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标题-2017-2018学年高中数学三维设计苏教版必修5:模块复习精要 模块综合检测

(时间 120 分钟,满分 160 分)

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.将答案填在题中的横线上) 1.函数 f(x)=lg(x2-2x-3)的定义域为________. 解析:由 x2-2x-3>0 得 x<-1 或 x>3. 答案:(-∞,-1)∪(3,+∞) π 5π 2.在△ABC 中,a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若 a=2,A= ,B= ,则 b= 4 12 ________. 解析:由正弦定理 2× asin B b= = sin A 答案: 3+1 3.已知等比数列{an},a4=7,a6=21,则 a10=________. 解析:∵a4=a1q3,a6=a1q5, a6 ∴q2= =3. a4 ∴a10=a6q4=189. 答案:189 4. 已知不等式 x2-2x+k2-1>0 对一切实数 x 恒成立, 则实数 k 的取值范围是________. 解析:由题意知 Δ=(-2)2-4(k2-1)<0,即 k2-2>0,所以 k∈(-∞,- 2)∪( 2,+ ∞). 答案:(-∞,- 2)∪( 2,+∞) 1 5.函数 y=log2?x+x-1+5?(x>1)的最小值为________. a b = 得, sin A sin B

6+ 2 4 = 3+1. 2 2

?

?

解析:∵x>1,∴x+ 当且仅当 x-1=

1 1 +5=x-1+ +6≥2 x-1 x-1

1 ?x-1?· +6=8. x-1

1 即 x=2 时取等号. x-1

1 ∴y=log2?x+x-1+5?≥log28=3.

? ?

? ?

1 ∴y=log2?x+x-1+5?(x>1)的最小值为 3. 答案:3

6.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,若 S10=0,S15=25,则 Sn=________. 9d =0, ?10a +10× 2 解析:由题意知? 15×14d ?15a + 2 =25,
1 1

2 解得 d= ,a1=-3, 3 n?n-1? 2 n2-10n 所以 Sn=-3n+ × = . 2 3 3 答案: n2-10n 3

2x-y-2≥0, ? ? 7. 在平面直角坐标系 xOy 中, M 为不等式组?x+2y-1≥0, ? ?3x+y-8≤0 则直线 OM 斜率的最小值为________. 解析:已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示,显 然当点 M 与点 A 重合时直线 OM 的斜率最小,由直线方程 x+ 2y-1=0 和 3x+y-8=0,解得 A(3,-1),故 OM 斜率的最小 1 值为- . 3 1 答案:- 3

所表示的区域上一动点,

2 8.已知各项不为 0 的等差数列{an}满足 a4-2a7 +3a8=0,数列{bn}是等比数列,且 b7

=a7,则 b2b8b11=________.
2 解析:设等差数列的公差为 d,由 a4-2a2 7+3a8=0,得 a7-3d-2a7+3(a7+d)=0,从

而有 a7=2 或 a7=0(a7=b7,而{bn}是等比数列,故舍去).设{bn}的公比为 q,则 b7=a7=2, b7 所以 b2b8b11= 5· b q· b q4=(b7)3=23=8. q 7 7 答案:8 9.在数列{an}中,已知 a1=2,a2=7,an+2 等于 anan+1(n∈N*)的个位数,则 a2 是________. 解析:a1a2=2×7=14,所以 a3=4,7×4=28,所以 a4=8,4×8=32,所以 a5=2,8×2 =16,所以 a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8,a11=2,所以从第三项起,{an}成周期数 列,周期数为 6,2 016=336×6,所以 a2 016=a6=6. 答案:6 10.若△ABC 的内角 A,B,C 满足 6sin A=4sin B=3sin C,则 cos B=________. 解析:依题意,结合正弦定理得 6a=4b=3c,设 3c=12k(k>0),则有 a=2k,b=3k,c
016 的值

=4k;由余弦定理得 cos B= 答案: 11 16

a2+c2-b2 ?2k?2+?4k?2-?3k?2 11 = = . 2ac 16 2×2k×4k

11.张晓华同学骑电动自行车以 24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶,在点 A 处望 见电视塔 S 在电动车的北偏东 30°方向上,15 min 后到点 B 处望见电视塔在电动车的北偏 东 75°方向上,则电动车在点 B 时与电视塔 S 的距离是________ km. 15 解析:如图,由条件知 AB=24× =6.在△ABS 中,∠BAS=30°, 60 AB=6,∠ABS=180°-75°=105°, 所以∠ASB=45°.由正弦定理知 所以 BS= BS AB = , sin 30° sin 45°

AB sin 30°=3 2. sin 45°

即电动车在点 B 时与电视塔 S 的距离是 3 2 km. 答案:3 2 12.若正数 x,y 满足 x2+3xy-1=0,则 x+y 的最小值是________. 1 1 -x?, 解析:对于 x2+3xy-1=0 可得 y= ? ? 3?x 即 x+y= 答案: 2x 1 + ≥2 3 3x 2x 1 2 2 2 · = ,当且仅当 x= 时取等号. 3 3x 3 2

2 2 3 c+2 a+2 + 的最小值为 a c

13.已知二次函数 f(x)=ax2-x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则 ________. 解析:∵二次函数 f(x)=ax2-x+c(x∈R)的值域[0,+∞), ∴a>0,且 4ac-1 =0. 4a

1 ∴ac= ,∴c>0. 4 c+2 a+2 c a 2 2 ∴ a + c =a+c+a+c ≥2 ca a· c +2 4 ac=2+8=10,

当且仅当 a=c 时取等号. 答案:10
?1? 14.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列?a ?的 ?
n?

前 5 项和为________. 解析:设等比数列{an}的公比为 q,∴9S3=S6. ∴8(a1+a2+a3)=a4+a5+a6. a4+a5+a6 3 ∴ =q =8. a1+a2+a3 ∴q=2,∴an=2n 1.


1?n-1 1 ∴ =? . an ?2?
?1? ?1? 1 ∴数列?a ?是首项为 1, 公比为 的等比数列, 故数列?a ?的前 5 项和为 2 ? n? ? n?

?1?5? 1× ? ?1-?2? ? 31 = . 1 16 1- 2

31 答案: 16 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 14 分)求不等式 12x2-ax>a2(a∈R)的解集. 解:原不等式可化为(3x-a)(4x+a)>0.
? a a ? ? 当 a>0 时,不等式的解集为?x? ?x<-4或x>3 ; ? ?

当 a=0 时,不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠0};
? a a ? x< 或x>- ?. 当 a<0 时,不等式的解集为?x? 3 4 ? ? ?

16.(本小题满分 14 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C +csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 解:(1)由已知及正弦定理得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B. ① 又 A=π-(B+C),故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. 由①②和 C∈(0,π)得 sin B=cos B. π 又 B∈(0,π),所以 B= . 4 1 2 (2)△ABC 的面积 S= acsin B= ac. 2 4 π 由已知及余弦定理得 4=a2+c2-2accos . 4 又 a2+c2≥2ac,故 ac≤ 4 ,当且仅当 a=c 时,等号成立. 2- 2 ②

因此△ABC 面积的最大值为 2+1.

17.(本小题满分 14 分)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销 售量 Q(万件)与广告费 x(万元)之间的函数关系为 Q= 3x+1 (x≥0). 已知生产此产品的年固定 x+1

投入为 3 万元,每生产 1 万元此产品仍需再投入 32 万元,若每件销售价为“年平均每件生 产成本的 150%”与“年平均每件所占广告费的 50%”之和. (1)试将年利润 W(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数; (2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大利润为多少? 解:(1)由题意可得,产品的生产成本为(32Q+3)万元,每万件销售价为 x + ×50%万元, Q 32Q+3 x ? Q=3(32Q+3)+1x 万元, 所以年销售收入为? 2 2 ? Q ×150%+Q×50%?· -x2+98x+35 3 1 1 所以年利润 W= (32Q+3)+ x-(32Q+3)-x= (32Q+3-x)= (x≥0). 2 2 2 2?x+1? (2)令 x+1=t(t≥1), -?t-1?2+98?t-1?+35 t 32? 则 W= =50-? ?2+ t ?. 2t t 32 因为 t≥1,所以 + t ≥2 2 t 32 · =8,即 W≤42, 2 t 32Q+3 ×150% Q

t 32 当且仅当 = ,即 t=8 时,W 有最大值 42,此时 x=7. 2 t 答:当年广告费为 7 万元时,企业年利润最大,最大值为 42 万元. 1 1 18.(本小题满分 16 分)已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1 为 a(a∈R),且 , , a1 a2 1 成等比数列. a4 (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 1 (2)对 n∈N*,试比较 + + +…+ 与 的大小. a2 a22 a23 a2n a1 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, 1 ?2 1 1 由题意可知? , ?a2? =a1· a4 即(a1+d)2=a1(a1+3d),从而 a1d=d2. 因为 d≠0.所以 d=a1=a. 故通项公式 an=na. 1 1 1 (2)记 Tn= + +…+ ,因为 a2n=2na, a2 a22 a2n 1? 1 1 1 所以 Tn=a? ?2+22+…+2n?

1? ?1?n? 1- 1 2? ?2? ? 1? ?1?n? =a· =a?1-?2? ?. 1 1- 2 1 1 从而,当 a>0 时,Tn< ;当 a<0 时,Tn> . a1 a1 19.(本小题满分 16 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 a =2sin A, cos B 2a b + + =0. cos C c c

(1)求 c 的值; (2)求△ABC 面积的最大值. 解:(1)∵ cos B 2a b + + =0, cos C c c

∴ccos B+2acos C+bcos C=0, ∴sin Ccos B+sin Bcos C+2sin Acos C=0, ∴sin A+2sin Acos C=0.又∵sin A≠0, 1 ∴cos C=- , 2 ∴C= a 2π ,∴c= · sin C= 3. 3 sin A

2 2 1 a +b -3 (2)∵cos C=- = ,∴a2+b2+ab=3, 2 2ab

∴3ab≤3,即 ab≤1,当且仅当 a=b=1 时取等号, 1 3 ∴S△ABC= absin C≤ , 2 4 即△ABC 面积的最大值为 3 . 4

20.(本小题满分 16 分)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,a2-c2=b2 - 8bc ,a=3,△ABC 的面积为 6,D 为△ABC 内(不包括三角形的边)任一点,点 D 到三边 5

距离之和为 d. (1)求角 A 的正弦值; (2)求边 b,c; (3)求 d 的取值范围. 解:(1)a2-c2=b2-
2 2 2 8bc b +c -a 4 4 3 ? = ?cos A= ?sin A= . 5 2bc 5 5 5

1 (2)∵S△ABC= bcsin A=6. 2 ∴bc=20. b2+c2-a2 4 由 = 及 bc=20 与 a=3 解得 b=4,c=5 或 b=5,c=4. 2bc 5

(3)设点 D 到三边的距离分别为 x,y,z, 1 则 S△ABC= (3x+4y+5z)=6,d=x+y+z 2 12 1 = + (2x+y), 5 5 3x+4y<12, ? ? 又 x,y 满足?x>0, ? ?y>0, 画出不等式表示的平面区域得 12 <d<4. 5


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