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《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学(苏教版)选修1-1【配套备课资源】3.4


§3.4 导数在实际生活中的应用 一、基础过关 1. 炼油厂某分厂将原油精炼为汽油, 需对原油进行冷却和加热, 如果第 x 小时, 原油温度(单 位:℃)为 f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是________. 2.设底为等边三角形的直三棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时底面边长为________. 3.从边长为 10 cm×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形, 作成一个无盖的盒 子,则盒子容积的最大值为________ cm3. 4.用边长为 120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后 把四边翻转 90°角,再焊接成水箱,则水箱最大容积为________. 5.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20 cm,要使其体积最大,则其高为________ cm. 6.如图所示,某工厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场, 一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁.当砌壁所 用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为________. 二、能力提升 7.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的 运费 y2 与到车站的距离成正比.如果在距离车站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分 别为 2 万元和 8 万元, 那么, 要使这两项费用之和最小, 仓库应建在离车站________千米处. 8.为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉 淀箱,污水从 A 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出,设箱体的长为 a 米, 高为 b 米.已知流出的水中该杂质的质量分数与 a,b 的乘积 ab 成 反比,现有制箱材料 60 平方米,问当 a=________,b=________时,经沉淀后流出 的水中该杂质的质量分数最小(A,B 孔的面积忽略不计). 9.如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩 形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为 18 000 cm2,四周 空白的宽度为 10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm.怎样确 定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小? 10.某商场预计 2010 年从 1 月份起前 x 个月,顾客对某种商品的需求总量 p(x)件与月 份 x 的近似关系是 p(x)=x(x+1)(39-2x)(x∈N*,且 x≤12). 该商品的进价 q(x)元与月份 x 的近似关系是 q(x)=150+2x(x∈N*,且 x≤12), (1)写出今年第 x 月的需求量 f(x)件与月份 x 的函数关系式; (2)该商品每件的售价为 185 元,若不计其他费用且每月都能满足市场需求,则此商场今年 销售该商品的月利润预计最大是多少元? 11. 一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比, 已知当速度为 20 km/h 时, 每小时消耗的煤价值 40 元,其他费用每小时需 200 元,火车的最高速度为 100 km/h,火车 以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少? 三、探究与拓展 12.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形, 左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为立方米,且 l≥2r.假设该容器的建造费用 仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元, 半球形部分每平方米建造 费用为 c(c>3)千元.设该容器的建造费用为 y 千元.

(1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r.

答案 1.-1 2. 3.144 4.128 000 cm3 5. 6.32 米,16 米 7.5 8.6 3 9. 解 设广告的高和宽分别为 x cm, y cm, 则每栏的高和宽分别为 x-20, , 其中 x>20, y>25. 两栏面积之和为 2(x-20)·=18 000, 由此得 y=+25. 广告的面积 S=xy=x(+25)=+25x. ∴S′=+25=+25. 令 S′>0 得 x>140, 令 S′<0 得 20<x<140. ∴函数在(140,+∞)上单调递增,在(20,140)上单调递减, ∴S(x)的最小值为 S(140). 当 x=140 时,y=175. 即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值为 24 500, 故当广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小. 10.解 (1)当 x=1 时,f(1)=p(1)=37; 当 2≤x≤12 时, f(x)=p(x)-p(x-1) =x(x+1)(39-2x)- (x-1)x(41-2x) =-3x2+40x(x∈N*,且 2≤x≤12). 验证 x=1 符合 f(x)=-3x2+40x, ∴f(x)=-3x2+40x(x∈N*,且 1≤x≤12). (2)该商场预计销售该商品的月利润为 g(x)=(-3x2+40x)(185-150-2x) =6x3-185x2+1 400x(x∈N*,1≤x≤12), g′(x)=18x2-370x+1 400, 令 g′(x)=0,解得 x=5,x=(舍去). 当 1≤x<5 时,g′(x)>0; 当 5<x≤12 时,g′(x)<0, ∴当 x=5 时, g(x)max=g(5)=3 125(元). 综上 5 月份的月利润最大是 3 125 元. 11.解 设速度为 x km/h,甲、乙两城距离为 a km. 则总费用 f(x)=(kx3+200)· =a(kx2+). 由已知条件,得 40=k·203,∴k=, ∴f(x)=a(x2+).

令 f′(x)==0, 得 x=10. 当 0<x<10 时,f′(x)<0; 当 10<x<100 时,f′(x)>0. ∴当 x=10 时,f(x)有最小值, 即速度为 10 km/h 时,总费用最少. 12.解 (1)设容器的容积为 V, 由题意知 V=π r2l+π r3,又 V=, 故 l==-r=(-r). 由于 l≥2r,因此 0<r≤2. 所以建造费用 y=2π rl×3+4π r2c=2π r×(-r)×3+4π r2c, 因此 y=4π (c-2)r2+,0<r≤2. (2)由(1)得 y′=8π (c-2)r- =(r3-),0<r≤2. 由于 c>3,所以 c-2>0. 当 r3-=0 时,r=. 令=m,则 m>0, 所以 y′=(r-m)(r2+rm+m2). ①当 0<m<2,即 c>时,令 y′=0,得 r=m. 当 r∈(0,m)时,y′<0; 当 r∈(m,2]时,y′>0, 所以 r=m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点. ②当 m≥2,即 3<c≤时, 当 r∈(0,2]时,y′≤0,函数单调递减, 所以 r=2 是函数 y 的最小值点. 综上所述,当 3<c≤时,建造费用最小时 r=2; 当 c>时,建造费用最小时 r=.


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