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2016届高考数学大一轮复习 第7章 立体几何学案 文 新人教版


第七章

立体几何

第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图 [基础知识深耕] 一、空间几何体的结构特征

(1)棱柱的侧棱都平行且相等,上、下底面是全等的多边形. 多面体 (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形. (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是相似多边形.

1

(1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到. 旋转体 (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、 下底中点连线所在直线旋 转得到,也可由平行于底面的平面截圆锥得到. (4)球可以由半圆面或圆面绕直径所在直线旋转得到.

【方法技巧】 在几何体的有关计算中,要注意下列方法与技巧: (1)研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面,这是因为在轴截面中,集中反映了旋转体的各主要元素之间的位 置、数量关系. (2)将圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要方法之一. (3)圆(棱)台问题有时需要将圆(棱)台还原成圆(棱)锥来解决. (4)关于球的问题中的计算,常作球的一个大圆,化“球”为“圆”,应用平面几何的有关知识解决;关于球与多面体的切接问题, 要恰当地选取截面,化空间为平面. 二、空间几何体的三视图
2

1.三视图的形成 空间几何体的三视图是用平行投影得到的,在这种投影之下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与平面图形的形状和大小是完全 相同的. 2.三视图的名称 三视图包括:正视图、侧视图和俯视图. 3.三视图的画法 (1)在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成虚线. (2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线. 三、空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,基本步骤是: (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴,两轴相交于点 O,画直观图时,把它们画成对应的 x′轴、y′轴,两轴相交于点 O′,且使 ∠x′O′y′=45°或 135°,已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中长度不变,平行于 y 轴的线段,长度为原来的一半. (2)画几何体的高 在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面,在直观图中对应的 z′轴,也垂直于 x′O′y′平面,已知图形中平行于 z 轴的线段, 在直观图中仍平行于 z′轴且长度不变. 【拓展延伸】 平面图形的直观图与原图形面积的两个关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系:

S 直观图=

2 S 原图形,S 原图形=2 2S 直观图. 4 [基础能力提升]

1.下列说法正确的是(

)

A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D.棱台各侧棱的延长线交于一点 【解析】 如图(1),(2),(3)可知 A,B,C 均错误.

(1) 【答案】 D

(2)

(3)

2.如图 7?1?1 所示,下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是(

)
3

图 7?1?1 A.①② B.②③ C.②④ D.③④

【解析】 由几何体的结构可知,只有圆锥、正四棱锥两几何体的正视图和侧视图相同,且不与俯视图相同. 【答案】 C 3.有一个几何体的三视图如图 7?1?2 所示,这个几何体应是一个( )

图 7?1?2 A.棱台 【解析】 由几何体的三视图可知该几何体是一个棱台. 【答案】 A 4.利用斜二测画法得到的: ①三角形的直观图一定是三角形; ②正方形的直观图一定是菱形; ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形; ④菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的序号是________. 【解析】 由斜二测画法原理可知①正确,②③④均不正确. 【答案】 ① B.棱锥 C.棱柱 D.都不对

4

1.两个概念——正棱柱、正棱锥的概念 (1)正棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反之,正棱柱的底面是正多边形,侧棱垂直 于底面,侧面是矩形. (2)正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地,各棱均相等的正三棱锥叫做正 四面体. 2.三个注意点——画三视图应注意的三个问题 (1)若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,要注意实、虚线的画法. (2)确定正视、侧视、俯视的方向,观察同一物体方向不同,所画的三视图也不同. (3)观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的,并注意它们的组成方式,特别是它们的交线位置. 第二节 空间几何体的表面积与体积 [基础知识深耕] 一、几何体的表面积 1.多面体的表面积 因为多面体的各面都是平面,所以多面体的表面积就是各个面的面积之和,即展开图的面积. 2.旋转体的表面积 名称 图形 表面积 侧面积

圆柱

S=2π r2+2π rl 或 2π r(r+l)

S 侧=π rl

5

圆锥

S=π r2+π rl
或 π r(r+l)

S 侧=2π rl

圆台

S=π (r′2+r2+r′l+rl)

S 侧=π (r+r′)l



S=4π R2

【拓展延伸】 空间图形的展开图及其应用 空间图形的展开图主要用于求其表面积,至于规则的多面体,不用展开图,也能求其表面积. 展开图的另一个应用是求从几何体的表面上一点沿表面到达另一点的最短距离,这个问题可以用展开图化成平面内两点间的距离求 解. 二、几何体的体积 1.设棱(圆)柱的底面积为 S,高为 h,则体积 V=Sh. 1 2.设棱(圆)锥的底面积为 S,高为 h,则体积 V= Sh. 3 1 3.设棱(圆)台的上、下底面面积分别为 S′,S,高为 h,则体积 V= (S′+ S′S+S)h. 3 4 3 4.设球半径为 R,则球的体积 V= π R . 3 【方法技巧】 割补法求表面积与体积 对于不规则的几何体或简单的组合体的表面积和体积的求解通常用割补法,转化为简单规则的几何体进行解决. 【拓展延伸】 球截面及其性质 用一个平面去截球,截面都是圆面.若平面经过球心,截球面得到的圆叫大圆,其半径等于球半径,圆心就是球心.若平面不经过球 心,截球面得到的圆叫小圆,其半径小于球半径,其圆心与球心的连线垂直于截面.设球半径为 R,小圆半径为 r,球心到截面的距离为 d, 则 d= R -r . [基础能力提升] 1.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图 7?2?1 所示,则其侧面积 等于( ... )
2 2

图 7?2?1 A. 3 B.2 C.2 3 D.6
6

【解析】 由三棱柱的正视图可知此三棱柱为底面边长为 2,侧棱长为 1 的正三棱柱,∴S 侧=2×1×3=6. 【答案】 D 2.圆柱的一个底面积为 S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是( A.4π S C.π S 【解析】 设圆柱的底面半径为 r, 则 S=π r , ∴r=
2

)

B.2π S D. 2 3 πS 3

S
π

.

由题意得圆柱的高 h=2π r, ∴S 侧=2π r·h=4π · =4π S. π 【答案】 A 3.长方体的三个相邻面的面积分别为 2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,则这个球的面积为( 7 A. π 2 C.14π B.56π D.64π )
2

S

ab=2, ? ? 【解析】 设过长方体同一顶点的三条棱长分别为 a,b,c,则?bc=3, ? ?ac=6,
令球的半径为 R,则(2R) =2 +1 +3 =14, 即该球的表面积 S=4π R =14π . 【答案】 C
2 2 2 2 2

a=2, ? ? 得?b=1, ? ?c=3,

4.一平面截一球得到直径为 6 cm 的圆面,球心到这个平面的距离为 4 cm,则球的体积为________cm .

3

4π 500π 3 3 【解析】 如图所示,由已知可得 O1A=3 cm,OO1=4 cm,从而 R=OA=5 cm,所以 V 球= ×5 = (cm ). 3 3 【答案】 500π 3

7

1.一种思想——旋转体侧面积问题中的转化思想 计算旋转体的侧面积时,一般采用转化的方法来进行,即将侧面展开化为平面图形,“化曲为直”来解决,因此要熟悉常见旋转体的 侧面展开图的形状及平面图形面积的求法. 2.两个注意点——求空间几何体的表面积应注意两点 (1)求组合体的表面积时,要注意各几何体重叠部分的处理. (2)底面是梯形的四棱柱侧放时,容易和四棱台混淆,在识别时要紧扣定义,以防出错. 3.三种方法——求空间几何体体积的常用方法 (1)公式法:直接根据相关的体积公式计算. (2)等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等. (3)割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几何体. 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 [基础知识深耕] 一、平面的基本性质 名称 公理 1 图示 文字表示 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在 此平面内 符号表示

A∈l,B∈l,且 A∈α ,B∈α ? l? α

8

公理 2

过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面

公理 3

如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只 有一条过该点的公共直线

P∈α ,且 P∈β ? α ∩β =l 且 P∈l

【拓展延伸】 公理 2 的三个推论 推论 1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面; 推论 2:经过两条相交直线有且只有一个平面; 推论 3:经过两条平行直线有且只有一个平面. 二、空间直线的位置关系 1.位置关系的分类
?相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点. ?共面直线? ? ? ?平行直线:同一平面内,无公共点. ? ?异面直线:不同在任何一个平面内,无公共点.

2.平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 3.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 4.异面直线所成的角(或夹角) (1)定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间中任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,把 a′与 b′所成的锐角或直角叫做异面直线 a 与

b 所成的角.

? π? (2)范围:?0, ?. 2? ?
【拓展延伸】 异面直线的判定方法 (1)定义法:依据定义判断两直线不可能在同一平面内. (2)定理法:过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线.(此结论可作为定理使用) (3)反证法:即假设两直线不是异面直线,那么它们是共面直线(即假设两直线相交或平行),结合原题中的条件,得出矛盾,否定假 设. 三、空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 平行 关系 图形 语言 符号 语言 直线与平面 平面与平面

a∥b

a∥α

α ∥β

9

相交 关系

图形 语言 符号 语言

a∩b=A

a∩α =A

α ∩β =l

独有 关系

图形 语言 符号 语言

a,b 是异面直线

a? α

[基础能力提升] 1.给出下列命题: ①如果两个不重合的平面 α ,β 有一条公共直线 a,就说平面 α ,β 相交,并记作 α ∩β =a; ②两个平面 α ,β 有一个公共点 A,就说 α ,β 相交于过 A 点的任意一条直线; ③两个平面 α ,β 有一个公共点 A,就说 α ,β 相交于 A 点,并记作 α ∩β =A; ④平面 ABC 与平面 DBC 相交于线段 BC; ⑤两两相交的三条直线最多可以确定三个平面. 其中正确的是( A.①②⑤ C.①④ 【解析】 ②不正确,该直线是唯一确定的; ③不正确,α ∩β =l,且 A∈l 上; ④不正确,平面 ABC 与平面 DBC 相交于直线 BC; ①⑤均正确. 【答案】 D 2.下列说法正确的是( ) ) B.③④⑤ D.①⑤

A.若 a? α ,b? β ,则 a 与 b 是异面直线 B.若 a 与 b 异面,b 与 c 异面,则 a 与 c 异面 C.若 a,b 不同在平面 α 内,则 a 与 b 异面 D.若 a,b 不同在任何一个平面内,则 a 与 b 异面

【解析】 如图,正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,分别取 a=AA1,b=CC1 可知 A、C 错误;取 a=AA1,b=BD,c=CC1,易知 B 错误,D 符合异 面直线的定义.
10

【答案】 D

图 7?3?1 3.如图 7?3?1 所示,点 A 是平面 BCD 外一点,AD=BC=2,E,F 分别是 AB,CD 的中点,且 EF= 2,则异面直线 AD 和 BC 所成的角为 ________. 【解析】 如图,设 G 是 AC 的中点,连接 EG,FG.

1 1 因为 E,F 分别是 AB,CD 的中点,故 EG∥BC,且 EG= BC=1,FG∥AD,且 FG= AD=1. 2 2 即∠EGF 为所求, 又 EF= 2,由勾股定理逆定理可得∠EGF=90°. 【答案】 90°. 4.下列结论正确的是________. ①直线 a∥平面 α ,直线 b? α ,则 a∥b; ②直线 a∥α ,直线 b∥α ,则直线 a∥b; ③a?α ,则 a∥α 或和 α 相交; ④a∩α =A,则 a?α ; ⑤若 a? α ,b?α ,则 a、b 无公共点. 【解析】 ①错,a,b 可能异面;②错,a,b 可能异面或相交;③对,a?α ,包含两种情况相交或平行;④对,a 和 α 相交;⑤错,

a,b 可能相交.
【答案】 ③④

11

1.一种方法——异面直线所成角的求法 求异面直线所成角常用“平移法”,把空间问题平面化,然后借助三角形的边角关系求解. 2.两个易误点——概念辨析 (1)异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实质上两异面直线不能确定任何一个平面,因此异面直线 既不平行,也不相交. (2)直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”. 3.三个作用——3 个公理的作用 (1)公理 1 的作用:①检验平面;②判断直线在平面内;③由直线在平面内判断直线上的点在平面内;④由直线的直刻画平面的平. (2)公理 2 的作用:公理 2 及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法. (3)公理 3 的作用:①判定两平面相交;②作两平面相交的交线;③证明多点共线. 第四节 直线、平面平行的判定 及其性质[基础知识深耕] 一、直线与平面平行 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言

判定定理

平面外一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与此平面 平行

l?α ? ?
? l∥α

l∥a ? ? a? α ?

2.性质定理 文字语言 图形语言 符号语言
12

性质定理

一条直线与一个平面平行, 则过这条直线的任一平面与此 平面的交线与该直线平行

? ? a? β ? α ∩β =b? ?
a∥α
? a∥b

【拓展延伸】 (1)证线面平行 ①若 a∥α ,a∥b,b?α ,则 b∥α . ②若 a∥α ,α ∥β ,a?β ,则 a∥β . (2)线面平行的性质 ①若 a∥α ,a∥β ,α ∩β =b,则 a∥b. ②若 a∥α ,a⊥β ,则 α ⊥β . 二、平面与平面平行 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言

判定定理

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这 两个平面平行

? ? a∥β ? b∥β ? a∩b=P?
b? α
? α ∥β 图形语言 符号语言

a? α

2.性质定理 文字语言

性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交 线平行

? ? α ? γ =a? β ∩γ =b? ?
α ∥β ? a∥b

【拓展延伸】 平面与平面平行的几个性质 (1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等. (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. (5)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行. (6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行. [基础能力提升] 1.若直线 a 不平行于平面 α ,则下列结论成立的是( )
13

A.α 内的所有直线都与直线 a 异面 B.α 内可能存在与 a 平行的直线 C.α 内的直线都与 a 相交 D.直线 a 与平面 α 没有公共点 【解析】 直线 a 与 α 不平行,则直线 a 在 α 内或与 α 相交,当直线 a 在平面 α 内时,在 α 内存在与 a 平行的直线,B 正确. 【答案】 B 2.下列说法中正确的是( )

①一条直线如果和一个平面平行,它就和这个平面内的无数条直线平行;②一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线 无公共点;③过直线外一点,有且仅有一个平面和已知直线平行;④如果直线 l 和平面 α 平行,那么过平面 α 内一点和直线 l 平行的直 线在 α 内. A.①②③④ C.②④ B.①②③ D.①②④

【解析】 由线面平行的性质定理知①④正确;由直线与平面平行的定义知②正确;③错误,因为经过一点可作一直线与已知直线平 行,而经过这条直线可作无数个平面. 【答案】 D 3.下列条件中,能判断两个平面平行的是( A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 【解析】 由两个平面平行的定义可知 D 正确. 【答案】 D 4.已知正方体 ABCD?A1B1C1D1,下列结论中,正确的结论是________(只填序号). ①AD1∥BC1; ②平面 AB1D1∥平面 BDC1; ③AD1∥DC1; ④AD1∥平面 BDC1. )

【解析】 如图,∵四边形 ABC1D1 是平行四边形,∴AD1∥BC1,故①④正确;又 AD1 与 DC1 为异面直线,故③错误;又由 B1D1∥BD,可 知②正确. 【答案】 ①②④

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1.一个转化——三种平行关系间的转化

2.两个注意点——证明平行问题 (1)在推证线面平行时,必须满足三个条件:一是直线 a 在已知平面外;二是直线 b 在已知平面内;三是两直线平行. (2)把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则该直线与交线平行. 第五节 直线、平面垂直的判定 及其性质[基础知识深耕] 一、直线与平面垂直 1.定义 直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直,就说直线 l 与平面 α 互相垂直. 2.判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言

a,b? α
判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该 直线与此平面垂直

a∩b=O l⊥a l⊥b
? l⊥α

? ? ? ? ?

性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行

a⊥α ? ? ? ? b⊥α ?
? a∥b
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【拓展延伸】 与垂直相关的几个重要结论 1.直线与平面垂直的定义常常逆用,即 a⊥α ,b? α ? a⊥b. 2.若两平行直线中一条垂直于平面,则另一条也垂直于该平面. 3.垂直于同一条直线的两个平面平行. 4.过一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 5.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 二、平面与平面垂直 1.平面和平面垂直的定义 两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言

判定定理

一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直

l⊥α ? ? ?? α ⊥β l? β ? ?

性质定理

两个平面垂直, 则一个平面内垂直于它们交线的直线 与另一个平面垂直

? ? ? α ∩β =a ? ? l⊥a
α ⊥β

l? β

? l⊥α

【拓展延伸】 垂直关系的转化

三、线面角与二面角 1.直线和平面所成的角 (1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角. (2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时,规定直线和平面所成的角分别为 90°和 0°. 2.二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角 的平面角. [基础能力提升] 1.给出下列四个命题:
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①垂直于同一平面的两条直线相互平行; ②垂直于同一平面的两个平面相互平行; ③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线,那么这条直线垂直于这个平面. 其中真命题的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4

【解析】 由线面垂直的性质定理知①正确;由线面垂直的定义知④正确,故选 B. 【答案】 B 2.如果直线 l,m 与平面 α ,β ,γ 满足:β ∩γ =l,l∥α ,m? α 和 m⊥γ ,那么必有( A.α ⊥γ 且 l⊥m C.α ⊥γ 且 m∥β 【解析】 ∵m⊥γ ,m? α ,∴α ⊥γ , 又 β ∩γ =l,∴l? γ ,∴l⊥m. 【答案】 A B.α ∥β 且 α ⊥γ D.m∥β 且 l∥m )

图 7?5?2 3. 如图 7?5?2 所示, AB 是圆的直径, PA 垂直于圆所在的平面, C 是圆上一点(不同于 A、 B)且 PA=AC, 则二面角 P?BC?A 的大小为( A.60° C.45° 【解析】 ∵PA⊥平面 ABC, ∴PA⊥BC, 易得 BC⊥AC,∴BC⊥平面 PAC, ∴BC⊥PC,∴∠PCA 为二面角 P?BC?A 的平面角. 在 Rt△PAC 中,PA=AC. ∴∠PCA=45°. 【答案】 C B.30° D.15° )

图 7?5?3 4.如图 7?5?3 所示,已知△ABC 为等腰直角三角形,P 为空间一点,且 AC=BC=5 2,PC⊥AC,PC⊥BC,PC=5,AB 的中点为 M,则

PM 与平面 ABC 所成的角为________.
【解析】 ∵PC⊥AC, PC⊥BC, 又 AC∩BC=C, ∴PC⊥平面 ABC, ∴PM 在平面 ABC 内的射影为 CM, 故∠PMC 为 PM 与平面 ABC 所成的角. 又
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AC=BC=5 2,∠ACB=90°,∴CM=5,又 PC=5,∴△PCM 为等腰直角三角形,所以∠PMC=45°,即 PM 与平面 ABC 所成的角为 45°.
【答案】 45°

三种垂直关系的证明 (1)证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义:a 与 α 内任何直线都垂直? a⊥α ; ②判定定理 1:
? m,n? α ,m∩n=A? ?? l⊥α ; ? ?

l⊥m,l⊥n

③判定定理 2:a∥b,a⊥α ? b⊥α ; ④面面平行的性质:α ∥β ,a⊥α ? a⊥β ; ⑤面面垂直的性质:α ⊥β ,α ∩β =l,a? α ,a⊥l? a⊥β . (2)证明线线垂直的方法 ①定义:两条直线所成的角为 90°; ②平面几何中证明线线垂直的方法; ③线面垂直的性质:a⊥α ,b? α ? a⊥b; ④线面垂直的性质:a⊥α ,b∥α ? a⊥b. (3)证明面面垂直的方法 ①利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角; ②判定定理:a? α ,a⊥β ? α ⊥β .

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