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数学:2.5《等比数列的前n项和》教案(1课时)(新人教A版必修5)


课题: §2.5 等比数列的前 n 项和 授课类型:新授课 (1 课时)
●三维目标 知识与技能:掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路;会用等比数列的前 n 项和公式 解决有关等比数列的一些简单问题。 过程与方法:经历等比数列前 n 项和的推导与灵活应用,总结数列的求和方法,并能在具体 的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。 情感态度与价值观:在应用数列知识解决问题的过程中,要勇于探索,积极进取,激发学习 数学的热情和刻苦求是的精神。 ●教学重点 等比数列的前 n 项和公式推导 ●教学难点 灵活应用公式解决有关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] [提出问题]课本 P62“国王对国际象棋的发明者的奖励” Ⅱ.讲授新课 [分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列,我们可以得到一个等比数列,它的首 项是 1,公比是 2,求第一个格子到第 64 个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列 的前 64 项的和。下面我们先来推导等比数列的前 n 项和公式。 1、 等比数列的前 n 项和公式: 当 q ? 1 时, S n ?
a 1 (1 ? q )
n

1? q



或S n ?

a1 ? a n q 1? q



当 q=1 时, S n ? na 1 当已知 a 1 , q, n 时用公式①;当已知 a 1 , q, a n 时,用公式②. 公式的推导方法一: 一般地,设等比数列 a 1 , a 2 ? a 3 , ? a n ? 它的前 n 项和是
S n ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? a n

由?

? S n ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? a n ?a n ? a1q
n ?1

? ? a1q ? S n ? a1 ? a1q ? a1q ? ? a1q 得? 2 3 n ?1 n ? qS n ? a 1 q ? a 1 q ? a 1 q ? ? a 1 q ? a1q ?
2

n?2

n ?1

-1-

? (1 ? q ) S n ? a 1 ? a 1 q

n

∴当 q ? 1 时, S n ?

a 1 (1 ? q )
n

1? q



或S n ?

a1 ? a n q 1? q



当 q=1 时, S n ? na 1 公式的推导方法二: 有等比数列的定义,
a2 a1 ? a3 a2 ? ? ? an a n ?1 S n ? a1 Sn ? an ? q

根据等比的性质,有

a2 ? a3 ? ? ? an a 1 ? a 2 ? ? ? a n ?1

?

? q



S n ? a1 Sn ? an

? q ? (1 ? q ) S n ? a 1 ? a n q (结论同上)

围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式. 公式的推导方法三:
S n ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? a n = a 1 ? q ( a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? a n ?1 )

= a 1 ? qS

n ?1

= a1 ? q (S n ? a n )

? (1 ? q ) S n ? a 1 ? a n q (结论同上)

[解决问题] 有了等比数列的前 n 项和公式,就可以解决刚才的问题。 由 a 1 ? 1, q ? 2 , n ? 6 4 可得
Sn ? a 1 (1 ? q )
n

1? q

=

1 ? (1 ? 2 1? 2

64

)

=2

64

?1。

2

64

? 1 这个数很大,超过了 1 .8 4 ? 1 0

19

。国王不能实现他的诺言。

[例题讲解] 课本 P65-66 的例 1、例 2 Ⅲ.课堂练习 课本 P66 的练习 1、2、3 Ⅳ.课时小结

例 3 解略

S 等比数列求和公式: q=1 时, n ? na 1 当

S 当 q ? 1 时, n ?

a1 ? a n q 1? q

或S n ?

a 1 (1 ? q )
n

1? q

Ⅴ.课后作业 ●板书设计

-2-

●授后记

-3-


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