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直线与圆的位置关系专项测试题


直线与圆的位置关系的专项测试题
湖南宁远县第一中学 欧阳才学 15116512020
一、选择题: 1.直线 y=x+1 与圆 x2+y2=1 的位置关系是( ) A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 思路分析:判断直线与圆的位置关系自然想到代数法联立直线和圆的方程或几何法利用圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系求解。 ? ?y=x+1, 解:选 B 法一:由? 2 2 消去 y,整理得 x2+x=0, ?x +y =1, ? 因为 Δ=12-4?1?0=1>0,所以直线与圆相交. 又圆 x2+y2=1 的圆心坐标为(0,0),且 0≠0+1,所以直线不过圆心. 1 2 法二:圆 x2+y2=1 的圆心坐标为(0,0),半径长为 1,则圆心到直线 y=x+1 的距离 d= = .因为 2 2 2 <1,所以直线 y=x+1 与圆 x2+y2=1 相交但直线不过圆心. 2 小结:判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法:利用 d 与 r 的关系;(2)代数法:联立方程随之后利 0< 用 Δ 判断;(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 2.圆 x2+y2-2x+4y-20=0 截直线 5x-12y+c=0 所得的弦长为 8,则 c 的值是( A.10 B.10 或-68 C.5 或-34 D.-68 )

思路分析:处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形.此题将 圆化为标准方程,找出圆心坐标和半径 r,利用圆心到直线的距离 d,垂径定理,勾股定理列出关于 c 的方 程,求出方程的解便可得到 c 的值。 解:选 B ∵弦长为 8,圆的半径为 5,∴弦心距为 52-42=3 |5?1-12??-2?+c| ∵圆心坐标为(1,-2),∴ =3,∴c=10 或 c=-68 13 小结:计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法:运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半 及 半 径 构 成 的 直 角 三 角 形 计 算 . (2) 代 数 方 法 : 运 用 韦 达 定 理 及 弦 长 公 式 |AB| = 1+k2 |xA - xB| = ?1+k2?[?xA+xB?2-4xAxB]. 3 3.(2014· 豫东、豫北十校联考)圆心在曲线 y= (x>0)上,且与直线 3x+4y+3=0 相切的面积最小的圆的方 x 程为( ) 3?2 16?2 A.(x-2)2+? B.(x-3)2+(y-1)2=? ?y-2? =9 ?5? 18?2 C.(x-1)2+(y-3)2=? D.(x- 3)2+(y- 3)2=9 ?5? 3 a, ?(a>0),利用点到直线的距离 d,用基本不等式求出 d 以及此时的 思路分析:设所求圆的圆心坐标是? ? a? a,确定面积最小时的圆心坐标和半径,从而得到圆的方程。涉及圆的切线时,要注意过切点的半径与切 线垂直;当直线与圆相交时,半弦长、弦心距、半径所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用,解题 时要注意把它与点到直线的距离公式结合起来使用。 解: 选 A 3? ? 3? 设所求圆的圆心坐标是 ? ?a,a? (a>0) ,则点 ?a,a? (a>0) 到直线 3x + 4y + 3 = 0 的距离 d =
1

?3a+12+3? 3a+12+3 2 a a ? ?

12 3a? +3 a 12 = ≥ =3,当且仅当 3a= ,即 a=2 时取等号,因此所求圆的圆心 5 5 5 a 3 3 2 ? ? ?2 坐标是? ?2,2?,半径是 3,圆的方程为(x-2) +?y-2? =9. 小结: (1)与切线长有关的问题.解题时应注意圆心与切点的连线与切线垂直,从而得出一个直角三角形, 然后求解;(2)判断直线与圆相切,特别是过圆外一点求圆的切线时,应有两条.在解题中,若只求得一条, 则说明另一条的斜率不存在,这一点经常忽视,应注意检验、防止出错. 4.直线 y=kx+3 与圆(x-2) 2+(y-3) 2=4 相交于 M,N 两点,若|MN|≥2 3,则 k 的取值范围是( ) 3 2 3 3 ? ? A.? B.?- , ? C.[- 3, 3] D.? ?-4,0? ?-3,0? 3? ? 3 思路分析:直线过定点(0,3) ,求出弦长为 2 3时的 k,结合图像移动直线就可得答案。 解:选 B 如图,若|MN|=2 3,则由圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足 d2=22-( 3)2=1. |k· 2-3+3| ∵直线方程为 y=kx+3,∴d= =1 1+k2 3 3 3 解得 k=± ,若|MN|≥2 3,则- ≤k≤ 3 3 3 小结:利用直线与圆的位置关系中的相交,体现了数形结合思想在解析几何中的应用。 5.直线 ax+by+c=0 与圆 x2+y2=9 相交于两点 M,N,若 c2=a2+b2,则 OM · ON (O 为坐标原点)等于( ) A.-7 B.-14 C.7 D.14 思路分析:由向量的数量积很容易想到求 OM , ON 的夹角,而夹角可放在由两向量与弦长所构成的三 角形中去求,也可将夹角一分为二放在圆心到直线的距离、半弦长、半径构成的直角三角形中去求。 ???? ? ???? |c| 解:选 A 设 OM , ON 的夹角为 2θ.依题意得,圆心(0,0)到直线 ax+by+c=0 的距离等于 2 2=1, a +b ? ???? 1?2 1 7 ???? cos θ= ,cos 2θ=2cos2θ-1=2?? - 1 =- , · ON =3?3cos 2θ=-7. OM ?3? 3 9 小结:本题在给出直线和圆相交,求圆心指向两个交点的向量的数量积,着重考查直线和圆的位置关系及 向量的数量积运算,本题也可借助向量的坐标运算求解。 二、填空题: 1.(2014· 济南模拟)已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x-1 被圆 C 所截得的弦长 为 2 2,则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为________________. 思路分析:利用圆心、半径(圆心和(1,0)的距离) 、半弦长和弦心距的关系,求出圆心坐标,可得直 线方程。 ?|a-1|?2+2=(a-1)2,解 解:由题意,设所求的直线方程为 x+y+m=0,设圆心坐标为(a,0),则由题意知? ? ? 2 ? 得 a=3 或 a=-1,又因为圆心在 x 轴的正半轴上,所以 a=3,故圆心坐标为(3,0).因为圆心(3,0)在所求 的直线上,所以有 3+0+m=0,即 m=-3,故所求的直线方程为 x+y-3=0. 小结:本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线和圆的位置关系,考查 学生的计算能力。 2.直线(1+3m)x+(3-2m)y+8m-12=0(m∈R)与圆 x +y -2x-6y+1=0 的交点个数为________. 思路分析:已知直线恒过(0,4) ,又由圆的方程判断点在圆内,由此可判断直线和圆相交。 解: 将含参直线方程分离变量可得 m(3x - 2y + 8) + x + 3y - 12 = 0 ,不论 m 取何值,直线恒过两直线 ? ?3x-2y+8=0, ? 的交点 A(0,4),又易知定点 A 在圆内,故直线必与圆恒相交. ?x+3y-12=0 ? 小结:本题考查了直线和圆的位置关系,计算出定点在圆内是解决此题的关键。 3.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且只有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则 实数 c 的取值范围是________. 思路分析:求出圆的圆心和半径,根据圆心到直线的距离小于半径和 1 的差即可。 解:因为圆的半径为 2,且圆上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,等价于圆心到直线的距
2
2 2

???? ? ????

???? ?

????

|c| <1,解得-13<c<13. 12 +?-5?2 小结:圆心到直线的距离小于半径与 1 的差,此时 4 个,等于时 3 个,大于这个差小于半径与 1 的和时为 2 个。 离小于 1,即
2

4.已知圆 C 的圆心与点 P(-2,1)关于直线 y=x+1 对称,直线 3x+4y-11=0 与圆 C 相交于 A,B 两点, 且|AB|=6,求圆 C 的方程. 思路分析:要求圆的方程只需要求出圆心和半径,圆心根据对称可求,半径可由圆心到直线的距离求出。 解:设点 P 关于直线 y=x+1 的对称点为 C(m,n), 1+n -2+m ? ? 2 = 2 +1, 则由? n-1 1=-1 ? ?m+2·
?m=0, ? ?? ? ?n=-1.

|-4-11| 故圆心 C 到直线 3x+4y-11=0 的距离 d= =3, 9+16 |AB|2 所以圆 C 的半径的平方 r =d + =18.故圆 C 的方程为 x2+(y+1)2=18. 4
2 2

小结:曲线对称问题应从方程与曲线的对应关系入手来处理,最终转化为点的坐标之间的对应关系。 三、解答题: 1.已知点 M(3,1),直线 ax-y+4=0 及圆(x-1) +(y-2) =4. (1)求过 M 点的圆的切线方程;(2)若直线 ax-y+4=0 与圆相切,求 a 的值; (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相交于 A,B 两点,且弦 AB 的长为 2 3,求 a 的值. 思路分析:(1)求过一点的圆的切线方程,是圆这一章中很重要的题型。有两点要注意①是看清点是在圆上 还是在圆外②是点如果在圆外,切线有两条;(2)利用圆心到直线的距离 d 与半径 r 相等求解; (3)利用直线 与圆的位置关系中的相交,即运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成的直角三角形计 算可得。 解:(1)圆心 C(1,2),半径为 r=2 当直线的斜率不存在时,直线方程为 x=3. 由圆心 C(1,2)到直线 x=3 的距离 d=3-1=2=r 知,此时,直线与圆相切. 当直线的斜率存在时,设方程为 y-1=k(x-3),即 kx-y+1-3k=0. |k-2+1-3k| 3 由题意知 =2,解得 k= . 2 4 k +1 3 所以直线方程为 y-1= (x-3),即 3x-4y-5=0. 4 综上所述,过 M 点的圆的切线方程为 x=3 或 3x-4y-5=0. |a-2+4| 4 (2)由题意有 =2,解得 a=0 或 a= . 2 3 a +1 (3)∵圆心到直线 ax-y+4=0 的距离为 |a+2|
2 2

a +1

2

,∴(

|a+2|
2

2 3 2 3 2 ) +( ) =4,解得 a=- . 2 4 a +1

小结:在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用,如在直线与圆相交的有关线段长度
3

计算中,要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一起综合考虑,不要单纯依靠 代数计算,这样既简单又不容易出错. (1) .过圆上一点作圆的切线有且只有一条;过圆外一点作圆的切线有且只有两条,若仅求得一条,除了 考虑运算过程是否正确外,还要考虑斜率不存在的情况,以防漏解求圆的弦长问题; (2) .求切线的两种 方法,设切线方程的点斜式,一种是代数方法:联立圆的方程,用△=0 求 K;一种是几何法,用圆心到直 线的距离等于半径求 k; (3) .注意应用圆的性质解题,即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质,可以用勾 股定理或斜率之积为-1 列方程来简化运算. 2? 2.已知以点 C? ?t, t ?(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A,与 y 轴交于点 O,B,其中 O 为坐 标原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若 OM=ON,求圆 C 的方程. 思路分析: (1)求出半径,写出圆的方程,再解出 A、B 的坐标,表示出面积即可。 (2)通过题意解出 OC 的方程,解出 t 的值,直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,判断 t 是 否符合要求,可得圆 C 的方程。 4 解:(1)证明:∵圆 C 过原点 O,∴OC2=t2+ 2. t 2?2 2 4 4 设圆 C 的方程是(x-t)2+? ?y- t ? =t +t2,令 x=0,得 y1=0,y2= t ; 4? 1 1 令 y=0,得 x1=0,x2=2t,∴S△OAB= OA· OB= ?? ?|2t|=4, 2 2 ?t? 即△OAB 的面积为定值. (2)∵OM=ON,CM=CN,∴OC 垂直平分线段 MN. 1 1 ∵kMN=-2,∴kOC= .∴直线 OC 的方程是 y= x. 2 2 2 1 ∴ = t,解得 t=2 或 t=-2.当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1),OC= 5, t 2 1 此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= < 5, 5 圆 C 与直线 y=-2x+4 相交于两点. 9 当 t=-2 时,圆心 C 的坐标为(-2,-1),OC= 5,此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= > 5, 5 圆 C 与直线 y=-2x+4 不相交,∴t=-2 不符合题意,舍去. ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 小结:用 t 的代数式表示面积,在计算推理过程中消去变量 t,从而得到定值,或从特殊入手,求出定值, 再证明这个值与变量无关。 3.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x +y -12x+32=0 的圆心为 Q,过点 P(0,2)且斜率为 k 的直线与 圆 Q 相交于不同的两点 A,B. (1)求 k 的取值范围; → → → (2)是否存在常数 k,使得向量OA+OB与PQ共线?如果存在求 k 的值;如果不存在,请说明理由. 思路分析: (1)利用几何法(d 小于 r))或代数法(联立方程利用 Δ 小于 0)求解; (2)设出 A、B 的坐 → → → 标,向量OA+OB与PQ共线求解。 解:方法 1 (1)圆的方程可写成(x-6) +y =4,所以圆心为 Q(6,0).
4
2 2 2 2

过 P(0,2)且斜率为 k 的直线方程为 y=kx+2,代入圆的方程得 x +(kx+2) -12x+32=0, 整理得(1+k )x +4(k-3)x+36=0.① 直线与圆交于两个不同的点 A,B 等价于 Δ =[4(k-3)] -4?36(1+k )=4 (-8k -6k)>0, 3 3 解得- <k<0,即 k 的取值范围为(- ,0). 4 4 → → (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则OA+OB=(x1+x2,y1+y2), 4(k-3) 由方程①得,x1+x2=- 2 .② 1+k → 又 y1+y2=k(x1+x2)+4.③而 P(0,2),Q(6,0),PQ=(6,-2). 3 → → → 所以OA+OB与PQ共线等价于-2(x1+x2)=6(y1+y2),将②③代入上式,解得 k=- . 4 3 由(1)知 k∈(- ,0),故不存在符合题意的常数 k. 4 (1)∵Q(6,0),直线 AB 的方程:y=kx+2, |6k+2| 3 ∴Q 到 AB 的距离 d= <2(圆半径 r=2),∴k∈(- ,0). 2 4 1+k 方法 2 → → → → → (2)∵OA+OB=2OC(C 为 AB 中点),∴OC∥PQ. 1 → 而PQ=(6,-2),过 Q 与 AB 垂直的直线为 y=- (x-6),
2 2 2 2 2 2

2

2

k

y=kx+2, ? ? ∴? 1 y=- (x-6), ? k ?

6-2k 6k+2 解得 C( 2 , ), k +1 k2+1

6k+2 1 3 3 → 6-2k 6k+2 即OC=( 2 , ).∴ =- ,k=- ?(- ,0),故不存在符合题意的常数 k. k +1 k2+1 6-2k 3 4 4 小结:存在性问题中的是否存在应先假设存在,再根据已知条件进行推理,注意题中的隐含条件,再验证 所求的结果是否满足要求。

备选题
一、选择题 1.若圆心在 x 轴上,半径为 5的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+2y=0 相切,则圆 O 的方程是( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 A.(x- 5) +y =5 B.(x+ 5) +y =5 C.(x-5) +y =5 D.(x+5) +y =5 解析:选 D 因为圆心在 x 轴上,且圆 O 位于 y 轴左侧,所以可设圆心坐标为(m,0)(m<0).又圆 O 与直线 |m+2?0| x+2y=0 相切,则圆心到直线 x+2y=0 的距离等于半径长,即 = 5,解得 m=-5,即圆 O 的 12+22 圆心为(-5,0),又半径为 5,故圆 O 的方程为(x+5)2+y2=5. 2.(2014· 黄山模拟)已知 M(x0,y0)为圆 x2+y2=a2(a>0)内异于圆心的一点,则直线 x0x+y0y=a2 与该圆的 位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相离 2 2 解析:选 C 因 M(x0,y0)为圆 x2+y2=a2(a>0)内异于圆心的一点,故 x0 +y2 0<a ,圆心到直线 x0x+y0y= 2 2 |a | |a | a2 的距离 d= 2 2> =a,故直线与圆相离. x0+y0 |a| 3.已知直线 2ax+by=1(其中 a,b 是实数)与圆 x2+y2=1 相交于 A,B 两点,O 是坐标原点,且△AOB
5

是直角三角形,则点 P(a,b)与点 M(0,1)之间的距离的最大值为( ) A. 2+1 B.2 C. 2 D. 2-1 2 2 解析: 选 A 直线 2ax+by=1(其中 a, b 是实数)与圆 x +y =1 相交于 A, B 两点, 则依题意可知, △AOB 2-b2 1 2 2 2 2 是等腰直角三角形, 坐标原点 O 到直线 2ax+by=1 的距离 d= = , 即 2 a + b = 2 , ∴ a = 2 2a2+b2 2 2|b-2| b2 -2b+2= , 2 2 2?|- 2-2| ∴当 b=- 2时,|PM|max= = 2+1. 2 4. (2014· 江南十校联考)直线 x-y+m=0 与圆 x2+y2-2x-1=0 有两个不同交点的一个充分不必要条件是 (- 2≤b≤ 2),则|PM|= a2+?b-1?2= ( ) A.-3<m<1 B.-4<m<2 C.0<m<1 D.m<1

解析:选 C 根据直线与圆有两个不同的交点,可知圆心到直线的距离 d 小于半径. ∵圆 x2+y2-2x-1=0 可化为(x-1)2+y2=2,即圆心是(1,0),半径是 2, |1-0+m| ∴d= < 2,∴|m+1|<2 2 ∴-3<m<1

由题意知 m 的取值范围应是(-3,1)的一个真子集,故选 C. 5.过点(1,1)的直线与圆(x-2)2+(y-3)2=9 相交于 A,B 两点,则|AB|的最小值为( A.2 3 B.4 C.2 5 D.5 )

解析: 选 B 由圆的几何性质可知, 当点(1,1)为弦 AB 的中点时, |AB|的值最小, 此时|AB|=2 r2-d2=2 9-5 =4. 6.过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直 线的方程为 ( ) A.x+y-2=0 B.y-1=0 C.x-y=0 D.x+3y-4=0 解析:选 A 两部分面积之差最大,即弦长最短,此时直线垂直于过该点的直径.因为过点 P(1,1)的直径 所在直线的斜率为 1,所以所求直线的斜率为-1,方程为 x+y-2=0. 二、填空题 1. (2014· 陕西模拟)已知点 P 是圆 C:x2+y2+4x-6y-3=0 上的一点,直线 l:3x-4y-5=0.若点 P 到直 线 l 的距离为 2,则符合题意的点 P 有________个. |-6-12-5| 23 解析:由题意知圆的标准方程为(x+2)2+(y-3)2=42,∴圆心到直线 l 的距离 d= = >4,故 5 5 直线与圆相离,则满足题意的点 P 有 2 个. 2.(2013· 福建模拟) 已知直线 l:y=- 3(x-1)与圆 O:x2+y2=1 在第一象限内交于点 M,且 l 与 y 轴交 于点 A,则△MOA 的面积等于________. 解析:依题意,直线 l:y=- 3(x-1)与 y 轴的交点 A 的坐标为(0, 3),联立直线与圆可得点 M 的横坐 1 1 1 1 3 标 xM= ,所以△MOA 的面积为 S= |OA|?xM= ? 3? = . 2 2 2 2 4 3.(2014?浙江改编)已知圆 x +y +2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值 为________.
6
2 2

解析:由圆的方程 x +y +2x-2y+a=0 可得,圆心为(-1,1),半径 r= 2-a. |-1+1+2| 圆心到直线 x+y+2=0 的距离为 d= = 2. 2 4 2 2 2 由 r =d +( ) ,得 2-a=2+4,所以 a=-4. 2 4.(2014?北京改编)已知圆 C:(x-3) +(y-4) =1 和两点 A(-m,0),B(m,0)(m>0),若圆 C 上存在点 P, 使得∠APB=90°,则 m 的最大值为________. 解析:根据题意,画出示意图,如图所示, 则圆心 C 的坐标为(3,4),半径 r=1,且|AB|=2m. 1 因为∠APB=90°,连结 OP,易知|OP|= |AB|=m. 2 要求 m 的最大值,即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离. 因为|OC|= 3 +4 =5,所以|OP|max=|OC|+r=6,即 m 的最大 值为 6. 5.(2014?福建改编)直线 l:y=kx+1 与圆 O:x +y =1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“△OAB 的面 1 积为 ”的________条件. 2 1 解析: 将直线 l 的方程化为一般式得 kx-y+1=0, 所以圆 O: x2+y2=1 的圆心到该直线的距离 d= 2 . k +1 又弦长为 2 1- 1
2 2 2 2 2 2

2

2

k2+1



2|k|
2

1 1 2|k| |k| 1 ,所以 S△OAB= ? 2 ? 2 = 2 = ,解得 k=±1.因此可知“k 2 k +1 2 k +1 k +1 k +1

1 =1”是“△OAB 的面积为 ”的充分不必要条件. 2 三、解答题 1.(2013· 湛江六校联考)已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为 1 的直线 l,使以 l 被圆截得的 弦 AB 为直径的圆过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 解析:假设存在斜率为 1 的直线 l,满足题意,则 OA⊥O B.设直线 l 的方程是 y=x+b,其与圆 C

y1 y2 的交点 A,B 的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2)则 · =-1,即 x1x2+y1y2=0.① x1 x2
?y=x+b, ? 由? 2 2 消去 y 得,2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0, ? ?x +y -2x+4y-4=0.

1 ∴x1+x2=-(b+1),x1x2= (b2+4b-4),② 2 1 1 y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2= (b2+4b-4)-b2-b+b2= (b2+2b-4).③ 2 2 把②③式代入①得,得 b2+3b-4=0, 解得 b=1 或 b=-4,且 b=1 或 b=-4 都使得 Δ=4(b+1)2-8(b2+4b-4)>0 成立.故存在直线 l 满 足题意,其方程为 y=x+1 或 y=x-4. 2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限,半径为 2 2的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标原点 O.
7

(1)求圆 C 的方程; (2)探求 C 上是否存在异于原点的点 Q,使 Q 到定点 F(4,0)的距离等于线段 OF 的长.若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由. b 解析:(1)设圆心为 C(a,b),由 OC 与直线 y=x 垂直,知 O,C 两点的斜率 kOC= =-1,故 b=-a, a ? ? ?a=-2, ?a=2, 则|OC|=2 2,即 a2+b2=2 2,可解得? 或? ?b=2 ?b=-2, ? ?
?a=-2, ? 结合点 C(a,b)位于第二象限知? 故圆 C 的方程为(x+2)2+(y-2)2=8. ?b=2. ? (2)假设存在 Q(m,n)符合题意, 4 ?m-4?2+n2=42, ? m= , ? 2 2 5 4 12? 则?m +n ≠0, 解得 故圆 C 上存在异于原点的点 Q? ?5, 5 ?符合题意. 12 2 2 ? n= . ??m+2? +?n-2? =8, 5

? ? ?

3.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限,半径为 2 2的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标原点 O. (1)求圆 C 的方程; (2)探求 C 上是否存在异于原点的点 Q,使 Q 到定点 F(4,0)的距离等于线段 OF 的长.若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由. b 解析:(1)设圆心为 C(a,b),由 OC 与直线 y=x 垂直,知 O,C 两点的斜率 kOC= =-1,故 b=-a, a ?a=-2, ?a=2, ? ? 则|OC|=2 2,即 a2+b2=2 2,可解得? 或? ? ? ?b=2 ?b=-2,
?a=-2, ? 结合点 C(a,b)位于第二象限知? 故圆 C 的方程为(x+2)2+(y-2)2=8. ?b=2. ? (2)假设存在 Q(m,n)符合题意, 4 ?m-4?2+n2=42, ? m= , ? 2 2 5 4 12? 则?m +n ≠0, 解得 故圆 C 上存在异于原点的点 Q? ?5, 5 ?符合题意. 12 2 2 ? n= . ??m+2? +?n-2? =8, 5

? ? ?

4.已知圆 O 的方程为 x +y =9,求过点 A(1,2)所作的弦的中点的轨迹. 解法 1:参数法(常规方法) 设 过 A 的 弦 所 在 的 直 线 方 程 为 y-2=k(x-1)(k 存 在 时 ),P(x,y), 则 ? (1+k )x +2k(2-k)x+k -4k-5=0.∴x1+x2=
2 2 2

2

2

? x 2 ? y 2 ? 9, 消 y, 得 ? y ? kx ? (2 ? k ),

2 k ( k ? 2) . k 2 ?1

k (k ? 2) ? x? 2 , ? ? k ?1 利用中点坐标公式及中点在直线上,得 ? (k 为参数). ?y ? ? k ? 2 ? k 2 ?1 ?
∴消去 k 得 P 点的轨迹方程为 x +y -x-2y=0,当 k 不存在时,中点 P(1,0)的坐标也适合方程. ∴P 的轨迹是以点(
2 2

1 5 ,1)为圆心, 为半径的圆. 2 2

解法 2:代点法(涉及中点问题可考虑此法) 设过点 A 的弦 MN,M(x1,y1),N(x2,y2).
8

∵M、N 在圆 O 上,∴ ?

2 2 ? y1 ? y 2 ? x1 ? y1 ? 9, .∴相减得 (x ?(y1+y2)=0(x1≠x2). 1+x2)+ 2 2 x ? x ? x ? y ? 9 . 1 2 2 ? 2

设 P(x,y),则 x=

x1 ? x 2 y ? y2 ,y= 1 . 2 2

∴M、N、P、A 四点共线,
2

y1 ? y 2 y ? 2 y?2 = (x≠1).∴2x+ ?2y=0. x ?1 x1 ? x2 x ? 1
2

∴中点 P 的轨迹方程是 x +y -x-2y=0(x=1 时亦正确). ∴点 P 的轨迹是以点(

1 5 ,1)为圆心, 为半径的圆. 2 2

解法 3:数形结合(利用平面几何知识) 由垂径定理知 OP⊥PA,故 P 点的轨迹是以 AO 为直径的圆.(下略)

9


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