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2.2.1 椭圆及其标准方程


华兴中学 2014 级数学科自编练习题

§2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程(理)
命题人: 审题人: 2 月 25 日

1.椭圆的概念:平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和等于________(大于|F1F2|)的点的轨 迹 叫 做 ________ . 这 两 个 定 点 叫 做 椭 圆 的 ________ , 两 焦 点 间 的 距 离 叫 做 椭 圆 的 ________ .当 |PF1| + |PF2| = |F1F2| 时,轨迹是 ______________ ,当 |PF1| + |PF2|<|F1F2| 时 __________轨迹. 2 .椭圆的方程:焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为 ________________ ,焦点坐标为 ________________ , 焦 距 为 ____________ ; 焦 点 在 y 轴 上 的 椭 圆 的 标 准 方 程 为 ________________. A组 一、选择题 1.设 F1,F2 为定点,|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则动点 M 的轨迹是( ) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 2 2 x y 2.椭圆 + =1 的左右焦点为 F1,F2,一直线过 F1 交椭圆于 A、B 两点,则△ABF2 16 7 的周长为( ) A.32 B.16 C.8 D.4 3.椭圆 2x2+3y2=1 的焦点坐标是( ) 6? ? ? 6 ? A. 0,± B.(0,± 1) C.(± 1,0) D. ± , 0 6? ? ? 6 ? x2 y2 4.方程 + =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a 的取值范围是( ) |a|-1 a+3 A.(-3,-1) B.(-3,-2) C.(1,+∞) D.(-3,1) 5 3? 5.若椭圆的两焦点为(-2,0),(2,0),且该椭圆过点? ) ?2,-2?,则该椭圆的方程是( 2 2 2 2 y x y x A. + = 1 B . + =1 8 4 10 6 y2 x2 y2 x2 C. + = 1 D . + =1 4 8 6 10 x2 y2 6.设 F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上一点,且 P 到两个焦点的距离之 16 12 差为 2,则△PF1F2 是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.直角三角形 二、填空题 x2 y2 7.椭圆 + =1 的焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=________,∠ 9 2 F1PF2 的大小为________. x2 y2 8.P 是椭圆 + =1 上的点,F1 和 F2 是该椭圆的焦点,则 k=|PF1|· |PF2|的最大值是 4 3 ______,最小值是______. 9. “神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,设其近地点 距地面 n 千米,远地点距地面 m 千米,地球半径为 R,那么这个椭圆的焦距为________ 千米.

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华兴中学 2014 级数学科自编练习题

三、解答题 10.根据下列条件,求椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0), (4,0), 椭圆上任意一点 P 到两焦点的距离之和等于 10; 3 5? (2)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点? ?-2,2?.

11. 已知点 A(0, 3)和圆 O1: x2+(y+ 3)2=16, 点 M 在圆 O1 上运动, 点 P 在半径 O1M 上,且|PM|=|PA|,求动点 P 的轨迹方程.

B组 12.若点 O 与点 F 分别为椭圆

x y ? ? 1 的中心和左焦点,点 P 位椭圆上的任意一点, 4 3

2

2

则 OP·FP 的最大值为 ( ) A.2 B.3 C.6 D.8 13.如图△ABC 中底边 BC=12,其它两边 AB 和 AC 上中线的和为 30,求此三角形重心 G 的轨迹方程,并求顶点 A 的轨迹方程.

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1.椭圆的定义中只有当距离之和 2a>|F1F2|时轨迹才是椭圆,如果 2a=|F1F2|,轨迹是线 段 F1F2,如果 2a<|F1F2|,则不存在轨迹. 2.椭圆的标准方程有两种表达式,但总有 a>b>0,因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要 看方程中的分母,焦点在分母大的对应轴上. 3.求椭圆的标准方程常用待定系数法,一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的 标准方程,然后再计算;如果不能确定焦点的位置,有两种方法求解,一是分类讨论, 二是设椭圆方程的一般形式,即 mx2+ny2=1 (m,n 为不相等的正数).

§ 2.2 2.2.1





椭圆及其标准方程

知识梳理 1.常数 椭圆 焦点 焦距 线段 F1F2 不存在 x2 y2 y2 x2 2. 2+ 2=1 (a>b>0) F1(-c,0),F2(c,0) 2c 2+ 2=1 (a>b>0) a b a b 作业设计 1.D [∵|MF1|+|MF2|=6=|F1F2|, ∴动点 M 的轨迹是线段.] 2.B [由椭圆方程知 2a=8, 由椭圆的定义知|AF1|+|AF2|=2a=8, |BF1|+|BF2|=2a=8,所以△ABF2 的周长为 16.] 3.D 4.B [|a|-1>a+3>0.] 5 3? 5.D [椭圆的焦点在 x 轴上,排除 A、B,又过点? ?2,-2?验证即可.] 6.D [由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a=8. 由题可得||PF1|-|PF2||=2,则|PF1|=5 或 3,|PF2|=3 或 5. 又|F1F2|=2c=4,∴△PF1F2 为直角三角形.] 7.2 120° 解析

∵|PF1|+|PF2|=2a=6, ∴|PF2|=6-|PF1|=2. 在△F1PF2 中, cos∠F1PF2= |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 2|PF1|· |PF2| 16+4-28 1 = =- ,∴∠F1PF2=120° . 2 2×4×2 8.4 3 解析 设|PF1|=x,则 k=x(2a-x), 因 a-c≤|PF1|≤a+c,即 1≤x≤3. ∴k=-x2+2ax=-x2+4x=-(x-2)2+4, ∴kmax=4,kmin=3. 9.m-n
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解析 设 a,c 分别是椭圆的长半轴长和半焦距, ?a+c=m+R ? 则? ,则 2c=m-n. ? ?a-c=n+R 10.解 (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上, x2 y2 ∴设椭圆的标准方程为 2+ 2=1 (a>b>0). a b ∵2a=10,∴a=5,又∵c=4. ∴b2=a2-c2=52-42=9. x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 25 9 (2)∵椭圆的焦点在 y 轴上, y2 x2 ∴设椭圆的标准方程为 2+ 2=1 (a>b>0). a b ?-3?2+?5+2?2+ 由椭圆的定义知,2a= ? 2? ?2 ? ?-3?2+?5-2?2=3 10+ 10=2 10, ? 2? ?2 ? 2 2 ∴a= 10. 又∵c=2,∴b2=a2-c2=10-4=6. y2 x2 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 10 6 11.解 ∵|PM|=|PA|,|PM|+|PO1|=4, ∴|PO1|+|PA|=4,又∵|O1A|=2 3<4, ∴点 P 的轨迹是以 A、O1 为焦点的椭圆, ∴c= 3,a=2,b=1, y2 ∴动点 P 的轨迹方程为 x2+ =1. 4

13.解 以 BC 边所在直线为 x 轴,BC 边中点为原点,建立如图所示坐标系, 则 B(6,0),C(-6,0),CE、BD 为 AB、AC 边上的中线, 则|BD|+|CE|=30. 由重心性质可知

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2 |GB|+|GC|= (|BD|+|CE|)=20. 3 ∵B、C 是两个定点,G 点到 B、C 距离和等于定值 20,且 20>12, ∴G 点的轨迹是椭圆,B、C 是椭圆焦点. ∴2c=|BC|=12,c=6,2a=20,a=10, b2=a2-c2=102-62=64, x2 y2 故 G 点的轨迹方程为 + =1, 100 64 去掉(10,0)、(-10,0)两点. x′2 y′2 又设 G(x′,y′),A(x,y),则有 + =1. 100 64 x x′= , 3 由重心坐标公式知 y y′= . 3 x y ? ?2 ? ?2 3 3 故 A 点轨迹方程为 + =1. 100 64 x2 y2 即 + =1,去掉(-30,0)、(30,0)两点. 900 576

? ? ?

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