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广东省佛山市第一中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题

佛山一中 2014-2015 学年度下学期高二期中考试 数学(理数)试题 命题人:陈豪 注意事项:1.本试题 满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2.选择题部分,请将选出的答案标号(A、B、C、D)涂在答题卡上。将答案用黑色签字 (0.5mm)笔填涂在答题卡指定位置。 一、选择题:大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题列出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1.已知复数 a ? bi ? i ?1 ? i ? (其中 a, b ? R , i 是虚数单位) ,则 a ? b 的值为 ( A. ?2 B. ?1 C. 0 D. 2 ( ) ) 审题人:何历程

2. 某质点的运动方程是 S (t ) ? 2t? (t ? 1)2 ,则在 t ? 2 s 时的瞬时速度为 A.-2 B.-4 C.-5 D.0

3. 已知二次函数 f ( x) ? 1 ? x 2 ,则它的图象与 x 轴所围图形的面积为 (
4 A. 3 3 C. 2

)

2π B. 5 π D. 2

4. 在古希腊毕达哥拉斯学派把 1,3,6,10,15,21,28,?这些数叫做三角形数,因为这 些数对应的点可以排成一个正三角形(如下图)

则第 n 个三角形数为( A、 n B、



1 n( n ? 1) 2

2 C、 n ? 1

D、

1 n( n ? 1) 2


5. 用 0,1,2,3,4 五个数字,可以组成没有重复的三位数的个数为( A.10
2 6. 在 ( 2 x ?

B.24

C.40

D.120 )

1 5 ) 的二项展开式中 x 的系数为 ( x
B. 10 C. -40 D. 40

A. -10

7. f ?( x ) 是 f ( x ) 的导函数, f ?( x ) 的图象如右图所示,则 f ( x ) 的图象只可能是(



A

B

C

D ( )

8. 函数 y ? x 3 ? 3x ? 3 在[ ? A. 1 B.

3 ,2 ]上的最小值是 2
C.5 D. 0

33 8

9.一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,每家人坐一起,则不同的坐法种数为( A. 3 ? 3! B. 3 ? (3!)3 C. (3!)4 D. 9!



10. 已知函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点, 则实数 a 的取 围是( ) B. (0, )

值范

A. (??,0)

1 2

C. (0,1)

D. (0,??)

二、 填空题:本大题共 4 小题;每小题 5 分,共 20 分. 11. 计算定积分

? sin xdx ?
?1

1

.
3

12. 用反证法证明命题“ a , b 为实数,则方程 x ? ax ? b ? 0 至少有一个实根”时,要做的假 设是: “方程 x ? ax ? b ? 0
3

”.

13.将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小 组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案有 14. 将正偶数按如图所示的规律排列: 2 4 8 6 10 12 种(请用数字作答).

14 ??

16 18 20

则第 n(n≥4)行从左向右的第 4 个数为



三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答 应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15.(本题满分 12 分)

) 已知复数 z1 ? (a ? 5) ? (3a ? 1)i , z 2 ? (3a ? 1) ? (a ? 3)i , (a ? R, i是虚数单位
2

(1)若复数 z1 ? z2 在复平面上对应点落在第一象限内,求实数 a 的取值范围. (2)把复数 z 的共轭复数记为 z ,若 a ? 1 时,求 z1 ? z1 与

z2 z2 .

16.(本题满分 12 分) 某商品每件成本 9 元,售价为 30 元,每星期卖出 432 件,如果降低价格,销售量可以增
2 加,且每星期多卖出的件数 t 与商品单价的降低值 x 元( 0 ? x ? 30 )的函数关系为: t ? kx .

已知商品单价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件. (1) 将一个星期的商品的销售利润表示成 x 的函数; (2) 如何定价才能使得一个星期的商品销售利润最大?

17.(本题满分 14 分) (1)求证: 4 sin ? cos
2

?
2

? 2 sin ? ? sin 2? .

(2)已知: x ? y ? 0 ,且 xy ? 1 ,求证:

x2 ? y2 ? 2 2 ,并且求等号成立的条件. x? y

18.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? 2a 2 ? 3a)e x ( x ? R). (1)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率; (2)当 a ?

2 时,求函数 f ( x) 的极值. 3

19.(本题满分 14 分) 设数列{an}满足 a1=2,an+1=an+

1 ( n ? 1,2,? ). an

(1)试写出 a2 , a3 , a4 ; (2)请用数学归纳法,证明 an> 2n ? 1 对一切正整数 n 都成立;

(3)令 bn =

an n

( n ? 1,2,? ) ,判定 bn 与 bn?1 的大小,并说明理由.

20.(本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? e x ? x , g ( x) ? ax2 ? 1,其中 e 为自然对数 (1)求函数 f ( x) 的增区间; (2)当 x ? 0 时, f ( x) ? g ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围;
n n ? (3)若 n ? N ,证明: ( ) ? ( ) ? ? ? (

1 n

2 n

n ?1 n n e ) ? ( )n ? . n n e ?1

2014-2015 学年度下学期高二期中考试试题答卷 座位号: 一、选择题: (答案请涂于答题卡,满分 50 分) 二、填空题: (满分 20 分) 试室号:

11._________________________

12._________________________



13._________________________ 三、解答题: 15. (本题满分 12 分)

14._________________________

姓名:



班级:

线

考号:

16. (本题满分 12 分)

17. (本题满分 14 分)

18. (本题满分 14 分)

19. (本题满分 14 分)

20. (本题满分 14 分)

佛山一中 2014-2015 学年度下学期高二期中考试 数学(理数)试题答案 一、选择题:大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题列出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1 D 2 B 3 A 4 B 5 C 6 C 7 D 8 A 9 C 10 B

二、 填空题:本大题共 4 小 题;每小题 5 分,共 20 分. 11、0 12、没有实根 13、12 14、 n 2 ? n ? 8

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分 12 分) 解: (1)

z1 ? z2 ? (4 ? 2a) ? (3a ? 4 ? a2 )i

??????????? ?????.2 分

因为复数 z1 ? z2 在复平面上对应点落在第一象限内,即

?4 ? 2 a ? 0 ? 2 ??????????? ????? .4 分 ?3a ? 4 ? a ? 0
所以;实数 a 的取值范围 ? 1 ? a ? 2 (2)当 ????????????????.6 分 ????????????????.7 分

a ? 1 时, z1 ? 6 ? 4i, z1 ? 6 ? 4i ,

z1 ? z1 ? (6 ? 4i)(6 ? 4i) ? 52
z2 ? 4 ? 2i, z2 ? 4 ? 2i

????????????????.9 分

???????????????.10 分

z2 4 ? 2i 2 ? i 3 4 ? ? ? ? i z2 4 ? 2i 2 ? i 5 5 ????????????????12 分

16.(本题满分 12 分) 解: (1)设一个星期的商品的销售利润为 y 元,依题意有: ????????1 分

? 单价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件
? 24 ? k ? 4 ? k ? 6

????????????????3 分

????????????????3 分

y ? (432 ? 6 x 2 )(30 ? x ? 9) ? (432 ? 6 x 2 )(21? x)
????????????????4 分

? y ? ?6x3 ? 126x 2 ? 432x ? 9072 (0 ? x ? 30)
2

????????????????6 分 ???????????8 分

(2) y? ? ?18x ? 252x ? 432, y? ? ?18( x ? 12)(x ? 2)

? .当 x 变化时, y ? f ( x), y ? f ( x) 的变化情况如下表

x
y?

[0,2)

2

(2,12)

12

(12,30]

-

0

+

0

-

y

?

极小值

极大值

所以 f(x)在(2,12)内是增函数,在内是减函数.

?????????10 分

函数 y=f(x)在 x=12 处取得极大值为而, f (12) ? f (12) ? f (30), f (12) ? f (0) 所以,当售价为 30-12=18 元时,才能使得一个星期的商品销售利润最大。 ?????12 分 17.(本题满分 14 分)

1 ? cos ? ????????????????2 分 2 2 ? 1 ? cos ? ? 4 sin ? cos 2 ? 4 sin ? ? 2 sin ? ? 2 sin ? cos ? 2 2
解: (1) ? cos
2

?

?

? 4 sin ? cos 2

?

2

? 2 sin ? ? sin 2?

????????????????7 分

(2)

?

x 2 ? y 2 ( x ? y) 2 ? 2 xy ? ,????????????????8 分 x? y x? y

又? xy ? 1

????????????????9 分

?

x2 ? y 2 2 ? x? y? x? y x ? y ????????????????11 分
????????????????12 分

? x ? y ? 0,? x ? y ? 0

x2 ? y 2 2 ? ? x? y? ?2 2 x? y x? y
即:

x2 ? y2 ? 2 2 ????????????????14 分 x? y

18.(本题满分 14 分) 答案: (1) a2 ?

5 2 ????????????1 分 29 a3 ? 10 ?........................................................ 941 290 ????????????4 分
??????????5 分

.........2 分

a4 ?

(2)证法一:当 n=1 时,a1=2> 2 ? 1 ? 1 ,不等式成立.

假设 n=k 时,ak> 2k ? 1 成立, ????????????6 分 当 n=k+1 时,ak+1 =a k +
2 2

1 ak
2

+2

????????????7 分

ak+12=ak2+

1 ak
2

+2>2k+3+

1 ak
2

>2(k+1)+1,

?????????9 分

∴当 n=k+1 时,ak+1> 2(k ? 1) ? 1 成立.

?????????10 分

综上,由数学归纳法可知,an> 2n ? 1 对一切正整数成立.

???????????11 分

证法二:当 n=1 时,a1=2> 3 = 2 ? 1 ? 1 结论成立. ????????????5 分 假设 n=k 时结论成立,即 ak> 2k ? 1 ,??????????????6 分 当 n=k+1 时,由函数 f(x)=x+

1 (x>1)的单调递增性和归纳假设有?????7 分 x

ak+1=ak+

1 1 > 2k ? 1 + ??????????????8 分 ak 2k ? 1
=

=

2k ? 1 ? 1 2k ? 1

2k ? 2 2k ? 1

=

4k 2 ? 8k ? 4 2k ? 1

??????????????9 分



(2k ? 3)( 2k ? 1) 2k ? 1

= 2k ? 3

∴当 n=k+1 时,结论成立. .??????????????10 分 因此,an> 2n ? 1 对一切正整数 n 均成立??????????????11 分

a n ?1
(3)解:

bn ?1 = bn

n n ? 1 =(1+ 1 ) 2 an an n ?1 n

<(1+

2 n( n ? 1) 2(n ? 1) n n 1 ) = = ???????????12 分 2n ? 1 2n ? 1 n ? 1 (2n ? 1) n ? 1

1 1 (n ? ) 2 ? 2 4 <1. ??????????????13 分 = 1 n? 2
故 bn+1<bn???????????????????????.14 分

19.(本题满分 14 分) 解:(1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x e ,
2 x

?? ??????????????1 分

f ?( x) ? ( x 2 ? 2 x)e x
????????????????3 分

? 故 f (1) ? 3e

???????????????????????????4 分 ????????????5 分

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率 3e (2) f ?( x) ? [ x ? (a ? 2) x ? 2a ? 4a]e
2 2 x

????????????????6 分
3

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?2a ,或 x ? a ? 2 .由 a ? 2 知, ? 2a ? a ? 2 当a ?

??????? 7 分

2 时,则 ? 2a ? a ? 2 . 当 x 变化时, y ? f ( x), y ? f ?( x) 的变化情况如下表: 3

x f′(x) f(x)

(-∞,-2a) + ?

-2a 0 极大值

(-2a,a-2) -

a-2 0 极小值

(a-2,+∞) + ?

所以 f ( x ) 在 (??,2a) , (a ? 2,??) 内是增函数,在 (?2a, a ? 2) 内是减函数. ???????????????????????????????????10 分 函数 f ( x ) 在 x ? ?2a 处取得极大值 f (?2a) ,且 f (?2a) ? 3ae?2a ???????12 分

a ?2 函数 f ( x ) 在 x ? a ? 2 处取得极小值 f (a ? 2) ,且 f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e

??14 分

20.(本题满分 1 4 分) 设函数 f ( x) ? e x ? x , g ( x) ? ax2 ? 1,其中 e 为自然对数 (1)求函数 f ( x) 的增区间; (2)当 x ? 0 时, f ( x) ? g ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围;
n n ? (3)若 n ? N ,证明: ( ) ? ( ) ? ? ? (

1 n

2 n

n ?1 n n n e ) ?( ) ? n n e ?1

x 解: f ?( x) ? e ? 1

????????????????????????????1 分 ??????????????3 分

当 x ? 0时,f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0时,f ?( x) ? 0 函数 f ( x) 的增区间为 [0,??)

??????????????????????4 分

? (2) f ( x) ? e ? 1 ? 2ax
x

???????????????????????5 分

x 由(1)知 e ? 1 ? x ,当且仅当 x ? 0 时等号成立, ?????????????6 分

? 故 f ( x) ? x ? 2ax ? (1 ? 2a) x
从而当 1 ? 2a ? 0 , 即a ? ???????????????????????7 分

1 时, f ?( x) ? 0( x ? 0) ,而 f (0) ? 0 , 2

于是当 x ? 0时, f ( x) ? 0 . ???????????????????8 分

由 e x ? 1 ? x( x ? 0) 可得 e ? x ? 1 ? x( x ? 0) .从而当 a ?

1 时, 2

f ?( x) ? e x ?1 ? 2a(e ? x ?1) ? e ? x (e x ?1)(e x ? 2a)
故当 x ? (0, ln 2a) 时, f ?( x) ? 0 ,而 f (0) ? 0 ,于是当 x ? (0, ln 2a) 时, f ( x) ? 0 . 综合得 a 的取值范围为 (?? , ] .

1 2

???????????????????? 10 分
x

(3)证明:由(1)知:当 x ? 0 时,有 f ( x) ? f (0)即,f ( x) ? 1 , x ? 1 ? e ,故
n?k k ?k ? ? n?k ? ? ? n ? e ? 1 ? ? e ? ? ? ? ? ? ? n n ? ? ?n? ? ? e ( k ? 1, 2 , ? , n ) , n n n

从 ??????????? 12 分

而有

?1? ? 2? ? n ?1 ? ? n ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ?n? ?n? ? n ? ?n?

n

n

n

n

1 (e ? e2 ? ? ? en ) n e n 1 e(1 ? e ) e n ? 1 e e ? n? ? n ? ? . e 1? e e e ? 1 e ? 1 ???????????????????14 分 ?