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山东省德州市2015届高三数学3月一模试题 文(含解析)


2015 年山东省德州市高考数学一模试卷(文科)
一、选择题(50 分) 1. (5 分) (2015?德州一模)设复数 z 的共轭复数为 ,若(2+i)z=3﹣i,则 A. 1 B. 2 C. D. 4 的值为( )

【考点】 : 复数代数形式的乘除运算. 【专题】 : 数系的扩充和复数. 【分析】 : 把已知的等式变形, 然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z, 再由 得答案.

【解析】 : 解:由(2+i)z=3﹣i,得 ∴ = .



故选:B. 【点评】 : 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 2. (5 分) (2015?德州一模)设全集 U={x∈N|x<6},集合 A={l,3},B={3,5},则(?UA)∩ (?UB)=( ) A. {2,4} B. {2,4,6} C. {0,2,4} D. {0,2,4,6} 【考点】 : 交、并、补集的混合运算. 【专题】 : 计算题. 【分析】 : 列举出全集 U 中的元素,求出 A 与 B 的补集,找出两补集的交集即可. 【解析】 : 解:∵全集 U={x∈N|x<6}={0,1,2,3,4,5},集合 A={l,3},B={3,5}, ∴?UA={0,2,4,5},?UB={0,1,2,4}, 则(?UA)∩ (?UB)={0,2,4}. 故选 C 【点评】 : 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 3. (5 分) (2015?德州一模)“≦p 为假命题”是“p∧q 为真命题”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【考点】 : 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】 : 简易逻辑. 【分析】 : 根据复合命题之间的关系进行判断. 【解析】 : 解:若¬p 为假命题,则 p 为真命题. 若 p∧q 为真命题,则 p,q 都为真命题, 故“≦p 为假命题”是“p∧q 为真命题”的必要不充分条件,
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故选:B. 【点评】 : 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据复合命题之间的关系是解决本题 的关键. 4. (5 分) (2015?德州一模)若 a=20.5,b=ln2,c=0.5e(e 是自然对数的底) ,则( A. a<b<c B. b>a>c C. a>c>b D. a>b>c 【考点】 : 对数值大小的比较. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 【解析】 : 解:∵a=20.5>1,1>b=ln2 = ,c=0.5e<0.51= . ∴a>b>c. 故选:D. 【点评】 : 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力,属于基础题. 5. (5 分) (2015?德州一模)执行如图所示的程序框图,若输入数据 n=3,a1=1,a2=2,a3=3, 则输出的结果为( ) )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【考点】 : 程序框图. 【专题】 : 图表型;算法和程序框图. 【分析】 : 根据框图的流程,写出前几次循环的结果,直到得到的 k>3,退出循环,输出 S 的值. 【解析】 : 解:由框图知,开始得到:n=3,a1=1,a2=2,a3=3, 第一次循环得到:S=1,k=2, 第二次循环得到:S= ,k=3, 第三次循环得到:S=2,k=4, 满足条件 k>3,退出循环,输出 S 的值是 2. 故选:C. 【点评】 : 本题考察查了程序框图中的当型循环,当型循环式先判断后执行,满足条件进入

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循环,不满足条件,算法结束. 6. (5 分) (2015?德州一模)若函数 f(x)=a2x﹣4,g(x)=loga|x|(a>0,且 a≠1) ,且 f(2) ?g(2)<0,则函数 f(x) ,g(x)在同一坐标系中的大致图象是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】 : 函数的图象. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 先由条件 f(2)?g(2)<0 确定 a 的取值范围,然后利用指数函数和对数函数的 性质去判断 f(x) ,g(x)的图象. 【解析】 : 解:由题意 f(x)=a2x﹣4 是指数型的,g(x)=loga|x|是对数型的且是一个偶函 数, 由 f(2)?g(2)<0,可得出 g(2)<0,故 loga2<0,故 0<a<1,由此特征可以确定 C、D 两选项不正确, 且 f(x)=a2x﹣4 是一个减函数,由此知 A 不对,B 选项是正确答案 故选:B. 【点评】 : 本题主要考查了函数图象的识别和应用.判断函数图象要充分利用函数本身的性 质,由 f(2)?g(2)<0 确定 a 的取值范围,是解决本题的关键. 7. (5 分) (2015?德州一模)棱长为 2 的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示,那 么被截去的几何体的体积是( )

A.

B.

C. 4 D. 3

【考点】 : 由三视图求面积、体积. 【专题】 : 计算题;空间位置关系与距离. 【分析】 : 三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构 建直观图,该几何体为正方体沿体对角线截成. 【解析】 : 解:该几何体为正方体沿体对角线截成, 其分成两部分的几何体的体积相等, 而正方体的体积 V=23=8, 故被截去的几何体的体积是 =4,
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故选 C. 【点评】 : 三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构 建直观图,本题考查了学生的空间想象力,识图能力及计算能力.

8. (5 分) (2015?德州一模)已知抛物线 y2=8x 与双曲线 物线的焦点,若|MF|=5,则该双曲线的渐近线方程为( A. 5x±3y=0 B. 3x±5y=0 C. 4x±5y=0 D. 5x±4y=0

﹣y2=1 的一个交点为 M,F 为抛 )

【考点】 : 双曲线的简单性质. 【专题】 : 圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : 求得抛物线的焦点和准线方程,设 M(m,n) ,则由抛物线的定义可得 m=3,进而 得到 M 的坐标,代入双曲线的方程,可得 a,再由渐近线方程即可得到所求. 【解析】 : 解:抛物线 y2=8x 的焦点 F(2,0) ,准线方程为 x=﹣2, 设 M(m,n) ,则由抛物线的定义可得 |MF|=m+2=5,解得 m=3, 由 n2=24,可得 n=±2 .

将 M(3,

)代入双曲线

﹣y2=1,

可得

﹣24=1,解得 a= ,

即有双曲线的渐近线方程为 y=± x. 即为 5x±3y=0. 故选 A. 【点评】 : 本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质,主要考查抛物线的定义和双曲线 的渐近线方程,考查运算能力,属于基础题.

9. (5 分) (2015?德州一模)已知 D 是不等式组 与 D 围成的区域面积为( A. B. )

所确定的平面区域,则圆 x2+y2=4

C. π D.

【考点】 : 两直线的夹角与到角问题;二元一次不等式(组)与平面区域. 【专题】 : 直线与圆. 【分析】 : 作出不等式组对应的平面区域,根据区域的图形进行求面积即可. 【解析】 : 解:作出不等式组对应的平面区域, 则公共区域如图:

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则直线 x﹣2y=0 的斜率 k= ,直线 x+3y=0 的斜率 k=



则两直线的夹角 θ 满足 tanθ=| 则阴影部分对应的面积之和 S= 故选:A.

|=1,则 θ= = ,



【点评】 : 本题主要考查二元一次不等式组的应用以及圆的扇形面积的求解,根据直线所成 的角求出两条直线的夹角是解决本题的关键. 10. (5 分) (2015?德州一模)设 m,n 是正整数,多项式(1﹣2x)m+(1﹣5x)n 中含 x 一 次项的系数为﹣16,则含 x2 项的系数是( ) A. ﹣13 B. 6 C. 79 D. 37 【考点】 : 二项式系数的性质. 【专题】 : 二项式定理. 【分析】 : 由含 x 一次项的系数为﹣16 利用二项展开式的通项公式求得 2m+5n=16 ①. ,再根 据 m、n 为正整数,可得 m=3、n=2,从而求得含 x2 项的系数. 【解析】 : 解:由于多项式(1﹣2x)m+(1﹣5x)n 中含 x 一次项的系数为 (﹣5)=﹣16, 可得 2m+5n=16 ①. 再根据 m、n 为正整数,可得 m=3、n=2, 故含 x2 项的系数是 ?(﹣2)2+ ?(﹣5)2=37, ?(﹣2)+ ?

故选:D. 【点评】 : 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质, 属于基础题. 11. (5 分) (2015?德州一模)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,其导函数为 f′ (x) , 当 x<0 时,2f(x)+xf′ (x)<0 恒成立,则 f(1) ,2014 ,2015

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在大小关系为( A. 2015 2014

) <2014 <f(1) B. 2015 <f(1)<

C. f(1)<2015 2015

<2014

D. f(1)<2014



【考点】 : 利用导数研究函数的单调性;函数奇偶性的性质;导数的运算. 【专题】 : 函数的性质及应用;导数的概念及应用. 【分析】 : 首先利用换元法设 g(x)=x2f(x) ,进一步利用函数的导数求出函数 g(x)的单调 性,再利用函数的奇偶性求出函数在对称区间里的单调性,最后求出函数大小关系. 【解析】 : 解:已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,其导函数为 f′ (x) , 则:设函数 g(x)=x2f(x) 则:g′ (x)=2xf(x)+x2f′ (x) =g′ (x)=x(2f(x)+xf′ (x) ) 当 x<0 时,2f(x)+xf′ (x)<0 恒成立, 则:函数 g′ (x)>0 所以函数在 x<0 时,函数 g(x)为单调递增函数. 由于函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 则:函数 g(x)=x2f(x)为奇函数. 所以:在 x>0 时,函数 g(x)为单调递增函数. 所以:g( 即: 故选:D 【点评】 : 本题考查的知识要点:利用函数的导数求函数的单调性,函数的奇偶性和函数单 调性的关系. 二、填空题(25 分) 12. (5 分) (2015?德州一模)某校对全校 1600 名男女学生的视力状况进行调查,现用分层抽 样的方法抽取一个容量是 200 的样本, 已知女生比男生少抽 10 人, 则该校的女生人数是 760 人. 【考点】 : 分层抽样方法;频率分布直方图. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : 先计算出样本中女学生人数,再根据分层抽样的性质计算出该校女生的人数. 【解析】 : 解:根据题意,设样本中女生人数为 x, 则(x+10)+x=200, 解得 x=95, )

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所以该校的女生人数是 人, 故答案为:760. 【点评】 : 本题考查分层抽样,先计算中样本中男女学生的人数是解决本题的关键,属基础 题.

13. (5 分) (2015?德州一模) 已知两个单位向量 , 的夹角为 60°, = (1﹣t) +t , 若 ? =0, 则 t= ﹣1 . 【考点】 : 平面向量数量积的运算. 【专题】 : 平面向量及应用. 【分析】 : 对 =(1﹣t) +t 两边与 作数量积即可得出. 【解析】 : 解:∵两个单位向量 , 的夹角为 60°, ∴ =1×1×cos60°= .

∵ =(1﹣t) +t , ? =0, ∴ =(1﹣t) + ,

∴0= (1﹣t)+t,解得 t=﹣1, 故答案为:﹣1. 【点评】 : 本题查克拉数量积运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 14. (5 分) (2015?渭南一模)要制作一个容积为 9m3,高为 1m 的无盖长方体容器,已知该 容器的底面造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总价是 300 元. 【考点】 : 函数模型的选择与应用. 【专题】 : 计算题;应用题;不等式的解法及应用. 【分析】 :设长方体容器的长为 xm, 宽为 ym; 从而可得 xy=9, 从而写出该容器的造价为 20xy+10 (x+x+y+y)=180+20(x+y) ,再利用基本不等式求最值即可. 【解析】 : 解:设长方体容器的长为 xm,宽为 ym; 则 x?y?1=9, 即 xy=9; 则该容器的造价为 20xy+10(x+x+y+y) =180+20(x+y) ≥180+20×2 =180+120=300;
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(当且仅当 x=y=3 时,等号成立) 故该容器的最低总价是 300 元; 故答案为:300. 【点评】 : 本题考查了基本不等式在实际问题中的应用,属于中档题.

15. (5 分) (2015?德州一模)将函数 f(x)=2sin(ωx﹣ 单位,得到函数 y=g(x)的图象,若 y=g(x)在[0,

) (ω>0)的图象向左平移



]上为增函数,则 ω 的最大值为 2 .

【考点】 : 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【专题】 : 计算题. 【分析】 : 函数 函数 y=g(x)的表达式,然后利用在 出 ω 的不等式,得到 ω 的最大值. 【解析】 : 解:函数 得到函数 y=g(x)=2sinωx,y=g(x)在 的图象向左平移 上为增函数,说明 个单位,得到

,利用周期公式,求

的图象向左平移 上为增函数,

个单位,

所以 ,即:ω≤2,所以 ω 的最大值为:2. 故答案为:2. 【点评】 : 本题是基础题,考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,注意函数的周 期与单调增区间的关系,考查计算能力,常考题型,题目新颖. 16. (5 分) (2015?德州一模)对于三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0) ,给出定义:设 f′ (x) 是函数 y=f(x)的导数,f′ ′ (x)是 f′ (x)的导数,若方程 f′ ′ (x)有实数解 x0,则称点(x0, f(x0) )为函数 y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任 何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数 f(x) x3﹣ x2+3x﹣ 你根据这一发现,计算 f( )+f( )+f( )+…+f( )= 2014 . ,请

【考点】 : 类比推理. 【专题】 : 计算题;推理和证明. 【分析】 : 由题意可推出( ,1)为 f(x)的对称中心,从而可得 f( ( )=2,从而求 f( )+f( 【解析】 : 解:f′ (x)=x2﹣x+3, 由 f′ ′ (x)=2x﹣1=0 得 x0= ,
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)+f(

)=2f

)+f(

)+…+f(

)=2014 的值.

f(x0)=1, 则( ,1)为 f(x)的对称中心,由于 则 f( )+f( )=2f( )=2, ,

则 f( )+f( )+f( )+…+f( )=2014. 故答案为:2014. 【点评】 : 本题考查了类比推理的应用,属于基础题. 三、解答题(75 分) 17. (12 分) (2015?德州一模)在如图所示的几何体中,四边形 CDEF 为正方形,ABCD 为等腰 梯形,AB∥CD,BD=2 ,AB=2AD=4,AE⊥BD.

(Ⅰ)求证:BD⊥平面 ADE; (Ⅱ)点 M 为 BD 的中点,证明:BF∥平面 ECM.

【考点】 : 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【专题】 : 证明题;空间位置关系与距离. 【分析】 : (Ⅰ) 由已知及勾股定理可证明 BD⊥AD, 又 AE⊥BD, 由 AD, AE?平面 ADE, AD∩ AE=A, 即可证明 BD⊥平面 ADE. (Ⅱ)连接 DF 与 EC 交于点 N,则 N 为 DF 的中点,可证明 MN∥BF,又 MN?平面 EMC,BF ?平面 EMC,即可判定 BF∥平面 ECM. 【解析】 : 证明: (Ⅰ)∵BD=2 ,AB=2AD=4

∴BD2+AD2=AB2…2 分 ∴BD⊥AD,…3 分 又 AE⊥BD,…4 分 AD,AE?平面 ADE,AD∩ AE=A ∴BD⊥平面 ADE…6 分 (Ⅱ)连接 DF 与 EC 交于点 N,则 N 为 DF 的中点…8 分 ∵M 是 BD 的中点, ∴MN∥BF,…10 分 又 MN?平面 EMC,BF?平面 EMC, ∴BF∥平面 ECM…12 分

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【点评】 : 本题主要考查了直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,属于基本知识 的考查. 18 . ( 12 分) ( 2015? 德州一模)在△ ABC 中,角 A , B , C 对边分别是 a , b , c ,满足 . (1)求角 A 的大小; (2)求 sinA?sinB?sinC 的最大值,并求取得最大值时角 B,C 的大小. 【考点】 : 余弦定理;平面向量数量积的运算. 【专题】 : 解三角形. 【分析】 : (1)由 .利用数量积运算可得:2bccosA=a2﹣(b+c)

2,展开再利用余弦定理可得 2bccosA=﹣2bccosA﹣2bc,化为 cosA=﹣ . ( 2 )由 sinA?sinB?sinC= ,当 【解析】 : 解: (1)∵ = ,可得 , = .利用两角和差的正弦公式、倍角公式可得 ﹣ ,由 .可得

时,sinA?sinB?sinC 取得最大值,即可得出. .

=cbcosA,

∴2bccosA=a2﹣(b+c)2,展开为:2bccosA=a2﹣b2﹣c2﹣2bc, ∴2bccosA=﹣2bccosA﹣2bc,化为 cosA=﹣ , ∵A∈(0,π) .∴ (2)∵ ,∴ . , .

∴sinA?sinB?sinC= = = =
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= = ∵ .∴ ﹣ ,





当 = 时,即 时,sinA?sinB?sinC 取得最大值 ,此时 B=C= . 【点评】 : 本题考查了数量积运算、余弦定理、两角和差的正弦公式、倍角公式、三角函数 的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 19. (12 分) (2015?德州一模)某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一 次停车不超过 1 小时收费 6 元,超过 1 小时的部分每小时收费 8 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) .现有甲、乙二人在该商区临时停车,两人停车都不超过 4 小时. (Ⅰ)若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为 ,停车付费多于 14 元的概率为 ,求 甲停车付费恰为 6 元的概率; (Ⅱ)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为 36 元的概 率. 【考点】 : 古典概型及其概率计算公式;互斥事件与对立事件. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : (Ⅰ)根据题意,由全部基本事件的概率之和为 1 求解即可. (Ⅱ)先列出甲、乙二人停车付费之和为 36 元的所有情况,再利用古典概型及其概率计算公 式求概率即可. 【解析】 : 解: (Ⅰ)设“甲临时停车付费恰为 6 元”为事件 A, 则 .

所以甲临时停车付费恰为 6 元的概率是 . (Ⅱ)设甲停车付费 a 元,乙停车付费 b 元,其中 a,b=6,14,22,30. 则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为: (6,6) , (6,14) , (6,22) , (6,30) , (14, 6) , (14,14) , (14,22) , (14,30) , (22,6) , (22,14) , (22,22) , (22,30) , (30,6) , (30,14) , (30,22) , (30,30) ,共 16 种情形. 其中, (6,30) , (14,22) , (22,14) , (30,6)这 4 种情形符合题意. 故“甲、乙二人停车付费之和为 36 元”的概率为 . 【点评】 : 本题考查古典概型及其概率计算公式、独立事件和互斥事件的概率,考查利用所 学知识解决问题的能力. 20. (12 分) (2015?德州一模)单调递增数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 4Sn=an2+4n. (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{bn}满足 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
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【考点】 : 数列的求和;数列递推式. 【专题】 : 等差数列与等比数列. 【分析】 : (1)由 4Sn=an2+4n,利用递推关系可得: ,变为(an

﹣2+an﹣1) (an﹣2﹣an﹣1)=0,利用数列{an}是单调递增数列,可得 an﹣an﹣1=2.利用等 差数列的通项公式即可得出;

(2)由数列{bn}满足 等比数列的前 n 项和公式即可得出. 【解析】 : 解: (1)∵4Sn=an2+4n. ∴当 n=1 时,4a1= 当 n≥2 时, +4,解得 a1=2; +4(n﹣1) ,

,可得

=

.再利用“错位相减法”、

∴4an=4Sn﹣4Sn﹣1=an2+4n﹣ 化为

, ,变为(an﹣2+an﹣1) (an﹣2﹣an﹣1)=0,

∴an+an﹣1=2 或 an﹣an﹣1=2. ∵数列{an}是单调递增数列,an+an﹣1=2 应该舍去, ∴an﹣an﹣1=2. ∴数列{an}是等差数列,首项为 2,公差为 2, ∴an=2+2(n﹣1)=2n. (2)∵数列{bn}满足 ,



=





=



∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=

+…+



=

+…+





=

+

+…+

=



=



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【点评】 : 本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与前 n 项和公式、对数的运算性质、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

21. (13 分) (2015?德州一模)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率等于 它的一个顶点恰好在抛物线 x2=8y 的准线上. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)点 P(2, ) ,Q(2,﹣



)在椭圆上,A,B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点.当

A,B 运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线 AB 的斜率是否为定值,请说明理由.

【考点】 : 椭圆的简单性质. 【专题】 : 圆锥曲线中的最值与范围问题.

【分析】 : (1)设椭圆 C 的标准方程为

(a>b>0) ,由椭圆的一个顶点恰好在抛

物线 x2=8y 的准线 y=﹣2 上,可得﹣b=﹣2,解得 b.又 ,a2=b2+c2,联立解得即可. (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由∠APQ=∠BPQ,则 PA,PB 的斜率互为相互数,可设直 线 PA 的斜率为 k,则 PB 的斜率为﹣k,直线 PA 的方程为: 联立化为 系、斜率计算公式即可得出. +4 =k(x﹣2) ,与椭圆的方程 ﹣ 16=0 ,利用根与系数的关

【解析】 : 解: (1)设椭圆 C 的标准方程为

(a>b>0) ,

∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线 x2=8y 的准线 y=﹣2 上, ∴﹣b=﹣2,解得 b=2. 又 ∴a=4, ,a2=b2+c2, ,

可得椭圆 C 的标准方程为



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(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , ∵∠APQ=∠BPQ,则 PA,PB 的斜率互为相互数, 可设直线 PA 的斜率为 k,则 PB 的斜率为﹣k, 直线 PA 的方程为: =k(x﹣2) ,

联立 化为

, +4 ﹣16=0,

∴x1+2=



同理可得:x2+2=

=



∴x1+x2=

,x1﹣x2=



kAB=

=

=



∴直线 AB 的斜率为定值 . 【点评】 : 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得 根与系数的关系、斜率计算公式、直线方程,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 22. (14 分) (2015?德州一模)已知函数 f(x)=x2﹣mlnx,h(x)=x2﹣ax+1(a>0) (1)设 A 是函数 f(x)=x2﹣mlnx 上的定点,且 f(x)在 A 点的切线与 y 轴垂直,求 m 的值; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)若存在实数 m 使函数 f(x) ,h(x)在公共定义域上具有相同的单调性,求证:m≥﹣ . 【考点】 : 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】 : 导数的综合应用. 【分析】 : (1)先求出定点的坐标,通过求导得到方程 f′ (1)=0,解出 m 的值即可; (2)先求出函数的导数,通过讨论 m 的范围,从而求出函数的单调区间;

(3)先求出 f(x) ,h(x)的公共定域,再求出 m=

,令 g(a)=m+ a3﹣6a+

,求出 g

(a)的导数,得到 g(a)的单调性,从而有 g(a)≥g(2)=0,问题得证. 【解析】 : 解: (1)由题意得:A(1,1) ,

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又 f′ (x)=2x﹣ ,∴f′ (x)=2﹣m, ∵f(x)在 A 点的切线与 y 轴垂直, ∴f′ (1)=0,∴2﹣m=0,∴m=2;

(2)∵f′ (x)=2x﹣ =

, (x>0) ,

∴若 m≤0 则 f(x)在(0,+∞)单调递增, 若 m>0,由 f′ (x)>0,可得 x> 由 f′ (x)<0 可得 0<x< , ) , 或 x<﹣ (舍) ,

∴m>0 时,f(x)的递增区间是( ,+∞) ,递减区间是(0, 综上可得:m≤0 时,f(x)增区间为(0,+∞) ,无减区间, m>0 时,f(x)的递增区间是( ,+∞) ,递减区间是(0, (3)易知 f(x) ,h(x)的公共定域为(0,+∞) ,

) ;

∵在(0,+∞)上,h(x)的递增区间是( ,+∞) ,递减区间是(0, ) , ∴若存在实数 m 使函数 f(x) ,h(x)在公共定域上具有相同的单调性,

再由(2)可得 m=0 且 令 g(a)=m+ a3﹣6a+

= ,解得:m= ,



则 g(a)= a3+ a2﹣6a+ , (a>0) , ∴g′ (a)=a2+a﹣6, (a>0) , 由 g′ (a)>0,解得:a<﹣3, (舍) ,或 a>2, 由 g′ (a)<0,解得:0<a<2, ∴g(a)在(0,2)递减,在(2,+∞)递增; ∴g(a)min=f(2)= +2﹣12+ =0,

∴g(a)≥g(2)=0,即 m≥﹣ a3+6a﹣ . 【点评】 : 本题考查了函数的单调性问题,考查了导数的应用,考查曲线的切线方程,本题 有一定的难度.

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