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2014高三下学期数学第一次月考(含答案)文科


2014 届高三下学期第一次月考

D. a ? ? , b // ? , ? ? ? 6.如图所示的三棱柱,其正视图是一个边长为 2 的正方形,其俯视图是一个正三角形, 则该三棱柱侧视图的面积为

数 学 试 卷(文科)
附(答案)
审题人:高三备课组
本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 全卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)
1.设全集 U ? {x ? N * | x ? 6} ,集合 A ? {1,3} , B ? {3,5} ,则 A. {1,4} B. {1,5} C. {2,5} D. {2,4} A. 2 3 B. 3 C. 2 2 D.4

( A ? B) 等于

?x ? 2 y ? 2 ? 7.设变量 x,y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 4 ,则 z ? 2 x ? y 的取值范围是 ? 4 x ? y ? ?1 ?
A. [?

2.复数 z 满足 (1 ? 2i) z ? 7 ? i ,则复数 z ? A.1+3i B.l-3i C.3+i D.3-i

3 ,?1] 2

B. [?1,4]
2 2

C. [? ,4]

3 2

D. [?2,4]

8.若点 P 为圆 x ? y ? 6 x ? 0 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为 ( 11 , ) A. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. x ? 2 y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0

3.如图,运行该程序框图后输出的 s 值为 A.66 B.55 C.11 D.10 4.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A. y ? x ? x
3

9.设 F1 , F2 是双曲线 C :

B. y ? 3

x

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, P 是 C 上一点, a 2 b2

C. y ? log 2 x

D. y ? ?

1 x

? 若 PF1 ? PF2 ? 6a, 且 ?PF1 F2 的最小内角为 30 ,则 C 的离心率为

5.设 a , b 是两条直线, ? , ? 是两个平面, 则 a ? b 的一个充分条件是 A. a ? ? , b // ? , ? ? ? B. a ? ? , b ? ? , ? // ? C. a ? ? , b ? ? , ? // ?

A. 2

B. 3

C. 2 2

D.

4 3 3

10.已知定义在 (?1,0) 上的函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,对于满足 ? 1 ? x1 ? x2 ? 0 的任意 x1 , x 2 ,错误的结论是 A. 当 x ? (?1,0) 时, x ? f ( x) B. 当 x ? (?1,0) 时,导函数 f ?( x) 为增函数 C. f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 D. x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 )
y

-1 O 1 x

文科·数学第一次月考试卷第 1 页(共 4 页)

-1 文科·数学第一次月考试卷第 2 页(共 4 页)

征召 n 名义务宣传志愿者,成立环境保护宣传组织.现把该组织的成员按年龄分成 5 组:

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上)
11. tan120 ? e
0 ln 3

第 1 组 ? 20, 25 ? ,第 2 组 ? 25,30 ? ,第 3 组 ? 30,35 ? , 第 4 组 ? 35, 40 ? ,第 5 组 [40, 45] ,得到的频率 分布直方图如图所示,已知第 2 组有 35 人. . (Ⅰ)求该组织的人数; (Ⅱ)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名 志愿者参加某社区的宣传活动,应从第 3,4,5 组 . 各抽取多少名志愿者? (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,该组织决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验, 求第 3 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

? log3 3 3 ? 3 lg 10 ? _________.

12.设平面向量 a ? (1,2) , b ? (?2, y ) ,若 a // b ,则 | 2a ? b | 等于 13.函数 y ? a
x ?3

? 2(a ? 0且a ? 1) 的图象恒过定点 A,且点 A 在直线

1 3 mx ? ny ? 1 ? 0 (m ? 0, n ? 0) 上,则 ? 的最小值为 m n

2S 14.设 ?ABC 的三边长分别为 a、b、c, ?ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r= ; a+b+c 类比这个结论可知:四面体 P-ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的半径 为 r,四面体 P-ABC 的体积为 V,则 r= .
2

19. (本小题满分 12 分)
如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC ,

A1

A

15.已知函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且 f ( x) 是偶函数,当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x , 若在区间 [?1,3] 内,函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ? k 有三个零点,则实数 k 的取值范围是 .

AB ? BC , D 为 AC 的中点, AA1 ? AB ? 2 .
(Ⅰ)求证: AB1 // 平面 BC1 D ; (Ⅱ)若 BC ? 3 ,求三棱锥 D ? BC1C 的体积.
B1

D

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)
2b ? c cos C 已知 a , b , c 分别是 ?ABC 的三个内角 A , B , C 的对边, . ? a cos A
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 y ? 3 sin B ? sin(C ?

B

C1

?
6

) 的值域.

20. (本小题满分 13 分) x2 y 2 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 e ? , a b 2
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

第 19 题图

C

以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (Ⅱ)设 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,若过 F1 的直线交曲线 C 于 A、B 两点, 求 F2 A?F2 B 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分)
数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 an 是 S n 和 1 的等差中项, 等差数列 {bn } 满足 b1 ? a1 , b4 ? S3 . (Ⅰ)求数列 ? an ? , ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ?

???? ? ???? ?

21. (本小题满分 14 分) 1 2 已知函数 f ( x) ? ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x( x ? R ) . 2
(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数 y ? f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? ( x ? 2 x)e ,若对任意 x1 ? (0,2) ,均存在 x2 ? (0,2) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,
2 x

1 ,求数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn . bn bn ?1

18. (本小题满分 12 分) 近年来,我国许多省市雾霾天气频发,为增强市民的环境保护意识,某市面向全市
文科·数学第一次月考试卷第 2 页(共 4 页)

文科·数学第一次月考试卷第 2 页(共 4 页)

求实数 a 的取值范围.

11. 0;

12. 4 5;

13. 12;

14.

3V ; S1 ? S 2 ? S3 ? S 4

1 1 15. ( , ) . 4 2

三、解答题(共 75 分) 16.解:
(Ⅰ)由正弦定理,得:

2sin B ? sin C cos C ? , ????? 2分 sin A cos A 即2sin A cos B ? sin A cos C ? sin C cos A 故2sin B cos A ? sin( A ? C ) ? sin B, ????? 4分

1 ? ? sin B ? 0,? cos A ? ,? A ? ????? 6分 2 3
(II)? A ?

?
3

2 2 ? B ? C ? ? 且B ? (0, ? ) ……………………………………………8 分 3 3

? y ? 3 sin B ? sin(C ? ) ? 3 sin B ? sin( ? B) ? 3 sin B ? cos B ? 2sin( B ? ) 6 2 6
…………………………………………………………………………………………………10 分

?

?

?

2 ? ? 5 ? 1 ? B ? (0, ? ), B ? ? ( , ? ),? sin( B ? ) ? ( ,1] ,所以所求函数值域为 (1, 2] …12 3 6 6 6 6 2


17.解: (Ⅰ)∵ an 是 S n 和 1 的等差中项,∴ Sn ? 2an ? 1
当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ? 1 ,∴ a1 ? 1

--------1 分

2014 届高三下学期第一次月考 数学(文科)参考解答及评分标准
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 选项 1 D 2 B 3 A 4 A 5 C 6 A 7 D 8 D 9 B 10 C

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (2an ? 1) ? (2an ?1 ? 1) ? 2an ? 2an ?1 , ∴

--------3 分

an ? 2an?1
an ? 2n ?1

,即

an ?2 an ?1

∴数列

{an }

是以

a1 ? 1

为首项, 2 为公比的等比数列,





S n ? 2n ? 1

--------------------5 分

设 {bn } 的公差为 d , b1 ? a1 ? 1 , b4 ? 1 ? 3d ? 7 ,∴ d ? 2

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)
文科·数学第一次月考试卷第 3 页(共 4 页)

∴ bn ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1

--------7 分 文科·数学第一次月考试卷第 2 页(共 4 页)

(Ⅱ) cn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bnbn ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

----------9 分

(Ⅱ)∵三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,∴侧棱 CC1 // AA1 ,又∵ AA1 ? 底面 ABC , ∴侧棱 CC1 ? 面ABC ,故 CC1 为三棱锥 C1 ? BCD 的高, A1 A ? CC1 ? 2 , ………8 分

∴ Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ... ? ? ) ? (1 ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1

-------12 分

S ?BCD ?

18.解: (Ⅰ)由题意:第 2 组的人数: 35= 5 ? 0.07 ? n ,
得到: n ? 100 , 故该组织有 100 人. …………3 分

1 1 1 3 S ?ABC ? ( BC ? AB) ? 2 2 2 2 1 1 3 VD? BCC1 ? VC1 ? BCD ? CC1 ? S ?BCD ? ? 2 ? ? 1 3 3 2

…………10 分 …………12 分

2 2 2 20.解: (Ⅰ)由题意可得圆的方程为 x ? y ? b ,…………………1 分

(Ⅱ)第 3 组的人数为 0.3×100=30, 第 4 组的人数为 0.2× 100=20, 第 5 组的人数为 0. 1×100=10. …………5 分 因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者,所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者,每组抽取的人数分别为:
30 20 10 第 3 组: 60 ×6=3; 第 4 组: 60 ×6=2; 第 5 组: 60 ×6=1.

∵直线 x ? y ? 2 ? 0 与圆相切,∴

d?

2 ?b 2 ,即 b ? 1,

…………3 分

c 2 x2 e? ? ? y2 ? 1 2 2 2 a 2 ,及 a ? b ? c ,得 a ? 2 ,所以椭圆方程为 2 又 .…………6 分
(Ⅱ)①当直线 AB 的斜率为 0 时,A (? 2, 0), B ( 2, 0) 时,

所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人. …………7 分 (Ⅲ))记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2,第 5 组的 1 名 志愿者为 C1.则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2), (A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2), (B1,C1),(B2,C1),共有 15 种. …………9 分 其中第 3 组的 3 名志愿者 A1,A2,A3,至少有一名志愿者被抽中的有: (A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1), (A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),共有 12 种, …………11 分

???? ? ???? ? F2 A?F2 B

? ?1 …………7 分

②当直线 AB 的斜率不为 0 时,不妨设 AB 的方程为: x ? 1 ? my

? x ? 1 ? my ? 2 ?x 2 2 2 ? ? y ?1 ? 2 由 得: (m ? 2) y ? 2my ? 1 ? 0 ,
A1 ( x1,y1 ),B( x2,y2 ),

………………………8 分

12 4 p? ? 15 5 则第 3 组至少有一名志愿者被抽中的概率为

…………12 分 …………1 分



则:

y1 ? y2 ?

2m 1 y1 y2 ? ? 2 2 m ?2 , m ? 2 , …………9 分

19.解: (Ⅰ)连接 B1C ,设 B1C 与 BC1 相交于点 O ,连接 OD .

???? ? ???? ? F2 A?F2 B ? ( x1 ? 1, y1 ) ? ( x2 ? 1, y2 ) ? (my1 ? 2, y1 ) ? (my2 ? 2, y2 )

∵ 四边形 BCC1 B1 是平行四边形,∴点 O 为 B1C 的中点. ∵ D 为 AC 的中点, ∴ OD 为△ AB1C 的中位线, ∴ OD // AB1 .………4 分 ∵ OD ? 平面 BC1 D , AB1 ? 平面 BC1 D ,
B1 A1 A

? (my1 ? 2)(my2 ? 2) ? y1 y2 ? (m2 ? 1) y1 y2 ? 2m( y1 ? y2 ) ? 4

?

?5m2 ? 1 9 7 ? 4 ? ?1 ? 2 ? (?1, ? , 2 m ?2 m ?2 2
???? ? ???? ? F2 A?F2 B
的取值范围为 ??1, ? .

………………………12 分 …………13 分

D

由①、②得:
B

7 2

∴ AB1 // 平面 BC1 D .

………… 6 分
C1

O
C

21.解:
文科·数学第一次月考试卷第 2 页(共 4 页)

文科·数学第一次月考试卷第 4 页(共 4 页)

问 题进一步转化成确定 f ( x) 的最大值,注意到 f ?( x) ? ax ? (2a ?1) ? 分a ?

2 ( ax ?1)( x ? 2) , ? x x

1 1 1 时, a ? 1 时, ? a ? 1 时, a ? 时,分别讨论. 2 2 2



1 1 ?1 ? ? 2 ? ? x ? 1? , ? a ? 1 时,令 h ? x ? ? ?2 ln x ? 2x 2 ?2 ?

2 1 h? ? x ? ? ? ? 2 ? 0 ,所以 h ? x ? 递减,所以 h ? x ? ? 0 ,满足题意, x 2x 1 所以 a ? 满足题意; …………………………11 分 2
②当 a ?

1 时, f ( x) 在 x ? ? 0, 2? 上单调递增, 2 1 ,……13 分 2

所以 f ( x) max ? f (2) ? 2ln 2 ?2 a ?2 ? 0 得 ln 2 ? 1 ? a ? 综上所述, a ? ln 2 ? 1. 文科·数学第一次月考试卷第 5 页(共 4 页)

………………………… 14 分 文科·数学第一次月考试卷第 2 页(共 4 页)

考点:导数的几何意义,应用导数研究函数的单调性、最值.

文科·数学第一次月考试卷第 6 页(共 4 页)

文科·数学第一次月考试卷第 2 页(共 4 页)


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