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2014届高三人教A版数学(理)一轮复习课件:第10章 第6节 几何概型


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第六节

几何概型

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1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度(面积或体积) ____________________成比例,则称这样的概率模型为几何 概率模型,简称几何概型.

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2.几何概型的两个基本特点
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无限多个

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等可能性

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3.几何概型的概率公式

构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) P(A)= ____________________________________________

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1.“概率为1的事件一定是必然事件,概率为0的事件一 定是不可能事件”,这个说法正确吗?

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【提示】

不正确.如果随机事件所在区域是一个单点,

由于单点的长度、面积、体积均为0,则它的概率为0,事
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件可能发生,所以概率为0的事件不一定是不可能事件; 如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,则 它的概率为1,但它不是必然事件.
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2.古典概型与几何概型有哪些异同点? 【提示】 古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性

都是相等的,但古典概型要求基本事件有有限个,而几何
概型的基本事件有无限个.

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1.(人教A版教材习题改编)某路公共汽车每5分钟发车 一次,某乘客到乘车点的时刻是随机的,则他候车时间不 超过2分钟的概率是( ) 3 4 2 1 A. B. C. D. 5 5 5 5

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【解析】 试验的全部结果构成的区域长度为5,所求 2 事件的区域长度为2,故所求概率为P= . 5
【答案】
菜 单

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C

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图10-6-1

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2.(2013·汕头质量测评)如图10-6-1,矩形的长为6,
宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在椭圆
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外的黄豆数为96颗,以此实验数据为依据可以估计出 椭圆的面积约为( A.7.68
菜 单

) C.16.32 D.17.32

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B.8.68

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【解析】 16.32.

300-96 椭圆的面积约为 × 6× 4= 300

【答案】

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C

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3.(2012· 北京高考)设不等式组

表示的平面区域

为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离 大于 2 的概率是( ) π A. 4 π-2 B. 2 π C. 6 4-π D. 4

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【解析】
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如图所示,区域D为正方形OABC及其内
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部,且区域D的面积S=4.又阴影部分表示的是区域D内到坐

标原点的距离大于2的区域.易知该阴影部分的面积S 阴 =4
-π,





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4-π ∴所求事件的概率P= . 4

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【答案】

D

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4.在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1 中,点O为底
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面ABCD的中心,在正方体ABCD—A1B1C1D1 内随机取一点
P,则点P到点O的距离大于1的概率为________.
【解析】 记“点P到点O的距离大于1”为事件A,则 事件A发生时,点P位于以O为球心,以1为半径的半球外. 1 4 3 又V正方体ABCD—A1B1C1D1=2 =8,V半球= · 2 3 2 3 π·1 = π. 3 2 8- π π 3 ∴所求事件概率P(A)= =1- . 8 12 π 【答案】 1- 12
菜 单

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πx 在区间[-1,1]上随机取一个数x,cos 的值介 2 1 于0到 之间的概率为( 2 ) 1 C. 2 2 D. 3

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1 A. 3

2 B. π

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π 【思路点拨】 先判断 x的范围,然后根据y=cos x 2 π π 的图象寻找 x满足的条件,从而确定使cos x的值介于0 2 2 1 到 的x的取值范围. 2

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【尝试解答】 在区间[-1,1]上随机取一个数x,试 验的全部结果构成的区域长度为2; π π π 又-1≤x≤1,∴- ≤ x≤ . 2 2 2

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π π π π π π 1 由0≤cos x≤ ,得 ≤ x≤ 或- ≤ x≤- 2 2 3 2 2 2 2 π , 3 2 2 ∴ ≤x≤1或-1≤x≤- . 3 3 π 1 设事件A为cos x的值介于0到 之间. 2 2 2 则事件A发生的区域长度为 , 3 1 由几何概率,∴得P(A)= . 3
【答案】
菜 单

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A

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1.解答本题的关键是确定x的取值范围,这需要用
到三角函数的奇偶性与单调性. 2.几何概型有两个特点:一是无限性,二是等可能 性.基本事件可以抽象为点,尽管这些点是无限的,但

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它们所占据的区域都是有限的,因此可用“比例解法” 求解几何概型的概率.

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在半径为1的圆内一条直径上任取一点,过这个点作垂
直于直径的弦,则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是 ________. 【解析】 边长”. 记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的

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如图,不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任
取一点F作垂直于直径的弦,当弦为CD时,就是等边三角形 的边长(此时F为OE中点).
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弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦 的距离小于OF. 1 ×2 2 1 由几何概型公式得:P(A)= = . 2 2

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1 【答案】 2
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(2013· 湛江调研)小波通过做游戏的方式来确定周末活 动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大 1 1 于 ,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于 ,则去打 2 4 篮球;否则,在家看书,则小波周末不在家看书的概率为 ________.

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【思路点拨】

由于随机往单位圆内掷一点,落在任

何一处是等可能的,因此,根据几何概型可分别求出小波周

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末看电影与打篮球的概率,进而利用互斥事件概率加法公式
可解.
菜 单

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【尝试解答】 记“小波周末去看电影”为事件A, “小波周末打篮球”为事件B,依题意,事件A,B互斥, 且A+B表示“小波周末不在家看书”. 又全部试验区域的面积为π·12=π,事件A,B发生 1 2 3 1 2 所在区域面积分别为S1=π-( ) π= π,S2=( ) π= 2 4 4 π , 16 π 3 π 4 3 16 1 ∴P(A)= = ,P(B)= = , π 4 π 16 3 1 13 则P(A+B)=P(A)+P(B)= + = , 4 16 16
菜 单

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13 因此小波周末不在家看书的概率为 . 16
13 【答案】 16

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1.(1)本题关键是利用几何概型求事件A,B的概率; (2)也可先求“小波在家看书”的概率,然后根据对 立事件的概率求解.

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2.(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积
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等时,应考虑使用几何概型求解. (2)利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果 构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变 量,在坐标系中表示所需要的区域.
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(2012· 福建高考)如图10-6-2所示,在边长为1的正方 形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为 ( ) 1 1 A. B. 4 5 1 1 C. D. 6 7

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【解析】

2 3 1 2 1 2 1 ∵S阴影= ? ( x-x)dx=( x 2 - x )| 0 = - ? 3 2 3 2 ?
?1

0

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1 = ,又S正方形OABC=1,∴由几何概型知,P恰好取自阴影部 6 1 6 1 分的概率为 = . 1 6 【答案】 C

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在区间[0,1]上任取三个数a,b,c若向量m=(a,
b,c),求|m|≥1的概率. 【思路点拨】 由于a,b,c∈[0,1],则点(a,b,c)

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构成单位正方体区域,从而可借助几何概型求解.
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【尝试解答】

∵a,b,c∈[0,1],
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则基本事件空间Ω={(a,b,c)|0≤a≤1,0≤b≤1,0≤c≤1} 构成的区域为单位正方体(其中原点O为一个顶点).





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设“|m|≥1”为事件 ,则A表示“|m|<1”. 即a2+b2+c2<1,这样的点(a,b,c)位于单位正方体 1 内,且在以原点为球心,以1为半径的球内,其体积V′= 8 π 4 3 × π×1 = . 3 6 又V正方体 =1, π V′ ∴P( )= = , V正方体 6 π 因此P(|m|≥1)=P(A)=1-P( )=1- . 6

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1.本题中点(a,b,c)的分布是空间区域,故应采用
体积表示区域的测度.常见的错误:①错用面积比作为概 率;②事件 分). 发生时,求错空间区域体积(球体的一部

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2.求解几何概型的概率问题,一定要正确确定试验

的全部结果构成的区域,从而正确选择合理的测度,进而
利用概率公式求解.

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用橡皮泥做成一个直径为6 cm的小球,假设橡皮泥中混
入了一个很小的砂粒,求这个砂粒距离球心不小于1 cm的概 率.
【解】 设“砂粒距离球心不小于1 cm”为事件A,球 心为O,砂粒位置为M,则事件A发生,即为OM≥1 cm. 4 4 3 3 πR - πr 3 3 r 3 ∵R=3,r=1,则P(A)= =1-( )= 4 R πR3 3 26 , 27 26 故砂粒距离球心不小于1 cm的概率为 . 27
菜 单

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古典概型与几何概型的区别在于:前者的基本事件的 个数有限,后者的基本事件的个数无限.

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对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认 识,它只与大小有关,而与形状和位置无关,在解题时,要

掌握“测度”为长度、面积、体积等常见的几何概型的求解
方法.
菜 单

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1.线型几何概型:基本事件只受一个连续的变量控制的 概型.

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2.面型几何概型:当基本事件受两个连续的变量控制
时,一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,
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这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区 域解决.
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从近两年看,几何概型命题以选择题、填空题为

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主;以考查基本概念为主,兼顾基本运算能力,2012
年有4省市独立考查几何概型,注重知识交汇渗透和情
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境创新是命题的方向.
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创新探究之十三 以程序框图为载体的几何概型
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(2012·陕西高考)如图10-6-3所示是用模拟方法估计

圆周率π值的程序框图,P表示估计结果,则图中空白框内应
填入( )

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图10-6-3
菜 单

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N A.P= 1 000 M C.P= 1 000

4N B.P= 1 000 4M D.P= 1 000

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【解析】 ∵xi,yi为0~1之间的随 机数,构成以1为边长的正方形面, 当xi2+yi2≤1时,点(xi,yi)均落在以原 1 点为圆心,以1为半径且在第一象限的 圆 4 内,(如图阴影所示). 由程序框图,落在阴影区域内的点共 M个. 1 又S正方形=1,S阴影= π. 4
菜 单

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S阴影 1 M 根据几何概型 = = π, 1 000 S正方形 4 4M ∴π= , 1 000 4M 因此估计结果P= . 1 000 【答案】 D

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创新点拨:(1)以程序框图为载体,考查几何概型与随 机模拟方法. (2)背景新颖、渗透转化思想,重视识图能力的考查. 应对措施:(1)理解算法的基本结构特征,准确识图、 用图.

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(2)掌握几何概型的概率计算,构造随机事件对应的几
何图形,正确选择区域测度.

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1.(2013· 佛山模拟)在区间[0,π ]上随机取一个数 x, 则事件“sin x+ 3cos x≤1”发生的概率为( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 4 3 2 3 π 1 【解析】 由sin x+ 3cos x≤1,得sin(x+ )≤ , 3 2 π 由于0≤x≤π,则 ≤x≤π, 2 π π- 2 1 由几何概型,所求概率P= = . 2 π

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【答案】
菜 单

C

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2.(2012· 湖北高考)如图10-6-4 所示,在圆心角为直角的扇形OAB中, 分别以OA,OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点,则此点取 自阴影部分的概率是( ) 1 1 A. - 2 π 1 B. π 2 D. π

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2 C.1- π

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【解析】 连接 AB,由 S 弓形 AC=S 弓形 BC=S 弓形 OC 可求出空 白部分面积. 设分别以 OA,OB 为直径的两个半圆交于点 C,令 OA= 2. 如图,连接 AB,由题意知 C∈AB 且 S 弓形 AC=S 弓形 BC=S 弓 形 OC, 1 所以 S 空白=S△OAB= ×2×2=2. 2 1 又因为 S 扇形 OAB= ×π×22=π,所以 S 阴影=π-2. 4 π-2 2 所以 P= = =1- . S扇形OAB π π S阴影

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【答案】
菜 单

C

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课后作业(六十九)

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