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1空间几何体的结构特征及三视图与直观图、表面积与体积(学生版)


专题复习 立体几何
第一节 知识点一 空间几何体的结构特征及三视图与直观图 空间几何体的结构特征

1.多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都互相平行,上下底面是全等的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形. (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到,其上下底面是相似多边形. 2.旋转体的形成 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆 旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线

易误提醒 (1)棱台可以看成是由棱锥截得的,但截面一定与底面平行. (2)球的任何截面都是圆.球面被经过球心的平面截得的圆叫作大圆,大圆的半径等于球的 半径;被不经过球心的平面截得的圆叫作小圆,小圆的半径小于球的半径. 必记结论 球的截面的性质 (1)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面; (2)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 有下面的关系:r= R2-d2. [自测练习] 1.关于空间几何体的结构特征,下列说法不正确的是( A.棱柱的侧棱长都相等 B.棱锥的侧棱长都相等 C.三棱台的上、下底面是相似三角形 D.有的棱台的侧棱长都相等 2.如图,在球中被平面所截面的截面小圆的半径为 2,球心半径为 3,则球心到截面圆 心距离为________. 知识点二 空间几何体的三视图 )

1.三视图的名称 几何体的三视图包括:正视图、侧视图、俯视图. 2.三视图的画法 (1)在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成虚线. (2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察

几何体的正投影图. 易误提醒 (1)画三视图时,能看见的线和棱用实线表示,不能看见的线和棱用虚线表示. (2)一物体放置的位置不同,所画的三视图可能不同. [自测练习] 3.(2016· 深圳调研)用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它 的俯视图是( )

4.某几何体的三视图如图所示,根据三视图可以判断这个几何体为(

)

A.圆锥 C.三棱柱 知识点三 空间几何体的直观图

B.三棱锥 D.三棱台

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是 1.原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观图中,x′轴,y′轴的夹角为 45° 或 135° , z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直. 2.原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴;平行于 x 轴和 z 轴的线 段在直观图中保持原长度不变;平行于 y 轴的线段在直观图中长度为原来的一半. [自测练习] 5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原 来的图形是( )

考点一 空间几 | 1.给出下列命题:

何体的结构特征

①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;②用一个平面去截棱锥,棱锥底面 与截面之间的部分是棱台;③若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直;④ 棱台的侧棱延长后交于一点,侧面是等腰梯形. 其中正确命题的序号是( A.①②③ C.③ 2.下列结论中正确的是( ) ) B.②③ D.①②③④

A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫 圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 考点二 空间几何体的三视图| (2016· 温州模拟)(1)若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的直观图是( )

(2)(2016· 汕头模拟)如图是一正方体被过棱的中点 M,N,顶点 A 及过 N,顶点 D,C1 的两个截面截去两角后所得的几何体,该几何体的正视图是( )

考点三 空间几何体的直观图| 1.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图,边 AB 平行于 y 轴,BC,AD 平行于

x 轴.已知四边形 ABCD 的面积为 2 2 cm2,则原平面图形的面积为(

)

A.4 cm2 C.8 cm2

B.4 2 cm2 D.8 2 cm2

2 .已知△ ABC 是边长为 a 的等边三角形,则其直观图△ A′B′C′的面积为________.

第二节 知识点一 空间几何体的表面积

空间几何体的表面积与体积

1.多面体的表(侧)面积 多面体的各个面都是平面, 则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和, 表面积是侧面 积与底面面积之和. 2.旋转体的表(侧)面积 名称 圆柱(底面半径 r,母线长 l) 圆锥(底面半径 r,母线长 l) 圆台(上、下底面半径 r1,r2,母线长 l) 球(半径为 R) 侧面积 2πrl πrl π(r1+r2)l 表面积 2πr(l+r) πr(l+r)
2 π(r1+r2)l+π(r2 1+r2)

4πR2

?易误提醒 (1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和, 而表面积是侧面积与所有底 面面积之和. (2)对侧面积公式的记忆,最好结合几何体的侧面展开图来进行,要特别留意根据几何 体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题. (3)组合体的表面积应注意重合部分的处理. [自测练习] 1.正六棱柱的高为 6,底面边长为 4,则它的表面积为( A.48(3+ 3) C.24( 6+ 2) B.48(3+2 3) D.144 ) )

2.如图所示是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是(

A.8+4 2

B.10π

C.11π 知识点二 空间几何体的体积

D.12π

空间几何体的体积(h 为高,S 为下底面积,S′为上底面积) (1)V 柱体=Sh. 1 (2)V 锥体= Sh. 3 1 (3)V 台体= h(S+ SS′+S′). 3 4 (4)V 球= πR3(球半径是 R). 3 ?易误提醒 (1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已知体积

公式的几何体进行解决. (2)求与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性. [自测练习] 3.已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm)可得这个几何 体的体积是( 4 A. cm3 3 C.3 cm3 ) 8 B. cm3 3 D.4 cm3

4.某一容器的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.

考点一 空间几何体的表面积| 1.(2015· 高考福建卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( A.8+2 2 C.14+2 2 B.11+2 2 D.15 )

2.(2015· 高考课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部

分后与半球

(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 表面积为 16+20π,则 r=( )

A.1

B.2 C.4

D.8

考点二 空间几何体的体积

(1)(2015· 高考山东卷)已知等腰直角三角形的直角边的长为 2,将该三角形绕其斜 边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( 2 2π A. 3 4 2π B. C.2 2π D.4 2π 3 )

(2)(2015· 辽宁五校联考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是________.

考点能力演练 1 1.如图所示,△A′B′C′是△ABC 的直观图,其中 A′C′=A′B′,那么△ABC 是 ( ) A.等腰三角形

B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 2.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图为正三角形,则侧视图的面积为( )

A.8 C.4 2

B.4 3 D.4

3.(2016· 武昌调研)已知以下三视图中有三个同时表示某个三棱锥,则不是该三棱锥的 三视图是( )

4.若一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的 四个面中,直角三角形的个数为( )

A.1 C.3

B.2 D.4

5.(2016· 长沙模拟)某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示,则在图乙的四个图中可 以作为该几何体的俯视图的是( )

A.①③ C.①②③

B.①③④ D.①②③④

6.如图所示,△A′B′C′是△ABC 的直观图,且△A′B′C′是边长为 a 的正三角形,则 △ABC 的面积为________.

考点能力演练 2 1.(2016· 长春模拟)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多面体的三 视图,则该多面体的体积为( )

32 A. 3

32 3 B.64 C. 3

64 D. 3

2.如图是某几何体的三视图,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表 面积为( 16π A. 3 8π B. 3 C.4 3π D.2 3π 3.(2016· 唐山模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.8π+16 B.8π-16 C.8π+8 D.16π-8 ) )

4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

)

π A. 2π B.2 2π C. 3

2π D. 3

5.四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的球面上,AB⊥平面 BCD,△BCD 是边长为 3 的等边三角形.若 AB=2,则球 O 的表面积为( 32 A. π B.12π C.16π D.32π 3 6.已知某四棱锥,底面是边长为 2 的正方形,且俯视图如图所示.若 该四棱锥的侧视图为直角三角形,则它的体积为________ )


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