红对勾文科数学课时作业21

课时作业 21

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
时间：45 分钟 分值：100 分

一、选择题(每小题 5 分，共 30 分) 1．化简 cos15° cos45° －cos75° sin45° 的值为( 1 A.2 1 C．－2 3 B. 2 3 D．－ 2 )

解析：cos15° cos45° － cos75° sin45° ＝ cos15° cos45° － sin15° sin45° 1 ＝cos(15° ＋45° )＝cos60° ＝2.故选 A. 答案：A
?π ? 3 2．已知 α∈?2，π?，sinα＝5，则 tan2α＝( ? ?

)

24 A. 7 24 C．－25
? ?

24 B.25 24 D．－ 7

?π ? 3 4 3 解析： ∵α∈?2，π?， sinα＝5， ∴cosα＝－5， ∴tanα＝－4.∴tan2α

2tanα 24 ? ? ＝ ＝－ 2 ＝ 7. ? 3?2 1－tan α 1－?－4?
? ?

? 3? 2×?－4?

答案：D 3 5 3． 已知 cosα＝5， cos(α＋β)＝－13， α， β 都是锐角， 则 cosβ＝( 63 A．－65 33 B．－65 )

33 C.65

63 D.65

5 解析：∵α，β 是锐角，∴0<α＋β<π，又 cos(α＋β)＝－13<0，∴ π 12 4 < α ＋ β <π ，∴ sin( α ＋ β ) ＝ ， sin α ＝ 2 13 5.又 cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α 5 3 12 4 33 ＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－13×5＋13×5＝65. 答案：C 5 10 4．已知 α、β 都是锐角，若 sinα＝ 5 ，sinβ＝ 10 ，则 α＋β 等于 ( ) π A.4 π 3π C.4和 4 3π B. 4 π 3π D．－4和－ 4

2 5 解析：由 α、β 都为锐角，所以 cosα＝ 1－sin2α＝ 5 ，cosβ＝ 3 10 2 1－sin2β＝ 10 .所以 cos(α＋β)＝cosα· cosβ－sinα· sinβ＝ 2 ，所以 α π ＋β＝4.故选 A. 答案：A 5．在△ABC 中，若 tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则 cosC 的值是 ( ) 2 A．－ 2 1 C.2 2 B. 2 1 D．－2 tanA＋tanB ＝－1， 1－tanA· tanB

解析：由 tanA· tanB＝tanA＋tanB＋1，可得

3π π 即 tan(A＋B)＝－1，∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝ 4 ，则 C＝4，cosC 2 ＝2. 答案：B π? ? 2 6．已知 sin2α＝3，则 cos2?α＋4?＝(
? ?

)

1 A.6 1 C.2

1 B.3 2 D.3

π? ? ?2α＋ ? 1 ＋ cos 2? 1－sin2α π? ? ? 解析： 由半角公式可得，cos2?α＋4?＝ ＝ ＝ 2 2
? ?

2 1－3 1 ＝ 2 6，故选 A. 答案：A 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) π tanx 7．已知 tan(x＋4)＝2，则tan2x的值为________． tanx＋1 π 1 解析：由 tan(x＋4)＝2 得 ＝2，∴tanx＝3， 1－tanx 1－tan2x 1 tanx tanx 1 4 ∴tan2x＝ 2tanx ＝ 2 ＝2(1－9)＝9. 1－tan2x 4 答案：9 π? ? 1 8． 若 α∈?0，2?， 且 sin2α＋cos2α＝4， 则 tanα 的值等于________．
? ?

1 解析：由 sin2α＋cos2α＝4得 sin2α＋1－2sin2α＝1－sin2α＝cos2α

π? ? 1 1 π π ＝4.∵α∈?0，2?，∴cosα＝2，∴α＝3，∴tanα＝tan3＝ 3. ? ? 答案： 3 9．已知角 α、β 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合， 1 α、β∈(0，π)，角 β 的终边与单位圆交点的横坐标是－3，角 α＋β 的 4 终边与单位圆交点的纵坐标是5，则 cosα＝________. 1 π 2 2 解析：依题设得，cosβ＝－3，∵0<β<π，∴2<β<π，sinβ＝ 3 ， 4 π 3 又∵sin(α＋β)＝5>0,0<α<π，∴2<α＋ β<π，cos(α＋β)＝－5.∴cosα＝ 3 ? 1? 4 2 2 cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－5×?－3?＋5× 3
? ?

3＋8 2 ＝ 15 . 3＋8 2 答案： 15 三、解答题(共 55 分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或 证明过程) π? π? ? ? 1 10．(15 分)已知 α∈?0，2?，tanα＝2，求 tan2α 和 sin?2α＋3?
? ? ? ?

的值． 1 2×2 1 2tanα 4 解：∵tanα＝2，∴tan2α＝ ＝ 2 ＝ 1 3， 1－tan α 1－4 sinα 1 且cosα＝2，即 cosα＝2sinα， π? ? 又 sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，而 α∈?0，2?，
? ?

5 2 5 ∴sinα＝ 5 ，cosα＝ 5 . 5 2 5 4 4 ∴sin2α＝ 2sinαcosα＝2× 5 × 5 ＝5， cos2α＝ cos2α－sin2α＝ 5 π? ? 1 3 π π 4 1 3 3 － 5 ＝ 5 ， ∴ sin ?2α＋3? ＝ sin2αcos 3 ＋ cos2αsin 3 ＝ 5 × 2 ＋ 5 × 2 ＝ ? ? 4＋3 3 10 . π α 1 2 11．(20 分)已知 0<α<2<β<π，tan2＝2，cos(β－α)＝ 10 . (1)求 sinα 的值； (2)求 β 的值． α 1 解 ： (1) ∵ tan 2 ＝ 2 ， ∴ tanα ＝ α 2tan2 4 ＝ 3，由 ?1?2 1－?2? ? ? 1 2×2

1－tan22

α＝

? sinα ＝4， ?cosα 3 ?sin2α＋cos2α＝1，
4 ? 4 ? 解得 sinα＝5，?sinα＝－5舍去?.
? ?

(2)由(1)知 cosα＝ 1－sin2α＝ 2 －α∈(0，π)，而 cos(β－α)＝ 10 ， ∴sin(β－α)＝ 1－cos2?β－α?＝

?4? 3 π 1－?5?2＝5， 又 0<α<2<β<π， ∴β ? ?

1－?

? 2?2 7 2 ? ＝ 10 ，于是 sinβ＝ ? 10 ?

4 2 3 7 2 sin[α ＋ (β － α)] ＝ sinαcos(β － α) ＋ cosαsin(β － α) ＝ 5 × 10 ＋ 5 × 10 ＝ 2 2.

?π ? 3π 又 β∈?2，π?，∴β＝ 4 . ? ?

——创新应用——

12．(20 分)如图，以 Ox 为始边作角 α 与 β(0<β<α<π)，它们的终 3 4 边分别与单位圆相交于点 P、Q，已知点 P 的坐标为(－5，5)． sin2α＋cos2α＋1 (1)求 的值； 1＋tanα →· → ＝0，求 sin(α＋β)． (2)若OP OQ 3 4 解：(1)由三角函数定义得 cosα＝－5，sinα＝5，则原式 2sinαcosα＋2cos2α 2cosα?sinα＋cosα? ＝ ＝ sinα sinα＋cosα 1＋cosα cosα 3 18 ＝2cos2α＝2×(－5)2＝25. →· → ＝0， (2)∵OP OQ π π ∴α－β＝2，∴β＝α－2， π 3 ∴sinβ＝sin(α－2)＝－cosα＝5，

π 4 cosβ＝cos(α－2)＝sinα＝5. ∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ 4 4 3 3 7 ＝5×5＋(－5)×5＝25.