 月 8 日的到来,某商场举行了促销活动,经测算某产品的销售量 P 万 件(生产量与销售量相等)与促销费用 x 万元满足 P=3- +2P)万元(不含促销费用),产品的销售价格定为(4+ 万元时,厂家的利润最大? 答案 1 10+2P 解析 设该产品的利润为 y 万元,由题意知,该产品售价为 2×( )万元,所以 y=2× P ( 2 10+2P 4 4 ) × P - 10 - 2P - x = 16 - - x(x>0) , 所 以 y = 17 - ( + x + 1) ≤ 17 - P x+1 x+1 4 4 ×?x+1?=13(当且仅当 =x+1, 即 x=1 时取等号), 所以促销费用投入 1 万元时, x+1 x+1 2 , 已知生产该产品还需投入成本(10 x+1

20 )万元/万件,则促销费用投入________ P

厂家的利润最大.

? 3x-y≤0, 2.若点 P(x,y)满足线性约束条件?x- 3y+2≥0, ?y≥0,
的最大值为________. 答案 6

→ → 点 A(3, 3),O 为坐标原点,则OA· OP

→ → → → 解析 由题意,知OA=(3, 3),OP=(x,y),则OA· OP=3x+ 3y. 令 z=3x+ 3y, 如图画出不等式组所表示的可行域,

可知当直线 y=- 3x+ 由?

3 z 经过点 B 时,z 取得最大值. 3

? 3x-y=0, ?x=1, 解得? 即 B(1, 3),故 z 的最大值为 3×1+ 3× 3=6. ?y= 3, ?x- 3y+2=0,

→ → 即OA· OP的最大值为 6. 1 1 3.如果关于 x 的不等式 f(x)<0 和 g(x)<0 的解集分别为(a,b),( , ),那么称这两个不等式为 b a “对偶不等式” ,如果不等式 x2-4 3xcos 2θ+2<0 与不等式 2x2+4xsin 2θ+1<0 为“对偶不等 π 式” ,且 θ∈( ,π),则 θ=______________________________________________. 2 答案 5π 6

解析 由题意可知 ab=2,a+b=4 3cos 2θ, 1 1 + =-2sin 2θ, b a 即 a+b =-2sin 2θ, ab

∴2 3cos 2θ=-2sin 2θ,tan 2θ=- 3. π ∵θ∈( ,π), 2 5π 5π ∴2θ∈(π,2π),2θ= .∴θ= . 3 6

(推荐时间:50 分钟) 一、填空题
?-x+1,?x<0?, ? 1.函数 f(x)=? 则不等式 x+(x+1)f(x+1)≤1 的解集是________. ?x-1,?x≥0?, ?

答案 {x|x≤ 2-1} 解析 当 x<-1 时,原不等式可化为 x+(x+1)· (-x)≤1, 解得 x2≥-1 恒成立, 所以 x<-1. 当 x≥-1 时,原不等式可化为 x+(x+1)· x≤1, 解得- 2-1≤x≤ 2-1, 所以-1≤x≤ 2-1. 综上,原不等式的解集为{x|x≤ 2-1}. 2.下列不等式一定成立的是________.
2 1? ①lg? ?x +4?>lg x(x>0);

1 ②sin x+ ≥2(x≠kπ,k∈Z); sin x ③x2+1≥2|x|(x∈R); ④ 1 >1(x∈R). x2+1

答案 ③ x+y 解析 应用基本不等式:x,y>0, ≥ xy(当且仅当 x=y 时取等号)逐个分析,注意基本不 2 等式的应用条件及取等号的条件. 1 1 当 x>0 时,x2+ ≥2· x·=x, 4 2
2 1? 所以 lg? ?x +4?≥lg x(x>0),故①不正确;

运用基本不等式时需保证“一正、二定、三相等” , 而当 x≠kπ,k∈Z 时,sin x 的正负不定,故②不正确; 由基本不等式可知,③正确; 1 当 x=0 时,有 2 =1,故④不正确. x +1 3.(2013· 重庆改编)关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且 x2-x1=15,则 a=________.

答案

5 2

解析 由 x2-2ax-8a2<0,得(x+2a)(x-4a)<0,因 a>0,所以不等式的解集为(-2a,4a),即 5 x2=4a,x1=-2a,由 x2-x1=15,得 4a-(-2a)=15,解得 a= . 2 4.(2014· 重庆改编)若 log4(3a+4b)=log2 ab,则 a+b 的最小值是________. 答案 7+4 3

? ab>0, ? 解析 由题意得?ab≥0, ? ?3a+4b>0,
又 log4(3a+4b)=log2 ab, 所以 log4(3a+4b)=log4ab, 4 3 所以 3a+4b=ab,故 + =1. a b

?a>0, ? 所以? ?b>0. ?

4 3 3a 4b 所以 a+b=(a+b)( + )=7+ + a b b a ≥7+2 3a 4b · =7+4 3, b a

3a 4b 当且仅当 = 时取等号. b a x+y-5≤0, ? ? 5 . 已 知 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件 ?x-2y+1≤0 ? ?x-1≥0

, 则 z = x + 2y - 1 的 最 大 值 为

______________________________________________________________. 答案 8 x+y-5≤0, ? ? 解析 约束条件?x-2y+1≤0, ? ?x-1≥0

所表示的区域如图,

由图可知,当目标函数过 A(1,4)时取得最大值,故 z=x+2y-1 的最大值为 1+2×4-1=8. 6.已知 f(x)是 R 上的减函数,A(3,-1),B(0,1)是其图象上两点,则不等式|f(1+ln x)|<1 的解 集是________. 1 答案 ( ,e2) e

解析 ∵|f(1+ln x)|<1,∴-1<f(1+ln x)<1, ∴f(3)<f(1+ln x)<f(0), 又∵f(x)在 R 上为减函数, ∴0<1+ln x<3,∴-1<ln x<2, 1 ∴ <x<e2. e x-y≤0, ? ? 7.若 x,y 满足条件?x+y≥0, ? ?y≤a, 答案 1 解析 画出满足条件的可行域如图阴影部分所示,则当直线 z=2x+3y 过点 A(a,a)时,z=2x +3y 取得最大值 5,所以 5=2a+3a,解得 a=1.

且 z=2x+3y 的最大值是 5,则实数 a 的值为________.

1 1 8.若点 A(1,1)在直线 2mx+ny-2=0 上,其中 mn>0,则 + 的最小值为________. m n 答案 3 + 2 2

解析 ∵点 A(1,1)在直线 2mx+ny-2=0 上, ∴2m+n=2,又∵mn>0,∴m>0 且 n>0. 1 1 1 1 2m+n 1 2m n ∵ + =( + ) = (2+ + +1) m n m n 2 2 n m 1 ≥ (3+2 2 2m n 3 · )= + 2, n m 2

2m n 当且仅当 = ,即 n= 2m 时取等号, n m 1 1 3 ∴ + 的最小值为 + 2. m n 2 二、解答题 9.设集合 A 为函数 y=ln(-x2-2x+8)的定义域,集合 B 为函数 y=x+ 1 为不等式(ax- )(x+4)≤0 的解集. a (1)求 A∩B; (2)若 C??RA,求 a 的取值范围. 解 (1)由-x2-2x+8>0,得-4<x<2, 即 A=(-4,2). 1 的值域,集合 C x+1

y=x+

1 1 =(x+1)+ -1, x+1 x+1

当 x+1>0,即 x>-1 时,y≥2-1=1, 此时 x=0,符合要求; 当 x+1<0,即 x<-1 时,y≤-2-1=-3, 此时 x=-2,符合要求. 所以 B=(-∞,-3]∪[1,+∞), 所以 A∩B=(-4,-3]∪[1,2). 1 1 (2)(ax- )(x+4)=0 有两根 x=-4 或 x= 2. a a 由(1)知?RA=(-∞,4]∪[2,+∞) 1 当 a>0 时,C={x|-4≤x≤ 2},不可能 C??RA; a 1 当 a<0 时,C={x|x≤-4 或 x≥ 2}, a 1 1 若 C??RA,则 2≥2,∴a2≤ , a 2 ∴- 2 2 ≤a<0.故 a 的取值范围为[- ,0). 2 2

1 10.已知函数 f(x)= ax3-bx2+(2-b)x+1 在 x=x1 处取得极大值,在 x=x2 处取得极小值,且 3 0<x1<1<x2<2. (1)证明:a>0; (2)若 z=a+2b,求 z 的取值范围. (1)证明 求函数 f(x)的导数 f′(x)=ax2-2bx+2-b. 由函数 f(x)在 x=x1 处取得极大值, 在 x=x2 处取得极小值, 知 x1,x2 是 f′(x)=0 的两个根, 所以 f′(x)=a(x-x1)(x-x2). 当 x<x1 时,f(x)为增函数,f′(x)>0, 由 x-x1<0,x-x2<0 得 a>0. f′?0?>0, ? ? (2)解 在题设下,0<x1<1<x2<2 等价于?f′?1?<0, ? ?f′?2?>0,

2-b>0, 2-b>0, ? ? ? ? 即?a-2b+2-b<0, 化简得?a-3b+2<0, ? ? ?4a-4b+2-b>0, ?4a-5b+2>0.

此不等式组表示的区域为平面 aOb 上的三条直线: 2-b=0,a-3b+2=0,4a-5b+2=0 所围成的△ABC 的内部,其三个顶点分别为 4 6? A? ?7,7?,B(2,2),C(4,2). 16 z 在这三点的值依次为 ,6,8. 7 16 所以 z 的取值范围为( ,8). 7 11.某工厂生产某种产品,每日的成本 C(单位:万元)与日产量 x(单位:吨)满足函数关系式 C k ? ?3x+x-8+5,0<x<6, =3+x,每日的销售额 S(单位:万元)与日产量 x 的函数关系式 S=? ? ?14,x≥6. 已知每日的利润 L=S-C,且当 x=2 时,L=3. (1)求 k 的值; (2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值. k ? ?2x+x-8+2,0<x<6, 解 (1)由题意可得 L=? ? ?11-x,x≥6. k 因为当 x=2 时,L=3,所以 3=2×2+ +2, 2-8 解得 k=18. 18 (2)当 0<x<6 时,L=2x+ +2,所以 x-8 18 18 L=2(x-8)+ +18=-[2(8-x)+ ]+18 x-8 8-x ≤-2 18 2?8-x?· +18=6, 8-x

18 当且仅当 2(8-x)= ,即 x=5 时取得等号. 8-x 当 x≥6 时,L=11-x≤5.

所以当 x=5 时,L 取得最大值 6. 所以当日产量为 5 吨时,每日的利润可以达到最大,最大值为 6 万元.


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