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广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟考试数学(文)试题


肇庆市中小学教学质量评估 2013 届高中毕业班第二次模拟试题 数 学(文科)

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh 其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高 3

球的表面积公式 S ? 4? R 2 其中 R 为球的半径。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.若 a ? bi ? (1 ? i )(2 ? i ) (是虚数单位, a, b 是实数) ,则 a ? b 的值是 A. B. 2 C. 3 D. 4
2

2.已知集合 M ? {x | 0 ? x ? 3}, N ? {x | x ? 5 x ? 4 ? 0} ,则 M ? N ? A. {x |1 ? x ? 3} B. {x |1 ? x ? 3} C. {x | 0 ? x ? 4} D. {x | 0 ? x ? 4}

3.在 ?ABC 中,已知 | AB |?| BC |?| CA |? 2 ,则向量 AB?BC ? A. 2 B. ?2 C. 2 3 ) C. y ? x ? x ??
?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

D. ?2 3

4. 下列函数为奇函数的是( A. y ? sin x

B. y ?| x |

D. y ? ln

?? x ?? x

?0 ? x ? 1, ? 5.已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 2, z ? 2 x ? 3 y 的最大值是 . 则 ? x ? y ? 2, ?
A. ?6 B. ?1 C. 6 D. 4 6.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果 k 的值是 A. 5 B.6 C. 7 D. 8

7.已知函数 f ? x ? ? A sin ? ? x ?

? ?

??

( ,的最小正周期为 2 ,且 ? , A ? 0, ? ? 0 , x ? ? ??, ?? ? ) 6?

f ? 0 ? ? 3 ,则函数 f (3) ?
A. ? 3 B. 3 C. ?2
2 2

D. 2

8.设过点 (0, b) 且斜率为 1 的直线与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相切,则 b 的值为 A. 2 ? 2 B. 2 ? 2 2 C. 1 ? 2 D.

2 ?1

9.对于平面 ? 和直线 m, n ,下列命题中假命题的个数是 ... ①若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? ;②若 m // ? , n // ? ,则 m // n ;③若 m // ? , n ? ? , 则 m // n ; A.1 个 ④若 m // n , n // ? ,则 m // ? B. 2 个 C. 3 个 D.4 个

10.各项互不相等的有限正项数列 ?a n ? ,集合 A ? a1, a 2, ..., a n ,

?

? ,集合 B ? ?(a , a )
i j

ai ? A, a j ? A, ai ? a j ? A ,1 ? i, j ? n? ,则集合 B 中的元素至多有(
A.

)个. D. n ? 1

n(n ? 1) 2

B. 2

n ?1

?1

C.

(n ? 2)(n ? 1) 2

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.函数 f ( x) ?

lg x 的定义域是 1? 4x


▲ . 、

12.在等差数列{ an }中, a15 ? 33, a25 ? 66 ,则 a35 ?

13.从某项综合能力测试中抽取 50 人的成绩,统计如表,则这 50 人成绩的平均数等于 ▲ 方差为 ▲ .

分数 人数

5 10

4 5

3 15

2 15

1 5

( )



14.(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的 x 轴的非负半轴为极轴,曲线 l1 的极坐标系方 程为 ? sin ? ? ?

? ?

??

2 x ? 1 ? 2t (为参数) 则 l 直线 l2 的参数方程为 , 1 ( ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ) , ?? y ? 2t ? 2 4? 2


?

与 l2 的交点 A 的直角坐标是

15. (几何证明选讲选做题)如图,在 Rt ?ABC 中,斜边 AB ? 12 ,直角边 AC ? 6 ,如果以 C 为 圆心的圆与 AB 相切于 D ,则 ? C 的半径长为____ ▲ ___.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , cos B ? (2)求 sin ? B ?

4 .(1)求 cos( A ? C ) 的值; 5

? ?

??

??? ??? ? ? ? 的值;(3)若 BA?BC ? 20 ,求 ?ABC 的面积. 6?

17. (本题满分 12 分) 设 {an } 为等差数列, S n 为数列 {an } 的前 n 项和,已知 S7 ? 7, S15 ? 75 . (1)求数列 {an } 的通项公 式 an ; (2)设 bn ? 8 ? 2 n , Tn 为数列 ?n ? bn ? 的前 n 项和,求 Tn .
a

18. (本题满分 14 分) 某中学高三实验班的一次数学测试成绩的茎叶图(图 3)和频率分布直方图(图 4)都受到不同程 度的破坏,可见部分如下图所示,据此解答如下问题。

(1)求全班人数及分数在 [80,90) 之间的频数; (2)计算频率分布直方图中 [80,90) 的矩形的高; (3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生的答题情况,在抽取的试卷中, 求至少有一份分数在[90,100]之间的概率。 19.(本小题满分 14 分) 已知四棱锥 P ? ABCD (图 5) 的三视图如图 6 所示, ?PBC 为正三角形, PA 垂直底面 ABCD ,俯视图是直角梯形. (1)求正视图的面积; (2)求四棱锥 P ? ABCD 的体积; (3)求 证: AC ? 平面 PAB ;

20. (本小题满分 14 分) 设 F1 , F2 分别是椭圆 C: (1)设椭圆 C 上的点 ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点. a 2 b2

? 2 3? 2 2 ,写出椭圆 C 的方程; F,F ? 2 , 2 ? 到 1 2 两点距离之和等于 ? ? ?

(2)设过(1)中所得椭圆上的焦点 F2 且斜率为 1 的直线与其相交于 A, B ,求 ?ABF1 的面积; (3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线与椭圆相交于 M,N 两点,当直线 PM ,PN 的 斜率都存在,并记为 k PN , k PN 试探究 k PN ? k PN 的值是否与点 P 及直线有关,并证明你的结论。

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ?
a ? 2 ln x (a ? R ) . x

(Ⅰ)若 a ? 3 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间;
a (Ⅲ)设函数 g ( x) ? ? .若至少存在一个 x0 ? [1, e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的取值范 x

围.

肇庆市中小学教学质量评估 2013 届高中毕业班第二次模拟试题 数
一、选择题: 1 2 题号 D A 答案

学(文科)参考答案

3 B

4 D

5 C

6 C

7 A

8 C

9 D

10 A

解析:
1D 解析: a ? bi ? (1 ? i )(2 ? i ) ? a ? bi ? 3 ? i ? a ? b ? 4 2A 解析: N ? {x | x ? 5 x ? 4 ? 0} ? {x |1 ? x ? 4} ? M ? N ? {x |1 ? x ? 3}
2

3B 解析: AB ?BC ? AB ? BC cos ? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

? ?

??

? 1? ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ?2 3? ? 2?

? 4D 解析: y ? sin x 与 y ?| x | 是偶函数,, y ? x ? x ?? 是非奇非偶函数,故选 D.

5C 解析:画图可知,四个角点分别是 A(0, ?2), B (1, ?1), C (1,1), D(0, 2) ,可知 zmax ? z A ? 6 6C 解: 程序执行的过程如下:

k ? 0, s ? 0 ,符合 s ? 100 , s ? 0 ? 20 ? 1, k ? 1 ;符合 s ? 100 , s ? 1 ? 21 ? 3, k ? 2 ;
符合 s ? 100 , s ? 3 ? 2 ? 7, k ? 3 ;符合 s ? 100 , s ? 7 ? 2 ? 15, k ? 4 ;
2 3

符合 s ? 100 , s ? 15 ? 2 ? 31, k ? 5 ;符合 s ? 100 , s ? 31 ? 2 ? 63, k ? 6 ;
4 5

符合 s ? 100 , s ? 63 ? 2 ? 100, k ? 7 ;不符合 s ? 100 ,故输出 k ? 7 .
6

7A 解析: A ? 2 3, ? ? ? ? f ( x) ? 2 3 sin ? ? x ?

? ?

??

?? ? ? ? f (3) ? 2 3 sin ? 3? ? ? ? ? 3 6? 6? ?
|1 ? b | ? 1 ,∴ b 2

8C 解析:设直线方程为 l : y ? x ? b ,圆心 (1, 0) 到直线的距离等于半径 1,∴

的值为 1 ? 2 ,选 C. 9D 解析:四个命题全错 10A 解析: 利用特殊值法进行求解.设集合 A ? ?1, 2,3? , 则由 B ? {(2,1), (3, 2), (3,1)} 知 C 不正确;

设集合 A ? ?1, 2,3, 4? ,则由 B ? {(2,1), (3,1), (3, 2), (4,1), (4, 2), (4,3)} 知 B,D 不正确;故选 A

二、填空题:
11. ? 0,

? ?

1? 1? ? ? (或 ? x | 0 ? x ? ? ) 4? 4? ?
15.

12. 99

13. 3

(2 分),

8 5

(3 分)

14.

(1, 2)

3 3

11 解析:由 ?

?x ? 0 1 ?0? x? 4 ?1 ? 4 x ? 0

12 解析 1:由 ? 解析 2: d ?

?a1 ? 14d ? 33 ?a ? ?13.2 ?? 1 ? a35 ? ?23.2 ? 34 ? 3.3 ? 99 ?a1 ? 24d ? 66 ?d ? 3.3
a25 ? a15 ? 3.3 , a35 ? a25 ? 10d ? 99 . 25 ? 15

解析 2:由等差数列的性质可知 a15 , a25 , a35 成等差数列,所以 2a25 ? a15 ? a35 ? a35 ? 99 13 解析:? x ?

50 ? 20 ? 45 ? 30 ? 5 ? 3, 50

1 ? S 2 ? [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n 1 8 ? [10 ? 22 ? 5 ?12 ? 15 ?12 ? 5 ? 22 ] ? 50 5
14 解析: ? sin ? ? ?

? ?

??

2 ? ? 2 ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? y ? x ?1 ?? 4? 2 4 4 2
,由 ?

? xy ??12?t ?2t2 ? x ? y ? 3
∴CD=AC· sinA=6× 三、解答题

?x ? y ? 3 ?x ? 1 ?? ? A(1, 2) ?y ? x ?1 ?y ? 2
1 AB,∴∠B=30° ,∠A=90° -∠B=60° . 2

15.解析:在 Rt△ABC 中,∵AB=12,AC=6,即 AC=

3 ?3 3. 2
(1 分) (3 分)
2

16 解:(1)在 ?ABC 中,∵ A ? B ? C ? ? ,∴ A ? C ? ? ? B ∵ cos B ?

4 4 ,∴ cos( A ? C ) ? cos(? ? B ) ? ? cos B ? ? 5 5

3 4 ?4? (2) 在 ?ABC 中,∵ cos B ? ,∴ sin B ? 1 ? cos 2 B ? 1 ? ? ? ? 5 5 ?5?

(5 分)

3 3 1 4 3 3?4 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? sin B cos ? sin cos B ? ? 5 2 2 5 10 6? 6 6 ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? (3) ∵ BA?BC ? 20 ,即 BA BC cos B ? 20 ,
∴ sin ? B ? ∴c?a?

(8 分)

(9 分) (10 分) (12 分)

4 ? 20 ,即 ac ? 25 5 1 1 3 15 ∴ ?ABC 的面积 S ?ABC ? ac sin B ? ? 25 ? ? 2 2 5 2 1 n(n ? 1)d , 2

17 解: ( 1) 设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 S n ? na1 ? ∵ S7 ? 7, S15 ? 75 , ∴?

(1 分)

?7 a1 ? 21d ? 7, ?15a1 ? 105d ? 75.

(3 分)

∴?

?a1 ? ?2 . ?d ? 1

(6 分)

∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?2 ? n ? 1 ? n ? 3 (2)由(1)得 bn ? 8 ? 2
an

(7 分) (8 分) (9 分)

? 23 ? 2 n ? 3 ? 2 n

∴ Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n

? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? (2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2 n )
? 1 2(1 ? 2n ) n(n ? 1) ? 2 1? 2
n ?1

(11 分)

?2

n2 n ? ? ?2 2 2

(12 分)

18 解: (1)由茎叶图可知,分数在 [50, 60) 之间的频数为 2,频率为 0.008 ? 10 ? 0.08 ,所以全班 人数为 n ?

2 ? 25 (人) 0.08

(2 分) (3 分) (5 分) (7 分)

故分数在 [80,90) 之间的频数为 n1 ? 25 ? 2 ? 7 ? 10 ? 2 ? 4 .

4 ? 0.16 25 0.16 所以频率分布直方图中 [80,90) 的矩形的高为 ? 0.016 10
(2) 分数在 [80,90) 之间的频数为 4, 频率为

(3)用 a, b, c, d 表示 [80,90) 之间的 4 个分数,用 e, f 表示 [90,100] 之间的 2 个分数,则满足条 件的所有基本事件为: (a, b), (a, c), (a, d ) , (a, e), (a, f ), (b, c), (b, d ) , (b, e) , (b, f ) ,

(c, d ), (c, e)(c, f ), (d , e), (d , f ), (e, f ) 共 15 个,
其中满足条件的基本事件有:

(10 分)

(a, e), (a, f ), (b, e) , (b, f ) , (c, e)(c, f ), (d , e), (d , f ), (e, f ) 共 9 个
所以至少有一份分数在[90,100]之间的概率为

(12 分) (14 分) (1 分) (2 分)

9 3 ? . 15 5

18 解: (1)过 A 作 AE // CD ,根据三视图可知,E 是 BC 的中点, 且 BE ? CE ? 1 , AE ? CD ? 1 又∵ ?PBC 为正三角形,∴ BC ? PB ? PC ? 2 ,且 PE ? BC ∴ PE 2 ? PC 2 ? CE 2 ? 3 ∵ PA ? 平面 ABCD , AE ? 平面 ABCD ,∴ PA ? AE ∴ PA ? PE ? AE ? 2 ,即 PA ?
2 2 2

(3 分) (4 分) (5 分) (6 分)

2

正视图的面积为 S ?

1 ? 2? 2 ? 2 2

(2)由(1)可知,四棱锥 P ? ABCD 的高 PA ? 底面积为 S ?

2,

(7 分) (8 分)

AD ? BC 1? 2 3 ? CD ? ?1 ? 2 2 2

∴四棱锥 P ? ABCD 的体积为 VP ? ABCD ?

1 1 3 2 S ? PA ? ? ? 2 ? 3 3 2 2

(10 分) (11 分)

(3)证明:∵ PA ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD ,∴ PA ? AC ∵在直角三角形 ABE 中, AB ? AE ? BE ? 2
2 2 2

在直角三角形 ADC 中, AC 2 ? AD 2 ? CD 2 ? 2 ∴ BC 2 ? AA2 ? AC 2 ? 4 ,∴ ?BAC 是直角三角形 ∴ AC ? AB 又∵ AB ? PA ? A ,∴ AC ? 平面 PAB

(12 分) (13 分)

(14 分)

? ? 2 ?2 ? 3 ?2 ?? ? ? ? ? 2 3? ?? 2 ? ? 2 ? ?1 20 解: (1)由于点 ? 在椭圆上,所以 ? ? ? 2 , 2 ? ? 2 b2 ? a ? ? ? 2a ? 2 2 ?

(2 分)

解得 ?

?a 2 ? 2 ? , 2 ?b ? 1 ?
x2 ? y2 ? 1 2

(4 分)

故椭圆 C 的方程为

(5 分)

(2)由(1)知椭圆 C 的左右焦点坐标分别为 F1 (?1, 0), F2 (1, 0) , | F1 F2 |? 2 所以, 过椭圆的焦点 F2 且斜率为 1 的直线方程为 y ? x ? 1 将其代入

4 x2 ? y 2 ? 1 ,整理得 3 x 2 ? 4 x ? 0 ,解得 x1 ? 0, x2 ? 2 3 4 1 时, y2 ? 3 3

当 x1 ? 0 时, y1 ? ?1 ,当 x2 ? 所以 ?ABF1 的面积:

S ?ABF1 ? S ?AF1F2 ? S ?BF1F2 ?
分) (3)过原点的直线 L 与椭圆

1 1 1 1 1 4 | F1 F2 | ? y1 ? | F1 F2 | ? y2 ? ? 2 ? 1 ? ? 2 ? ? 2 2 2 2 3 3

(9

x2 ? y 2 ? 1 相交的两点 M,N 关于坐标原点对称,设 M ( x0 , y0 ) , 2
2 x0 x2 2 ? y0 ? 1, ? y 2 ? 1 2 2

N (? x0 , ? y0 ) , P( x, y ) , M , N , P在椭圆上,应满足椭圆方程 ,得
两式相减得
2 y 2 ? y0 1 ?? 2 2 x ? x0 2

又∵ PN k

2 y ? y0 y ? y0 y 2 ? y0 1 y ? y0 y ? y0 k ? ? 2 ?? ,∴ PN ? k PN ? ? , k PN ? 2 x ? x0 x ? x0 x ? x0 2 x ? x0 x ? x0

故: k PN ? k PN 的值与点 P 的位置无关,同时与直线无关.

(14 分)

21 解:函数的定义域为 ? 0, ?? ? ,

(1 分) (2 分)

1 2 ax 2 ? 2 x ? a )? ? . x2 x x2 1 (Ⅰ)当 a ? 3 时,函数 f ( x) ? 3( x ? ) ? 2 ln x , f (1) ? 0 , f ?(1) ? 4 . x f ?( x) ? a(1 ?
所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 0 ? 4( x ? 1) , 即 4x ? y ? 4 ? 0 . (Ⅱ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ?? ) . (i)当 a ? 0 时, h( x) ? ax 2 ? 2 x ? a ? 0 在 (0, ?? ) 上恒成立, 则 f ?( x) ? 0 在 (0, ?? ) 上恒成立,此时 f ( x ) 在 (0, ?? ) 上单调递减. (2)当 a ? 0 时, ? ? 4 ? 4a 2 , (ⅰ)若 0 ? a ? 1 , 由 f ?( x) ? 0 ,即 h( x) ? 0 ,得 x ?

(4 分)

(5 分)

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 或x ? ; a a

(6 分)

由 f ?( x) ? 0 ,即 h( x) ? 0 ,得

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ?x? . a a 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ) 和( , ??) , a a

(7 分)

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,

单调递减区间为 (

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , ). a a

(8 分)

(ⅱ)若 a ? 1 , h( x) ? 0 在 (0, ?? ) 上恒成立,则 f ?( x) ? 0 在 (0, ?? ) 上恒成立,此时 f ( x ) 在

(0, ?? ) 上单调递增.
(Ⅲ) )因为存在一个 x0 ? [1,e] 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) , 则 ax0 ? 2 ln x0 ,等价于 a ?

(9 分)

2 ln x0 . x0

(10 分)

令 F ( x) ?

2 ln x ,等价于“当 x ? ?1, e ? 时, a ? F ? x ?min ”. x
2(1 ? ln x) . x2
(11 分)

对 F ( x) 求导,得 F ?( x) ?

因为当 x ? [1, e] 时, F ?( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在 [1, e] 上单调递增. 所以 F ( x) min ? F (1) ? 0 ,因此 a ? 0 . 另解:
设 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ax ? 2 ln x ,定义域为 ? 0, ?? ? , F ? ? x ? ? a ? 依题意,至少存在一个 x0 ? [1, e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, 等价于当 x ? ?1, e ? 时, F ? x ?max ? 0 . (1)当 a ? 0 时,

(13 分) (14 分)

2 ax ? 2 . ? x x

(9 分)

F ? ? x ? ? 0 在 ?1, e ? 恒成立,所以 F ? x ? 在 ?1, e ? 单调递减,
只要 F ? x ?max ? F ?1? ? a ? 0 ,则不满足题意. (2)当 a ? 0 时,令 F ? ? x ? ? 0 得 x ? (ⅰ)当 0 ? (10 分)

2 . a

2 ? 1 ,即 a ? 2 时, a

在 ?1, e ? 上 F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1, e ? 上单调递增,所以 F ? x ?max ? F ? e ? ? ae ? 2 ,

2 ,所以 a ? 2 . e 2 2 (ⅱ)当 ? e ,即 0 ? a ? 时, a e
由 ae ? 2 ? 0 得, a ?

(11 分)

在 ?1, e ? 上 F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1, e ? 单调递减,所以 F ? x ?max ? F ?1? ? a , 由a ? 0得0 ? a ? (ⅲ)当 1 ?

2 . e

(12 分)

2 2 2 2 在 [1, ) 上 F ? ? x ? ? 0 ,在 ( , e] 上 F ? ? x ? ? 0 , ? e ,即 ? a ? 2 时, a e a a 2 2 所以 F ? x ? 在 [1, ) 单调递减,在 ( , e] 单调递增, a a 2 F ? x ?max ? 0 ,等价于 F ?1? ? 0 或 F ? e ? ? 0 ,解得 a ? 0 ,所以, ? a ? 2 . e
(14 分)

综上所述,实数 a 的取值范围为 (0, ??) .


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