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1.3.2算法案例(二)正式版ppt


案例2、秦九韶算法

怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢?

计算多项式f(x) =x5+x4+x3+x2+x+1当x = 5的值 算法1: 因为f(x) =x5+x4+x3+x2+x+1

所以f(5)=55+54+53+52+5+1 =3125+625+125+25+5+1 = 3906 算法2: f(5)=55+54+53+52+5+1 =5×(54+53+52+5+1 ) +1 =5×(5×(53+52+5 +1 )+1 ) +1 =5×(5×(5×(52+5 +1) +1 ) +1 ) +1 =5×(5×(5×(5 ×(5 +1) +1 )+1)+1) +1

算法1: 因为f(x) =x5+x4+x3+x2+x+1 所以f(5)=55+54+53+52+5+1
=3125+625+125+25+5+1 = 3906
共做了1+2+3+4=10次乘法运算,5次加法运算。

算法2: f(5)=55+54+53+52+5+1 =5×(54+53+52+5+1 ) +1 =5×(5×(53+52+5 +1 )+1 ) +1 =5×(5×(5×(52+5 +1) +1 ) +1 ) +1 =5×(5×(5×(5 ×(5 +1) +1 )+1)+1) +1
共做了4次乘法运算,5次加法运算。

例1:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值. 解法一: f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v0=2

v1=v0x-5=2×5-5=5
v2=v1x-4=5×5-4=21 v3=v2x+3=21×5+3=108 所以,当x=5时,多 v5=v4x+7=534×5+7=2677 项式的值是2677. 这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法. v4=v3x-6=108×5-6=534

例1:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.

解法二:列表
2

原多项式的系 数

x=5
2

-5 10 5

-4 25 21

3 105 108

-6 7 540 2670 534 2677
多项式的值.

所以,当x=5时,多项式的值是2677.

练一练:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值. 解:原多项式先化为:

f(x)=2x6-5x5 +0×x4-4x3+3x2-6x+0
3 -6 0 605 3040 15170 2 608 3034 15170 所以,当x=5时,多项式的值是15170. 注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项 应将其系数补0. 列表 x=5 2 -5 10 5 0 -4 25 125 25 121

一般地,对于一个n次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……+a1x+a0. 我们可以改写成如下形式: f(x)=(…(anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一 次多项式的值,即 v1=anx+an-1,

然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.

这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个 一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.

点评:秦九韶算法是求一元多项式的 值的一种方法. 它的特点是:把求一个n次多项式的值 转化为求n个一次多项式的值,通过这种转 化,把运算的次数由至多n(n+1)/2次乘法运 算和n次加法运算,减少为n次乘法运算和n 次加法运算,大大提高了运算效率.

课本P45页练习T2;

P48页A组T2.


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