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课时作业34一元二次不等式及其解法


课时作业 34

一元二次不等式及其解法

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.已知 ( ) A.{x|x≥4} C.{x|-3<x<0} B.{x|x<4} D.{x|x<-3}

?x ,x≥0, f(x) = ?2 ?-x2+3x,x<0,

则不等式 f(x)<f(4) 的解集为

4 解析:f(4)= = 2,不等式即为 f(x)<2. 2 x 当 x≥0 时,由 <2,得 0≤x<4; 2 当 x<0 时,由-x2+ 3x<2,得 x<1 或 x>2,因此 x<0. 综上,x<4.故 f(x)<f(4)的解集为{x|x<4}. 答案:B 2.不等式 x2+ax+4<0 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.[-4,4] B.(-4,4) C.(-∞,-4]∪[4,+∞) D.(-∞,-4)∪(4,+∞) 解析:不等式 x2+ax+ 4<0 的解集不是空集,只需 Δ=a2- 16>0, ∴a<-4 或 a>4,故选 D. 答案:D 3.设 a>0,不等式-c<ax+b<c 的解集是{x|-2<x<1},则 a:b:c =( )

A.1:2:3 C.3:1:2

B.2:1:3 D.3:2:1

b+ c c-b 解析:∵- c<ax+b<c,又 a>0,∴- <x< . a a ∵不等式的解集为{x|- 2<x<1}, c =- 2, ?-b+ a ∴? c-b ? a = 1, a ? b = ? 2, ∴? 3 ? c = ? 2a,

a 3a ∴a:b:c= a: : = 2:1:3. 2 2 答案:B 4.不等式(x2-2)log2x>0 的解集是( A.(0,1)∪( 2,+∞) C.( 2,+∞) 解析:原不等式等价于
?x2- 2>0, ?x2- 2<0, ? 或? ?log2x>0 ? log2x<0.

)

B.(- 2,1)∪( 2,+∞) D.(- 2, 2)

∴ x> 2或 0<x<1, 即不等式的解集为 (0,1)∪ ( 2,+∞). 答案:A 5. (2013· 安徽理, 6)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<-1 1 或 x> },则 f(10x)>0 的解集为( 2 A.{x|x<-1 或 x>-lg2} C.{x|x>-lg2} ) B.{x|-1<x<-lg2} D.{x|x<- lg2}

1 解析:由条件知 f(x)>0 的解集为{x|- 1<x< }, 2

又已知 f(10x)>0, 1 ∴- 1<10x< ,∴x<- lg2. 2 1 解答本题由 10x< .求 x 时忽视指数函数的单调性,求出 x>- lg2 2 的错误. 答案:D 6.(2013· 陕西理,9)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个 面积不小于 300 m2 的内接矩形花园(阴影部分),则其边长 (单位:m) 的取值范围是( )

A.[15,20] C.[10,30]

B.[12,25] D.[20,30]

x 40- t 解析:设矩形的另一条边长为 t,由相似知识得 = ,∴ t= 40 40 40- x,所以 (40- x)x≥300,即 x2- 40x+ 300≤0,解得 10≤x≤30, 故选 C. 答案:C 4 7.不等式 ≤x-2 的解集是( x-2 A.(-∞,0]∪(2,4] C.[2,4) ) B.[0,2)∪[4,+∞) D.(-∞,2]∪(4,+∞)

解析: ①当 x- 2>0, 即 x>2 时, 不等式可化为 (x- 2)2≥4, ∴ x≥4;

②当 x- 2<0,即 x<2 时,不等式可化为 (x- 2)2≤4,∴ 0≤x<2. 答案:B 8.已知 f(x)=ax2-x-c,不等式 f(x)>0 的解集为{x|-2<x<1},则 函数 y=f(-x)的图像为( )

1 c 解析:由根与系数的关系知 =- 2+ 1,- =- 2,得 a=-1,c a a 1 9 =- 2.f(- x)=- x2+ x+ 2 的图像开口向下,顶点坐标为 ( , ).故选 2 4 B. 答案:B 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 9. (2014· 烟台模拟)已知关于 x 的不等式 ax2+2x+c>0 的解集为(- 1 1 , ),则不等式-cx2+2x-a>0 的解集为________. 3 2 1 1 1 1 解析:由 ax2+ 2x+ c>0 的解集为 (- , )知 a<0,且- , 为方 3 2 3 2 1 1 2 1 1 程 ax2+ 2x+ c= 0 的两个根, 由根与系数的关系得- + =- , - × 3 2 a 3 2 c = ,解得 a=- 12,c= 2,∴-cx2+ 2x- a>0,即 2x2- 2x- 12<0,其 a

解集为(- 2,3). 答案:(- 2,3) 10.在实数集上定义运算?:x?y=x(1-y),若不等式(x-a)?(x+ a)<1 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是________ . 解析: 由题意知(x-a)?(x+a)= (x- a)(1- x-a)=- x2+ x+a2-a. 故- x2+ x+a2-a<1 对任意 x∈R 都成立. 即- x2+ x<-a2+a+ 1 对任意 x∈R 都成立. 1 1 1 1 而- x2+ x=- (x- )2+ ≤ ,只需-a2+ a+ 1> 即可,即 4a2- 2 4 4 4 1 3 4a- 3<0,解得- <a< . 2 2 1 3 答案:(- , ) 2 2 11.(2014· 浙江绍兴一模,12)若函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的 增函数,且对一切 x>0,y>0 满足 f(xy)=f(x)+f(y),则不等式 f(x+6) +f(x)<2f(4)的解集是________ . 解析:由已知,得 f(x+ 6)+ f(x)= f[x(x+ 6)], 2f(4)= f(16). ∴ f[x(x+ 6)]<f(16). x?x+ 6?<16, ? ? 由题意,得?x>0, ? ?x+ 6>0, 答案:(0,2)

解得 0<x<2.

三、解答题(共 3 小题,每小题 15 分,共 45 分.解答写出必要的 文字说明,证明过程或演算步骤) 12.已知抛物线 y=(m-1)x2+(m-2)x-1(x∈R). (1)当 m 为何值时,抛物线与 x 轴有两个交点? (2)若关于 x 的方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0 的两个不等实根的倒 数平方和不大于 2,求 m 的取值范围. 解:(1)根据题意,m≠1 且 Δ>0, 即 Δ= (m- 2)2- 4(m- 1)(- 1)>0,得 m2>0, 所以 m≠1 且 m≠0. (2)在 m≠0 且 m≠1 的条件下, -2 , ?x + x =m 1- m ? 1 x· x= , ? 1- m
1 2 1 2

1 1 x1+ x2 因为 + = =m- 2, x1 x2 x1x2 1 1 1 1 2 所以 2+ 2= ( + )2- x 1 x 2 x1 x2 x1x2 = (m- 2)2+ 2(m- 1)≤2. 得 m2- 2m≤0,所以 0≤m≤2. 所以 m 的取值范围是{m|0<m<1 或 1<m≤2}. 13.已知不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}. (1)求 a,b; (2)解不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0. 解:(1)因为不等式 ax2- 3x+ 6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b},所以 x1= 1 与 x2=b 是方程 ax2- 3x+ 2= 0 的两个实数根,且 b>1.

3 ? 1 + b = , ? a 由根与系数的关系,得? 2 ? 1 × b = . ? a

? ?a= 1, 解得? ?b= 2. ?

(2)由 (1)知不等式 ax2- (ac+b)x+bc<0 为 x2- (2+ c)x+ 2c<0,即 (x- 2)(x- c)<0. ①当 c>2 时,不等式(x- 2)(x- c)<0 的解集为{x|2<x<c}; ②当 c<2 时,不等式(x- 2)(x- c)<0 的解集为{x|c<x<2}; ③当 c= 2 时,不等式 (x- 2)(x- c)<0 的解集为?. 综上所述:当 c>2 时,不等式的解集为{x|2<x<c}; 当 c<2 时,不等式的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时,不等式的解集为?. 14. (2014· 金华模拟)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c, 函数 F(x)=f(x) -x 的两个零点为 m,n(m<n). (1)若 m=-1,n=2,求不等式 F(x)>0 的解集; 1 (2)若 a>0,且 0<x<m<n< ,比较 f(x)与 m 的大小. a 解:(1)由题意知,F(x)= f(x)- x=a(x- m)(x- n), 当 m=- 1,n=2 时,不等式 F(x)>0,即 a(x+ 1)(x- 2)>0. 当 a>0 时,不等式 F(x)>0 的解集为{x|x<- 1 或 x>2}; 当 a<0 时,不等式 F(x)>0 的解集为{x|- 1<x<2}. (2)f(x)- m= F(x)+ x- m= a(x-m)(x- n)+ x- m= (x- m)(ax- an + 1), 1 ∵a>0,且 0<x<m<n< ,∴ x-m<0, 1-an+ax>0. a ∴ f(x)- m<0,即 f(x)<m.


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