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复数的四则运算ppt课件

? 1.已知复数z=i,则 等于( ? A.-i B.i ? C.±i D.±1 ?

z - 1 ) z?1

B

z - 1 i- 1 (i- 1)(i- 1) = = =i, 选B. z +1 i+1 (i+1)(i- 1)

? 2.复数 ? A.2

2 ( 1+i ) =( ) 2 i B.-2

C

? C.-2i
? 因为

D.2i
故选C.

(1 ? i) 2i ? ?- 2i, 2 i - 1
2

? 3.

? A.2i
? C. i ? ?

1等于( ? i 2009 ) ( ) 1 -i B.-1+i
D.1 因为 选C. 所以

C

1? i 2 2 ( ) ? i ? - 1, ? 易错点:符号出错是较常见的错误 . 1 -i 1 ? i 2008 ? ( ) · i ? i, 1 -i

1 ? i 2009 ( ) 1 -i

? ?

4.复数

? 的模为 ? 5.

3 2 1 2 ( )? (- ) ? 1, 2 2 2 (1 ? i) 2i - 表示a+bi(a,b∈R ),则a+b= 3 . i ? ? . 2 - 1 ? 3i - 1 ? 3i
2

因为

(1 的模为 ? i) - 1 ? 3i
2

.

1
所以复数 填1.

?

(2 ? i) b=1,a+b =1.

4 - 3i 2 (2 ? i) (4 ? 4i- 1)(4 ? 3i) ? ? i, 故a=0, 4 - 3i (4 - 3i)(4 ? 3i)

1

? 1.复数的代数运算的实质是转化为实数运算,在转化时常用的知识 有复数相等,复数的加、减、乘、除运算法则,模的性质,共轭复 数的性质. ? 2.复数的代数运算常考查的是一些特殊复数(如i,1±i等)的运算, 这就要求熟练掌握特殊复数的运算性质以及整体消元的技巧.

? ?

重点突破:复数的代数运算 计算:

? (Ⅰ) ? (Ⅱ) ?

例1
4 (2 ? 2i) ; 5 (- 1 3i)

要是利用复数的加、减、乘、除的运算法则及其运算技 巧来计算.

- 2 3?i 2 1996 ? ( ) . 1? i 1 ? 2 3i

? (Ⅰ )

2 16 ( 2i) 2 (- 2- 2 3i) ( 1- 3i) - 64 - 16 - 4 ? ? ? 2 4 ( 1 ? 3i) (- 1 3i) 4 ( 1 ? 3i) 1 ? 3i

4 16 ( 1 ? i) 原式 ? ? 4 ( 1- 3i) ( 1- 3i)

?- 1 ? 3i.
? (Ⅱ)原式

i( 1 ? 2 3i) 2 2 998 ? ? [( ) ] 1? i 1 ? 2 3i

2 998 ?i? ( ) ? i ? i 998 ? i ? i 4?249? 2 ? i ? i 2 ?- 1 ? i. - 2i

?

复数的计算中,如遇到计算(a+bi)n时,也可以应用二项展 开式来解决,但往往运算较为繁琐,所以应用(1+i)2=2i,(1-i)2= -2i等运算结果还是常用的解法.

? 计算:(Ⅰ)(3-2i)4; 变式练习1 ? (Ⅱ)(1+i)10 ? (Ⅰ)(3-2i)4=(5-12i)2=-119-120i; ? (Ⅱ)(1+i)10=[(1+i)2]5=(2i)5=32i.

? ?

重点突破:复数的几何意义 设复数z1=x+yi(x,y∈R,y≠0), ∈R,z1在复平面上的对应点
1 2

? z2=cos例 α +isin 2 α (α ∈R),且 ? 域的问题.

在直线y=x上,求|z1-z2|的取值范围.

2 z 1 ? 2 z1 可以考虑把求|z -z |的取值范围转化为求函数值

? 因为 2∈R,z1对应点在直线y=x上, z 2 z1x)+(2xy-2y)i∈R, 2-y2+2 1 x? ? 又因为 =( 2 ? 2xy-2y=0 z1 ? 2 z1 ? x=y≠0 ? 所以z1=1+i,|z1-z2|=

所以

,解得x=y=1.
(1 -cos ? ) ? (1 -sin ? )
2 2

? 因为sin(α + )∈[-1,1],所以

π ? 3 ? 2 2 sin (? ? ) , 4 π 4 2 ? 1].

| z1 ? z2 |? [ 2 - 1,

?

灵活运用复数、复数的模及复数的几何意义,能简 化解题的过程.

已知复平面上点A、B、C分别对应复数z1=1+2i,z2=4- 变式练习 2i,z3=- 1+0.5i, 2 ? 求证:三角形ABC是直角三角形. ? 可以分别求出AB、BC、AC的长度,利用勾股定理的逆定理 判断;或者将复数问题转化为向量问题来解决. ?

?

解法1:由复数减法的几何意义知

? OA(4-2i)-(1+2i)=3-4i,| . ? AB 所以 ? OB 对应复数为 AB|=5;
? ? 对应复数为 (-1+0.5i)-(1+2i0=-2-1.5i,|AC|=2.5; AB 对应复数为(-1+0.5i)-(4-2i)=-5+2.5i,|BC|=

AC

? 因为52+2.52=31.25, ? 所以三角形 BC ABC是以A为直角的直角三角形.

31.25;

? 解法2:z1,z2,z3分别对应向量(1,2),(4,-2),(-1,0 5), ? 所以 =(4,-2)-(1,2)=(3,-4); ? =(-1,0.5)-(1,2)=(-2,-1.5); ? =0,所以AB⊥AC. AB ? 把复数对应的几何问题 ,利用复数与向量之间的一一对应 关系把它转化为向量问题,可以方便解决一些复数问题.

AC AB· AC

? ? ?

决. ? 由已知方程得 ? ? ?

重点突破:在复数范围内解方程 在复数范围内解方程(4+3i)z2=25i. 例可以设 3 z=x+yi(x、y∈R),通过复数相等的充要条件来解

x2-y2=3 x=2 y=1

25i 25i(4 - 3i) z ? ? ? 3 ? 4i, 4 ? 3i 25
2

设z=x+yi(x、y∈R).则 2xy=4, x=-2 ,所以z=±(2+i). 或 解得 y=-1

?

上述求复数平方根的方法是通用方法,但在求实数平 方根时,有更为简便的方法.正数a的平方根为± ,0的平方根是 0;负数a的平方根是±

a - a i.

? 已知实系数方程2x2-bx+c=0 变式练习3 ? (b,c∈R)有一虚根-2+i,求b,c的值. ? 由于实系数方程ax2+bx+c=0,当Δ =b2-4ac<0时,它有两个 虚根两个虚根 ? 恰好构成一对共轭虚根.利用方程根与系数的关系可得解.

x?

-b ? -? i , 2a

? 由已知方程一根为-2+i,知方程的另一根为-2-i, ? 由韦达定理得(-2+i)+(-2-i)= ,且(-2+i)(-2-i)= . ? 所以b=-8,c=10. ? (1)本题也可以将已知的根-2+i代入方程, 利用复数相等求得 b b,c. 2 ? (2)c 对于实系数一元二次方程无论其系数为实数还是虚数 ,它总有两 根,且它的根也总满足韦达定理.

2

? ? ? ? ?

可以设x=a+bi(a,b∈R),然后利用复数相等求解.也可以 直接利用复数运算求得. 因为(3+3i)x=2-2i, 所以 本题中的x为复数,不可轻率利用

已知2-3xi=3x+2i,求复数x. 例 4

2 - 2i (2 - 2i)(1 -i) 2 x? ? ?- i. 3 ? 3i 3(1 ? i)(1 -i) 3

2=3x . 复数相等,误认为 -3x=2

? 1.复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想 方法,其依据是复数有关概念和两个复数相等的充要条件. ? 2.要注意准确掌握复数的有关概念:复数、虚数、复数相等、共 轭复数.注意分类讨论.

? 3.在进行复数的运算时,不能把实数集的某些法则和性质照搬到复 数集中来,如下列结论在复数集中不总是成立: ? (1)(zm)n=zmn(m,n为分数);(2)zm=zn m=n(z≠1);(3) ? 4.复数模|z|的几何意义是:复数z对应的点到原点的距离;|z- (a+bi)|的几何意义是复数z对应的点与A(a,b)的距离.

2 2 z1 ? z2 ? 0 ? z1 ? z2 ? 0.

? 5.对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,无论其系数是实数还是虚数, 它总有两复数根,且它的根满足韦达定理. ? 6.处理复数问题,应注意从整体角度去分析求解,若遇到复数就设 z=x+yi(x,y∈R),给许多问题的求解带来不必要的运算困难,而若把 握负数的基本性质运用整体的思想方法,就能事半功倍.

? 1.(2009·山东卷)复数3-i1-i等于( ? A.1+2i B.1-2i ? C.2+i D.2-i ? ?



C

2 (3 - i) 1 ? i ? ? 3 -i 3 ? 2i-i ? ? ? 2 ? 本题考查复数的除法运算,分子、分母需要同乘以分母的共 1 -i (1 -i) ? 1 ? i ? 1 -i 轭复数,把分母变为实数,将除法转变为乘法进行运算 . 4 ? 2i ? 2 ? i, 故选C. 2

? 2.(2009·广东卷)下列n的取值中,使in=1(i是虚数单位)的是 ( ) ? A.n=2 B.n=3 C ? C.n=4 D.n=5 ? 因为i4=1,故选C. ? 本题主要考查复数的简单运算,属于简单题.