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资阳市2013~2014学年度高中二年级第二学期期末质量检测数学(理科)


资阳市 2013—2014 学年度高中二年级第二学期期末质量检测

理科数学
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 8 页,共 8 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ 卷(选择题,共 50 分)
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上。 3.考试结束时,将本试卷和答题卡一并收回。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中有 且只有一项是符合题目要求的。 1.复数 z ? A.2-i

1 ? 2i (i 是虚数单位)的共轭复数为 i
B.-2-i C.-2+i D.2+i

2.已知命题 p: ?x0 ? 0 , ln x0 ? 0 .则 ?p 为 A. ?x ? 0 , ln x ? 0 C. ? x0 ? 0 , ln x0 ? 0 3.已知椭圆的一个焦点为 F(0,1),离心率 e ? B. ?x ? 0 , ln x ? 0 D. ? x0 ? 0 , ln x0 ? 0

1 ,则该椭圆的标准方程为 2
C.

A.

x2 y 2 ? ?1 3 4

B.

x2 y 2 ? ?1 4 3

x2 ? y2 ? 1 2

D. x 2 ?

y2 ?1 2

4.下列说法正确的是 A.命题“若 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 ,则 x ? 2 ”的逆命题是“若 x ? 2 ,则 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 ”
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B.命题“若 x ? 2 ,则 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 ”的否命题是“若 x ? 2 ,则 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 ” C.已知 a ,b ? R ,则“ a ? b ”是“ | a |?| b | ”的充要条件 D.已知 a ,b ? R ,则“ ab ? 0 ”是“ a ? 0 ”的充分条件 5.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线与圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 7 ? 0 相切,则 p 的值为 A.

1 2

B.1

C.2

D.4

6.函数 y ? 2x3 ? 3x2 ? 12x ? 5 在[0,3]上的最大值和最小值分别是 A.5,15 B.5,-14 C.5,-15 D.5,-16
b

7.从 1、2、3、4、5、6 这六个数中,每次取出两个不同数记为 a、b,则共可得到 3 a 的 不同数值的个数 A.20 B.22 C.24 D.28

8. 已知 F1 ,F2 分别是双曲线

x2 y 2 右焦点, 过点 F1 且垂直于 x 轴 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 a 2 b2

的直线与双曲线交于 A , B 两点,若 ?ABF2 是钝角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是 A. ( 2 ? 1, ??) C. (1,1 ? 2) B. (1 ? 2, ??) D. ( 3 ? 1, ??)

9.定义在 R 上的函数 f ( x) ,若对任意 x1 ? x2 ,都有 x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) , 则称 f(x)为“H 函数”, 给出下列函数: ① y ? ? x3 ? x ? 1 ; ② y ? 3x ? 2(sin x ? cos x) ; ③y ? e x ? 1 ;
?ln | x |, x ? 0, ④ f ( x) ? ? 其中是“H 函数”的个数为 ?0, x ? 0.

A.1

B.2

C.3

D.4

10.定义在 R 上的连续函数 g(x)满足:当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 恒成立( g ?( x) 为函数 g ( x) 的
? x). 函 数 f ( x) 满 足 : 对 任 意 的 x ? R , 都 有 导 函 数 ) ; 对 任 意 的 x ? R 都 有 g ( x) ? g (

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x若 关 于 x 的 不 等 式 f ( 3 ? x) ? f ( x ? 3) 成 立 ; 当 x ?[? 3, 3] 时 , f ( x)? 3x? 3 . g[ f ( x) ?] g2 (a ?
A. a ? R C. a ? 0 或 a ? 1

3 3 ?a 对 2x)?[? ? 2 3, ? 2 3] 恒成立. 则 a 的取值范围是 2 2
B. 0 ? a ? 1
1 3 3 1 3 3 ?a?? ? D. ? ? 2 4 2 4

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理科数学
第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
题号 得分 注意事项: 1.第Ⅱ 卷共 6 页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 二 三 16 17 18 19 20 21 总分 总分人

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11 .若 (1? 2x )n 展开式中各项的二项式系数之和为 32 ,则该展开式中含 x 3 项的系数 为 . 12.顶点在原点,对称轴是 y 轴,并且经过点 P(?4, ?2) 的抛物线方程为 13.设随机变量 ξ 的概率分布列为 P(? ? k ) ? . .

c (k=0,1,2,3),则 P(? ? 2) ? k ?1

14.已知 F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点,点 P 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支 a 2 b2

上的一点,满足 (OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 (O 为坐标原点),且 | PF1 |? 3 | PF2 | ,则该双曲线离心 率为 .

?| 2 x ? 1| ?1, x ? 1, ? 15.已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? 3 x ? 3 函数 g ( x) ? [ f ( x)]2 ? af ( x) ? 1 (其中 a 为常数), , x ? 1, ? ? x ?1

给出下列结论: ①?a ? R ,函数 g ( x) 至少有一个零点; ② 当 a=0 时,函数 g ( x) 有两个不同零点; ③?a ? R ,函数 g ( x) 有三个不同零点;
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④ 函数 g ( x) 有四个不同零点的充要条件是 a<0. 其中所有正确结论的序号是 .

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三.解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

16.(本小题满分 12 分)

5 3 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 (?2, 0) ,(2, 0) ,并且经过点 ( , ? ) ,求它的标准方程. 2 2

17.(本小题满分 12 分) 已知 a>0,且 a ? 1 .设命题 p :函数 y ? loga ( x ? 1) 在(0,+∞)上单调递减,命题 q :曲线
y ? x2 ? (2a ? 3) x ? 1与 x 轴交于不同的两点,如果 p ? q 是假命题, p ? q 是真命题,求 a 的取

值范围.

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18.(本小题满分 12 分)

1 函数 f ( x) ? x3 ? 4 x ? 4 . 3 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的极值;
(Ⅱ)设函数 g ( x) ? x2 ? 2x ? m ,对 ?x1 , x2 ? [0,3] ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 m 的取值 范围.

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19.(本小题满分 12 分) 某家电专卖店在五一期间设计一项有奖促销活动,每购买一台电视,即可通过电脑产生 一组 3 个数的随机数组,根据下表兑奖: 奖次 随机数组的特征 资金(单位:元) 组,试验结果如下: 247,235,145,124,754,353,296,065,379,118,520,378,218,953,254,368, 027,111,358,279. (Ⅰ )在以上模拟的 20 组数中,随机抽取 3 组数,至少有 1 组获奖的概率; (Ⅱ )根据以上模拟试验的结果,将频率视为概率: (ⅰ )若活动期间某单位购买四台电视,求恰好有两台获奖的概率; (ⅱ )若本次活动平均每台电视的奖金不超过 260 元,求 m 的最大值. 一等奖 3个1或3个0 5m 二等奖 只有 2 个 1 或 2 个 0 2m 三等奖 只有 1 个 1 或 1 个 0 m

商家为了了解计划的可行性,估计奖金数,进行了随机模拟试验,并产生了 20 个随机数

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20.(本小题满分 13 分) 如图,矩形 ABCD 中,|AB|=4,|BC|=2,E,F,M,N 分别是矩形四条边的中点,G, H 分别是线段 ON,CN 的中点. (Ⅰ )证明:直线 EG 与 FH 的交点 L 在椭圆?: (Ⅱ )设直线 l: y ? x ? m (m ? 0) 与椭圆?:

x2 ? y 2 ? 1 上; 4

x2 ? y 2 ? 1 有两个 4 不同的交点 P,Q,直线 l 与矩形 ABCD 有两个不同的交点 S,T, | PQ | 求 的最大值及取得最大值时 m 的值. | ST |

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21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2ln x ? x2 ? ax ( a ? R ). (Ⅰ )当 a ? 2 时,求 f ( x) 的图象在 x ? 1 处的切线方程; 1 (Ⅱ )若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax ? m 在 [ , e] 上有两个零点,求实数 m 的取值范围; e (Ⅲ )若函数 f ( x) 的图象与 x 轴有两个不同的交点 A( x1, 0),B( x2 , 0) ,且 0 ? x1 ? x2 , x ?x 求证: f ?( 1 2 ) ? 0 (其中 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数). 2

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理科数学参考答案及评分意见
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分。 1-5.DBADC;6-10.CBBBC 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.80;12. x2 ? ?8 y ;13.
4 ;14. 3 ? 1 ;15.②④. 25

三.解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2 5 3 5 3 由椭圆的定义知 2a ? ( ? 2)2 ? (? ) 2 ? ( ? 2) 2 ? (? ) 2 ? 2 10 , 2 2 2 2
所以 a ? 10 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 又因为 c ? 2 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 6 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

x2 y 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? ?1, · 10 6 17.因为函数 y ? loga ( x ? 1) 在(0,+∞)上单调递减,
所以椭圆的标准方程为 所以 p: 0 ? a ? 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 又因为曲线 y ? x2 ? (2a ? 3) x ? 1 与 x 轴交于不同的两点, 1 5 所以 ? ? (2a ? 3)2 ? 4 ? 0 ,解得 q: a ? 或 a ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2 2 因为 p ? q 是假命题, p ? q 是真命题,所以命题 p,q 一真一假,

?0 ? a ? 1, 1 ? ①若 p 真 q 假,则 ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 5 所以 ? a ? 1 ; · 2 ? a ? , ? ?2 2 ?a ? 1, 5 ? ②若 p 假 q 真,则 ? 1 5 所以 a ? . 2 a ? 或a ? , ? ? 2 2
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1 5 故实数 a 的取值范围是 [ ,1) ( , ??) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2 2 1 18.(Ⅰ)因为 f ( x) ? x3 ? 4 x ? 4 ,所以 f ?( x) ? x2 ? 4 ? ( x ? 2)( x ? 2) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 3 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?2 ,或 x ? 2 ,则

x
f ( x) f ?( x)

(??, ?2)

-2 0
28 3

(?2, 2)

2 0
? 4 3

(2, ??)

+ ↗

- ↘

+ ↗

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 28 故当 x ? ?2 时, f ( x) 有极大值,极大值为 ;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 3 4 当 x ? 2 时, f ( x) 有极小值,极小值为 ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 3 (Ⅱ)因为 ?x1 , x2 ? [0,3] ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,所以只需 f ( x)min ? g ( x)max 即可. · · 7分 4 由(Ⅰ)知:函数 f ( x) 在区间 [0,3] 上的最小值 f ( x)min ? f (2) ? ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 3 又 g ( x) ? x2 ? 2 x ? m ? ( x ? 1)2 ? m ? 1 , 则函数 g ( x) 在区间 [0,3] 上的最大值 g ( x)m a x ? g (3) ? m ? 3 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 4 13 由 f ( x)min ? g ( x)max ,即 m ? 3 ? ? ,解得 m ? ? , 3 3 13 故实数 m 的取值范围是 (??, ? ] . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 3 19.(Ⅰ)在 20 组数中,获奖的数组有 8 组, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 记“至少有 1 组获奖”为事件 A,则 P( A) ? 1 ?
3 C12 46 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 3 C20 57

8 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ? ,· 20 5 2 2 216 2 则购买的四台电视恰好有两台获奖的概率 P ? C4 .· · · · · · · · · · · · · · · 8分 ? ( )2 ? (1 ? )2 ? 5 5 625 (ⅱ)记每台电视的奖金为随机变量 ? ,则 ? ? 0,m,2m,5m. 12 3 6 3 1 1 由题 P(? ? 0) ? ; P(? ? 5m) ? . ? ; P(? ? m) ? ? ; P(? ? 2m) ? 20 5 20 10 20 20 3 6m 2m 5m 13m 则 E? ? 0 ? ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? ? ? 5 20 20 20 20 由于平均每台电视的奖金不超过 260 元, 13m 所以 ? 260 ,解得 m ? 400 , 20 故本次活动平均每台电视的奖金不超过 260 元时,m 的最大值是 400 元. · · · · · · · · · · · · · 12 分 1 20.(Ⅰ)点 E (0, ?1) , G(1,0) , F (0,1) , H (2, ) , 2

(Ⅱ)(ⅰ)购买一台电视机获奖的概率为 P ?

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1 则直线 EG: y ? x ? 1 ,直线 FH: y ? ? x ? 1, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 4 8 3 则直线 EG 与 FH 的交点 L( , ) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 5 5
8 ( )2 x2 因为 5 ? ( 3 )2 ? 1 ,故直线 EG 与 FH 的交点 L 在椭圆 ?: ? y 2 ? 1 上.· · · · · · · · · · 4分 4 5 4

? x2 2 ? ? y ? 1, (Ⅱ)联立方程组 ? 4 消去 y,得 5 x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 4 ? 0 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ? y ? x ? m, ?

4m2 ? 4 8m , x1 x2 ? , 5 5 由 ? ? 64m2 ? 20(4m2 ? 4) ? 0 及 m ? 0 得 0 ? m ? 5 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?
| PQ |? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? 2 ? (? 8m 2 4m 2 ? 4 4 2 ) ? 4? ? 5 ? m2 , · · · · · · 8分 5 5 5

若直线 l 过 A 点时, m ? 1 , ①当 0 ? m ? 1 时, | ST |? 2 2 ,
| PQ | 2 | PQ | 2 5 ? 5 ? m2 ,当 m ? 0 时, 最大值 .· · · · · 10 分 | ST | 5 | ST | 5

②当 1 ? m ? 5 时,设 S (1 ? m,1) , T (?2, ?2 ? m) , | ST |? 2 ? (3 ? m) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分
4 2 5 ? m2 | PQ | 4 4 6 | PQ | 4 5 ? m2 5 ? ? 2 ? ?1 , ,令 t ? 3 ? m ,则 ? ? 2 | ST | 5 t t | ST | 5 (3 ? m) 2 ? (3 ? m)
| PQ | 2 5 1 3 4 5 当 ? ,即 t ? , m ? ? (1, 5) 时, 取最大值 . | ST | 5 t 4 3 3 | PQ | 2 5 5 综上所述,当 m ? 0 或 时, 取得最大值 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 | ST | 5 3 2 ,, 21.(Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? 2ln x ? x2 ? 2 x , f ?( x) ? ? 2 x ? 2 ,切点坐标为 (11) x 切线的斜率 k ? f ?(1) ? 2 ,则切线方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 y ? 2 x ? 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分

(Ⅱ) g ( x) ? 2ln x ? x2 ? m ,则 g ?( x) ? 2 ? 2 x ? ?2( x ? 1)( x ? 1) ,
x x

1 1 因 x ?[ ,e] ,故 g ?( x) ? 0 时, x ? 1 .当 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? e 时, g ?( x) ? 0 . e e 所以 g ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 g (1) ? m ? 1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 1 1 1 1 1 又 g ( ) ? m ? 2 ? 2 , g (e) ? m ? 2 ? e2 , g (e) ? g ( ) ? 4 ? e2 ? 2 ? 0 ,则 g (e) ? g ( ) , e e e e e g (1) ? m ? 1 ? 0, ? 1 g ( x) 在 [ ,e] 上有两个零点,则 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 1 ? 1 e ? g ( ) ? m ? 2 ? 2 ? 0,
? e e

1 1 解得 1 ? m ? 2 ? 2 ,即实数 m 的取值范围是 (1, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2 ? 2 ] .· e e (Ⅲ)因为 f ( x) 的图象与 x 轴交于两个不同的点 A( x1,, 0) B( x2, 0) ,
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所以方程 2ln x ? x2 ? ax ? 0 的两个根为 x1,x2 ,则 ? ?

?2ln x1 ? x12 ? ax1 ? 0,

2 ? ?2ln x2 ? x2 ? ax2 ? 0, 2(ln x1 ? ln x2 ) 2 .又 f ( x) ? 2ln x ? x2 ? ax , f ?( x) ? ? 2 x ? a ,则 a ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 x

两式相减得

f ?(

x1 ? x2 4 2(ln x1 ? ln x2 ) 4 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 )? ? ( x1 ? x2 ) ? a ? ? 2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2

下证

x 2(ln x1 ? ln x2 ) 2( x2 ? x1 ) x 4 ? ? 0 (*),即证明 ? ln 1 ? 0 , t ? 1 , x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x2

因为 0 ? x1 ? x2 ,∴ 0 ? t ? 1 ,即证明 u(t ) ? 2(1 ? t ) ? ln t ? 0 在 0 ? t ? 1 上恒成立. · · · · · · · · 12 分
t ?1 ? t) 1 1 4 (t ? 1) 2 所以 u ?(t ) ? ?2(t ? 1) ? 2(1 ,又 0 ? t ? 1 ,∴ u?(t ) ? 0 , ? ? ? ? (t ? 1)2 t t (t ? 1)2 t (t ? 1) 2 所以 u (t ) 在 (0,1) 上是增函数,则 u (t ) ? u (1) ? 0 ,从而知 2( x2 ? x1 ) ? ln x1 ? 0 , x1 ? x2 x2
2

故(*)式成立,即 f ?( x1 ? x2 ) ? 0 成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分

资阳市高二理科数学试卷

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