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广东省2013届高三数学最新理科试题分类汇编5:数列 Word版(含答案)_图文

广东省 2013 届高三最新理科试题精选(37 套含 13 大市区的二模)分类汇 编 5:数列
一、选择题 1 . (广东省韶关市 2013 届高三第三次调研考试数学(理科)试题 (word 版) ) 已知等差数列 {an }

的前 n 项和为 S n ,且 S2 = 10, S5 = 55 ,则过点 P (n, an ) 和 Q(n + 2, an+ 2 )
( n ? N )的直线的斜率是
*

( C .2 D.1



A.4
【答案】A

B.3

2 . (广东省汕头一中 2013 年高三 4 月模拟考试数学理试题 ) 正项等比数列 {an } 满足

a3 ? 1 , S3 ? 13 , bn ? log3 an ,则数列 {bn } 的前 10 项和是
A.65
【答案】D

( D. ?25



B. ?65

C.25

3 . (广东省珠海一中等六校 2013 届高三第一次联考数学(理)试题)已知等比数列

?an ? 中,


各项都是正数,且 a1 , A. 1 ? 2
【答案】C

1 a ?a a3 ,2a 2 成等差数列,则 8 9 等于 2 a6 ? a7
B. 1 ? 2 C. 3 ? 2 2 D. 3 ? 2 2



4 . (广东省中山市 2013 届高三上学期期末统一考试数学(理)试题)等差数列 {an } 的前 n 项

和为 Sn ,若 a2 ? a7 ? a12 ? 30 ,则 S13 的值是 A.130
【答案】A

( C.70 D.75



B.65

5 . (广东省湛江一中等 “十校”2013 届高三下学期联考数学(理)试题) 等差数列 ?a n ? 中,

已知 a3 ? 5 , a2 ? a5 ? 12 , an ? 29 ,则 n 为 A. 13
【答案】C

( D. 16



B. 14

C. 15

6 . (广东省汕头市东山中学 2013 届高三第二次模拟考试数学 (理) 试题 (详解) ) 等比数列 {an }

中,已知 a2 ? 2, a6 ? 8 ,则 a4 ? A. ? 4
【答案】D

( C. ? 4 D.4



B.16

7 . (广东省汕头市第四中学 2013 届高三阶段性联合考试数学(理)试题)设等差数列

?an ? 的

公差 d ≠0, a1 ? 4d .若 ak 是 a1 与 a2 k 的等比中项,则 k ? A.3 或 -1 【答案】C B.3 或 1 C .3 D.1





8 . (广东省汕头市 2013 届高三 3 月教学质量测评数学(理)试题)在等差数列{ an }中,首项

a1=0,公差 d≠0 若 ak ? a1 ? a2 ? A.45
【答案】B

? a10 ,则 k=
C.47 D.48





B.46

9 . (广东省茂名市实验中学 2013 届高三下学期模拟(二)测试数学(理)试题(详解) )在等

比数列{ an }中,已知 a2 ? a3 =1, a4 ? a5 =2,则 a8 ? a9 等于 A.2 2
【答案】C

( D.16



B.4

C .8

10. (广东省揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟数学(理)试题(含解析) )已知等差数列

{an } 满足, a1 ? 0,5a8 ? 8a13 ,则前 n 项和 S n 取最大值时,n 的值为
A.20 B.21 C.22 D.23





3 【答案】 B 由 5a8 ? 8a13 得 5(a1 ? 7 d ) ? 8( a1 ? 12d ) ? d ? ? a1 ,由 an ? a1 ? (n ? 1)d 61 3 64 1 ? a1 ? (n ? 1)(? a1 ) ? 0 ? n ? ? 21 ,所以数列 {an } 前 21 项都是正数,以后各 61 3 3
项都是负数,故 S n 取最大值时,n 的值为 21,选
2

B.

11. (广东省华附、省实、深中、广雅四校 2013 届高三上学期期末联考数学(理)试题)在正

项等比数列{an}中,a1 和 a19 为方程 x -10x+16=0 的两根,则 a8·a10·a12 等于 ( A.16 B.32 C.64 D.256 2 【答案】解:由已知有 a1·a19=16,又 a1·a19=a10 ,∴在正项等比数列中,a10=4. 3 ∴a8·a10·a12=a10 =64.选 C.



12. (广东省潮州市 2013 届高三上学期期末教学质量检测数学(理)试题)等比数列 { an } 中

1 a1 ? 512,公比 q ? ? ,记 ?n ? a1 ? a 2? 2

? an (即 ? n 表示
( )

数列 { an } 的前 n 项之积), ?8 , ?9 , ?10 , ? 11 中值为正数的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B 等比数列 { an } 中 a1

? 0 ,公比 q ? 0 ,故奇数项为正数,偶数项为负数,
B.

∴ ?11 ? 0 , ?10 ? 0 , ?9 ? 0 , ?8 ? 0 ,选

13 . (广东省汕头市 2013 年普通高中高三教学质量测试试题 ( 二 ) 理科数学试卷) 已知数列

?an?,?bn ?

都 是 公 差 为

1

的 等 差 数 列 , 其 首 项 分 别 为 a1 , b



a1 ? b1 ? 5, a1 ? b1, a1, b2 ? N * ,则数列 ?bn ? 的前 10 项和等于
A.55
【答案】C

( D.100



B.70

C.85

14. (广东省茂名市 2013 届高三 4 月第二次高考模拟数学理试题(WORD 版) )已知等差数列共

有 10 项,其中奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差是 A.5 B.4 C .3 D.2 【答案】C





15. (广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题)设 f ( x ) 是定义在

(0,1) 上 的 函 数 , 对 任 意 的 y ? x ? 1 都 有 f (

y?x 1 1 ) ? f ( )? f ( ) , 记 xy ? 1 x y
( )

an ? f (

8 1 ? )( n ? N ) , 则 ai = ? n 2 ? 5n ? 5 i ?1

A. f ( )

1 2

B. f ( )

1 3

C. f ( )

1 4

D. f ( )

1 5

【答案】因

an ? f (

? (n ? 3) ? (n ? 2) ? 1 1 1 )? f ? ? ? f ( n ? 2 ) ? f ( n ? 3) , 故 n ? 5n ? 5 ? (n ? 3)(n ? 2) ? 1 ?
2

?a
i ?1

8

i

? a1 ? a2 ?

1 1 1 1 ? a8 ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? 3 4 4 5
C.

1 1 ? f ( )? f ( ) 10 11

1 1 11 ? 3 1 ? f ( )? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ,故选 3 11 11? 3 ? 1 4

16. (广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题) 在等差数列

?an ? 中,


首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 am ? a1 ? a2 ? A.37
【答案】由 am

? a9 ,则 m 的值为
C.20 D.19



B.36

? a1 ? a2 ?

? a9 得 (m ?1)d ? 9a5 ? 36d ? m ? 37 ,选





A.
17( .广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测 (佛山二模) 数学理试题) 已知数列 {a n }

是等差数列,若 a3 ? a11 ? 24, a 4 ? 3 ,则数列 {a n } 的公差等于 A.1
【答案】B 二、填空题

( D.6



B.3

C .5

18. (广东省汕头一中 2013 年高三 4 月模拟考试数学理试题 )观察下列的图形中小正方形的

个 数 , 则 第 6 个 图 中 有 _______ 个 小 正 方 形 , 第 ______________________________个小正方形

n 个 图 中 有

【答案】 28 、

(n ? 1)( n ? 2) ; 2

19. (广东省东莞市 2013 届高三第二次模拟数学理试题) 已知等比数列 {an } 的前 n 项和为

S n , a 4 ? a8 ? 2 , S11 =________.
【答案】11 20. (广东省珠海一中等六校 2013 届高三第二次联考数学(理)试题) 等比数列 {an } 中,若

1 a1 ? , a4 ? ?4 ,则 a1 ? a2 ? 2 1 n ?1 【答案】 2 ? 2

? an ? ____________.

21 . ( 广东 省肇庆市 2013 届 高三上学 期期末统 一检测 数学(理 )试题) 等比数列 { an }

中, a1 ? a2 ? 20, a3 ? a4 ? 40 ,则 a5 ? a6 等于_________
【 答 案 】





:

80

?a1 ? a1q ? 20 ? q 2 ? 2 , a5 ? a6 ? a1q4 ? a1q5 ? q2 (a1q2 ? a1q3 ) ? 80 ? 2 3 ?a1q ? a1q ? 40
22. (广东省深圳市南山区 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)已知等差数列 {an } 的

公 差 d ? 0 , 它 的 第 1 、 5 、 17 项 顺 次 成 等 比 数 列 , 则 这 个 等 比 数 列 的 公 比 是 _________________. 【答案】3 23. (广东省汕头市第四中学 2013 届高三阶段性联合考试数学(理)试题)将全体正奇数排成 一个三角形数阵: 1 3.5 7.9 11 13.15 17 19 按照以上排列的规律,第 n 行(n ≥3)从左向右的第 3 个数为_______.
【答案】 n ? n ? 5
2

24. (广东省汕头市 2013 届高三上学期期末统一质量检测数学(理)试题)已知数列{ an }的前

几项为:

1 9 25 , ?2, , ?8, , ?18 ??? 用观察法写出满足数列的一个通项公式 an =___ 2 2 2

【答案】 ( ?1)

n ?1

?

2 n2 n ?1 n ,或 (?1) ? (注意,本题答案有多种可能,只要学生给出的通 2 2

项公式计算出的前几项满足就可以判正确)
25. (广东省茂名市 2013 届高三第一次模拟考试数学(理)试题)已知等比数列 {an } 的公比 q
2 为正数,且 a3 ? a9 ? 2a5 ,则 q =________.

【答案】

2;

26( .广东省江门市 2013 年高考模拟考试 (即一模) 数学 (理) 试题 ) 已知数列 ?a n ? 的首项 a1

? 1,

若 ?n ? N ? , a n ? a n ?1 ? ?2 ,则 a n ? _______.

【答案】 a n

?1 , n 是正奇数 1 3 ?? ,或 a n ? ? ? (?1) n ?1 2 2 ?? 2 , n 是正偶数
数 对 按 如 下 规 律 排 成 一

27. (广东省华附、省实、深中、广雅四校 2013 届高三上学期期末联考数学(理)试题)已知





列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),,则第 60 个数 对是_*****_.
【答案】答案:(5,7),

解 : 按规律分组 : 第一组 (1,1); 第二组 (1,2),(2,1); 第三组 (1,3),(2,2),(3,1); 则前 10 组共有 10×11 =55 个有序实数对. 2 第 60 项应在第 11 组中,即(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),,(11,1)中的第 5 个,因此第 60 项为 (5,7).
28. (广东省海珠区 2013 届高三上学期综合测试一数学(理)试题)将石子摆成如图 3 的梯形

形状.称数列 5,9,14, 20, 第 n 项 an ? __________.

为“梯形数”.根据图形的构成,数列第 6 项 a6 ? ________;

图3

【答案】 35 ;

? n ? 1?? n ? 4 ?
2

29. (广东省广州市 2013 届高三调研测试数学 (理) 试题) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,

若 a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,则 S7 的值为 ________.

【答案】 28

分析 : 方法一、 ( 基本量法 ) 由 a3 + a4 + a5 = 12 得 a1 + 2d + a1 +3d + a1 + 4d = 12 , 即

3a1 ? 9d ? 12 ,
化简得 a1 + 3d

= 4 ,故 S7 = 7a1 +

7? 6 d = 7(a1 + 3d ) = 7 ? 3 28 2

方 法 二 、 等 差 数 列 中 由 a1 + a7 = a3 + a5 = 2a4 可 将 a3 + a4 + a5 = 12 化 为

3 (a1 + a7 ) = 12 , 2
即 a1 + a7

= 8 ,故 S 7 =

7(a1 + a7 ) = 28 2

30. (广东省广州市 2013 届高三 3 月毕业班综合测试试题(一)数学(理)试题)已知经过同

(n ? N * ,n ? 3)个平面,任意三个平面不经过同一条直线.若这 n 个平面将空 一点的 n
间分成 f

? n ? 个部分,则 f ? 3?
2

? ___________, f ? n ? ? _______________.

【答案】8, n

?n?2
S n =______

31. (广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学理试题(WORD 版) )已知{an}的前 n

项之和为

S n ,a
3 2

1

=1, S n = 2a n+1 , 则

【答案】 ( )

n ?1

32. (广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题(2013深圳二模) )在 n ? n 的方格中

进行跳棋游戏.规定每跳一步只能向左,或向右,或向上,不能向下,且一次连续行走的路 径中不能重复经过同一小方格.设 f ( n) 表示从左下角“○”位置开始,连续跳到右上角 “☆”位置结束的所有不同路径的条数.如图4,给出了 n ? 3 时的一条路径.则 f (3) ? _________; f (n) ? ____________.

【答案】 9

n n ?1

33. (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题) 将集合

{ 2 s ? 2t | 0 ? s ? t 且 s, t ? Z } 中的元素按上小下大 ,左小右大的顺序排成如图的三角 形数表,将数表中位于第行第 j 列的数记为 bi j ( i ? j ? 0 ),则 b65 =________.

3 5 9 10
第 13 题图
【答案】 80 34. (广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学理试题(WORD 版) )在等差数列 {an } 中,有

6 12

a6 ? a7 ? a8 ? 12 ,则此数列的前 13 项之和为__________ .
【答案】 【解析】 等差数列

?an? 中,有 a 6 ? a 7 ? a 8 ? 3a 7 ,? a 7 ? 4,? S 13 ? 13a 7 ? 52

,

故此数列的前 13 项之和为 52 .
35. (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试(二)数学理试题(WORD 版) )数列 {a n } 的项是

由 1 或 2 构成,且首项为 1,在第 k 个 1 和第 k ? 1 个 1 之间有 2k ? 1 个 2,即数列 {a n } 为 :1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,, 记 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n , 则

S 20 ? ___; S 2013 ? ___.
【答案】 36 ; 3981 36. (广东省潮州市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)已知等差数列

?an ? 的首项

a1 ? 1 ,前三项之和 S 3 ? 9 ,则 ?an ? 的通项 an ? ____.
【答案】 2n ? 1 . 三、解答题 37. (广东省韶关市 2013 届高三第三次调研考试数学(理科)试题(word 版) )已知数列

?an ?

中, a1 ? 1, an?1an?1 ? an an?1 ? an (Ⅰ)求证: k ? 1 ; (Ⅱ)设 g ( x) ?

2

? n ? N? , n ? 2? ,且

an?1 ? kn ? 1, an

an xn?1 , f ? x ? 是数列 ?g ? x ?? 的前 n 项和,求 f ( x ) 的解析式; ? n ?1?!
3 g ? 3? 对 n ? N? 恒成立. n

(Ⅲ)求证:不等式 f ? 2 ? ?

【答案】.解:

an ?1 ? kn ? 1 an



a2 ? a2 ? k ? 1, a1

又因为 a1 ? 1, an?1an?1 ? an an?1 ? an 2 ? n ? N? , n ? 2? 则 a3a1 ? a2 a1 ?a22 ,即

a3 a ? a2 ? 1, 又 3 ? 2k ? 1,? a2 ? 2k a2 a2
4

所以 k ? 1 ? a2 ? 2k ,? k ? 1 , (2)

an ?1 ? n ? 1, an an an?1 a ? ?????? 2 ? a1 = n ? ? n ?1? ? ... ? 2 ?1 ? n! 6 an?1 an?2 a1

an ?

因为 g ? x ? ?

an xn?1 n ?1 = nx ? n ?1?!
n ? n ? 1? 7 2

所以,当 x ? 1 时, f ? x ? ? f ?1? ? 1 ? 2 ? 3 ? ...... ? n ? 当 x ? 1 时, f ? x ? ? 1 ? 2x ? 3x ? ... ? nx
2 n?1

.(1)

?1? ? x 得 xf ? x? ? x ? 2x2 ? 3x3 ? ... ? ? n ?1? xn?1 ? nxn (2) ?1? ? ? 2? : ?1? x? f ? x? ? 1? x ? x2 ? ... ? xn?1 ? nxn
=

1 ? xn ? nx n 1? x
1 ? xn

? f ? x? ?

?1 ? x ?

2

?

nx n 1? x

9

? n(n ? 1) , x ?1 ? ? 2 综上所述: f ( x) ? ? 10 n n 1 ? x nx ? ? , x ?1 ? (1 ? x)2 1 ? x ?

(3)因为? f ? 2 ? ?

1 ? 2n

?1 ? 2 ?

2

n2 n ? ? ? n ? 1? 2 n ? 1 1? 2



3 g ? 3? ? 3n ,易验证当 n ? 1, 2 ,3 时不等式不成立; 11 n

假设 n ? k ? k ? 3? ,不等式成立,即 3k ? ? k ?1? 2k ?1 两边乘以 3 得: 3k ?1 ? 3? k ?1? 2k ? 3 ? k ? 2k ?1 ?1? 3? k ?1? 2k ? k 2k ?1 ? 2 又因为 3? k ?1? 2k ? k ? 2k ?1 ? 2 ? 2k ?3k ? 3 ? 2k ? ? 2 ? ? k ? 3? 2k ? 2 ? 0 所以 3k ?1 ? k ? 2k ?1 ? 1 ? 3? k ?1? 2k ? k 2k ?1 ? 2 ? k ? 2k ?1 ? 1 即 n ? k ? 1 时不等式成立.故不等式恒成立. 14
38. (广东省汕头一中 2013 年高三 4 月模拟考试数学理试题 ) 已知数列
? 点 ? n, S n ? n ? N 均在函数 y ? 3x 2 ? 2 x 的图像上.

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,

?

?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

(2) 设 bn ?

m 3 , Tn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和 ,求使得 Tn ? 对所有 n ? N ? 都成立 20 a n a n ?1

的最小正整数 m .
【 答 案 】

(1)







:

Sn ? 3n2 ? 2n

-----------------------------当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ;当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 6n ? 5 ∴ an ? 6n ? 5 (2)∵ bn ? -----

1? 1 1 ? ? ? ? ? 6n ? 5?? 6n ? 1? 2 ? 6n ? 5 6n ? 1 ? ? 3

--

∴ Tn ? -

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2? ?? 7 ? ? 7 13 ?

1 ?? 1 ? 1 ? ? 1 ?? ? ? ? ? ?1 ? ? ----------? 6n ? 5 6n ? 1 ?? 2 ? 6n ? 1 ?

? 依题意: ?n ? N , Tn ?

m 1 ? ? ? ,即: ?n ? N , m ? 10 ?1 ? ? 20 ? 6n ? 1 ?
--

∴ m ? 10 ,即:最小的正整数 m ? 10

39. (广东省东莞市 2013 届高三第二次模拟数学理试题)设等差数列 {a n } 的公差 d

? 0 ,数列

{bn } 为等比数列,若 a1 ? b1 ? a , a3 ? b3 , a 7 ? b5 .
(1)求数列 {bn } 的公比 q ; (2)将数列 {a n } , {bn } 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列 {c n } ,是否 存在正整数 ? , ? , ? (其中 ? ? ? ? ? )使得 ? , ? , ? 和 c? ? ? , c? ? ? , c? ? ? 均成等差数 列?若存在,求出 ? , ? , ? 的值,若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)设 {bn } 的公比为 q ,由题意
2 2 ? ? ?aq ? a ? 2d ?aq ? a ? 2d ,即 ? , ? 4 4 ? ? ?aq ? a ? 6d ?aq ? a ? 6d

q ? 1 不合题意,故

q2 ?1 1 ? ,解得 q 2 ? 2 ? q ? ? 2 4 q ?1 3

(2)若 {a n } 与 {bn } 有公共项,不妨设 a n ?b m 由(1)知: m为奇数,且n ? 2
*

m ?1 2

?1
2 k ?1?1

令 m ? 2k ? 1(k ? N ) ,则 bm ? a ? ( 2 )

? a ? 2 k ?1 ,

? c n ? 2 n ?1 a
若存在正整数 ? , ? , ? (其中 ? ? ? ? ? )满足题意,设 p ? ? , q ? ? , r ? ? ,则

?2 q ? p ? r ? q ?1 p ?1 r ?1 ?2(a ? 2 ? q ) ? (a ? 2 ? p ) ? (a ? 2 ? r )
? 2 q ? 2 p ?1 ? 2 r ?1 ,又? 2 p ?1 ? 2 r ?1 ? 2 2 P ? r ? 2 ? 2
p ?1 且 p ? r ,? 2 ? 2 r ?1 ? 2 p?r 2
p?r 2

(当且仅当p ? r时取" ?" ) ,

又 y ? 2 在 R 上单调递增,? q ?
x

p?r p?r ,与题设 q ? 矛盾, 2 2

? 不存在 ? , ? , ? 满足题意
40 . ( 广 东 省 珠 海 一 中 等 六 校 2013 届 高 三 第 一 次 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 函 数

a ? 0, a ? 1 ),已知数列 f ( x1 ), f ( x2 ), ? f ( xn ),?是公差 f ( x) ? l o g a x ( a为常数且

为 2 的等差数列,且 x1 ? a 2 . (Ⅰ)求数列 {xn } 的通项公式; (Ⅱ)当 a ?
2

1 1 时,求证: x1 ? x 2 ? ? ? x n ? . 2 3

【答案】解:(Ⅰ)? f ( x1 ) ? loga a

?2

d ?2
------

? f ( xn ) ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n

即: loga xn ? 2n

xn ? a 2n
n

1 ?1? (Ⅱ)当 a ? 时, x n ? ? ? 2 ? 4?

1 ?1? 1 ?? ? ? n 4 ? 4? 4 1 ? ?1? ? 1 x1 ? x 2 ? ? ? x n ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1 3? ? 3 ? ? 4? ? 1? 4
【编号】702 【难度】较难

n

41. (广东省珠海一中等六校 2013 届高三第二次联考数学(理)试题)设

?an ? 的公比不为 1 的

等比数列,其前 n 项和为 Sn ,且 a5 , a3 , a4 成等差数列. (1)求数列 ?an ? 的公比; (2)证明:对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,
【答案】

Sk , Sk ?1 成等差数列.

解:(1)设数列 ?an ? 的公比为 q ( q ? 0,q ? 1). 由 a5,a3,a4 成等差数列,得 2a3 ? a5 ? a4 ,即 2a1q2 ? a1q4 ? a1q3 由 a1 ? 0,q ? 0 得 q ? q ? 2 ? 0 ,解得 q1 ? ?2 , q2 ? 1 (舍去),所以 q ? ?2
2

(2)证法一:对任意 k ? N ? ,

Sk ?2 ? Sk ?1 ? 2Sk ? ? Sk ?2 ? Sk ? ? ? Sk ?1 ? Sk ?

? ak ?1 ? ak ?2 ? ak ?1

? 2ak ?1 ? ak ?1 ? ? ?2? ? 0 ,
所以,对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,

Sk , Sk ?1 成等差数列

证法二:对任意 k ? N ? , 2 S k ?

2a1 ?1 ? q k ? 1? q

,

Sk ?2 ? Sk ?1 ?

a1 ?1 ? q k ? 2 ? 1? q

?

a1 ?1 ? q k ?1 ? 1? q ?

?

a1 ? 2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ? 1? q

,

2Sk ? ? Sk ? 2 ? Sk ?1 ? ?
?

2a1 ?1 ? q k ? 1? q

a1 ? 2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ? 1? q

a1 ? 2 ?1 ? q k ? ? ? 2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ?? ? 1? q ?

?

a1q k 2 ? q ? q ? 2? ? 0 , 1? q

因此,对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,

Sk , Sk ?1 成等差数列

42. (广东省中山市 2013 届高三上学期期末统一考试数学(理)试题)已知等差数列

?an ? 的公

2 差大于 0,且 a3 , a5 是方程 x ? 14x ? 45 ? 0 的两根,数列 ?bn ? 的前 n 项的和为 S n ,且

Sn ? 1 ?

1 bn ( n ? N * ). 2
(2) 记 cn ? a n ? bn ,求证: cn?1 ? cn .

(1) 求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式;
【答案】

43. (广东省肇庆市 2013 届高三上学期期末统一检测数学(理)试题)某产品在不做广告宣传

且每千克获利 a 元的前提下,可卖出 b 千克.若做广告宣传,广告费为 n 千元时比广告费 为 (n ? 1) 千元时多卖出

b ? 千克,( n ? N ). n 2 (1)当广告费分别为 1 千元和 2 千元时,用 b 表示销售量 s ;
(2)试写出销售量 s 与 n 的函数关系式; (3)当 a =50, b =200 时厂家应生产多少千克这种产品,做几千元广告,才能获利最大?
【答案】解:(1)当广告费为 1 千元时,销售量 s ? b ?

b 3b ? 2 2

当广告费为 2 千元时,销售量 s ? b ?

b b 7b ? ? 2 22 4

(2)设 s0 表示广告费为 0 千元时的销售量,

b ? ?s1 ? s 0 ? 2 ? b ? ?s 2 ? s1 ? 2 由题意得 ? 2 , ??? ? ?s ? s ? b n n ?1 ? 2n ?

以上 n 个等式相加得 sn ? s0 ?

b b b ? ? ? 2 2 2 23

?

b 2n

即s ?b?

b b b ? ? ? 2 2 2 23

?

b 2n

? ? 1 ?n ?1 ? b ?1 ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? b? 2 ? 1 ? ? ? ? ? 1 2n ? ? 1? 2

(3)当 a =50, b =200 时,设获利为 Tn ,则有

1? ? Tn ? sa ? 1000n ? 10000 ? ? 2 ? n ? ? 1000n 2 ? ?
欲使 Tn 最大,则 ?

?Tn ? Tn ?1 , ?Tn ? Tn ?1

? 1 ? 1 ? ? ? ?10000 ? ? 2 ? 2n ? ? 1000n ? 10000 ? ? 2 ? 2n ?1 ? ? 1000(n ? 1) ? ? ? ? ? 即? ?10000 ? ? 2 ? 1 ? ? 1000n ? 10000 ? ? 2 ? 1 ? ? 1000(n ? 1) ? ? ? ? ? 2n ? 2n ?1 ? ? ? ?
得?

?n ? 2 , ?n ? 4

故 n ? 3 ,此时 s ? 350

即该厂家应生产 350 千克产品,做 3 千元的广告,能获利最大.
【编号】643 【难度】较难 44 . ( 广 东 省 湛 江 一 中 等 “ 十 校 ”2013 届 高 三 下 学 期 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

f ( x) ? x ? ln(1 ? x) . 数 列 ?a n ? 满 足 0 ? a1 ? 1 , a n ?1 ? f (a n ) . 数 列 ?bn ? 满 足

b1 ?

1 1 , bn ?1 ? (n ? 1)bn , n ? N * . 2 2

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)求证: 0 ? a n ?1 ? a n ? 1 且 a n ?1 ?

an ; 2

2

(3)若 a1 ?

2 , 则当 n ? 2 时,求证: bn ? a n ? n! . 2

【答案】(1)解:因为 f ( x) ? x ? ln(1 ? x) ,所以函数定义域为 ( ?1,??)

且 f ' ( x) ? 1 ?
'

1 , 1? x

由 f ( x) ? 0, 得 ? 1 ? x ? 0, 所以 f ( x) 的单调递减区间为 (?1, 0) ;

由 f ( x) ? 0, 得 x ? 0 ,所以 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) (0,+ ? )
'

所以 f ( x) 的单调递减区间为(-1,0),单调递增区间为(0,+ ? ) (2)先用数学归纳法证明 0 ? a n ? 1 , n ? N * . (1)当 n ? 1 时,由已知得结论成立. (2)假设当 n ? k 时,结论成立,即 0 ? a k ? 1 .则当 n ? k ? 1 时, 因为 0 ? x ? 1 时, f ' ( x) ? 1 ?

1 x ? ? 0, 所以 f ( x) 在(0,1)上是增函数. x ?1 x ?1

又 f ( x) 在 [0,1] 上连续,所以 f (0) ? f (a k ) ? f (1) ,即 0 ? a k ?1 ? 1 ? ln 2 ? 1 . 故当 n ? k ? 1 时,结论也成立. 即 0 ? a n ? 1 对于一切正整数都成立 又由 0 ? a n ? 1 , 得 a n ?1 ? a n ? a n ? ln(1 ? a n ) ? a n ? ? ln(1 ? a n ) ? 0 , 从而 a n ?1 ? a n .综上可知 0 ? a n ?1 ? a n ? 1

x2 x2 构造函数 g ( x) ? ? f ( x) ? ? ln(1 ? x) ? x , 0 ? x ? 1 . 2 2
由 g ( x) ?
'

x2 ? 0 ,知 g ( x) 在 (0,1) 上为增函数. 1? x

又 g ( x) 在 [0,1] 上连续,所以 g ( x) ? g (0) ? 0 .

a a 因为 0 ? a n ? 1 ,所以 g (a n ) ? 0 ,即 n ? f (a n ) ? 0 ,从而 a n ?1 ? n 2 2
(3) 因为 b1 ?

2

2

b n ?1 1 1 , , bn ?1 ? (n ? 1)bn ,所以 bn ? 0, n ?1 ? bn 2 2 2
① ,

所以 bn ?

bn bn ?1 b2 1 ? ... ? n ? n! bn ?1 bn ? 2 b1 2

an ?1 an an a2 a3 an 2 ? ? an ?1 ? , a 2 a a a2 2 n 1 1 由(2) 知: , 所以 = a1 ?

an a a ? 1 2 an ?1 2 2

an ?1 2 ,

因为

2 2 , n≥2, 0 ? an ?1 ? an ? 1. 所以 an ? a1 ? a2 ? an ?1 ? a1 2 2 2
由①② 两式可知:

?

a1n 2a12 1 ? ? n ————② . 2n ?1 2n 2

bn ? an ? n !

45. (广东省湛江一中等“十校”2013 届高三下学期联考数学 (理) 试题) 已知数列 ?an ? 、 { bn }

满足: a = 1 , an + bn 1

4

= 1, bn+1 =

bn . (1 - an )(1 + an )

(1)求 b1 , b2 , b3 ; (2)设 cn ?

1 ,求数列 ?cn ? 的通项公式; bn ? 1

(3) 设 S n ? a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ? ... ? an an ?1 , 不等式 4aS n ? bn 恒成立时 , 求实数 a 的取 值范围.
【答案】 解:(1) bn ?1 ?

bn bn 1 ? ? (1 ? an )(1+an ) bn (2 ? bn ) 2 ? bn
∴ b2 ?

∵ a1 ?

1 3 , b1 ? , 4 4

4 5 , b3 ? 5 6

(2)解法一. ∵ bn ?1 ? 1 ?

2 ? bn 1 1 1 ?1 ∴ ? ? ?1 ? 2 ? bn bn ?1 ? 1 bn ? 1 bn ? 1

∴数列{ cn }是以-4 为首项,-1 为公差的等差数列 ∴ cn ? ?4 ? (n ? 1) ? (?1) ? ? n ? 3 解法二:

n?2 ,下面用数学归纳法证明 n?3 3 1? 2 ①当 n ? 1 时, b1 ? ? ,? n ? 1 时成立; 4 1? 3 k ?2 ②假设 n ? k 时, bk ? , k ?3 bn bn 1 1 则 n ? k ? 1 时, bn ?1 ? ? ? ? k (1 ? an )(1+an ) bn (2 ? bn ) 2 ? bn 2 ? ? 2 k ?3
猜想: bn ?

?

k ? 3 (k ? 1) ? 2 ? k ? 4 (k ? 1) ? 3

? n ? k ? 1时也成立.
故对任意 n ? N * , bn ?

n?2 成立 n?3

∴ cn ?

1 ? ?n ? 3 bn ? 1

(3)由于 cn ?

n?2 1 1 从而 an ? 1 ? bn ? ? ? n ? 3 ,所以 bn ? n?3, n?3 bn ? 1

S n ? a1a2 ? a2 a3 ? ??? ? an an ?1 ?
∴?

1 1 1 ? ? ??? 4? 5 5? 6 (n ? 3)(n ? 4)

1 1 n ? ? 4 n ? 4 4(n ? 4)

∴ 4aS n ? bn ?

an n ? 2 (a ? 1)n 2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? ? n?4 n?3 (n ? 3)(n ? 4)
2

由条件可知 (a ? 1)n ? (3a ? 6)n ? 8 ? 0 恒成立即可满足条件,设

f (n) ? (a ? 1)n 2 ? (3a ? 6)n ? 8
当 a ? 1 时, f (n) ? ?3n ? 8 ? 0 恒成立 当 a ? 1 时,由二次函数的性质知不可能成立 当 a ? 1 时 , 对称轴 n ? ? 函数.

3 a?2 3 1 ? ? ? (1 ? ) ? 0 , f (n) 在 (1, ??) 为单调递减 2 a ?1 2 a ?1

f (1) ? (a ? 1)n 2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? (a ? 1) ? (3a ? 6) ? 8 ? 4a ? 15 ? 0 ,
∴a ?

15 4

∴ a ? 1 时 4aS n ? bn 恒成立

综上知: a ? 1 时, 4aS n ? bn 恒成立 解法二..由于 cn ?

n?2 1 1 从而 an ? 1 ? bn ? ? ? n ? 3 ,所以 bn ? n?3, n?3 bn ? 1

S n ? a1a2 ? a2 a3 ? ??? ? an an ?1 ?
∴?

1 1 1 ? ? ??? 4? 5 5? 6 (n ? 3)(n ? 4)

1 1 n ? ? 4 n ? 4 4(n ? 4)
(n ? 4)(n ? 2) 3n ? 8 ? 1? 2 n(n ? 3) n ? 3n

? 4aS n ? bn , ? a ?
设 g ( n) ?

3n ? 8 , (n ? N * ) n 2 ? 3n

8 8 3(n ? ) 2 ? 3 3 ,由于 n ? N * ,所以 g ' (n) ? 0 恒成立, g ' ( n) ? ? 2 2 (n ? 3n)
所以 g ( n) 递减,所以 g (n) ? 0 ,? a ? 1
46 . ( 广 东 省 深 圳 市 南 山 区 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 数 列 {an }

中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? n2 ? 3n ,( n ? N ).
*

(1)求 a2 , a3 的值; (2)试求 ? 、 ? 的值,使得数列 {an ? ?n2 ? ?n} 为等比数列; (3)设数列 {bn } 满足: bn ?

1 , Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和. an ? n ? 2n?1

证明: n ? 2 时,

6n 5 ? Sn ? . (n ? 1)(2n ? 1) 3

an?1 ? ?(n ? 1)2 ? ? (n ? 1) ? q(an ? ?n2 ? ?n) 对 ?n ? N * 成立
由已知: an?1 ? 2an ? n2 ? 3n ,代入上式,整理得

根据(1)(2)可知 Sn ?

6n * 对于 n ? 2 , n ? N 都成立 (n ? 1)(2 n ?1)

如上各题若有其它解法,请评卷老师酌情给分.

47. (广东省汕头市东山中学 2013 届高三下学期入学摸底考试数学 (理) 试题) 已知数列 ?an ? 与

?bn ? 满足 bn?1an ? bn an?1 ? (?2)n ? 1 , bn ?
(1)求 a2 , a 3 的值;

3 ? ( ?1) n ?1 ( n ? N * ),且 a1 ? 2 2

(2)设 cn ? a2n?1 ? a2n?1 , n ? N * ,证明 ?cn ? 是等比数列; (3)设 Sn 为 ?cn ? 的前 n 项和,证明:

S1 S2 ? ? a1 a2

?

S2 n ?1 S2 n 5 1 1 ? ? n ? ? ? n ( n? N *且 n ? 2 ) a2 n ?1 a2 n 12 3 4

【 答 案 】 解 :(1) 由 bn ?

?2 3 ? ( ?1) n ?1 , 可 得 bn ? ? 2 ?1

n是奇数 n是偶数

,



bn?1an ? bn an?1 ? (?2)n ? 1
当 n ? 1 时, a1 ? 2a2 ? ?1 ,由 a1 ? 2 ,得 a2 ? ? 当 n ? 2 时, 2a2 ? a3 ? 5 ,可得 a3 ? 8 (2)证明:对任意 n ? N * , a2n?1 ? 2a2 n ? ?22n?1 ? 1--------①

3 2

2a2n ? a2n?1 ? 22n ? 1 ----------②
②-①得: a2n?1 ? a2n?1 ? 3 ? 22n?1 ,即 cn ? 3 ? 22n?1 ,于是 (3)证明: a1 ? 2 ,由(2)知,当 k ? N * 且 k ? 2 时,

cn ?1 ? 4 ,所以 ?cn ? 是等比数列 cn

a2k ?1 ? a1 ? (a3 ? a1 ) ? (a5 ? a3 ) ?
? 2 ? 3(2 ? 23 ? 25 ?

? (a2k ?1 ? a2 k ?3 ) ? a1 ? c1 ? c2 ? c3 ?

? ck ?1

2(1 ? 4k ?1 ) ? 22 k ?1 1? 4 1 由①得 22k ?1 ? 2a2k ? ?22 k ?1 ? 1 ,所以 a2k ? ? 22k ?1 , k ? N * , 2 ? 22 k ?3 ) ? 2 ? 3 ?
因 此 ,

S2k ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ?
2

? (a2k ?1 ? a2k ) ?

k 2

,





S2 k ? ?

1

Sk?

k ? 1 2 k ?1 a? ?2 k 2 2

3 2? S1 S 2 2 2 ?1? 1 ? 因为 ? ? 3 a1 a2 2 3 ? 2

S S k ? 2 时, 2 k ?1 ? 2 k ? a2 k ?1 a2 k

k ? 1 2 k ?1 k ?2 k ? 1 ? 22 k k 2 2 ? ? 2k ? 2k 2 k ?1 1 2 2 ?1 2 ? 22 k ?1 2

?

k 1 k 1 k 1 ? k ?1? k ?1? k ? k k ?1? k k 4 4 (4 ? 1) 4 4 (4 ? 1) 4 S1 S2 ? ? a1 a2 ? S2 n ?1 S2 n 1 1 1 ? ? (1 ? ) ? (1 ? 2 ) ? (1 ? 3 ) ? a2 n ?1 a2 n 1 4 4 ? (1 ? 1 ) 4n

所以

1 1 1 1 ?n? ?( ? 2 ? 3 ? 12 4 4 4

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 4 4 ? n)? n? ? 1 4 12 1? 4

?n?

1 1 1 5 1 1 ? [1 ? ( )n ] ? n ? ? ( )n 12 3 4 12 3 4
【难度】较难

【编号】582

48. (广东省汕头市东山中学 2013 届高三第二次模拟考试数学 (理) 试题 (详解) ) 已知函数 f ( x )

在 (?1,1) 上有定义, f ( ) ? ?1 ,且对 ?x, y ? (?1,1) 有 f ( x) ? f ( y ) ? f (

1 2

x? y ). 1 ? xy

(1)试判断函数 f ( x ) 奇偶性;

【答案】(1)解: f ?x ? 为奇函数 在 f ?x ? ? f ? y ? ? f ? ? 1 ? xy ? ? 中,令 y ? ? x, 得 f ? x ? ? f ? ?x ? ? f ? 0? ? ? 再令 x ? y ? 0, 得 f ? 0? ? f ? 0? ? f ? 0? ,∴ f ? 0? ? 0 ∴ f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,即函数 f ?x ? 为奇函数 (2)证明: 由 xn ?1 ?

? x? y ?

xn ? xn ?1 2 xn ?1 得 xn ? 2 1 ? xn xn?1 1 ? xn ?1



2 xn ?1 2 | xn ?1 | 2 xn?1 ?1 ? ? 1 ∴ ?1 ? xn ? 2 2 2 1 ? xn 1 ? xn ?1 1 ? xn ?1 ?1 ? xn ? xn?1 ? ? ? f ? xn ? ? f ? ? xn?1 ? ? 1 ? xn ? xn?1 ?

∴ f ? xn ?1 ? ? f ?

∵函数 f ?x ? 为奇函数,∴ f ? xn?1 ? ? f ? xn ? ? f ? xn?1 ? , 2 f ? xn?1 ? ? f ? xn ? ∵ xn ? 0 否则与 x1 ? 〔或 f ? xn ? ? f ?

1 矛盾,∴ f ( xn ) ? f (0) ? 0 2

? 2 xn?1 ? ? 2 ? ? 1 ? xn?1 ?

? x ?x ? f ? n?1 n?1 ? ? f ? xn?1 ? ? f ? xn?1 ? =2 f ( xn?1 ) 〕 ? 1 ? xn?1 ? xn?1 ?



f ? xn?1 ? 1 ? , f ? xn ? 2
?1? ?2?
1 为公比的等比数列 2

∵ f ? x1 ? ? f ? ? ? ?1, ∴ ? f ?xn ??是以-1 为首项, (3)证明:又(Ⅱ)可得 f ? xn ? ? ?
n

1 2n ?1



? f ( x ) = f ? x1 ? ? f ? x2 ? ????? f ? xn ?
i ?1 i

1 ? 1 ? 1 1 ? ? ?1 ? ? 2 ? ??? ? n?1 ? ? ?2 ? n?1 2 ? 2 ? 2 2

? 1 1 ? ? ? ? 4 ? ? ?1? f ? ? ? f ? 2 2 ? ? f ? ?? 1 1 ?5? ?2? ? 1? ? ? ? 2 2?
又∵ n ? N
*

?1? f ? ? ? ?2 ?2?

∴ ?2 ?

1 ? ?2 2 n ?1



? f (x ) ? f ( 5)
i ?1 i

n

4

14

49. (广东省汕头市第四中学 2013 届高三阶段性联合考试数学(理)试题)设数列{an}的前 n

项和为 Sn,且 (1)求 a1,a2;

,n=1,2,3

(2)求 Sn 与 Sn﹣1(n≥2)的关系式,并证明数列{ (3)求 S1?S2?S3S2011?S2012 的值.

}是等差数列;

【答案】 (1)解:当 n=1 时,由已知得

,解得 [Z、 xx、 k.Com]

同理,可解得 (2)证明:由题设 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1 代入上式,得 SnSn﹣1﹣2Sn+1=0 ∴ ,



=﹣1+

∴{

}是首项为

=﹣2,公差为﹣1 的等差数列



=﹣2+(n﹣1)?(﹣1)=﹣n﹣1

∴Sn= (3)解:S1?S2?S3S2011?S2012= ? ? ? ? =

50. (广东省汕头市 2013 届高三上学期期末统一质量检测数学(理)试题) 已知有两个数列

{ an },{ bn },它们的前 n 项和分别记为 S n , Tn , 且数列{ an }是各项均为正数的等比数 列, Sm =26,前 m 项中数值最大的项的值,18, S 2 m =728,又 Tn ? 2n2 (I)求数列{ an },{ bn }的通项公式. (II)若数列{ cn }满足 cn ? bn an ,求数列{ cn }的前 n 项和 Pn.
【答案】解:(Ⅰ)设等比数列

?an ? 的公比为 q
S 2 m ? 2ma1

,

an ? 0 , ? q ? 0
而已知

若 q=1 时

S m ? ma1

此 时 2Sm ? S2 m

S m ? 26

S 2 m ? 728 ? 2Sm ? S2 m , ? q ? 1

由?

? S m ? 26 ? S m ? 728

? a1 ?1 ? q m ? ? ? 26 ?1? ? 1? q 得 ? 2m ? a1 ?1 ? q ? ? 728 ? 2 ? ? ? 1? q
1 ? q m ? 28 ? q m ? 27 ? am ? 18
? a1 2 2 ? ? 3? 即 a1 ? q 3 q 3

?1? ? ? 2 ? 得:

? q ? 1 ? 前 m 项中 a m 最大
即 a1q m ?1 ? 18

?

a1q m ?1 18 ? qm 27

把 a1 ?

2 q 及 q m ? 27 代入(1)式得 3
把 q=3 代入 a1 ?

2 q ?1 ? 27 ? 3 ? 26 1? q

解得 q=3 由 Tn ? 2n 2

2 q 得 a1 ? 2 ,所以 an ? 2 ? 3n ?1 3

(1) 当 n=1 时 b1 ? T1 ? 2 (2) 当

n?2 时

bn ? Tn ? Tn ?1 ? 2n 2 ? 2 ? n ? 1? ? 2n 2 ? 2 ? n 2 ? 2n ? 1? ? 4n ? 2
2

b1 ? 2 适合上式 ? bn ? 4n ? 2
(Ⅱ) 由 (1)

an ? 2 ? 3n ?1

,

bn ? 4n ? 2

? c n ? (4n ? 2) ? 2 ? 3 n ?1 ? 4(2n ? 1) ? 3 n ?1
记 d n ? (2n ? 1) ? 3 n ?1 , d n 的前 n 项和为 Qn ,显然 Pn ? 4Qn

Qn ? d1 ? d 2 ? d 3 ? ....... ? d n ? 1 ? 30 ? 3 ? 31 ? 5 ? 3 2 ? ...... ? (2n ? 1) ? 3 n ?1 ....① ? 3Qn ? d1 ? d 2 ? d 3 ? ....... ? d n ? 1 ? 31 ? 3 ? 3 2 ? 5 ? 33 ? ...... ? (2n ? 1) ? 3 n ..②

①-② 得:-2 Qn = 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? ........2 ? 3
1 2 3

n ?1

? (2n ? 1) ? 3 n

=1 ? 2 ?

3(1 ? 3 n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 3 n = ? 2 ? (2n ? 2) ? 3 n 1? 3

? 4Qn ? 4(n ? 1) ? 3 n ? 4 ,即 Pn ? 4(n ? 1) ? 3 n ? 4

51. (广东省汕头市 2013 届高三 3 月教学质量测评数学(理)试题) 〔本小题满分 14 分),数列

{ an }的前 n 项和为 S n , S n ? an ? ?

1 2 3 n ? n ? 1(n ? N *) 2 2

(I)设 bn ? an ? n ,证明:数列{ bn }是等比数列; (II)求数列{n bn }的前 n 项和 Tn ; (III)若
【答案】解:(Ⅰ) 因为 an ? S n ? ? n ?
2

求不超过 P 的最大整数的值.

3 n ?1, 2 1 所以 ① 当 n ? 1 时, 2a1 ? ?1 ,则 a1 ? ? ,. 2 1 3 ② 当 n ≥ 2 时, an ?1 ? S n ?1 ? ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1 ,. 2 2
所以 2an ? an ?1 ? ?n ? 1 ,即 2(an ? n) ? an ?1 ? n ? 1 ,

1 2

1 1 bn ?1 (n ≥ 2) ,而 b1 ? a1 ? 1 ? ,. 2 2 1 1 1 所以数列 ?bn ? 是首项为 ,公比为 的等比数列,所以 bn ? ( ) n .. 2 2 2 n (Ⅱ) 由 (Ⅰ)得 nbn ? n . 2
所以 bn ?

1 2 3 4 n ?1 n ? 2 ? 3 ? 4 ? .......... ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2 2 3 4 n ?1 n ② 2Tn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? .......... ? n ? 2 ? n ?1 . 2 2 2 2 2 1 1 1 n ②-①得: Tn ? 1 ? ? 2 ? ...... ? n ?1 ? n . 2 2 2 2
所以 ① Tn ?

?1? 1? ? ? ?2? ? n ? 2? n? 2 Tn ? 1 2n 2n 1? 2
(Ⅲ)由(Ⅰ)知 a n ? ( ) n ? n 而 1?

n

1 2

? cn ? n

1 1 n 2 (n ? 1) 2 ? ( n ? 1) 2 ? n 2 ? ? n 2 (n ? 1) 2 n 2 (n ? 1) 2

?


n(n ? 1) ? 1 1 1 1 ?1? ?1? ? , n(n ? 1) n(n ? 1) n n ?1


1 1 1 1 1 1 P ? (1 ? ? ) ? (1 ? ? ) ? (1 ? ? ) ? 1 2 2 3 3 4 故不超过 P 的最大整数为 2013 ...

? (1 ?

1 1 1 , ? ) ? 2014 ? 2013 2014 2014

52( .广东省梅州市 2013 届高三 3 月总复习质检数学 (理) 试题) 已知函数

f ( x) ?

x2 ? a2 (a ? 0) , 2x

数列{ an }满足 a1 ? 3a , an ?1 ? f (an ) ,设 bn ? 为 Tn . (1)求 b1 , b2 的值; (2)求数列{ bn }的通项公式; (3)求证: Tn ?
【答案】

an ? a , (n ? N *) ,数列{ bn }的前 n 项和 an ? a

7 8

53. (广东省茂名市实验中学 2013 届高三下学期模拟(二)测试数学(理)试题(详解) )已知

各项为正的数列{ an }的前 n 项和为 Sn,且对任意正整数 n,有 a2 an ? S2 ? Sn (1)求 a1 的值; (2)求数列{ an }的通项公式;

(3)若数列 ?log10

? ?

8a1 ? ? 的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的最大值. an ?

54 . ( 广 东 省茂 名市 2013 届 高三 第一 次模 拟考 试数学 (理 )试 题) 已知数列 {an },{bn }

中, a1 ? b1 ? 1 ,且当 n ? 2 时, an ? nan?1 ? 0 , bn ? 2bn?1 ? 2n?1 . 记 n 的阶乘 n(n ? 1)(n ? 2)

3 ? 2 ?1 ? n !
bn } 为等差数列; 2n

(1)求数列 {an } 的通项公式;(2)求证:数列 { (3)若 cn ?

an ? bn ? 2n ,求 {cn } 的前 n 项和. an ? 2

【答案】解:(1)? an

? nan?1 ? 0 , n ? 2 , a1 ? 1

? an ? nan?1 ? n(n ?1)an?2 ? n(n ?1)(n ? 2)an?3 ? ???

? n(n ?1)(n ? 2)

3 ? 2 ? a1 ? n !

又 a1 ? 1 ? 1 ! ,? an ? n ! (2)由 bn ? 2bn?1 ? 2n?1 两边同时除以 2 得
n

bn bn ?1 1 bn bn ?1 1 ? n ?1 ? 即 n ? n ?1 ? ? n 2 2 2 2 2 2

∴数列 {

bn 1 1 } 是以 为首项,公差为 ? 的等差数列 n 2 2 2 bn 1 1 n n ? ? (n ? 1)(? ) ? 1 ? ,故 bn ? 2n (1 ? ) n 2 2 2 2 2

(3)因为

an 1 1 1 ? ? ? , bn ? 2n ? ?n ? 2 n?1 an? 2 (n ? 1)( n ? 2) n ?1 n ? 2

记 An =

a a1 a2 a3 ? ? ? ??? ? n a3 a4 a5 an? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 An ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )? ? 2 3 3 4 4 5 n ?1 n ? 2 2 n?2
记 {bn ? 2n } 的前 n 项和为 Bn 则 Bn ? ?1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ???? ? n ? 2n?1 ∴ 2Bn ? ?1? 21 ? 2 ? 22 ???? ? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n 由②-①得: Bn ? 20 ? 21 ? 22 ???? ? 2n?1 ? n ? 2n ? ① ②

1 ? 2n ? n ? 2n ? (1 ? n) ? 2n ? 1 1? 2
1 1 ? 2 n?2

∴ Sn ? c1 ? c2 ? c3 ???? ? cn = An ? Bn ? (1 ? n) ? 2 ?
n

55. (广东省揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟数学(理)试题(含解析) ) 已知函数

f ( x) ?

?x
1? x
?

( x ? 0, ? 为常数,数列 {an } 满足: a1 ?

1 , an ?1 ? f (an ) , n ? N * . 2

(1)当 ? ? 1 时,求数列 {an } 的通项公式; (2)在(1)的条件下,证明对 ?n ? N * 有: a1a2 a3 ? a2 a3 a4 ? L ? an an ?1an ? 2 ?

n(n ? 5) ; 12(n ? 2)(n ? 3)
2 ?1 . 8

(3)若 ? ? 2 ,且对 ?n ? N * ,有 0 ? an ? 1 ,证明: an ?1 ? an ?

【答案】解:(1)当 ?

? 1 时, an ?1 ? f (an ) ?

an 1 1 ,两边取倒数,得 ? ? 1, 1 ? an an ?1 an

故数列 {

1 1 } 是以 ? 2 为首项,为公差的等差数列, an a1

1 1 ,n? N * ? n ? 1 , an ? n ?1 an
(2)证法 1:由(1)知 an ?

1 ,故对 k ? 1, 2,3... n ?1

ak ak ?1ak ? 2 ?


1 1 1 1 ? [ ? ] (k ? 1)(k ? 2)(k ? 3) 2 (k ? 1)(k ? 2) (k ? 2)(k ? 3)

a1a2 a3 ? a2 a3a4 ? ...... ? an an ?1an ? 2

1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? )?( ? ) ? ... ? ? ] 2 2 ? 3 3? 4 3? 4 4 ? 5 ( n ? 1) ? ( n ? 2) ( n ? 2)( n ? 3) 1 1 1 n(n ? 5) . ? [ ? ]? 2 2 ? 3 (n ? 2)( n ? 3) 12(n ? 2)(n ? 3)
[证法 2:①当 n=1 时,等式左边 ? 左边=右边,等式成立; ②假设当 n ? k (k ? 1) 时等式成立, 即 a1a2 a3 ? a2 a3 a4 ? ...... ? ak ak ?1ak ? 2 ? 则当 n ? k ? 1 时

1? (1 ? 5) 1 1 1 ,等式右边 ? , ? ? 2 ? 3 ? 4 24 12 ? (1 ? 2) ? (1 ? 3) 24

k (k ? 5) , 12(k ? 2)(k ? 3)

a1a2 a3 ? a2 a3a4 ? ...... ? ak ak ?1ak ? 2 ? ak ?1ak ? 2 ak ?3 ?

k (k ? 5) 1 ? 12(k ? 2)(k ? 3) (k ? 2)(k ? 3)(k ? 4)

k (k ? 5)(k ? 4) ? 12 k 3 ? 9k 2 ? 20k ? 12 ? ? 12(k ? 2)(k ? 3)(k ? 4) 12(k ? 2)(k ? 3)(k ? 4) ? k 2 (k ? 1) ? 4(k ? 1)(2k ? 3) (k ? 1)(k ? 2)(k ? 6) (k ? 1)[(k ? 1) ? 5] ? ? 12(k ? 2)(k ? 3)(k ? 4) 12(k ? 2)(k ? 3)(k ? 4) 12[(k ? 1) ? 2][(k ? 1) ? 3]
n(n ? 5) ] 12(n ? 2)(n ? 3)

这就是说当 n ? k ? 1 时,等式成立, 综①②知对于 ?n ? N * 有: a1a2 a3 ? a2 a3 a4 ? ...... ? an an ?1an ? 2 ?

(3)当 ? ? 2 时, an ?1 ? f (an ) ?

2an 2 1 ? an

则 an ?1 ? an ?

2an 1 ? an , ? an ? an (1 ? an ) 2 2 1 ? an 1 ? an

∵ 0 ? an ? 1 , ∴ an ?1 ? an ? an (1 ? an )

1 ? an a ? 1 ? an 2 1 ? an ?( n ) ? 2 2 1 ? an 2 1 ? an

?

1 ? an 1 ? 2 4 (1 ? an ) ? 2(an ? 1) ? 2

?

1 1 1 1 ? ? ? ? 4 a ?1? 2 ? 2 4 2 2 ? 2 n an ? 1

2 ?1 8

∵ an ? 1 ? an 与 an ? 1 ?

2 不能同时成立,∴上式“=”不成立, an ? 1 2 ?1 8 2an , 2 1 ? an

即对 ?n ? N * , an ?1 ? an ?

【证法二:当 ? ? 2 时, an ?1 ? f (an ) ?
3 2an an ? an ? a ? n 2 2 1 ? an 1 ? an

则 an ?1 ? an ?

又 Q an ? (0,1),?

an ?1 2 ? ? 1, 2 an 1 ? an

1 ? an ?1 ? an ,? an ? [ ,1), n ? N * 2

? x4 ? 4x2 ? 1 x ? x3 1 , , x ? [ ,1), 则 g ?( x) ? 令 g ( x) ? 1 ? x2 2 (1 ? x 2 ) 2
当 x ? [ ,1), g ?( x) ? 0, 所 以 函 数 g ( x) 在 [ ,1) 单 调 递 减 , 故 当

1 2

1 2

1 1 3 ?( ) 1 3 2 ?1 x ? [ ,1), g ( x) ? 2 2 ? ? , 所以命题得证 】 1 2 10 2 8 1? ( ) 2

【 时

证 ,





:



? ?2
,

an ?1 ? f (an ) ?

2an 2 1 ? an

Q an ? (0,1),?

an ?1 2 1 ? ? 1,? an ?1 ? an ,? an ? [ ,1), n ? N * 2 an 1 ? an 2

an ?1 ? an ?

2an 2an ?1 1 ? an an ?1 ? ? 2? (an ? an ?1 ) 2 2 2 2 1 ? an 1 ? an ?1 (1 ? an )(1 ? an ?1 )

1 1 1? ? 24 2 2 ? 2? (an ? an ?1 ) ? (an ? an ?1 ) ? an ? an ?1 1 1 25 (1 ? 2 )(1 ? 2 ) 2 2
? 数列 {an ?1 ? an } 单调递减,

1 2 ? 1 ? 3 ? 2 ?1 , ? an ?1 ? an ? a2 ? a1 ? 1 2 2 10 8 1? ( ) 2 2?
56. (广东省江门市 2013 年高考模拟考试(即一模)数学(理)试题 )已知数列 ?a n ? 的前 n 项

所以命题得证 】

和为 S n , a1 ? 2 , ?n ? 2 , 3S n ? 4 、 2a n 、 2 ? S n ?1 总成等差数列. ⑴求 S n ; ⑵对任意 k ? N * ,将数列 ?a n ? 的项落入区间 ( 3 , 3
k 2k

) 内的个数记为 bk ,求 bk .

【答案】解:⑴ ?n ?

2 , 3S n ? 4 、 2a n 、 2 ? S n ?1 总成等差数列,

所以, 2 ? 2an =( 3S n ? 4 )+( 2 ? S n ?1 ) 因为 an ? S n ? S n ?1 (n ? 2) ,所以 4( S n ? S n ?1 ) =( 3S n ? 4 )+( 2 ? S n ?1 ), 即 S n ? 3S n ?1 ? 2 又因为 a1 ? 2 , S n ?1 ? 1 ? 0 ,

S n ? 1 3Sn ?1 ? 2 ? 1 ? ? 3 , S1 ? 1 ? 1 , S n ?1 ? 1 S n ?1 ? 1

所以数列 ?S n ? 1? 是首项等于 1,公比 q =3 的等比数列

S n ? 1 ? 1? 3n ?1 ,即 S n ? 1 ? 3n ?1
⑵由⑴得 ?n ? 2 , an ? S n ? S n ?1 ? (1 ? 3n ?1 ) ? (1 ? 3n ? 2 ) ? 2 ? 3n ? 2

n ? 1 时, 2 ? 3n ? 2 ? 2 ?1 ? 2 ? a1 ,所以,任意 n ? N * , an ? 2 ? 3n ? 2
任意 k ? N * ,由 3 k ? a n ? 3 2 k ,即 3 k ? 2 ? 3 n ? 2 ? 3 2 k , ( k ? log 3 2 ? (n ? 2) ? 2k , k ? 2 ? log 3 2 ? n ? 2k ? 2 ? log 3 2 因为 0 ? log 3 2 ? 1 ,所以“若学生直接列举,省略括号内这一段解释亦可”)

n 可取 k ? 2 、 k ? 3 、 、 2k ? 1 ,所以 bk ? k
57. (广东省华附、省实、深中、广雅四校 2013 届高三上学期期末联考数学(理)试题)已知

数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c 是常数,n=1,2,3,),且 a1 ,a2 ,a3 成公比不为 1 的等比数列. (Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)求{an}的通项公式.
【答案】解:(I)a1=2, a2=2+c,a3=2+3c,因为 a1,a2,a3 成等比数列,

所以(2+c) =2(2+3c),解得 c=0 或 c=2. 当 c=0 时,a1=a2=a3,不符合题意舍去,故 c=2. (II)当 n≥2 时,由于 a2-a1=2, a3-a2=2×2,

2

an-an-1=2(n-1), 以上 n-1 个式叠加,得 an-a1=2[1+2++(n-1)]=n(n-1). 2 ? an=2+ n(n-1)=n -n+2 (n=2,3,). 2 当 n=1 时,上式也成立,故 an=n -n+2 (n=1,2,3,)
58. (广东省海珠区 2013 届高三上学期综合测试一数学(理)试题)(本小题满分 14 分)

已 知 等 差 数 列 ?a n ? 满 足 a3 ? 5, a5 ? 2a 2 ? 3, 又 数 列 ?bn ? 中 , b1 ? 3 且

3bn ? bn ?1 ? 0 ? n ? N ? ? .
(1)求数列 ?a n ? , ?bn ? 的通项公式; (2)若数列 ?a n ? , ?bn ? 的前 n 项和分别是 S n , Tn ,且 cn ?

S n ? 2Tn ? 3? . 求数列 ?cn ? 的前 n

n 项和 M n ;
(3)若 M n ? 9 log m

3 ? m ? 0, 且m ? 1? 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4

【答案】(本小题主要考查数列通项、错位求和与不等式等知识,考查化归与转化、方程

的数学思想方法,以及运算求解能力) 解: ( 1)设等差数列 ?a n ? 的公差为 d ,则由题设得:

? ?a1 ? 2d ? 5 ? ? ?a1 ? 4d ? 2 ? a1 ? d ? ? 3
即?

?a1 ? 2d ? 5 ?a1 ? 1 ,解得 ? ?d ? 2 ??a1 ? 2d ? 3

? an ? 1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1? n ? N ? ?

3bn ? bn ?1 ? 0
? bn ?1 ? 3, ? n ? N ? ? bn

? 数列 ?bn ?是以 b1 ? 3 为首项,公比为 3 的等比数列

? bn ? 3 ? 3n ?1 ? 3n ? n ? N ? ? .
(2)由(1)可得 S n ?

n ?1 ? 2n ? 1? ? n2 , 2

Tn ?

3 ? 3n ? 3 1 n ?1 ? ? 3 ? 3? . 1? 3 2
n 2 ? 3n ?1 ? 3 ? 3? n ? n ? 3n ?1.

? cn ?

? M n ? c1 ? c2 ? c3 ?

? cn ?1 ? cn

M n ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? 3M n ? 1? 33 ? 2 ? 34 ? 3 ? 35 ?

? ? n ? 1? ? 3n ? n ? 3n ?1 ? ? n ? 1? ? 3n ?1 ? n ? 3n ? 2
? 3n ?1 ? n ? 3n ? 2

?1? ?2?

?1? ? ? 2 ? 得:
?

?2 M n ? 32 ? 33 ? 34 ?

32 ? 3n ?1 ? 3 ? n ? 3n ? 2 1? 3

?Mn

9 ? n ? N ? ?. ? 2n ? 1? ? 3n ? 1? ? ? ? 4 9 9 (3) M n ?1 ? M n ? ? ? ? ? 2n ? 1? ? 3n?1 ? 1? ? 2n ? 1? ? 3n ? 1? ? ? ? 4 4? ?

? 9 ? n ? 1? ? 3n ? 0
M n ?1 ? M n , ? n ? N ? ?
? 当 n ? 1 时, ? M n 取最小值, M 1 ? 9 ,

? 9 ? 9 log m
即 log m

3 4

3 ?1 4

3 ? 1 恒成立; 4 3 当 0 ? m ? 1 时,由 log m ? 1 ? log m m , 4 3 得m ? , 4 3 ?0 ? m ? . 4
当 m ? 1 时, log m

3 ? ? ? 实数 m 的取值范围是 ?m 0 ? m ? 或m ? 1? 4 ? ?
59. (广东省广州市 2013 届高三调研测试数学(理)试题)在数 1 和 2 之间插入 n 个实数,使得

这 n ? 2 个数构成递增的等比数列,将这 n ? 2 个数 的乘积记为 An ,令 an ? log2 An , n ?N .
*

(1)求数列 An 的前 n 项和 Sn ; (2)求 Tn ? tan a2 ? tan a4 ? tan a4 ? tan a6 ?

? ?

? tan a2n ? tan a2n ? 2 .

【答案】(本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前 n 项和等基础知识,考查合情

推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、 运算求解能力) (1)解法 1:设 b1,b2 ,b3 , 依题意, An ? b1 ? b2 ?

,bn ? 2 构成等比数列,其中 b1 ? 1,bn ? 2 ? 2 , ? bn ?1 ? bn ? 2 ,


An ? bn ? 2 ? bn ?1 ?

? b2 ? b1 ,



由于 b1 ? bn ? 2 ? b2 ? bn ?1 ? b3 ? bn ?

? bn ? 2 ? b1 ? 2 ,

2 ① ? ②得 An ? b1bn ? 2 ? b2bn ?1 ?

?

? ?

?

? ? bn ?1b2 ? ? ? bn ? 2b1 ? ? 2n ? 2

∵ An ? 0 , ∴ An ? 2
n?2 2
n?3

A 2 2 ∵ n ?1 ? n ? 2 ? An 2 2

2,

∴数列 An 是首项为 A1 ? 2 2 ,公比为 2 的等比数列
n ? ? 2 2 ?1 ? 2 ? ? ?? 4?2 2 ? ∴ Sn ? ? ? 1? 2

? ?

? ?

?

?? ?
2

n

? ? 1? ?

解法 2: 设 b1,b2 ,b3 ,

,bn ? 2 构成等比数列,其中 b1 ? 1,bn ? 2 ? 2 ,公比为 q ,

则 bn ? 2 ? b1qn ?1 ,即 qn ?1 ? 2 依题意,得 An ? b1 ? b2 ?

? bn ?1 ? bn ? 2
? b1q n ?1

? b1 ? ? b1q ? ? b1q 2 ?

?

?

?

?

? ? b1 ?

n?2

?q

1? 2 ? 3 ?

? ? n ?1?

? q
? 2

? n ?1?? n ? 2?
2
n?2 2

n?3

A 2 2 ∵ n ?1 ? n ? 2 ? An 2 2

2,

∴数列 An 是首项为 A1 ? 2 2 ,公比为 2 的等比数列
n ? ? 2 2 ?1 ? 2 ? ? ?? 4?2 2 ? ∴ Sn ? ? ? 1? 2

? ?

? ?

?

? ? 2?
?

n

? ? 1? . ?

(2)解: 由(1)得 an ? log2 An ? log 2 2

n?2 2

n?2 , 2

? ∵ tan 1 ? tan ? ? n ? 1 ? n ? ? 1 ? tan n ? 1 ? tan n ,

?

?

tan ? n ? 1? ? tan n

?

?

∴ tan n ? tan n ? 1 ?

?

?

tan ? n ? 1? ? tan n tan 1

? 1 , n ?N *

∴ Tn ? tan a2 ? tan a4 ? tan a4 ? tan a6 ?

? tan a2n ? tan a2n ? 2

? tan 2 ? tan 3 ? tan 3 ? tan 4 ?

? tan ? n ? 1? ? tan ? n ? 2 ?
? tan ? n ? 2 ? ? tan ? n ? 1? ? ?? ? 1? ? ? tan 1 ? ?

? tan 3 ? tan 2 ? ? tan 4 ? tan 3 ? ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? tan 1 tan 1 ? ? ? ?

?

tan ? n ? 2 ? ? tan 2 tan 1

?n

60. (广东省广州市 2013 届高三 3 月毕业班综合测试试题(一)数学(理)试题)已知数列 {an }

的前 n 项和为 Sn ,且

a1 ? 2a2 ? 3a3 ????? nan ? (n ? 1)Sn ? 2n (n ? N * ).

(1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 若 p, q, r 是 三 个 互 不 相 等 的 正 整 数 , 且 p, q, r 成 等 差 数 列 , 试 判 断

a p ? 1,aq ? 1,ar ? 1 是否成等比数列?并说明理由.
【答案】(本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前 n 项和等基础知识,考查合情

推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、 运算求解能力) (1) 解:

a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

? nan ? (n ? 1)Sn ? 2n ,

∴ 当 n ? 1 时,有 a1 ? (1 ?1)S1 ? 2, 解得 a1 ? 2 由 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 得 a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

? nan ? (n ? 1)Sn ? 2n ,



? nan ? (n ? 1)an ?1 ? nSn ?1 ? 2(n ? 1) , ②


② - ①得: (n ? 1)an?1 ? nSn?1 ? (n ?1)Sn ? 2 . 以下提供两种方法: 法 1:由③式得: (n ? 1)(Sn?1 ? Sn ) ? nSn?1 ? (n ?1)Sn ? 2 , 即 Sn?1 ? 2Sn ? 2 ;

? Sn?1 ? 2 ? 2(Sn ? 2) ,

∵ S1 ? 2 ? a1 ? 2 ? 4 ? 0 , ∴数列 {Sn ? 2} 是以 4 为首项,2 为公比的等比数列. ∴ Sn ? 2 ? 4 ? 2n ?1 ,即 Sn ? 4 ? 2n?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2n?1 ? 2) ? (2n ? 2) ? 2n , 又 a1 ? 2 也满足上式, ∴ an ? 2n 法 2:由③式得: (n ? 1)an ?1 ? nSn ?1 ? (n ? 1)Sn ? 2 ? n ? Sn ?1 ? Sn ? ? Sn ? 2 , 得 an ?1 ? Sn ? 2 . 当 n ? 2 时, an ? Sn ?1 ? 2 , ⑤-④得: an ?1 ? 2an 由 a1 ? 2a2 ? S2 ? 4 ,得 a2 ? 4 , ∴ a2 ? 2a1 ∴数列 {an } 是以 a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列. (2)解:∵ p, q, r 成等差数列, ∴ p ? r ? 2q 假设 a p ? 1,aq ? 1,ar ? 1 成等比数列, 则 ap ? 1 ∴ an ? 2n ④ ⑤

?

? ?a

r r

? 1? ? aq ? 1 ,
2

?

?

即 2p ? 1

?

? ?2

? 1 ? 2q ? 1 ,
(*)

? ?

?

2

p r q 化简得: 2 ? 2 ? 2 ? 2 .

∵ p ? r, ∴ 2 p ? 2r ? 2 2 p ? 2r ? 2 ? 2q ,这与(*)式矛盾,故假设不成立 ∴ a p ? 1,aq ? 1,ar ? 1 不是等比数列.
61. (广东省潮州市 2013 届高三上学期期末教学质量检测数学 (理) 试题) 数列 { an } 中 a1 ?

1 , 2

前 n 项和 Sn ? n2an ? n( n ?1) , n ? 1 , 2 ,.

n ?1 S n } 是等差数列;(2)求 Sn 关于 n 的表达式; n 1 (3)设 bn ? 3 S n ,求数列 { bn } 的前 n 项和 Tn . n
(1)证明数列 {
【答案】(1)证明:由 Sn

? n2an ? n( n ?1) ,得 Sn ? n2 (Sn ? Sn?1 ) ? n( n ?1) ( n ? 2) .
n ?1 n Sn ? S n ?1 ? 1 ( n ? 2 ) n n ?1

∴ ( n2 ?1)Sn ? n2 Sn?1 ? n( n ?1) ,故 ∴数列由 {

n ?1 S n } 是首项 2S1 ? 2a1 ? 1,公差 d ? 1 的等差数列; n n ?1 Sn ? 2 S1 ? ( n ? 1)d ? 1 ? n ? 1 ? n (2)解:由(1)得 n
∴ Sn ?

n2 ; n ?1

n3

(3)由(2),得 bn ? ∴ 数

Sn =

1 n2 1 1 1 = ? ? n3 n ? 1 n( n ? 1) n n ? 1



{ bn }
b n ?1 1 2
1





n
? n?





Tn ? ? 1?

1

b?

2 ?

?nb

1 2

1 ?b n? 3

1 1 n

?

1 ? n

1 ? 1

1 n ? n ?1 n ?1

62. (2013 年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测(一)数学(理)试题)数列

?an ? 的前 n

项和为 Sn ? 2n?1 ? 2 ,数列 ?bn ? 是首项为 a1 , 公差为 d (d ? 0) 的等差数列,且 b1 , b3 , b11 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式;(2)设 cn ?
【答案】解析:(1)当 n ? 2 ,时 an

bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an

? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 ? 2n ? 2n ,

又 a1 ? S1 ? 21?1 ? 2 ? 2 ? 21 ,也满足上式, 所以数列{ an }的通项公式为 an ? 2n

b1 ? a1 ? 2 ,设公差为 d ,则由 b1 , b3 , b11 成等比数列,
得 (2 ? 2d ) ? 2 ? (2 ? 10d ) ,
2

解得 d ? 0 (舍去)或 d ? 3 ,

所以数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 3n ? 1 (2)由(1)可得 Tn ?

b1 b2 b3 ? ? ? a1 a2 a3
? 3n ? 1 , 2n ?1

?

2 5 8 bn ? 1? 2? 3? an 2 2 2

?

3n ?1 , 2n

2Tn ? 2 ?

5 8 ? ? 21 22

两式式相减得

Tn ? 2 ?

3 3 3 3n ? 1 ? 2 ? ? n ?1 ? n , 1 2 2 2 2 3 1 (1 ? n?1 ) 3n ? 1 3n ? 5 2 Tn ? 2 ? 2 ? n ? 5? n , 1 2 2 1? 2

63. (广东省肇庆市 2013 届高三 4 月第二次模拟数学(理)试题)已知数列 {a n } 的前 n 项和为

S n , 对 一 切 正 整 数 n , 点 Pn (n, S n ) 都 在 函 数 f ( x) ? x 2 ? 2 x 的 图 像 上 , 且 过 点 Pn (n, S n ) 的切线的斜率为 k n .
(1)求数列 {a n } 的通项公式. (2)若 bn

? 2 kn a n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

(3) 设 Q ? {x x ? k n , n ? N ? }, R ? {x x ? 2a n , n ? N ? } , 等 差 数 列 {c n } 的 任 一 项

cn ? Q

R ,其中 c1 是 Q

R 中的最小数, 110 ? c10 ? 115 ,求 {c n } 的通项公式.
点 Pn (n, S n ) 都 在 函 数 f ( x) ? x ? 2 x 的 图 像
2

【 答 案 】 解 :(1)

上,? S n ? n 2 ? 2n(n ? N * ) , 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 2n ? 1. 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 满足上式,所以数列 {a n } 的通项公式为 an ? 2n ? 1. (2)由 f ( x) ? x ? 2 x 求导可得 f ?( x) ? 2 x ? 2
2

过点 Pn (n, S n ) 的切线的斜率为 k n ,? kn ? 2n ? 2 .

? bn ? 2kn an ? 4 ? (2n ? 1) ? 4n . ?Tn ? 4 ? 3 ? 41 ? 4 ? 5 ? 42 ? 4 ? 7 ? 43 ? ???+4 ? (2n ? 1) ? 4 n
由①×4,得 4Tn ? 4 ? 3 ? 42 ? 4 ? 5 ? 43 ? 4 ? 7 ? 4 4 ? ???+4 ? (2n ? 1) ? 4 n ?1 ① ②

①-②得:
2 3 n ?3Tn ? 4 ? - 2n ? 1) ? 4 n ?1 ? ?3 ? 4 ? 2 ? ? 4 ? 4 ? ??? ? 4 ? ( ?

2 ? ? 4( 1 ? 4n ?1) ? 4 ?3 ? 4 ? 2 ? ( - 2n ? 1) ? 4n ?1 ? 1? 4 ? ?

?Tn ?
(3) 又

6n ? 1 n ? 2 16 ?4 ? 9 9
R?R.

Q ? {x x ? 2n ? 2, n ? N ? }, R ? {x x ? 4n ? 2, n ? N ? } ,? Q

cn ? Q

R ,其中 c1 是 Q

R 中的最小数,? c1 ? 6 .

?cn ? 是公差是 4 的倍数,? c10 ? 4m ? 6(m ? N * ) .
又 110 ? c10 ? 115 ,? ?

?110 ? 4m ? 6 ? 115 ?m ? N
*

,解得 m ? 27 ,所以 c10 ? 114 ,

设等差数列的公差为 d ,则 d ?

c10 ? c1 114 ? 6 ? ? 12, 10 ? 1 9

? cn ? 6 ? (n ? 1) ? 12 ? 12n ? 6 ,所以 ?cn ? 的通项公式为 cn ? 12n ? 6
64. (广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学理试题(WORD 版) )已知 x 轴上有 一列点 P 1 ,P2 P 3 , ,P n , ,当 n ? 2 时,点 P n 是把线段 P n - 1 P n + 1 作 n 等分的分点中最靠

近 P n + 1 的点,设线段 P 1 P 2 , a1=1. (1)求 an 关于 n 的解析式; (2 )证明:a1 + a2 + a3 + (3) 设 点 P(n,

P2 P3 ,

P 3P 4, ,P n P n + 1 的长度分别 为 A1, A2, A3,,A ,其中
N

+ an < 3

an ) { n ? 3 ), 在 这 些 点 中 是 否 存 在 两 个 点 同 时 在 函 数

y?


k (k ? 0) ( x ? 1) 2 的图象上?如果存在,求出点的坐标;如果不存在,说明理由.
答 案 】

65. (广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题 (2013深圳二模) ) 已知数列

?an ?,?bn ?

满足: a1 ? 0, b1 ? 2013 ,且对任意 n, an , an?1 , bn 和 an?1 , bn?1 , bn 均为等差数列. (1)求 a2 , b2 的值; (2)证明: ?an ? bn ? 和 ?an ? 2bn ? 均成等比数列; (3)是否存在唯一的正整数 c ,使得 an ? c ? bn 恒成立?证明你的结论.









66. (广东省韶关市 2013 届高三 4 月第二次调研测试数学理试题)如图,过点 P(1,0)作曲线

C: y ? x ( x ? (0,??)) 的切线, 切点为 Q1 , 设点 Q1 在 x 轴上的投影是点 P 1 ; 又过点 P 1
2

作曲线 C 的切线 , 切点为 Q2 , 设 Q2 在 x 轴上的投影是 P2 ;; 依此下去 , 得到一系列点

Q1 ,Q2, Q3 ??? Qn ,设点 Qn 的横坐标为 an .
(1)求直线 PQ1 的方程; (2)求数列 ?an ? 的通项公式;

(3)记 Qn 到直线 Pn Qn ?1 的距离为 d n ,求证: n ? 2 时,
y

1 ? 1 ? ....... ? 1 ? 3 d1 d2 dn

Q2

Q1

o

P (1,0)

P 1

P2

x

2 【答案】解:(1)令 Q1 ( a1 , a1 ) ,由 y' ? 2 x 得 k PQ1 ? 2 x1



a12 ? 0 ? 2a1 故 a1 ? 2 a1 ? 1

? k PQ1 ? 4 ,则切线 l1 的方程为: 4 x ? y ? 4 ? 0
2 (2)令 Qn (an , an ) ,则 Qn ?1 (an ?1 , an ?1 ), Pn ?1 (an ?1 , 0), ? k Pn?1Qn ?

2

2 an ?0 ? 2an an ? an ?1

化简得

an ? 2, (n ? 2) , an ?1

故数列 ?an ? 是以 2 为首项 2 为公比的等比数列 所以 an ? 2n (3)由(2)知 Pn (2 n ,0) , Qn ?1 (2 n ?1 ,2 2 n ? 2 ) Qn (2 n ,2 2 n ) , 故 k PnQn?1 ?

22 n ? 2 ? 0 ? 2n ? 2 , ? lPnQn?1 : 2n ? 2 x ? y ? 22 n ? 2 ? 0 n ?1 n 2 ?2
(2n ? 2 ) 2 ? 1 ? 4n 16 ? 4n ? 1 ? 4n 2n ? 4 ? 2n 4

? dn ?
?

2n ? 2 ? 2n ? 22 n ? 22 n ? 2

1 4 ? n 12 dn 2

故 d1

1 ? 1 ? ....... ? 1 ? 4[ 1 ? ( 1 )2 ? d2 dn 2 2

1 [1 ? ( 1 )n ] 2 ? 4[1? ( 1 )n ]? 4 ? ( 1 )n ] ? 4? 2 2 1 2 1? 2

67. (广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)在数列

?an ?

中, a1 ? 0 ,且对任意 k ? N * , a2k ?1, a2k , a2k ?1 成等差数列,其公差为 2 k . (1)证明: a4 , a5 , a6 成等比数列; (3)记 Tn ? (2)求数列 ?an ? 的通项公式;

22 32 ? ? a2 a3

?

3 n2 ,证明: ? 2n ? Tn ? 2(n ? 2) 2 an

【答案】 证明:(Ⅰ)因为

a1 ? 0 ,且 ?k ? N ? , a 2 k ?1 , a 2 k , a 2 k ?1 成等差数列 ,其公差为

2k .


2a 2 k ? a 2 k ?1 ? a 2 k ?1 a 2 k ? a 2 k ?1 ? a 2 k ?1 ? a 2 k ? 2k
,

a ? 8, a5 ? 12, a 6 ? 18 所以,分别取 k ? 1,2,3 代入解得 4 ,

a ? a 4 a 6 ,即 a 4 , a5 , a 6 成等比数列; 显然满足 5
(Ⅱ)由题意可知: 所以

2

a 2 k ?1 ? a 2 k ?1 ? 4k , 对 ?k ? N ? 恒成立

a 2 k ?1 ? a1 ? (a3 ? a1 ) ? (a5 ? a3 ) ? (a 7 ? a5 ) ? ..... ? (a 2 k ?1 ? a 2 k ?1 )
? (k ? 1)(0 ? 4k ) ? 2k (k ? 1) 2

? 0 ? 4 ? 8 ? 12 ? ...... ? 4k =


a 2 k ?1 ? a 2 k ? 2k ,所以 a 2 k ? a 2 k ?1 ? 2k = 2k (k ? 1) ? 2k ? 2k 2

?n2 ?1 , (n ? 2k ? 1) ? ? 2 an ? ? 2 ? n , ( n ? 2k ) ? ?2 ?a ? ? 所以数列 n 的通项公式为 , k?N

n 2 (?1) n ? 1 an ? ? ,n? N? 2 4 或写为 (注意:以上三种写法都给全分)
T ? 2 , 2n ? Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 显然满足结论. (Ⅲ)先证右边:(1)当 n ? 2 时, n

(2)当 n ? 2 时,因为 n 为奇数时,

an ?

n2 ?1 2 ,

n2 2n 2 n2 2 1 ? ? 1 ? 2 ?2 2? ?? 2 ? ?? ? ? a an n ?1 n ?1 ? n ?1 n ?1? 所以 n ,且
2 2 n2 n ? 2 2 ? n ? 0 an ? an 2 , an 当 n 为偶数时, ,

2 2 32 n2 Tn ? ? ? ........ ? ? 2(n ? 1) a 2 a3 an 综上可知 ,当 n ? 2 时取等号
所以

2n ? Tn ? 2n ? 2(n ? 1) ? 2 对任意的 n ? 2, n ? N ? 成立.


再证左边: 因

2n ? Tn ? 2n

?(

2 2 32 ? ?. a 2 a3
?

n2 22 32 n2 . ? . ) .? 2 .? (2. ? . ) ? . (2 ? ) ? ... ? (2 ? ) an a2 a3 an

所以(1)当 n ? 2k ? 1, k ? N 时

2n ? Tn ? 2 ? 0 ?

2 2 2 2 ?0? 2 ?0? 2 ? .... ? 0 ? 3 ?1 5 ?1 7 ?1 (2k ? 1) 2 ? 1
2

1 1 1 1 ? 1 ? ? 1 1 ?1 ? 2 ? ?( ? ) ? ( ? ) ? .... ? ( ? )? ? 2 ? ? ? ? 4 6 2k 2k ? 2 ? ? 2 4 ? 2 2k ? 2 ? 3 1 3 ? ? ? 2 2k ? 2 2
(2)当 n ? 2k , k ? N 时
?

2n ? Tn ? 2 ? 0 ?

2 2 2 2 ?0? 2 ?0? 2 ? .... ? 0 ? ?0 3 ?1 5 ?1 7 ?1 (2k ? 1) 2 ? 1
2

1 1 1 1 ? ? 1 1 ?1 1 ? ? 2 ? ?( ? ) ? ( ? ) ? .... ? ( ? )? ? 2 ? ? ? ? 4 6 2k ? 2 2k ? ? 2 4 ? 2 2k ? 3 1 3 ? ? ? 2 2k 2
3 ? 2n ? Tn ? 2 综上可知对 ?n ? N , n ? 2 , 2 成立.
?

68. (广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题(WORD版) )已知曲线C:xy=1,过C

上一点 A n ( xn , yn ) 作一斜率 kn ? ?

1 的直线交曲线C于另一点 A n ?1 ( xn ?1 , yn ?1 ) ,点 xn ? 2
11 . 7

列{ An }的横坐标构成数列{ xn },其中 x1 ? (1)求 xn 与 xn ?1 的关系式; (2)求证:数列 (3)求证:
【 答

是等比数列;





69 . ( 广 东 省 揭 阳 市 2013 年 高 中 毕 业 班 第 二 次 高 考 模 拟 考 试 理 科 数 学 试 题 ) 数列

?an ?

, 2, 3, ),且 a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比 中, a1 ? 3 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1
数列. (1)求 c 的值; (2)求 ?an ? 的通项公式; (3)求最小的自然数 n ,使 an ? 2013 .

【答案】解:(1) a1

? 3 , a2 ? 3 ? c , a3 ? 3 ? 3c ,

∵ a1 , a2 , a3 成等比数列,∴ (3 ? c)2 ? 3(3 ? 3c) , 解得 c ? 0 或 c ? 3 当 c ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 ,不符合题意舍去,故 c ? 3 (2)当 n ≥ 2 时,由 a2 ? a1 ? c , a3 ? a2 ? 2c , an ? an?1 ? (n ?1)c ,

n(n ? 1) c 2 3 3 2 3, ) 又 a1 ? 3 , c ? 3 ,∴ an ? 3 ? n(n ? 1) ? (n ? n ? 2)(n ? 2, 2 2 3 2 ? 当 n ? 1 时,上式也成立,∴ an ? ( n ? n ? 2)(n ? N ) 2 3 2 2 (3)由 an ? 2013 得 (n ? n ? 2) ? 2013 ,即 n ? n ? 1340 ? 0 2
得 an ? a1 ? [1 ? 2 ?

? (n ? 1)]c ?

∵ n ? N ? ,∴ n ?

1 1 ? 4 335 1 ? 4 ? 18 ? ? 36 2 2 2

令 n ? 37 ,得 a37 ? 2001 ? 2013 ,令 n ? 38 得 a38 ? 2112 ? 2013 ∴使 an ? 2013 成立的最小自然数 n ? 38
70. (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题) 设函数

f 0 ( x) ? x 2 ? e

1 ? x 2

,记 f 0 ( x) 的导函数 f 0?( x) ? f1 ( x) , f1 ( x) 的导函数 f1?( x) ? f 2 ( x) , .

f 2 ( x) 的导函数 f 2?( x) ? f 3 ( x) ,, f n ?1 ( x) 的导函数 f n??1 ( x) ? f n ( x) , n ? 1, 2,
(1)求 f 3 (0) ; (2)用 n 表示 f n (0) ; (3)设 S n ? f 2 (0) ? f 3 (0) ?
【答案】⑴易得,

? f n ?1 (0) ,是否存在 n ? N * 使 S n 最大?证明你的结论.

1 ? 1 ? ? x f1 ? x ? ? ? ? x 2 ? 2 x ? e 2 , ? 2 ? 1

?1 ? ? x f2 ? x ? ? ? x2 ? 2x ? 2 ? e 2 ?4 ?
1 3 ? 1 ? ? x f3 ? x ? ? ? ? x 2 ? x ? 3 ? e 2 ,所以 f3 (0) ? ?3 2 ? 8 ?

⑵不失一般性,设函数 f n ?1 ( x) ? an ?1 x ? bn ?1 x ? cn ?1 ? e 的导函数为
2

?

?

?x

f n ( x) ? ? an x 2 ? bn x ? cn ? ? e ? x ,其中 n ? 1, 2,
2

,常数 ? ? 0 , a0 ? 1, b0 ? c0 ? 0 .
?x

对 f n ?1 ( x) 求导得: f n??1 ( x) ? [? ? an ?1 x ? (2an ?1 ? ? ? bn ?1 ) x ? (bn ?1 ? ? ? cn ?1 )] ? e

?? ? ?a 故由 f n??1 ( x) ? f n ( x) 得: an n ?1

bn ? 2an ?1 ? ? ? bn ?1 cn ? bn ?1 ? ? ? cn ?1
n

? ? ? ②, ?

①,



由①得: an ? ? , n ? N , 代入②得: bn ? 2 ? ? 故得: bn ? 2n ? ?
n ?1 n ?1

? ? ? bn ?1 ,即

?

bn
n

?

2

?

?

? n ?1

bn ?1

,其中 n ? 1, 2,

,n? N
n?2

代入③得: cn ? 2n ? ?

? ? ? cn ?1 ,即 ,n? N ,
n?2

?

cn
n

?

2n

?

2

?

? n ?1

cn ?1

,其中 n ? 1, 2,

.

故得: cn ? n(n ? 1) ? ?

n?2

因此 f n (0) ? cn ? n(n ? 1) ? ? 将? ? ?

,n? N .

1 1 n?2 代入得: f n (0) ? n(n ? 1)(? ) ,其中 n ? N 2 2 1 n ?1 (2)由(1)知 f n ?1 (0) ? n(n ? 1)(? ) , 2
当 n ? 2k (k ? 1, 2,

1 ) 时, S 2 k ? S 2 k ?1 ? f 2 k ?1 (0) ? 2k (2k ? 1) ? (? ) 2 k ?1 ? 0 , 2

? S 2 k ? S 2 k ?1 ? 0, S 2 k ? S 2 k ?1 ,故当 S n 最大时, n 为奇数
当 n ? 2k ? 1(k ? 2) 时, S 2 k ?1 ? S 2 k ?1 ? f 2 k ? 2 (0) ? f 2 k ?1 (0)

1 2 k ?1 2 1 1 ? f 2 k ? 2 (0) ? f 2 k ?1 (0) ? (2k ? 1)(2k ? 2)( ? ) 2 k ? 2k (2k ? 1)( ? ) 2 k ?1 2 2 1 ? (2k ? 1)(k ? 1)(? ) 2 k ?1 ? 0 , 2
又 f 2 k ? 2 (0) ? (2k ? 1)(2k ? 2)( ? )
2k

1 2

, f 2 k ?1 (0) ? 2k (2k ? 1)( ? )

? S 2 k ?1 ? S 2 k ?1 ,因此数列 ?S 2 k ?1? (k ? 1, 2, ) 是递减数列
又 S1 ? f 2 (0) ? 2 , S3 ? f 2 (0) ? f 3 (0) ? f 4 (0) ? 2 , 故当 n ? 1 或 n ? 3 时, S n 取最大值 S1 ? S3 ? 2

【编号】84

【难度】较难

71 . ( 广 东 省 惠 州 市 2013 届 高 三 4 月 模 拟 考 试 数 学 理 试 题 ( WORD 版 ) )已知函数

f ( x) ? log mx ( m 为常数, 0 ? m ? 1 ),且数列 ? f (an)? 是首项为 2 ,公差为 2 的等差数
列. (1) 若 bn ? an ? f (an ) ,当 m ?

2 时,求数列 ?bn? 的前 n 项和 Sn ; 2

(2)设 cn ? an ? lg an ,如果 ?cn? 中的每一项恒小于它后面的项,求 m 的取值范围.
【答案】(1) 证:由题意

f (an) ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ,即 log man ? 2n ,

? an ? m2 n
bn ? an ? f (an) ? 2n ? m 2 n ,
当m ?

1 n ?1 2 时, bn ? an ? f (an ) ? n ? ( ) 2 2
1 2
0

∴ Sn ? 1 ? ( ) ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ?
1 2

1 2

1 2

1 ? n ? ( ) n ?1 , 2 1 ? n ? ( )n 2




1 1 1 1 Sn ? 1? ( )1 ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? 2 2 2 2
①-②,得

1 1 1 1 1 Sn ? ( )0 ? ( )1 ? ( ) 2 ? ( )3 ? 2 2 2 2 2

1 1 ? ( ) n ?1 ? n ? ( ) n 2 2

1 1? (1 ? ( ) n ) 2 ? n ? ( 1 )n ? 1 2 1? ( ) 2
∴ Sn ? ?(n ? 2) ? ( )

1 2

n ?1

?4
?

(2) 解:由(1)知, cn ? an ? lg an ? 2n ? m 2 n lg m ,要使 cn ? cn ?1 对一切 n ? N 成立, 即 n lg m ? (n ? 1)m lg m 对一切 n ? N 成立
2

?

0 ? m ? 1,? lg m ? 0 ? n ? (n ? 1)m 2 ,对一切 n ? N ? 恒成立,
只需 m ? (
2

n ) min , n ?1

n 1 n 1 ? 1? ) min ? 单调递增,∴当 n ? 1 时, ( n ?1 n ?1 n ?1 2
∴m ?
2

1 2 ,且 0 ? k ? 1 , ∴ 0 ? m ? 2 2
2 ) 满足条件 2
1 . x ?a
2

综上所述,存在实数 m ? (0,

72. (广东省潮州市 2013 届高三第二次模拟考试数学 (理) 试题) 设 a ? 0 ,函数 f ( x ) ?

(Ⅰ)证明:存在唯一实数 x0 ? (0, ) ,使 f ( x0 ) ? x0 ; (Ⅱ)定义数列 {xn } : x1 ? 0 , xn?1 ? f ( xn ) , n ? N .
*

1 a

(i)求证:对任意正整数 n 都有 x2n?1 ? x0 ? x2n ; (ii) 当 a ? 2 时 , 若 0 ? xk ? 有: xm ? k ? xk ?

1 (k ? 2,3,4, ) , 证 明 : 对 任 意 m ? N * 都 2

1 . 3 ? 4k ?1

【答案】(Ⅰ)证明: ①

f ( x) ? x ? x3 ? ax ?1 ? 0
1 a 1 ? 0, a3

3 令 h( x) ? x ? ax ?1 ,则 h(0) ? ?1 ? 0 , h( ) ?

∴ h(0) ? h( ) ? 0 又 h ( x) ? 3x ? a ? 0 ,∴ h( x) ? x ? ax ?1 是 R 上的增函数
/ 2 3

1 a

故 h( x) ? x ? ax ?1 在区间 ? 0,
3

? ?

1? ? 上有唯一零点, a?

即存在唯一实数 x0 ? ? 0,

? ?

1? ? 使 f ( x0 ) ? x0 a?
1 ? 1? , 由①知 x0 ? ? 0, ? , 即 x1 ? x0 ? x2 成 a ? a? 1 在 ? 0, ??? 上是减函数 , x ?a
2

②当 n ? 1 时 , x1 ? 0 , x2 ? f ( x1 ) ? f (0) ? 立;

设当 n ? k ( k ? 2) 时 , x2k ?1 ? x0 ? x2k , 注意到 f ( x ) ? 且 xk ? 0 , 故有: f ( x2k ?1 ) ? f ( x0 ) ? f ( x2k ) ,即 x2k ? x0 ? x2k ?1

∴ f ( x2k ) ? f ( x0 ) ? f ( x2k ?1 ) , 即 x2k ?1 ? x0 ? x2k ? 2 .这就是说, n ? k ? 1 时,结论也成立. 故对任意正整数 n 都有: x2n?1 ? x0 ? x2n (2)当 a ? 2 时,由 x1 ? 0 得: x2 ? f ( x1 ) ? f (0) ?

1 1 , x2 ? x1 ? 2 2

2 2 x2 ? x12 x2 ? x1 x2 ? x1 1 1 1 1 ?1? ? ? ? x ? x ? x3 ? x2 ? 2 ? ? 2 2 1 ? ? 4 2 4 x2 ? 2 x12 ? 2 ( x2 ? 2)( x12 ? 2) ?4?

当 k ? 2 时, 0 ? xk ?

1 , 2

xk ? xk ?1 xk ? xk ?1 xk ? xk ?1 xk2 ? xk2?1 1 1 ? ? ? 2 ? 2 ∴ xk ?1 ? xk ? 2 2 4 4 xk ? 2 xk ?1 ? 2 ( xk ? 2)( xk ?1 ? 2)
?1? ? ? ? ? xk ?1 ? xk ?2 ? ?4?
*

2

?1? ?? ? ?4?

k ?2

1? ? x3 ? x2 ? ? ? ? ?4?

k

对 ?m ? N , xm?k ? xk ? ( xm?k ? xm?k ?1 ) ? ( xm?k ?1 ? xm?k ?2 ) ?

? ( xk ?1 ? xk )

? xm?k ? xm?k ?1 ? xm?k ?1 ? xm?k ?2 ?
1 ? 1 ? ? m?1 ? m?2 ? 4 ?4 ?

? xk ?1 ? xk

1 1 ? ? ? 1? xk ?1 ? xk 42 4 ?

1 4m x ? x ? 4 ? ? 1 ? 1 ? ? x ? x ? 4 ? 1 ? 1 ? k ?1 k m ? 1 k ?1 k 3 ? 3 4k 3 ? 4k ?1 ? 4 ? 1? 4 1?
73 . ( 广 东 省 潮 州 市 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 数 列 {an } 满

足: a1 ? 1, a 2 ?

an?1 1 * ,且 an? 2 ? ( n ? N ). 2 an ? an?1

2

(Ⅰ)求证:数列 {

an } 为等差数列; a n ?1

(Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)求下表中前 n 行所有数的和 S n .

a1 a1 a2 a1a2 a3 a1an an?1 a2 an?1 an?1 a2 a1 a3 an a1 an?1

……………………………

??

…………………………………………

【答案】解:(Ⅰ)由条件 a1 ? 1, a 2 ?

an?1 1 , an? 2 ? ,得 2 an ? an?1

2

a an ? 2 a n ?1 a ? ? n ?1 ? n ? 1 an ?1 an ? an ?1 an ? 2 an ?1
∴ 数列 {

an } 为等差数列. a n ?1
an a ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 1 an ?1 a2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得



a1 a1 a2 a ? ? ? ? ? n ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n! an a n a 2 a3
an ? 1 n!
( k ? 1,2,?, n )



(Ⅲ)?

ak an?k ?1 (n ? 1)! k ? Cn ? ?1 k!(n ? k ? 1)! an?1



第 n 行各数之和

a1an a2 an?1 a a ? ? ?? ? n 1 an?1 an?1 an?1
( n ? 1, 2, ?? )

1 2 n n?1 ? Cn ?2 ?1 ? Cn?1 ? ? ? Cn?1 ? 2

∴ 表中前 n 行所有数的和

S n ? (22 ? 2) ? (23 ? 2) ? ? ? (2n?1 ? 2)
? (22 ? 23 ?
?

? 2n?1 ) ? 2n

22 (2n ? 1) ? 2n ? 2n? 2 ? 2n ? 4 . 2 ?1