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河南省卢氏一中2012届高考数学二轮《立体几何》专题训练


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河南省卢氏一中 2012 届高考数学二轮《立体几何》专题训练 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 5 1.(2011· 全国卷)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f(- )=( 2 1 A.- 2 1 C. 4 B.- 1 D. 2 1 4 )

5 5 5 1 1 1 1 解析:依题意得 f(- )=-f( )=-f( -2)=-f( )=-2× ×(1- )=- . 2 2 2 2 2 2 2 答案:A 2.(2011· 重庆高考)曲线 y=-x3+3x2 在点(1,2)处的切线方程为( A.y=3x-1 C.y=3x+5 B.y=-3x+5 D.y=2x )

解析:依题意得,y′=-3x2+6x,y′|x=1=-3×12+6×1=3,即所求切线的斜率等于 3,故 所求直线的方程是 y-2=3(x-1),整理得 y=3x-1. 答案:A π 3. (2011· 郑州模拟)把函数 y=sin(4x+ )上的点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 然后再把所得到的 6 π 图像向左平移 个单位.所得函数图像的解析式为( 6 π A.y=sin(2x+ ) 3 C.y=-cos2x )

5π B.y=sin(2x+ ) 12 D.y=cos2x

π π π 解析:依题意得所得函数图像的解析式为 y=sin[2(x+ )+ ]=sin(2x+ )=cos2x. 6 6 2 答案:D 4.(2011· 合肥模拟)一个四棱锥的三视图如图所示,其侧视图是等边三角形.该四棱锥的体积等 于( )

A. 3 C.3 3

B.2 3 D.6 3

解析:依题意得,该几何体是底面为一个直角梯形(该直角梯形的两底边长分别是 1、2,高是 2)、一个侧面为等边三角形,且该侧面垂直于底面的四棱锥.由于四棱锥的高为 2sin60° 3,因此 =
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1 1 该四棱锥的体积是 ×[ (1+2)×2]× 3= 3. 3 2 答案:A 5.(2011· 潍坊模拟)已知 m、n、l1、l2 表示直线,α、β 表示平面.若 m?α,n?α,l1?β,l2? β,l1∩l2=M,则 α∥β 的一个充分条件是( A.m∥β 且 l1∥α C.m∥β 且 n∥l2 )

B.m∥β 且 n∥β D.m∥l1 且 n∥l2

解析:由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行,那么这两个平面平行” 与选项 D 的条件可知,由选项 D 可推知 α∥β. 答案:D 6.(2011· 东北师大模拟)已知 a、b、c、d 是空间四条直线,如果 a⊥c,b⊥c,a⊥d,b⊥d,那 么( ) A.a∥b 且 c∥d B.a、b、c、d 中任意两条可能都不平行 C.a∥b 或 c∥d D.a、b、c、d 中至多有一对直线互相平行 解析:若 a 与 b 相交,则存在平面 β,使得 a?β 且 b?β,由 a⊥c,b⊥c,知 c⊥β,同理 d⊥β, 所以 c∥d.若 a∥b,则 c 与 d 可能平行,也可能不平行.结合各选项知选 C. 答案:C 7.(2011· 江西高考)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图 示,则该几何体的侧(左)视图为( ) 所

解析:如图所示,点 D1 的投影为 C1,点 D 的投影为 C,点 A 的投影为 B.

答案:D 8.若{an}是等差数列,公差为 d.且 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7 的方差为 4.则 d 等于( A.± 1 C.2 B.1 D.± 2 )

1 解析:a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7 的平均值 x =a4.则 s2= [(a1-a4)2+(a2-a4)2+(a3-a4)2]×2 7 =4d2=4.
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∴d=± 1. 答案:A 9.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成 角的正弦值为( A. C. 6 3 15 5 ) 2 5 B. 5 D. 10 5

解析:建立如图所示坐标系,得 D(0,0,0),B(2,2,0),C1(0,2,1),B1(2,2,1),D1(0,0,1), 则 DB =(2,2,0), DD1 =(0,0,1), BC1 =(-2,0,1). 设平面 BD1 的法向量 n=(x,y,z).

??? ?

???? ?

???? ?

??? ? ?n· =2x+2y=0, ? DB ? ∴? ???? DD ?n· 1 =z=0. ?
∴取 n=(1,-1,0). 设 BC1 与平面 BD1 所成的角为 θ,

???? ? ???? ? | BC1 · n| ? = 2 = 10. 则 sinθ=|cos〈n, BC1 〉|= ???? 5 5· 2 | BC1 ||n|
答案:D 10.如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90° ,BC1⊥AC,则 C1 在面 ABC 上的射影 H 必在( )

A.直线 AB 上 B.直线 BC 上 C.直线 AC 上 D.△ABC 的内部 解析:∵AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B, ∴AC⊥平面 ABC1.又 AC?平面 ABC. ∴平面 ABC1⊥平面 ABC. ∴C1 在面 ABC 上的射影 H 必在两平面交线 AB 上,故选 A. 答案:A 二、填空题(本大题共有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.(2011· 新课标全国卷)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个 3 球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的 16
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高的比值为________. 解析:设球心为 O1,半径为 r1,圆锥底面圆圆心为 O2,半径为 r2,则有 = r1 3 r1,所以 O1O2= r2-r2= . 1 2 2 2 设两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高分别为 h1、h2, r1 r1- 2 1 = = . r1 3 r1+ 2 1 答案: 3 12.(2011· 全国高考)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为________. 解析:取 A1B1 的中点 F,连接 EF,FA,则有 EF∥B1C1∥BC,∠AEF 即是直线 AE 与 BC 所 成的角或其补角.设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2a,则有 EF=2a,AF= ?2a?2+a2= 5a, AE2+EF2-AF2 AE= ?2a?2+?2a?2+a2=3a.在△AEF 中,cos∠AEF= 2AE· EF 9a2+4a2-5a2 2 = = .因此,异面直线 AE 与 BC 所成的角的余弦值 3 2×3a×2a 2 答案: 3 13.设 m,n 是异面直线,则:①一定存在平面 α,使 m?α 且 n 一定存在平面 α,使 m?α 且 n⊥α;③一定存在平面 γ,使 m,n 到 γ ∥α; ② 的距离 2 是 . 3 则 h1 h2 3 ×4πr2=πr2,即 r2 1 2 16

相等;④一定存在无数对平面 α 和 β,使 m?α,n?β,且 α⊥β.上述 4 个命题中正确命题的序号是 ________. 解析:①正确,在直线 m 上任取一点作 n 的平行线 n′,则直线 m 和 n′相交,确定的平面为 所求的 α;②错误,当异面直线 m、n 不垂直的时候,就不存在平面 α,使 m?α 且 n⊥α;③正确, 在异面直线 m、n 上各任意取一点 A、B,过线段 AB 的中点作一个平面 γ,使平面 γ 与异面直线都 平行,则平面 γ 为所求;④正确,过直线 m 任作一个平面 α,则过直线 n 的平面 β 绕着直线 n 旋转 时,一定有一个位置,使得平面 β 与平面 α 垂直. 答案:①③④ 14.如图,二面角 α-l-β 的大小是 60° ,线段 AB?α,B∈l, 所成的角为 30° ,则 AB 与平面 β 所成的角的正弦值是________. 解析:如图,过 A 作 AC⊥平面 β 于 C,C 为垂足,连接 CB,过 C 作 CD⊥l 于 D,连接 AD, 则 AD⊥l, ∴∠ADC 为二面角 α-l-β 的平面角.即∠ADC=60° .
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AB 与 l

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∵AC⊥β,∴∠ABC 为直线 AB 与平面 β 所成角. 1 1 3 3 设 AB=1,则 AD= ,AC= × = , 2 2 2 4 3 AC 4 3 ∴sin∠ABC=AB= = . 1 4 答案: 3 4

三、解答题(本大题共有 4 小题,共 50 分) 15.(本小题满分 12 分)(2011· 湖北高考)如图,已知正三棱柱 ABC- A1B1C1 的各棱长都是 4,E 是 BC 的中点,动点 F 在侧棱 CC1 上,且不与 C 重合. (1)当 CF=1 时,求证:EF⊥A1C; (2)设二面角 C-AF-E 的大小为 θ,求 tanθ 的最小值. 解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,连接 EF,AF,则由已知可得 A(0,0,0),B(2 3,2,0),C(0,4,0),A1(0,0,4),E( 3,3,0),F(0,4,1), 于是 CA1 =(0,-4,4), 点

????

??? ? EF =(- 3,1,1). ???? ???? EF =(0,-4,4)· 3,1,1)=0-4+4=0,故 EF⊥A1C. 则 CA1 · (-
(2)设 CF=λ,(0<λ≤4),平面 AEF 的一个法向量为 m=(x,y,z),则由(1)得 F(0,4,λ).

??? ? ???? ???? ??? ? ???? ?m· =0, AE AF = ( 3 , 3,0), AF = (0,4, λ), 于 是 由 m⊥ AE , m⊥ AF 可 得 ? ???? 即 AF ?m· =0,

? 3x+3y=0, ? 取 m=( 3λ,-λ,4). ?4y+λz=0.
又由直三棱柱的性质可取侧面 A1C 的一个法向量为 n=(1,0,0), 于是由 θ 为锐角可得 cosθ= λ2+16 sinθ= , 2 λ2+4 所以 tanθ= λ2+16 = 3λ 1 16 + . 3 3λ2 1 1 6 + = . 3 3 3 6 . 3 |m· n| 3λ = , |m|· 2 λ2+4 |n|

1 1 由 0<λ≤4,得λ ≥ ,即 tanθ≥ 4

故当 λ=4,即点 F 与点 C1 重合时,tanθ 取得最小值

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π 16.(本小题满分 12 分)(2011· 江西高考)如图,在△ABC 中,∠B= ,AB=BC=2,P 为 AB 边 2 上一动点, PD∥BC 交 AC 于点 D, 现将△PDA 沿 PD 翻折至△PDA′, 使平面 PDA′⊥平面 PBCD. (1)当棱锥 A′-PBCD 的体积最大时,求 PA 的长; (2)若点 P 为 AB 的中点,E 为 A′C 的中点, 求证:A′B⊥DE. 解:(1)令 PA=x(0<x<2),则 A′P=PD=x,BP=2-x, 因为 A′

1 1 P⊥PD 且平面 A′PD⊥平面 PBCD,故 A′P⊥平面 PBCD,所以 VA′-PBCD= Sh= (2-x)(2+x)x 3 6 1 = (4x-x3), 6 1 令 f(x)= (4x-x3), 6 1 由 f′(x)= (4-3x2)=0, 6 2 得 x= 3, 3 当 x∈(0, 2 3)时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 3

2 当 x∈( 3,2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 3 所以,当 x= 2 3时,f(x)取得最大值. 3 2 3 . 3

即:当 VA′-PBCD 取得最大时,PA= (2)证明:设 F 为 A′B 的中点, 连接 PF,FE. 1 1 则有 EF 綊 BC,PD 綊 BC, 2 2 所以 DE∥PF,又 A′P=PB. 所以 PF⊥A′B,故 DE⊥A′B.

17.(本小题满分 12 分)(2011· 北京海淀模拟)在如图的多面体中,EF⊥平面 AEB,AE⊥EB,AD ∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G 是 BC 的中点. (1)求证:AB∥平面 DEG; (2)求证:BD⊥EG; (3)求二面角 C-DF-E 的余弦值. 解:(1)证明:由 AD∥EF∥BC,易知 AD∥BG, 又 BC=2AD,AD=BG. ∴四边形 ABGD 为平行四边形,即 AB∥DG.
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又 AB?面 DEG,∴AB∥面 DEG. (2)证明:∵EF⊥平面 AEB,AE?平面 AEB,BE?平面 AEB, ∴EF⊥AE,EF⊥BE.又 AE⊥EB, ∴EB,EF,EA 两两垂直. 以点 E 为坐标原点,EB,EF,EA 分别为 x,y,z 轴建立如图所 空间直角坐标系. 由已知得, A(0,0,2), B(2,0,0), C(2,4,0), F(0,3,0), D(0,2,2), G(2,2,0). ∴ EG =(2,2,0), BD =(-2,2,2). ∴ BD · EG =-2×2+2×2=0. ∴ BD ⊥ EG . (3)由已知得 EB =(2,0,0)是平面 EFDA 的一个法向量. 设平面 DCF 的法向量为 n=(x,y,z), ∵ FD =(0,-1,2), FC =(2,1,0), 示 的

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? ??? ??? ?
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??? ? ? FD · ?-y+2z=0, n=0, ? ∴? ??? 即? ? ? ?2x+y=0. n=0, ? FC ·
令 z=1,得 n=(-1,2,1). 设二面角 C-DF-E 的大小为 θ,

??? ? 2 6 则 cosθ=cos〈n, EB 〉=- =- . 6 2 6
∴二面角 C-DF-E 的余弦值为- 6 . 6 E、F 分 4.

18.(本小题满分 14 分)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 别是棱 BC,CC1 上的点,CF=AB=2CE,AB∶AD∶AA1=1∶2∶ (1)求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值; (2)证明 AF⊥平面 A1ED; (3)求二面角 A1-ED-F 的正弦值.

解: 如图所示, 建立空间直角坐标系, A 为坐标原点, AB=1, 点 设 依题意得 D(0,2,0), F(1,2,1), 3 A1(0,0,4),E(1, ,0). 2

???? ? ??? ? 1 (1)易得 EF =(0, ,1), A1 D =(0,2,-4). 2

? ??? ???? ? ? EF · 1 D ??? ? ???? A 3 ? ? 于是 cos〈 EF , A1 D 〉= ??? ???? =- . 5 | EF || A1 D |
3 所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为 . 5
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???? ???? ??? ? 3 1 (2)证明:连接 ED,易知 AF =(1,2,1), EA1 =(-1,- ,4), ED =(-1, ,0), 2 2
于是 AF · 1 =0, AF · =0. ED EA 因此,AF⊥EA1,AF⊥ED. 又 EA1∩ED=E,所以 AF⊥平面 A1ED. 1 ??? ? ?2y+z=0, ?u· =0, EF (3)设平面 EFD 的一个法向量为 u=(x,y,z),则? ??? 即? ? 1 ED ?u· =0, ?-x+2y=0. 不妨令 x=1,可得 u=(1,2,-1). 由(2)可知, AF 为平面 A1ED 的一个法向量.

???? ????

???? ??? ?

????

???? ???? AF 2 u· 于是 cos〈u, AF 〉= ???? = , |u|| AF | 3
从而 sin〈u, AF 〉=

????

5 . 3 5 . 3

所以二面角 A1-ED-F 的正弦值为

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