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两角和与差、二倍角的三角函数(基础+复习+习题+练习)


课题:两角和与差、二倍角的三角函数
考纲要求:
①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. ②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切、二倍角公式,了解其内在联系. ③能运用两角和与差,二倍角公式,进行三角化简,求值等有关运算问题. 教学目标:掌握两角和与差的三角函数公式,掌握二倍角公式,能运用这些公式进行 三角化简,求值等有关运算问题. 教学重点:公式的灵活运用.

教材复习 1. sin(? ? ? ) ? ; cos(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ? 2. “化一公式” : a sin ? ? b cos ? ? 3. 二倍角公式: cos 2? ?
= =

; (其中 ).

? ?


sin 2? ?

tan 2? ?

2 4. 降次公式: cos 2 ? ? , sin ? ? 基本知识方法 1. 寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系,把握式子的变形方向,准确运用公式; 2. 三角变换主要体现在:函数名称的变换、角的变换、 1 的变换、和积的变换、幂的变换

等方面; 3. 掌握基本技巧:切割化弦,异名化同名,异角化同角等; 4. 应注意的几点:

?1? 熟悉公式的正用、逆用,还要熟练掌握公式的变形应用. ? 2 ? 注意拆角、凑角技巧,如 ? ? ?? ? ? ? ? ? , 2? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 等. ? 的倍角. ? 3? 注意倍角的相对性,如 3? 是 32
? 4 ? 要时时注意角的范围的讨论.
5. 三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角,二看名,三看式子的结构与特征. 6. 解决给角求值问题的基本思路: ?1? 化为特殊角的三角函数值; ? 2 ? 化为正负相消的项,

消去求值; ? 3? 化分子、分母出现公约数进行约分求值. 7. 求角问题,先求此角的某个三角函数值,然后根据角的范围求出角.应根据条件选择恰 当的函数. ?1? 已知正切函数值,选正切函数; ? 2 ? 已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函 数;若角的范围是 ? 0, 不会学会,会的做对.

? ?

??

? ,选正、余弦皆可;若角的范围是 ? 0, ? ? ,选余弦函数;若角的 2?
215

只要追赶,总会比预想好!

范围是 ? ?

? ? ?? , ? ,选正弦较好. ? 2 2?

典例分析:
考点一 两角和与差、二倍角公式的简单应用

问题 1. ?1? ( 07 江西文)若 tan ? ? 3 , tan ? ?
A. ?3 B. ?

1 3

C. 3

4 ,则 tan(? ? ? ) 等于 3 1 D. 3

? 2 ? ( 2013 重庆) 4cos 50? ? tan 40? ?

A.

2 B.

2? 3 C. 3 D. 2 2 ?1 2

? 3? ( 2013 浙江)已知 ? ? R , sin ? ? 2cos ? ?
A.

10 ,则 tan 2? ? 2
D. ?

4 3

B.

3 4

C. ?

3 4

4 3

? 4?

( 06 重庆) ? , ? ? ?

3 ? ? 12 ? 3? ? ? , ? ? , sin ?? ? ? ? ? ? , sin ? ? ? ? ? , 5 4 ? 13 ? 4 ? ?

则 cos ? ? ?

? ?

??

?? 4?

不会学会,会的做对.

216

只要追赶,总会比预想好!

考点二 三角函数式的求角
1 问题 2. ( 07 四川)已知 cos ? ? , cos(? ? ? ) ? 7
(Ⅰ)求 tan 2? 的值.(Ⅱ)求 ? .

13 ? ,0 ? ? ?? ? , 14 2

考点三 三角函数式的化简与求值 问题 3.求值: ?1? cot10? ? 4 cos10? ; ? 2 ? cos 20? cos 40? cos 60? cos80?

? 3? ( 06 江苏) cot 20? cos10? ?

3 sin10? tan 70? ? 2cos 40?

不会学会,会的做对.

217

只要追赶,总会比预想好!

? 问题 4.若 cos ? ?

17? 7? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 3 ?x? ,求 ? x? ? , 12 4 1 ? tan x ?4 ? 5

? ? ? ? 问题 5.已知向量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? (cos? , sin ? ) , | a ? b |? 2 5 .
(Ⅰ)求 cos(? ? ? ) 的值; (Ⅱ)若 0 ? ? ?

5

?
2

, ?

?
2

? ? ? 0 , 且 sin ? ? ?

5 , 求 sin ? . 13

问题 5.已知 sin ? ? sin ? ?

1 1 , cos ? ? cos ? ? ,求 cos ?? ? ? ? 值: 4 3

不会学会,会的做对.

218

只要追赶,总会比预想好!

问题 6.已知 A 为三角形的内角,求 y ? cos 2 A ? cos 2 (

2? ? A) 的取值范围. 3

课后作业:
1. 填空: ?1? sin17? cos 47? ? sin 73? cos 43? ?

; ? 2?

? 3? (1 ? tan 26?)(1 ? tan19?) ?
2. ( 05 江西文)已知 tan

1 ? tan 15? = 1 ? tan 15?

?
2

? 3 ,则 cos? ?

A.

4 4 4 3 B. ? C. D. ? 5 5 15 5

3. 已知 cos ? ?

4 ? , ? ? ?? ,2? ? ,则 sin ? 5 2

A.

10 10 10 10 B. ? C. ? D. ? 10 10 10 5

?? 1 ? 4. 若 ? 为锐角,且 sin ? ? ? ? ? ,则 cos? ? 6? 3 ?
A.

2 6 ?1 6

B.

2 6 ?1 6

C.

2 3 ?1 4

D.

2 3 ?1 4

? 2? ? ?? ? 1 5. ( 05 江苏) sin ? ? ? ? ? ,则 cos ? ? 2? ? ? ? 3 ? ?6 ? 3

A. ?

7 1 1 7 B. ? C. D. 9 3 3 9

不会学会,会的做对.

219

只要追赶,总会比预想好!

2 2 6. ( 07 南通九校联考)已知 sin x ? sin y ? ? , cos x ? cos y ? ,且 x, y 为锐角,则 3 3

tan ? x ? y ? 的值是

A.

2 14 5

B. ?

2 14 5

C. ?

2 14 5

D. ?

5 14 28

7. 若 f (sin x) ? 3 ? cos 2 x ,则 f (cos x) ? A. 3 ? cos 2 x B. 3 ? sin 2 x C. 3 ? cos 2 x

D. 3 ? s i n x2

8. ( 08 四川文) ? tan x ? cot x ? cos2 x ? A. tan x B. sin x C. cos x D. cot x

9. ( 07 届西安地区高三八校联考)设 a ? sin15? ? cos15? , b ? sin17? ? cos17? ,
则下列各式正确的是

A. a ?

a 2 ? b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? b B. b ? ? a C. a ? b ? 2 2 2

D. b ? a ?

a 2 ? b2 2

10. ( 05 重庆文) (cos

?
12

? sin

?
12

)(cos

?
12

? sin

?
12

)?

A. ?

1 1 3 3 B. ? C. D. 2 2 2 2

11. 计算:

tan10? ? ? csc 40?

不会学会,会的做对.

220

只要追赶,总会比预想好!

12. 计算:

2sin 50? ? sin 80?(1 ? 3 tan10?) 1 ? cos10?

13. ( 09 上海)函数 y ? 2cos 2 x ? sin 2 x 的最小值是________

14. 已知 cos ? ?

1 13 ? ,cos ?? ? ? ? ? ,且 0 ? ? ? ? ? . ?1? 求 tan ? 的值;? 2 ? 求 ? . 7 14 2

不会学会,会的做对.

221

只要追赶,总会比预想好!

15. 已知 cos(

?

3 3? ? ? ??) ? , ? ? ? ? ? ,求 cos(2? ? ) 的值. 4 5 2 2 4

走向高考:
16. ( 06 陕西) cos 43? cos 77? ? sin 43? cos167? ?

17. ( 07 江苏)若 cos(? ? ? ) ?

1 3 , cos(? ? ? ) ? ,则 tan ? tan ? ? 5 5

1 ? 3? 18. ( 07 浙江)已知 sin ? ? cos ? ? ,且 ≤ ? ≤ ,则 cos 2? 的值是 5 2 4

? 3 ? 1 1 19. ( 06 福建)已知 ? ? ( , ? ),sin ? ? , 则 tan(? ? ) ? A. B. 7 C. ? D. ?7 2 5 4 7 7

不会学会,会的做对.

222

只要追赶,总会比预想好!

20. ( 06 湖北)已知 sin 2 A ? A.

2 , A ? ? 0, ? ? ,则 sin A ? cos A ? 3

15 3

B. ?

15 3

C.

5 3

D. ?

5 3

? ? 1 ? 3 21. ( 06 重庆文)若 ? , ? ? (0, ) , cos(? ? ) ? , sin( ? ? ) ? ? , 2 2 2 2 2
则 cos(? ? ? ) ?

A. ?

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

3 2

22. ( 07 陕西)已知 sin ? ? A. ?

5 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值为 5
C.

1 5

B. ?

3 5

1 5

D.

3 5

23. 在 △ ABC 中, (1 ? cot A)(1 ? cot B) ? 2 ,则 log 2 sin C ?

24. 已知 sin ? ? 2cos ? ? 0 ,则 sin 2? ? cos 2? ?

不会学会,会的做对.

223

只要追赶,总会比预想好!

25. ( 06 安徽文) 已知 0 ? ? ?

?
2

,sin ? ?

4 5? sin 2 ? ? sin 2? 求值: ; 2 ? tan(? ? ) 1? ? ? 2 5 4 cos ? ? cos 2?

26. ( 06 天津文)已知 tan ? ? cot ? ?

5 ? ? ? , ? ? ( , ), 求 cos 2? 和 sin(2? ? ) 的值 2 4 2 4

不会学会,会的做对.

224

只要追赶,总会比预想好!


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