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重点班2017届高三数学一轮复习第十一篇计数原理概率随机变量及其分布第5节古典概型与几何概型课时训练理

第5节

古典概型与几何概型

【选题明细表】 知识点、方法 古典概型 几何概型 题号 1,2,3,7,9,10,12,13,15,16 4,5,6,8,11,14,16

2.从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则取出的 3 个数可作为三角形三边边长的概率是 ( A ) (A) (B) (C) (D)

解析:基本事件的总数为 =10,其中能构成三角形三边长的数组为(2,3,4),

(2,4,5),(3,4,5),故其概率为 . 3.若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数 m,n 作为点 P 的坐标,则点 P 落在圆 x +y = 16 内的概率为( A ) (A) (B) (C) (D)
2 2

解析:基本事件的总数是 36,点 P 落在圆内的基本事件是(1,1),(1,2),(1,3),(2, 1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共 8 个,故所求的概率是 =. 4.如图,矩形长为 6,宽为 4,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在椭圆外矩形内的黄豆为 96 颗,以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为( C )

(A)7.68 (B)8.68 (C)16.32

(D)17.32 =0.68.由几何概型的概率

解析:由随机模拟的思想方法,可得黄豆落在椭圆内的概率为

计算公式,可得

=0.68,而 S 矩形=6×4=24,则 S 椭圆=0.68×24=16.32.

5.(2015 山西省康杰中学等四校第三次联考)在面积为 S 的△ABC 内部任取一点 P,则△PBC 的面积大于的概率为( D ) (A) (B) (C) (D)

1

解析:记事件 A=△PBC 的面积超过,基本事件是三角形 ABC 的面积,如图,事件 A 的几何度量为 图中阴影部分的面积(DE∥BC 并且 AD∶AB=3∶4),

因为阴影部分的面积是整个三角形面积的() = ,所以 P(A)=

2

= .故选 D.

6.(2015 湖北七市 3 月联考)甲、 乙两位同学约定周日上午在某电影院旁见面,并约定谁先到 后必须等 10 分钟,若等待 10 分钟后另一人还没有来就离开.如果甲是 8:30 分到达的,假设乙 在 8 点到 9 点内到达,且乙在 8 点到 9 点之间何时到达是等可能的,则他们见面的概率是 ( C ) (A) (B) (C) (D) 解析:只要乙在 8:20~8:40 内到达即可,由于乙在 8:00~9:00 到达是等可能的,故他们能够 见面的概率是 =. 7.一个骰子连续投 2 次,点数和为 i(i=2,3,?,12)的概率记作 Pi,则 Pi 的最大值是( (A) (B) (C) (D) B )

解析:基本事件是 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6); (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6); (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6); (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6); (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6); (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) 共有 36 个.其中两数之和等于 7 的有 6 个,两数之和等于其余数字的都少于 6 个,故 P7= = 最大. 8.(2016 济宁模拟)在△ABC 中,∠ABC=60°,AB=2,BC=6,在 BC 上任取一点 D,使△ABD 为钝角 三角形的概率为 . 解析:如图,过点 A 作 AH⊥BC,垂足为 H,则在 Rt△AHB 中,BH=AB·cos 60°=2cos 60°=1;过 点 A 作 AM⊥AB,交 BC 于点 M,则在 Rt△ABM 中,BM= =4,故 MC=BC-BM=2.

2

由图可知,要使△ABD 为钝角三角形,则点 D 只能在线段 BH 或线段 MC 上选取,故所求事件的 概率 P= =.

答案: 9.(2015 高考天津卷)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27,9,18.现采用分 层抽样的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员组队参加比赛. (1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数; (2)将抽取的 6 名运动员进行编号,编号分别为 A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这 6 名运动员中随机抽 取 2 人参加双打比赛. ①用所给编号列出所有可能的结果; ②设 A 为事件“编号为 A5 和 A6 的两名运动员中至少有 1 人被抽到”,求事件 A 发生的概率. 解:(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为 3,1,2. (2)①从 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛的所有可能结果为{A1,A2}, {A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5}, {A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共 15 种. ②编号为 A5 和 A6 的两名运动员中至少有 1 人被抽到的所有可能结果为{A1,A5}, {A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共 9 种. 因此,事件 A 发生的概率 P(A)= =. 10.现有一批产品共有 10 件,其中 8 件为正品,2 件为次品. (1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续 3 次取出的都是正品的概率. (2)如果从中一次取 3 件,求 3 件都是正品的概率. 解:(1)有放回地抽取 3 次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x,y,z 都有 10 种可能, 3 所以基本事件总数为 10×10×10=10 (种); 3 设事 件 A 为“连 续 3 次都取出正品” , 则包含的基本事件共 有 8×8×8=8 种 , 因 此 P(A)= =0.512.

(2)可以看作不放回抽样 3 次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z), 则 x 有 10 种可能,y 有 9 种可能,z 有 8 种可能, 所以基本事件总数为 10×9×8. 设事件 B 为“3 件都是正品”, 则事件 B 包含的基本事件总数为 8×7×6, 所以 P(B)= = .

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能力提升练(时间:15 分钟) 11.(2016 湖北省高三一轮检测)如图,大正方形的面积是 34,四个全等直角三角形围成一个 小正方形,直角三角形的较短边长为 3,向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵,则小花朵落在小 正方形内的概率为( B )

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:因为大正方形的面积是 34,所以大正方形的边长是

,由直角三角形的较短边长为 3,

得四个全等直角三角形的直角边分别是 5 和 3,则小正方形边长为 2,面积为 4.所以小花朵落 在小正方形内的概率为 P= = . 12.考察正方体 6 个面的中心,从中任意选 3 个点连成三角形,再把剩下的 3 个点也连成三角 形,则所得的两个三角形全等的概率等于( A ) (A)1 (B) (C) (D)0 解析:如图所示,正方体 6 个面的中心构成一个八面体,如果选取的是表面上的一个面上的三 个点,则剩余的是另一个侧面上的三个点,这两个三角形都是边长相等的正三角形,两三角形 全等;如果选取的是图中正方形中四个点中的三个,这个三角形是等腰直角三角形,此时剩下 的三个点是与上面正方形全等的正方形中四个点的三个,这三个点构成一个和上面三角形全 等的等腰直角三角形.综上可知,这是一个必然事件,其概率值为 1.

13.锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个,花生馅汤圆 5 个,豆沙馅汤圆 4 个,这三种汤圆的外部特征完全 相同.从中任意舀取 4 个汤圆,则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为 . 解析:基本事件的总数就是从 15 个元素中任取 4 个元素的组合数,随机事件“每种汤圆都至 少取到 1 个”可以分为三类: “芝麻馅汤圆 1 个,花生馅汤圆 1 个,豆沙馅汤圆 2 个”,“芝 麻馅汤圆 1 个,花生馅汤圆 2 个,豆沙馅汤圆 1 个”,“芝麻馅汤圆 2 个,花生馅汤圆 1 个,豆 沙馅汤圆 1 个” ,分步计算其包含的基本事件的个数即可.因为总的舀法 件 “ 每 种 汤 圆 都 至 少 取 到 × × + × × + × × , 1 ,根据分析随机事

个 ” 所 包 含 的 基 本 事 件 的 个 数 是

故所求概率为

= .

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答案: 14.(2015 泰安二模)如图,矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(0,-1),B(π ,-1), C(π ,1),D(0,1),正弦曲线 f(x)=sin x 和余弦曲线 g(x)=cos x 在矩形 ABCD 内交于点 F,向 矩形 ABCD 区域内随机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率是 .

解析:f(x)=sin x,g(x)=cos x 在[0,π ]内的交点横坐标为,g(x)=cos x 与 x 轴交点的横坐标 为,阴影部分的面积为 (sin x-cos x)dx+2 sin xdx=(-cos x-sin x)

-2cos x

=

+1,矩形区域的面积为 2π ,故所求的概率为

.

答案: 15.(2014 高考重庆卷)20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图 如图:

(1)求频率分布直方图中 a 的值; (2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数; (3)从成绩在[50,70)的学生中任选 2 人,求此 2 人的成绩都在[60,70)中的概率. 解:(1)据频率分布直方图知组距为 10. 由(2a+3a+6a+7a+2a)×10=1, 解得 a= =0.005.

(2)成绩落在[50,60)中的学生人数为 2×0.005×10×20=2. 成绩落在[60,70)中的学生人数为 3 ×0.005×10×20=3. (3)记成绩落在[50,60)中的 2 人为 A1,A2,成绩落在[60,70)中的 3 人为 B1,B2,B3,则从成绩在 [50,70)的学生中任选 2 人的基本事件共有 10 个:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2), (A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),其中 2 人的成绩都在[60,

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70)中的基本事件有 3 个:(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3), 故所求概率为 P= . 16.设 O 为坐标原点,点 P 的坐标(x-2,x-y). (1)在一个盒子中,放有标号为 1,2,3 的三张卡片,现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的 标号分别记为 x,y,求事件“|OP|取到最大值”的概率; (2)若利用计算机随机在[0,3]上先后取两个数分别记为 x,y,求 P 点在第一象限的概率. 解:(1)记抽到的卡片标号为(x,y),所有的情况分别如下表: (x,y) P(x-2, x-y) |OP| (1,1) (-1, 0) 1 (1,2) (-1, -1) (1,3) (-1, -2) (2,1) (0,1) 1 (2,2) (0,0) 0 (2,3) (0, -1) 1 (3,1) (1,2) (3,2) (1,1) (3,3) (1,0) 1

其中基本事件总数为 9,随机事件 A“|OP|取最大值”包含 2 个基本事件,故所求的概率为 P(A)=. (2)设事件 B 为“P 点在第一象限”. 若 则其所表示的区域面积为 3×3=9.

由题意可得事件 B 满足

即如图所示的阴影部分,其区域面积为

1×3-×1×1=. 所以 P(B)== . 精彩 5 分钟 1.从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数能被 3 整除 的概率为( C ) (A) (B) (C) (D)

解题关键:按“含 0”与“不含 0”分类,并且分类做到不重不漏. 解析 : 因为从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数有 =648 个;其中,能被 3 整除的,可以分为“含 0”与“不含 0”两类;

“含 0”:由这样的数字构成:0,1,2;0,1,5;0,1,8;0,2,4;0,2,7;0,4,5;0,4,8;0,5,
6

7;0,7,8,它们组成的无重复数字的三位数有 9 成的无重复数字的三位数有 3 个,共有 12

个;或由 0,3,6;0,3,9;0,6,9 构成,它们组 个.

“不含 0”:由这样的数字构成:(1)含 3,6,9 中的一个,另外两个数字分别为 1,2; 1,5;1,8;2,4;2,7;4,5;4,8;5,7;7,8,它们组成的无重复数字的三位数有 3×9 =27 个 ;(2) 由 3,6,9 三 个 数 字 构 成 无 重 复 数 字 的 三 位 数 有 个, 个 ;(3) 无 3,6,9, 由

1,4,7;2,5,8 组成无重复数字的三位数有 2

故从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数中能被 3 整除的共 有 12 +30 =228 个,所以能被 3 整除的概率为 P= = .

2.已知Ω ={(x,y)

},直线 y=mx+2m 和曲线 y=

有两个不同的交点,它们围成

的平面区域为 M,向区域Ω 上随机投一点 A,点 A 落在区域 M 内的概率为 P(M),若 P(M)∈ [ ,1],则实数 m 的取值范围为( D )

(A) [,1]

(B) [0,

] (C) [ ,1]

(D)[0,1]

解题关键:直线 y=mx+2m 过定点(-2,0),当 P(M)=

时计算出 m 再结合图形求解.

解析:如图,根据题意 m≥0,根据几何概型的意义,弓形的面积为π -2,此时只要 m=1 即可.故 0 ≤m≤1.

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